Физика. Физика 2. Закон Кулона. Напряженность электростатического поля. Силовые линии
 Скачать 0.97 Mb.
|
|
Тема 5. Постоянный электрический ток, его характеристики. За- кон Ома. ЭДС и работа источника тока. Закон Джоуля-Ленца. Правила Кирхгофа Электрическим током называют упорядоченное движение заряженных частиц. Носителями тока в металлах являются свободные электроны, в жидко- стях – положительные и отрицательных ионы, в газах – ионы и электроны, в полупроводниках – электроны и «дырки». Для протекания тока необходимо: – наличие носителей тока; – наличие внутри тела электрического поля. За направление тока принимается направление, в котором перемеща- ются положительные носители – рисунок 26. Сила тока – это скалярная физическая величина, определяемая элек- трическим зарядом, проходящим через поперечное сечение проводника в единицу времени – формула 89, где I – величина тока, dq – заряд, проходя- щий через поперечное сечение проводника за промежуток времени dt . Модуль вектора плотности тока j численно равен силе тока dI , прохо- дящего через единицу площади поперечного сечения проводника dS перпен- дикулярно направлению тока – формула 90. За направление вектора плотности тока принимается направление упо- рядоченного движения положительных носителей. Сила тока – это поток вектора плотности тока через поверхность dS – формула 91. Плотность тока равна заряду всех электронов, проходящих за единицу времени через единицу площади поперечного сечения проводника, – форму- ла 92. Здесь < > – средняя скорость упорядоченного движения зарядов, n – число электронов проводимости в единице объема, e – абсолютная вели- чина заряда электрона. Слайд 41 Сторонние силы – силы не электростатической природы, способные непрерывно разделять заряды и перемещать их от точки с меньшим потенци- алом В к точке с большим потенциалом А – рисунок 27. Источниками тока называются устройства, способные создавать и под- держивать разность потенциалов за счет работы сил не электростатической природы: гальванические элементы, аккумуляторы, генераторы. Энергетической характеристикой сторонних сил является электродви- жущая сила – ЭДС . ЭДС – физическая величина, равная отношению работы сторонних сил А ст по перемещению положительного единичного заряда к величине этого заряда q – формула 93. Электродвижущая сила, как и потенциал, измеряется в системе СИ в вольтах. Линейный интеграл численно равен работе А 12 , которую совершают сторонние силы при перемещении единичного положительного заряда q из точки один в точку два – формула 94. Здесь СТ E – напряженность поля сторонних сил. Эта работа производится за счет энергии, затрачиваемой в источнике. ЭДС , действующая на участке цепи между точками один и два, опре- деляется формулой 95. ЭДС , действующая в замкнутой цепи, равна цирку- ляции вектора напряженности сторонних сил – формула 96. Слайд 42 В цепи, кроме сторонних сил, действуют еще и электростатические си- лы. Работа, совершаемая результирующим полем электростатических и сто- ронних сил при перемещении заряда q на участке цепи из точки один в точку два, определяется формулой 97. Величина, численно равная работе, совершаемой электростатическими и сторонними силами при перемещении единичного положительного заряда, называется падением напряжения или просто напряжением – U на данном участке цепи – формула 98. Участок цепи, на котором на носители тока действуют электростатиче- ские и сторонние силы, называются неоднородным. Напряжение на этом участке равно сумме ЭДС на этом участке и разности потенциалов – форму- ла 99. Участок цепи, на котором не действуют сторонние силы, называют од- нородным. Для однородного участка цепи напряжение совпадает с разностью по- тенциалов на концах этого однородного участка. Электродвижущая сила, падение напряжения, разность потенциалов измеряются в системе СИ в вольтах. Слайд 43 Закона Ома для однородного участка цепи в интегральной форме запи- си отражен в формуле 100 . Сила тока, текущего по однородному проводнику, пропорциональна падению напряжения U на проводнике и обратно пропорциональна R – электрическому сопротивлению проводника. Электрическое сопротивление в системе СИ измеряется в омах. Один Ом – это сопротивление такого проводника, в котором при напряжении в один вольт течет постоянный ток в один ампер. Для однородного цилиндрического проводника сопротивление опреде- ляется