практические задания (1). Занятие 1 выбор средств измерений свободных линейных размеров
 Скачать 1.2 Mb.
|
|
Задание Определить систематические погрешности и записать результат с учетом различных параметров. Данные результатов измерений при- ведены в табл. 17. Таблица 17 Исходные данные Вари- ант L, мм l ном , мм l i , мм t, qС t 1 = t 2 , q С h, мм P, H Q, Н 1 17 983 3000 3001 –15 –15 27 8 0,7 2 13 005 3000 3002 13 13 32 12 0,3 3 24 153 3000 3001 24 24 15 10 1,5 4 59 670 10 000 10 001 –19 –19 39 9 0,9 5 40 309 5000 5002 7 7 21 11 0,2 6 28 012 3000 3001 9 9 24 7 1,2 7 45 180 5000 5001 4 4 40 12 0,4 8 67 000 10 000 10 002 –8 –8 11 7 1,4 9 31 500 5000 5002 –12 –12 18 12 1,3 10 18 021 3000 3000 –3 –3 35 10 0,6 11 12 908 10 000 10 002 –4 –4 28 9 1,1 30 31 Окончание табл. 17 Вари- ант L, мм l ном , мм l i , мм t, qС t 1 = t 2 , q С h, мм P, H Q, Н 12 23 061 5000 5001 11 11 12 11 0,8 13 60 054 3000 3001 8 8 31 10 0,3 14 40 720 5000 4999 –7 –7 19 9 1,5 15 28 030 10 000 10 001 24 24 26 11 0,9 16 45 002 3000 3003 –19 –19 13 7 0,2 17 66 002 10 000 10 004 7 7 34 12 1,2 18 31 207 5000 5002 9 9 23 10 0,4 19 23 948 3000 3002 4 4 17 9 1,4 20 60 376 5000 5001 –8 –8 38 11 0,6 21 28 012 10 000 10 001 –12 –12 25 8 1,1 22 45 180 5000 5002 –3 –3 33 12 0,8 23 67 000 3000 3002 –4 –4 16 10 0,3 24 31 500 10 000 10 003 –15 –15 30 9 1,5 25 18 021 5000 5001 13 13 22 11 0,9 26 12 908 3000 3001 24 24 37 7 0,2 27 23 061 5000 5002 –19 –19 29 12 1,2 28 60 054 10 000 10 002 7 7 20 11 0,4 29 40 720 5000 5001 9 9 36 7 1,4 30 28 030 3000 3001 4 4 10 12 1,2 31 45 002 10 000 10 002 –8 –8 34 10 0,4 32 66 002 5000 5002 –12 –12 23 9 1,4 33 31 207 3000 3001 –3 –3 17 11 1,3 34 23 948 10 000 10 001 –4 –4 38 8 0,6 35 60 376 3000 3001 –5 –5 25 10 1,1 Практическое занятие № 6 ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА ВИДА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ Для предварительной оценки вида распределения по полученным данным строят гистограмму распределений или полигон распределе- ния. Вначале производится группирование – разделение данных от наи- меньшего x min до наибольшего x max на r интервалов. Для количества измерений от 30 до 100 рекомендуемое число интервалов 7–9. Ширину интервала выбирают постоянной для всего ряда данных, при этом сле- дует иметь в виду, что ширина интервала должна быть больше погреш- ности округления при записи данных. Ширину интервала вычисляют по формуле min max r x x h Вычисленное значение h обычно округляют. Например, при h = 0,0187 это значение округляют до h = 0,02. Установив границы ин- тервалов, подсчитывают число результатов измерений, попавших в каж- дый интервал. При построении гистограммы или полигона распреде- ления масштаб этих графиков рекомендуется выбирать так, чтобы со- отношение высоты графика к его основанию было примерно 3 : 5. Пример Построить гистограмму и полигон распределения по полученным экспериментальным данным, приведенным в табл. 18. Определяем ширину интервала мм. 01 , 0 7 01 , 25 08 , 25 min max r x x h Строим гистограмму распределений (рис. 1), подсчитав число эк- спериментальных данных, попавших в каждый интервал. 32 33 Таблица 18 Результаты измерений № п/п x i № п/п x i 1 25,04 21 25,04 2 25,05 22 25,05 3 25,04 23 25,06 4 25,06 24 25,03 5 25,05 25 25,06 6 25,01 26 25,05 7 25,07 27 25,05 8 25,05 28 25,04 9 25,03 29 25,06 10 25,05 30 25,05 11 25,03 31 25,04 12 25,06 32 25,05 13 25,07 33 25,06 14 25,05 34 25,05 15 25,06 35 25,05 16 25,03 36 25,04 17 25,07 37 25,06 18 25,08 38 25,05 19 25,06 39 25,06 20 25,05 40 25,05 25,00 25,01 25,02 25,03 25,04 25,05 25,06 25,07 25,08 мм 16 12 8 4 Рис. 1. Гистограмма распределений результатов измерений Далее строим полигон распределения (рис. 2), который представ- ляет собой кусочно-линейную аппроксимацию искомой функции плот- ности распределения результатов измерения. 