по формуле 101, где – длина проводника, S – площадь поперечного сечения проводника, – удельное сопротивление проводника . Удельное сопротивление в системе СИ измеряется в Ом м и численно равно сопротивлению провода длиной один метр и площадью поперечного сечения один квадратный метр, сделанного из данного материала. Величина σ , обратная удельному сопротивлению, называется удельной проводимостью, или электропроводимостью, материала – формула 102. В си- стеме СИ удельная проводимость измеряется в сименсах на метр. Закон Ома в дифференциальной форме дается в формуле 103. Плотность тока пропорциональна напряженности электрического поля. Коэффициент пропорциональности – удельная проводимость. Этот закон не содержит дифференциалов, а свое название получил по- тому, что в нем устанавливается связь между величинами, относящимися к одной и той же точке проводника. Слайд 44 Сопротивление и удельное сопротивление проводников зависят от тем- пературы. Эта зависимость отражается в формулах 104 и 105. Здесь R и R 0 сопротивление при температуре t и при температуре ноль градусов, а и 0 – удельное сопротивление при температуре t и при температуре ноль градусов. Заметим, что температура в этих формулах берется в градусах Цельсия. – температурный коэффициент сопротивления. Формулы 104 и 105 хорошо выполняются для металлов. Для электро- литов, полупроводников и газов она не верна, так как сопротивления послед- них с ростом температуры уменьшается. Зависимость электрического сопротивления от температуры использу- ется в различных измерительных и автоматических устройствах. Наиболее важным из них является термометр сопротивления. Он позволяет определять температуру с высокой точностью. Для большинства металлов зависимость удельного сопротивления и сопротивления от температуры следует кривой 1 – рисунок 28. У некоторых металлов вблизи абсолютного нуля при критической тем- пературе Т к удельное сопротивление внезапно, скачкообразно уменьшается практически до нуля – кривая 2 , – то есть металл становится абсолютным проводником. Это явление называется сверхпроводимостью. Температура перехода в сверхпроводящее состояние для разных метал- лов различна и лежит в интервале от десятых долей до двадцати градусов Кельвина. Вещества в сверхпроводящем состоянии обладают уникальными свой- ствами. В частности, в сверхпроводниках однажды возбужденный электриче- ский ток будет очень долго существовать без источника тока. Сверхпроводящие материалы уже используются в электромагнитах для создания больших магнитных полей. Ведутся исследования, направленные на создание сверхпроводящих линий электропередач. Слайд 45 Для изменения сопротивления участка цепи проводники соединяют по- следовательно, параллельно или смешанно. При последовательном соединении сопротивления включаются друг за другом – рисунок 29, при этом через каждое сопротивление протекает один и тот же ток, а напряжение на концах всей цепи равно сумме напряжений на всех сопротивлениях. При последовательном соединении сопротивлений их полное сопро- тивление равно сумме отдельных сопротивлений. Например, для трех последовательно включенных сопротивлений R 1 , R 2 и R 3 полное сопротивление определяется по формуле 106. Если последовательно включено n одинаковых сопротивлений, то пол- ное сопротивление определяется по формуле 107. При параллельном соединении сопротивлений – рисунок 30 – их нача- ла и концы имеют общие точки подключения к источнику тока. При этом напряжение на всех сопротивлениях одинаково, а сила тока в неразветвлен- ной цепи равно равна сумме сил токов во всех параллельно включенных со- противлениях. При параллельном соединении величина, обратная полному сопротив- лению, равна сумме величин, обратных сопротивлениям всех параллельно включенных сопротивлений. Например, для трех параллельно включенных сопротивлений R 1 , R 2 и R 3 полное сопротивление определяется по формуле 107 . Если включено n одинаковых сопротивлений, Rпол равно величине сопротивления, деленной на число сопротивлений, – формула 108. При параллельном включении полное сопротивление цепи меньше са- мого меньшего из сопротивлений. Слайд 46 На неоднородном участке цепи кроме электростатических сил дей- ствуют сторонние силы – рисунок 31. Закон Ома для неоднородного участка цепи в дифференциальной фор- ме дается формулой 110, где Eкл и Eст – напряженности полей кулонов- ских и сторонних сил. Формула 111 выражает закон Ома в интегральной форме для неодно- родного участка цепи. В замкнутой цепи точки один и два, как это видно из рисунка 32, сов- падают. При этом 2 1 Закон Ома для замкнутой цепи представлен формулой 112. Он гласит, что сила тока в замкнутой цепи пропорциональна ЭДС в це- пи и обратно пропорциональна полному сопротивлению цепи. Разность потенциалов на клеммах источника равна напряжению на внешнем участке цепи – формула 113. Из этой формулы также видно, что если цепь разомкнута, сила тока в ней равна нулю, а разность потенциалов на клеммах источника равна его ЭДС . Если источник тока замкнут накоротко, сопротивление внешней цепи R равно нулю и ток короткого замыкания максимален. Его величина дается в выражении 114 . Слайд 47 Разветвленные электрические цепи. Правила Кирхгофа. Расчет сложных разветвленных электрических цепей значительно упрощается при применении правил Кирхгофа. На рисунке 33 представлена электрическая схема. Узлом разветвленной цепи называется точка, в которой сходятся три или более проводника. Точки А и С являются узлами. Ветвью электрической цепи называется участок цепи, вдоль которого проходит один и тот же ток. АВС , АС и АСД – ветви. Контур – любой замкнутый путь, который можно обойти, перемещаясь по любым ветвям цепи. АВСА , АСДА и АВСДА – контуры. Первое правило Кирхгофа относится к узлам разветвленных цепей. Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю – форму- ла 115, где N – число проводников в узле. Второе правило Кирхгофа относится к любому выделенному в разветв- ленной цепи замкнутому контуру. Оно гласит: алгебраическая сумма произ- ведений сил токов в отдельных ветвях произвольного замкнутого контура на их сопротивления равна алгебраической сумме ЭДС , действующих в этом контуре – формула 116 . При составлении уравнений по правилам Кирхгофа необходимо посту- пать следующим образом. Произвольно выбрать направление токов на всех ветвях цепи. Действительное направление токов определяется при решении задачи. Если при расчетах искомый ток получается отрицательным, то его истинное направление противоположно выбранному. Выбрать направление обхода контуров: по часовой стрелке или против. Произведение Ii , умноженное на Ri , считается положительным, если направление обхода и направление тока на данном участке совпадают. Произведение Ii , умноженное на Ri , считается отрицательным, если направление обхода и направление тока на данном участке не совпадают. ЭДС берется со знаком плюс, если она действует в направлении обхо- да, или со знаком «минус», если против. Составить столько уравнений по первому и второму правилам Кирхго- фа, сколько имеется неизвестных, и решить систему уравнений. Слайд 48 Электрическая энергия легко может быть превращена в любые другие виды энергии. Мерой этого превращения является работа сил электрического поля, перемещающего заряды вдоль цепи. Работа постоянного тока на участке цепи равна произведению напря- жения на концах U этого участка на силу тока I , текущего по нему, и на время t прохождения тока – формула 117. Если участок цепи является однородным и на нем выполняется закон Ома, то работу тока можно представить в виде выражения 118. Единицей работы в системе СИ является джоуль. Один джоуль равен одному вольту, умноженному на один ампер и на одну секунду. Мощность тока – это работа тока, совершаемая за единицу времени, – формула 119. Для однородного участка цепи при выполнении закона Ома по- лучим формулу 120. Единица мощности в системе СИ – Вт , 1 Вт = 1 В · 1 А . Если проводник неподвижен и в нем нет химических превращений, то работа тока расходуется только на нагревание проводника. Количество тепла, выделяемого в проводнике, определяется по формуле 121. Данное соотношение называется законом Джоуля-Ленца для однород- ного участка цепи в интегральной форме записи. Следует заметить, что в общем случае в цепи могут быть участки, на которых часть работы тока может идти на совершение механической работы или на совершение химических реакций. При этом на выделение в цепи тепла пойдет только часть работы тока. Если участок цепи неоднородный, то на носители тока действуют не только кулоновские, но и сторонние силы. Мощность тока в неоднородном участке цепи равна алгебраической сумме мощностей кулоновских и сторон- них сил. Это соотношение дается формулой 122. Слайд 49 Формулы