25,00 25,01 25,02 25,03 25,04 25,05 25,06 25,07 25,08 мм 16 12 8 4 Рис. 2. Полигон распределения результатов измерения 34 35 Практическое занятие № 7 ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О НОРМАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Нормальный закон распределения, называемый часто распределе- нием Гаусса, описывается зависимостью , 2 ) ( exp 2 1 ) ( 2 2 » ¼ º « ¬ ª V S V x x x p где V – параметр рассеивания распределения, равный среднему квадра- тическому отклонению. Широкое использование нормального распределения на практике объясняется теоремой теории вероятностей, утверждающей, что рас- пределение случайных погрешностей будет близко к нормальному вся- кий раз, когда результаты наблюдений формируются под действием большого числа независимо действующих факторов, каждый из кото- рых оказывает лишь незначительное действие по сравнению с суммар- ным действием всех остальных. При количестве измерений n < 10 проверить гипотезу о виде рас- пределения результатов измерения невозможно. При числе данных 10 < n < 50 также трудно судить о виде распре- деления. Поэтому для проверки соответствия распределения данных нормальному распределению используют составной критерий. Если гипотеза о нормальности отвергается хотя бы по одному из критериев, считают, что распределение результатов измерения отлично от нормаль- ного. Критерий 1. Вычисляют значение d по формуле , * 1 S n x x d n i i ¦ где S * – смещенное СКО; ) ( 1 2 * n x x S n i i ¦ Гипотеза о нормальности подтверждается, если , 1 q q d d d где q q d d и 1 процентные точки распределения значений d, которые находятся по табл. 19. Таблица 19 Значения процентных точек q для распределения d Число результатов измерений Уровень значимости q, % 11 16 21 26 31 36 41 46 99,0 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,72 0,72 95,0 0,72 0,72 0,73 0,74 0,74 0,74 0,75 0,75 1– q/2 90,0 0,74 0,74 0,75 0,75 0,76 0,76 0,76 0,76 10,0 0,89 0,87 0,86 0,86 0,85 0,85 0,84 0,84 q/2 5,0 0,91 0,89 0,88 0,87 0,86 0,86 0,85 0,85 Критерий 2. Гипотеза о нормальности распределения результа- тов измерения подтверждается, если не более m разностей ) ( x x i пре- взошли значения Sz p/2 Здесь ; 1 ) ( 1 2 ¦ n x x S n i i z p/2 – верхняя 100 P/2 – процентная точка нормированной функции Лапласа. Значения довери- тельной вероятности P выбирают из табл. 20. Таблица 20 Значения доверительной вероятности Р n 10 11–14 15–20 21–22 23 24–27 28–32 33–35 36–49 m 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1,00 0,98 0,99 0,99 0,98 0,98 0,98 0,99 0,99 0,99 2,00 0,98 0,98 0,99 0,97 0,98 0,98 0,98 0,98 0,99 q/2 100% 5,00 0,96 0,97 0,98 0,96 0,96 0,97 0,97 0,98 0,98 36 37 Пример В табл. 21 приведены результаты измерения угла одним операто- ром, одним и тем же теодолитом, в одних и тех же условиях. Прове- рить, можно ли считать, что приведенные в табл. 21 данные принадле- жат совокупности, распределенной нормально. Таблица 21 Результаты исследований x i x x i 2 ) ( x x i 17 q56 ΄45,00˝ 4,301˝ 18,498601 17 q56 ΄36,25˝ – 4,449˝ 19,793601 42,50˝ 1,801˝ 3,243601 45,00˝ 4,301˝ 18,498601 37,50˝ – 3,199˝ 10,233601 38,33˝ – 2,369˝ 5,612161 37,50˝ – 3,199˝ 10,233601 43,33˝ 2,631˝ 6,922161 40,63˝ – 0,069˝ 0,004761 36,25˝ – 4,449˝ 19,793601 42,50˝ 1,801˝ 3,243601 39,17˝ – 1,529˝ 2,337841 45,00˝ 4,301˝ 18,498601 40,83˝ 0,131˝ 0,017161 ∑ = 569,786˝ ∑ = 38,530˝ ∑ =136,931497 Оценка измеряемой величины равна 0 40,7 6 5 17 9 40,69 6 5 17 0 cc c cc c $ $ a x x Средние квадратические отклонения S и S * найдем по формулам , 5 24 , 3 13 931497 , 136 1 ) ( 