предыдущего слайда позволяют вычислять энергию, выделя- емую на определенном конечном участке цепи. Но иногда требуется найти энергию, выделяемую в определенной точке внутри проводника. При этом мы должны перейти к энергетическим соотношениям в дифференциальной форме. Удельная тепловая мощность тока – это количество теплоты, выде- ляющееся в единицу времени в единице объема проводящей среды – форму- ла 123. Как можно показать из закона Ома в дифференциальной форме, удель- ная тепловая мощность тока пропорциональна квадрату плотности элек- трического тока и удельному сопротивлению среды в данной точке – форму- ла 124. Это дифференциальная форма записи закона Джоуля-Ленца для одно- родного участка цепи. Для неоднородного участка количество энергии, выделяемое в единицу времени в единице объема проводника, пропорционально скалярному произ- ведению плотности электрического тока на сумму напряженностей кулонов- ского и стороннего полей. Слайд 50 Тема 6. Магнитное поле в вакууме. Принцип суперпозиции. Закон Био-Савара-Лапласа Прежде чем начать знакомство с физическими явлениями, связанными с особым видом материи – магнитным полем – стоит упомянуть, что про- стейшее устройство, которое способно обнаруживать магнитное поле, – это компас, хорошо знакомый нам с детства. Магнитный компас состоит из магнитной стрелки, которая свободно вращается в горизонтальной плоскости и под действием магнитного поля Земли устанавливается вдоль определенного направления. Компас служит для ориентирования на местности относительно направлений сторон света. Компас был изобретен в Китае в третьем веке до нашей эры. Китайский философ и естествоиспытатель Хэнь Фэй-цзы представил описание устрой- ства, которое называлось сынань, что означает «ведающий югом». Он изоб- ражен на рисунке 34 слева на слайде. Устройство имело вид ложки с черенком и хорошо отполированной выпуклой частью. Оно изготавливалось из магнетита. Выпуклой частью лож- ка располагалась на отполированной медной пластине, так что точка касания была точкой равновесия. При этом черенок не касался пластины, а свободно висел над ней. Ложка могла свободно вращаться относительно точки каса- ния. Легким толчком ложку приводили во вращение, а когда под действием сил трения, действующих в точке касания, она успокаивалась, то черенок ложки начинал указывать точно на юг. Именно так был устроен самый древний прибор, который и являлся прообразом компаса. В качестве недостатка можно отметить, что он был не- достаточно точен из-за трения в точке касания ложки и доски. И до сих пор изобретенный в столь далекие времена компас, который является устройством, способным обнаруживать магнитное поле, не потерял своей актуальности из-за простоты, автономности и простейшей трактовки принципов его работы. По мере развития человечества знания о магнитных явлениях накапли- вались. Первая теория магнитных явлений была изложена в 1600 году в трактате Уильяма Гильберта Кольчестерского «О магните, магнитных телах и большом магните – Земле», где систематизировались знания о магнетизме. Портрет этого исследователя представлен справа на рисунке 35 на слайде. Автор этого трактата, в частности, впервые отделил магнетизм от элек- тричества, установил, что магнит имеет два полюса и при этом одноименные полюсы отталкиваются, а разноименные притягиваются. Кроме того, он создал модель Земли из цельного намагниченного стального шара, назвал его Терреллой, то есть маленькой Землей, и дал объ- яснения поведению магнитной стрелки в разных частях Земли. Слайд 51 Обобщение многочисленных опытных фактов позволяет утверждать, что в пространстве, окружающем электрические токи и постоянные магниты, возникает силовое поле, называемое магнитным. В 1820 году датский физик Ганс Кристиан Эрстед обнаружил, что по- ле, возбуждаемое током, оказывает ориентирующее действие на магнитную стрелку. Опыт Эрстеда заключался в следующем. Посмотрите на рисунок 36 слева на слайде. Над магнитной стрелкой натягивалась проволока, по которой пропус- кали электрический ток. Магнитная стрелка могла вращаться на игле. При включении тока магнитная стрелка поворачивалась и устанавливалась пер- пендикулярно к проволоке. Посмотрите теперь на рисунок 36 справа на слайде. При изменении направления тока магнитная стрелка поворачивалась в противоположную сторону и опять устанавливалась перпендикулярно к про- волоке. Из опыта Эрстеда следует, что магнитное поле имеет направленный характер и должно характеризоваться векторной величиной. Эта величина называется магнитной индукцией и обозначается B . Слайд 52 Электрическое поле действует как на неподвижные, так и на движущи- еся заряды, а магнитное поле – только на движущиеся в этом поле заряды. Поясним это. Посмотрим на рисунок 37 слева на слайде. Если мы поместим неподвижную заряженную частицу вблизи провод- ника с током или постоянного магнита, то заметим следующее: поле посто- янного магнита на покоящуюся заряженную частицу действовать не будет. Также поле проводника с током не будет действовать на покоящуюся заряженную частицу. Происходит это потому, что хотя ток в металле создается движением электронов, но суммарный отрицательный заряд этих электронов практиче- ски компенсируется суммарным положительным решетки, и в целом провод- ник можно считать электронейтральным. Теперь посмотрим на рисунок 37 справа на слайде. Если заставить частицу двигаться возле проводника с током или вблизи постоянного магнита, то ее траектория будет искривляться. Это будет озна- чать, что на нее действует сила не электростатической природы. Эта сила действует со стороны магнитного поля, создаваемого проводником с током или постоянным магнитом. Из вышесказанного следует одна важнейшая особенность магнитного поля: оно действует только на движущиеся заряды. Слайд 53 Для обнаружения электрического поля в него вносят пробный заряд. Для обнаружения магнитного поля в него вносят проводник с током или рамку с током. Причем линейные размеры рамки с током должны быть малы по сравнению с расстоянием до токов, порождающих магнитное поле. Посмотрите на рисунок 38. Если рамку с током внести в магнитное поле, то оно начинает действо- вать на рамку с током, и рамка поворачивается. Ориентация контура с током в пространстве характеризуется направле- нием вектора нормали n к рамке. За положительное направление нормали принимается направление, связанное с направлением тока правилом правого винта или буравчика. То есть за положительное направление n принимается направление поступа- тельного движения буравчика, головка которого вращается в направлении тока, текущего по рамке. Магнитное поле оказывает на контур с током и на рамку с током ори- ентирующее действие, поворачивая его определенным образом. Этот результат связан с определенным направлением магнитного поля. За направление индукции магнитного поля B в данной точке прини- мается направление, вдоль которого располагается положительная нормаль равновесного положения контура с током. Совершенно аналогичным образом на магнитную стрелку, внесенную в область магнитного поля, действует пара сил, поворачивающая ее до тех пор, пока ось стрелки не установится вдоль направления поля. За направление вектора магнитной индукции принимается направление от южного к северному концу магнитной стрелки, равновесно расположен- ной в магнитном поле. Слайд 54 Вращающий момент M , действующий на рамку с током, определяется векторным произведением вектора магнитного момента рамки с током m p и вектора магнитной индукции B – формула 126. При этом дополнительно стоит отметить, что вращающий момент, дей- ствующий на рамку с током, зависит от свойств поля в данной точке, кото- рые определяются вектором B , и свойствами рамки, которые определяются вектором m p Вектор магнитного момента рамки с током m p определяется произве- дением силы тока I в рамке на площадь рамки S и на единичный вектор нормали к поверхности рамки n – выражение 127. Вектор магнитного момента рамки с током m p оказывается коллине- арен единичному вектору нормали к поверхности рамки n – формула 128. Из вышесказанного следует, что вектор B является основной силовой характеристикой магнитного поля. Его модуль равен отношению максималь- ного момента, действующего на рамку с током, внесенную в это поле, к мо- дулю вектора магнитного момента рамки с током – выражение 129. Слайд 55 Визуально магнитное поле можно изображать с помощью линий маг- нитной индукции, которые также называют силовыми линиями магнитного поля. Силовыми линиями магнитного поля называются линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора магнитной ин- дукции B . Величина вектора B определяется густотой линий, то есть чем больше модуль вектора B , тем гуще должны быть силовые линии магнитного поля. Магнитное поле B