1 2 cc | ¦ n x x S n i i 7 12 , 3 14 931497 , 136 ) ( 1 2 * cc | ¦ n x x S n i i Оценка параметра d составит 88 , 0 8798 , 0 13 , 3 14 530 , 38 * 1 | ¦ S n x x d n i i Уровень значимости критерия 1 примем q = 2 %. Из табл. 19 нахо- дим d 1% = 0,92 и d 99% = 0,68. При определении d 1% и d 99% использовалась линейная интерполяция ввиду того, что значение n = 14 в таблице от- сутствует. Критерий 1 выполняется, так как 1 q q d d d В нашем случае 0,68 < 0,88 < 0,92. Применим критерий 2. Выбрав уровень значимости q = 0,05 для n =14 из табл. 11, найдем Р = 0,97. Из табл. 22 определим z p/2 = 2,17. Тогда S z p/2 = 3,245 2,17 = 7,042. Таблица 22 Значения Р-процентных точек нормированной функции Лапласа Р 100 % 90 95 96 97 98 99 z p/2 1,65 1,96 2,06 2,17 2,33 2,58 Согласно критерию 2, не более одной разности x x i может пре- взойти 7,042. Из данных табл. 21 следует, что ни одно отклонение x x i не превосходит 7,042. Следовательно, гипотеза о нормальности распределения данных подтверждается. Уровень значимости составного критерия: q d 0,02 + + 0,05 = 0,07, т. е. гипотеза о нормальности распределения результатов измерения подтверждается при уровне значимости не более 0,07. Задание Произвести проверку нормальности распределения измерений по данным, приведенным в табл. 23. 38 39 Та бл иц а 23 Ис хо дны е да нн ые Ок он чан ие та бл . 2 3 40 41 Практическое занятие № 8 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ МНОГОКРАТНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ Последовательность обработки результатов прямых многократных измерений состоит из ряда этапов. 1. Определение точечных оценок закона распределения результатов измерений На этом этапе определяются среднее арифметическое значение x измеряемой величины, СКО результата измерений S x В соответствии с критериями грубые погрешности исключаются, после чего проводится повторный расчет оценок среднего арифмети- ческого значения и его СКО. 2. Определение закона распределения результатов измерений или случайных погрешностей Здесь по результатам измерений и проведенным расчетам строит- ся гистограмма или полигон. По виду построенных зависимостей мо- жет быть оценен закон распределения результатов измерений. 3. Оценка закона распределения по статистическим критериям При числе измерений n > 50 для идентификации закона распреде- ления используется критерий Пирсона. При 50 > n > 15 для проверки нормальности закона распределения применяется составной критерий. При n < 15 принадлежность экспериментального распределения к нор- мальному не проверяется. 4. Определение доверительных границ случайной погрешности Если удалось идентифицировать закон распределения результатов измерений, то с его использованием находят квантильный множитель z p при заданном значении доверительной вероятности Р. В этом случае доверительные границы случайной погрешности x p S z r ' Здесь x S – СКО среднего арифметического значения. При n < 30 часто ис- пользуют распределение Стьюдента, при этом доверительные границы случайной погрешности / n S t x p p r ' Здесь t p – коэффициент Стьюдента, приведенный в табл. 24, n – количество измерений. Таблица 24 Величина t p при различных уровнях значимости Уровень значимости n 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 0,005 0,002 0,001 2 3,08 6,31 12,71 31,82 63,66 127,32 318,30 636,61 3 1,84 2,92 4,30 6,96 9,99 14,09 22,33 31,60 4 1,64 2,35 3,18 4,54 5,84 7,45 10,21 12,92 5 1,53 2,13 2,78 3,75 4,60 5,60 7,17 8,61 6 1,48 2,02 2,57 3,36 4,03 4,77 5,89 6,87 7 1,44 1,94 2,45 3,14 3,71 4,32 5,21 5,96 8 1,41 1,89 2,36 3,00 3,50 4,03 4,74 5,41 9 1,40 1,80 2,31 2,90 3,36 3,83 4,50 5,04 10 1,38 1,83 2,26 2,82 3,25 3,64 4,30 4,78 11 1,37 1,81 2,23 