называется однородным, если векторы B во всех его точках одинаковы по модулю и направлению. Во всех остальных случаях магнитное поле является неоднородным. Направление силовых линий для прямолинейного бесконечного про- водника с током задается правилом правого винта. Если острие правого винта движется по направлению тока, то направ- ление вращения головки винта показывает направление обхода по силовым линиям. Посмотрите, пожалуйста, на рисунок 40, расположенный слева на слайде. В качестве иллюстративного материала здесь приведены примеры рас- пределения силовых линий от постоянного магнита и соленоида или катушки с током. Из рисунка 40 видно, что силовые линии выходят из северного полюса N и входят в южный полюс S и при этом, как будет показано далее, они не обрываются на полюсах, а распространяются внутри магнита, образуя за- мкнутые кривые. При этом поле постоянного магнита и катушки с током практически эквивалентны друг другу. И в этом смысле катушка с током называется электромагнитом, имеющим полюса аналогично постоянному магниту. Если длина соленоида гораздо больше его характерных поперечных размеров, то магнитное поле внутри такого соленоида можно считать одно- родным. Посмотрите, пожалуйста, на рисунок 41, расположенный справа на слайде. На нем приведены силовые линии магнитного поля Земли. Первое си- стематическое описание этого поля было дано Уильямом Гильбертом Коль- честерским в трактате «О магните, магнитных телах и большом магните – Земле». Об этом трактате мы упоминали в начале нашей лекции. Земля обладает собственным магнитным полем, и ось симметрии для этого магнитного поля, которая называется магнитной осью Земли, поверну- та относительно оси вращения Земли на угол порядка 11° . При этом вблизи северного географического полюса находится южный магнитный полюс S , а вблизи южного географического полюса находится северный магнитный по- люс N . Именно поэтому намагниченная стрелка компаса, имея северный по- люс N и южный полюс S , своим северным полюсом N притягивается к юж- ному магнитному полюсу Земли S , указывая таким образом на северный гео- графический полюс. Это является прямым следствием того, что постоянные магниты притя- гиваются разноименными полюсами и отталкиваются одноименными. Слайд 56 Перечислим основные свойства силовых линий магнитного поля. Во- первых, силовые линии магнитного поля всегда замкнуты и охватывают про- водники с током. В этом и состоит их основное отличие от силовых линий электростатического поля, которые начинаются на зарядах положительного знака и заканчиваются на зарядах отрицательного знака. Поле, силовые линии которого замкнуты, называется вихревым. Имен- но поэтому магнитное поле – это вихревое поле. На слайде на верхнем рисунке 42 показаны силовые линии магнитного поля полосового магнита. Силовые линии выходят из северного полюса N и входят в южный по- люс S . При этом на опыте установлено, что внутри полосовых магнитов име- ется магнитное поле, силовые линии которого являются продолжением сило- вых линий вне магнита. То есть силовые линии магнитного поля постоянных магнитов тоже замкнуты. Отметим, что разрезая магнит на части, нельзя разделить полюса маг- нита и нельзя получить отдельно северный N и отдельно южный S полюсы. После такого разрезания мы получим два магнита, каждый из которых имеет северный N и южный S полюсы. Таким образом, если отдельные положительные и отрицательные заря- ды существуют, то отдельных магнитных северного и южного зарядов не существует. Это проиллюстрировано на слайде на нижнем рисунке 42: Еще одно свойство силовых линий магнитного поля заключается в том, что они никогда не пересекаются. Их густота характеризует величину модуля магнитной индукции в данной точке поля. Для магнитного поля справедлив принцип суперпозиции, который формулируется следующим образом. Поле вектора B , порождаемое несколькими движущимися зарядами или токами, равно векторной сумме полей i B , порождаемых каждым заря- дом или током в отдельности. В аналитическом виде принцип суперпозиции представлен в выражении 130. Единицей измерения магнитной индукции в системе СИ является тес- ла. Слайд 57 Как мы выяснили ранее, каждый проводник с током создает в окружа- ющем пространстве магнитное поле. Поскольку любой электрический ток представляет собой упорядочен- ное движение электрических зарядов, то можно сказать, что любой движу- щийся в вакууме или среде заряд создает вокруг себя магнитное поле. Если заряд движется в изотропном пространстве с нерелятивистской скоростью V , то обобщение экспериментальных данных приводит к следу- ющей формуле для величины индукции магнитного поля – выражение 131. В выражении 131 0 – это магнитная постоянная. В системе СИ она равна 7 4 10 Гн/м . Это представлено на слайде выражением 132. В нем r – радиус-вектор, проведенный от точки, в которой находится заряд q , к точ- ке наблюдения P , V – скорость движения заряда. При этом нужно отметить, что конец радиус-вектора r неподвижен в выбранной системе отсчета, а его начало движется со скоростью V Согласно выражению 131 вектор B направлен перпендикулярно плос- кости, в которой расположены векторы V и r . Вращение от вектора V в направлении вектора r образует с направлением вектора B правовинтовую систему координат. То есть векторы V , r и B образуют правую тройку векторов, взаимное направление которых определяется правилом буравчика. Раскрывая векторное произведение в выражении 131, получим выра- жение 133, которое определяет модуль вектора магнитной индукции в точке наблюдения P . Здесь r – модуль радиус-вектора, проведенного от точки, в которой находится заряд q , к точке наблюдения P , V – модуль скорости движения заряда, – угол между векторами V и r . Слайд 58 В 1820 году французские ученые Жан Батист Био и Феликс Савар ис- следовали магнитные поля, создаваемые токами различной конфигурации. На основании анализа своих экспериментальных данных они пришли к инте- ресным выводам. Первый: магнитная индукция в произвольной точке пространства зави- сит от взаимного расположения этой точки и проводника с током. Второй: магнитная индукция в произвольной точке пространства зави- сит от формы и размеров проводника с током. Третий: модуль вектора индукции магнитного поля, создаваемого про- водником с током, будет пропорционален величине этого тока. Все попытки Био и Савара обобщить полученные ими эксперименталь- ные данные и представить результат в виде аналитической формулы не при- вели к успеху. Это удалось сделать известному французскому математику, физику и астроному, автору принципа суперпозиции магнитного поля Пьеру Симону маркизу де Лапласу. Обобщив результаты экспериментов Био и Савара, Лаплас смог установить величину и направление магнитного поля, создавае- мого произвольным тонким элементом проводника с током, по которому те- чет электрический ток. Впоследствии эта зависимость стала называться зако- ном Био-Савара-Лапласа. Элемент проводника dl с током I создает в некоторой точке A ин- дукцию магнитного поля dB , которая определяется выражением 134. В вы- ражении 134 r – это радиус-вектор, проведенный из элемента проводника dl в точку А . При этом направление вектора dB перпендикулярно векторам dl и r и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Другими словами вектор dB всегда направлен перпендикулярно плоскости в которой лежат вектора dl и r . Кроме того, вектора dl , r и dB образуют правую тройку векторов. То есть при вращении буравчика от dl к r поступательное направление буравчика укажет направление вектора dB Модуль вектора dB определяется выражением 135. В этом выражении – угол между векторами dl и r . Слайд 59 Закон Био-Савара-Лапласа имеет множество практических приложе- ний. Он позволяет вычислять магнитное поле от электрического тока, проте- кающего по проводнику с различной геометрической конфигурацией. Давайте подсчитаем с помощью этого закона величину магнитного по- ля от бесконечно длинного прямолинейного проводника с током. На рисунке 45 представлены параметры для расчета магнитного поля от бесконечного прямого тока I . Все используемые переменные совпадают по обозначениям с перемен- ными в законе Био-Савара-Лапласа. В качестве переменной интегрирования мы выбираем угол Тогда из рисунка 45 и элементарных геометрических соображений видно, что sin r R и sin dl rd – выражения 136 и 137. Следует заметить, что магнитные поля, создаваемые каждым отрезком dl , будут параллельны друг другу. Поэтому модуль результирующего поля будет равен сумме модулей полей каждого из отрезков. Слайд 60 Подставляя полученные выражения в закон Био-Савара-Лапласа, полу- чаем выражение 138, которое определяет элементарную величину магнитной индукции в точке А . Угол для всех элементов прямого провода изменяется от нуля