2,76 3,17 3,50 4,14 4,59 5. Определение границ неисключенной систематической погрешности результата измерения Под этими границами понимают найденные нестатистическими методами границы интервала, внутри которого находится неисключен- ная систематическая погрешность. Границы неисключенной система- тической погрешности принимаются равными пределам допускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измерений, если их случайные составляющие пренебрежимо малы. 6. Определение доверительных границ погрешности результата измерения Данная операция осуществляется путем суммирования СКО слу- чайной составляющей x S и границ неисключенной систематической составляющей T в зависимости от соотношения x S / T 42 43 7. Запись результата измерения Результат измерения записывается в виде p x x ' r при довери- тельной вероятности Р = Р д Пример Произвести обработку результатов измерений, данные которых представлены в табл. 25. Таблица 25 Результаты измерений № п/п x i x x i 2 ) ( x x i 1 36,008 – 0,001 0,000001 2 36,008 – 0,001 0,000001 3 36,008 – 0,001 0,000001 4 36,008 – 0,001 0,000001 5 36,010 0,001 0,000001 6 36,009 0 0 7 36,012 0,003 0,000009 8 36,009 0 0 9 36,011 0,002 0,000004 10 36,007 – 0,002 0,000004 11 36,012 0,003 0,000009 12 009 , 36 1 11 1 ¦ i i x n x ¦ 11 1 2 000031 , 0 ) ( i i x x 1. Определение точечных оценок закона распределения результатов измерений Определяем среднее арифметическое значение результатов изме- рений: 009 , 36 1 11 1 ¦ i i x n x Среднее квадратическое отклонение результатов измерения 00194 , 0 000031 , 0 1 11 1 ) ( 1 1 2 1 ¦ x x n S n i i x Производим проверку на наличие грубых погрешностей в резуль- татах измерения по критерию Диксона. Составим вариационный возрастающий ряд из результатов изме- рений: 36,007; 36,008; 36,009; 36,010; 36,011; 36,012. Найдем расчетное значение критерия для значения 36,012: 2 , 0 007 , 36 012 , 36 011 , 36 012 , 36 1 1 Д x x x x K n n n Как следует из табл. 5, по этому критерию результат 36,012 не яв- ляется промахом при всех уровнях значимости. 2. Предварительная оценка вида распределения результатов измерений или случайных погрешностей При числе измерений меньше 15 предварительная оценка вида распределения результатов наблюдений не производится. 3. Оценка закона распределения по статистическим критериям При n < 15 принадлежность экспериментального распределения к нормальному не проверяется. 4. Определение доверительных границ случайной погрешности При числе измерений n = 11 используем распределение Стью- дента, при этом доверительные границы случайной погрешности / n S t x p p r ' Коэффициент Стьюдента при доверительной вероятности Р д = 0,95 и при n = 11 равен 2,23. 44 45 Тогда доверительные границы случайной погрешности 0012 , 0 11 00194 , 0 23 , 2 r r ' p 5. Определение границ неисключенной систематической погрешности результата измерения Границы неисключенной систематической погрешности T прини- маются равными пределам допускаемых основных и дополнительных погрешностей средства измерения. Для рычажного микрометра допус- каемая погрешность равна ± 0,7 мкм. 6. Определение доверительных границ погрешности результата измерения Согласно ГОСТ 8.207–76 погрешность результата измерения оп- ределяется по следующему правилу. Если границы неисключенной си- стематической погрешности T< 0,8 S x , то следует пренебречь система- тической составляющей погрешности и учитывать только случайную погрешность результата. В нашем случае T = 1,4 мкм, а S x = 2 мкм, т. е. соотношение T < 0,8 S x выполняется, поэтому систематической погрешностью пренебрегаем. 7. Запись результата измерения Результат измерения: 0,001 36,009 r ' r p x x при доверитель- ной вероятности Р = 0,95. |