до Применим принцип суперпозиции и суммируем все элементарные величины магнитной индукции в точке А . Путем интегрирования получаем магнитное поле прямого тока – выражение 139. Мы видим, что магнитная индукция прямого бесконечного провода прямо пропорциональна величине тока и убывает обратно пропорционально расстоянию от провода до точки наблюдения поля. Заметим, что эту формулу можно было бы получить гораздо проще, используя так называемый закон полного тока. Этот закон будет рассматри- ваться в следующей теме. Слайд 61 На предыдущем слайде мы рассмотрели общую задачу нахождения магнитного поля от бесконечного прямолинейного проводника с электриче- ским током. На практике проводник такой бесконечной геометрической конфигура- ции не встречается, однако предложенный подход легко реализует решение данной задачи для прямолинейного проводника с током конечной длины. В этом случае по отношению к предыдущей задаче угол для всех элементов отрезка прямого провода изменяется не от нуля до , а от 1 до 2 . На рисунке 47 угол 1 – острый, а угол 2 – тупой. В результате получаем выражение 140. После интегрирования в заданных пределах получаем выражение 141. Углы альфа в обоих случаях отсчитываются от положительного направления тока. Пользуясь выражением 141 и принципом суперпозиции, мы можем рассчитать магнитное поле провода произвольной ломаной формы. Для этого нужно разбить провод на соответствующее число прямоли- нейных отрезков, применить к каждому формулу 141 и, наконец, векторно сложить получившиеся поля. Слайд 62 Другая интересная геометрическая конфигурация проводника с элек- трическим током – это круговой виток. Давайте определим исходя из закона Био-Савара-Лапласа индукцию магнитного поля, создаваемого проводником с током I в виде кольца радиу- сом R . При этом элементарный вектор магнитной индукции dB будет пер- пендикулярен плоскости, в которой лежат векторы dl и r . Будем вычислять величину индукции магнитного поля в точке А. Раскладываем вектор магнитной индукции dB на горизонтальную y dB и вертикальную z dB составляющие. Это описывается выражением 142. В силу радиальной симметрии задачи сумма всех горизонтальных со- ставляющих вектора магнитной индукции y dB равна нулю – выражение 143. При этом вертикальная составляющая вектора магнитной индукции z dB связана с вектором магнитной индукции dB соотношением 144. А сам вектор магнитной индукции dB определяется законом Био- Савара-Лапласа – формула 145. Слайд 63 Из рисунка 49 видно, что косинус угла фи равен отношению радиуса кольца R к расстоянию от элемента dl до точки наблюдения поля. Из теоремы Пифагора эр малое в квадрате равно эр большое в квадрате плюс зет в квадрате. Эти равенства представлены соотношением 146. Путем подстановки их в закон Био-Савара-Лапласа и последующего интегрирования мы получим соотношение 147. Оно описывает величину модуля вектора магнитной индукции B от проводника с током I в виде кольца радиусом R в точке на оси кольца, рас- положенной на расстоянии z от его центра. Последняя формула на этом слайде имеет два очень важных практиче- ских следствия. Их мы представим на следующем слайде. Слайд 64 Если нам необходимо подсчитать величину магнитной индукции в цен- тре кругового витка с током, то в формуле 147 необходимо принять 0 z , и тогда формула примет вид, определяемый выражением 148. При этом направление вектора магнитной индукции в центре кругового проводника с током задается правилом правого винта или буравчика. Если направление вращения головки винта или буравчика показывает направление электрического тока, то острие правого винта или буравчика движется по направлению силовой линии магнитной индукции. Пусть точка, в которой ищется магнитная индукция, находится весьма далеко от кругового витка с током, то есть z R . Тогда R пренебрежимо мало по сравнению с z , и формула 147 примет вид, определяемый выраже- нием 149. Вспоминаем, что магнитный момент рамки с током m p определяется произведением величины тока, текущего в рамке I , на площадь рамки S – выражение 150. Тогда формула 149 преобразуется к виду, который определяется выра- жением 151. Полученное выражение совпадает с выражением напряженности поля электрического диполя на больших расстояниях. Именно поэтому рамку с электрическим током очень часто сравнивают с магнитным диполем, имеющим равный с рамкой с током магнитный мо- мент. Слайд 65 |