математическая грамотность. Занятие Применение чисел и действий над ними. Счет и десятичная система счисления Текст для чтения
 Скачать 2.41 Mb.
|
|
42 Методические материалы к занятиям к проведению занятий по модулю Основы математической грамотности класс Занятие 1. Применение чисел и действий над ними. Счет и десятичная система счисления Текст для чтения Различают число как результат счета элементов множества и число как результат измерения величин (длина, масса, время и т. д.)». Но есть много и других источников информации, где можно познакомиться с понятием Число. Предлагаем познакомиться с источниками информации и прочитать определение данного понятия в предложенном тексте. Существует большое количество определений понятию число. 1. В детской энциклопедии говорится, что числа были придуманы человечеством для счета элементов реальных множеств (животных, людей, различных предметов, а также для обозначения результатов процесса измерения величин (длины, массы, емкости, времени, площади и др. 2. В Большой Советской Энциклопедии (выпускалась с 1926 года погоди насчитывала от 65 до 30 томов, главном справочном издании страны, в которой жили твои дедушка и бабушка – Союз Советских Социалистических республик, – про число говорится следующее важнейшее математическое понятие. Возникнув простейшем виде ещё в первобытном обществе, понятие Число определялось потребностями счёта и измерения, возникавшими в непосредственной практической деятельности человека. Понятие число используется не только в математике, но ив других областях науки. 3. Число, как грамматическая категория является формой существительного, указывающая на различное количество предметов - говорится в словаре литературных терминов. 4. В научно–энциклопедическом словаре дается иная трактовка понятия. ЧИСЛО - символ, представляющий количество, используемый в расчетах и вычислениях. В толковом словаре Ефремовой о числе говорится, что это понятие, при помощи которого выражается количество и ведется счет. 6. В Интернет издании «Википедия» число характеризуется как основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей 43 Задания 1. Назовите основную мысль в каждом из фрагментов текста. 2. Предложите название общего текста. 3. Определите назначение общего текста. 4. Укажите общую характеристику понятия Число в каждом фрагменте текста. 5. Составьте вопросы к общему тексту. 6. Продолжите фразу Понятие число в различных источниках объясняется по–разному. Ново всех определениях есть общий признак – это 7. Определите, к какому виду источников информации относятся книги, из которых представлен текст Обоснуйте своё мнение. 8. Составьте синквейн на тему « Число 9. Приведите примеры использования понятия Число в своей семье. 10. Дайте совет своему другу, где он может воспользоваться понятием Число. Текст для чтения Счет и десятичная система счисления. Мы привыкли пользоваться благами цивилизации, которая делает нашу жизнь легче и интересней. Но эти блага создавались постепенно. На протяжении всей истории существования человечества было сделано множество открытий и изобретений, в том числе в области математики. Такие основные математические понятия, как число или геометрические фигуры, возникли на заре человечества, задолго до появления математических текстов. Понятие числа, которое представляется нам очень простыми привычным, на самом деле является абстрактным. Оно могло появиться только в результате длительной умственной работы. Вначале первобытные люди научились считать, сравнивая предметы. Любой человек знал, что на небе одна Луна, у человека два глаза и на руке пять пальцев. Этими словами он стал обозначать числа 1, 2 и 5. В таких случаях говорили, что предметов столько, сколько Лун, глаз или пальцев на руке. С развитием животноводства и земледелия возникла необходимость вести учёт поголовья скота, выращенного урожая и т. д. Сведения о результатах счёта первоначально хранили при помощи зарубок на дереве или на костях либо узелков на верёвках. Такой способ записи был очень неудобен, и около пяти тысяч лет назад почти одновременно в разных странах возникли новые способы записи чисел. 44 Историки считают, что девять цифр изобрели индусы. Они же создали и ту систему, которой мы сейчас пользуемся. Появились числа, которыми можно выразить количество предметов. Эти числа называют натуральными. Самой важной цифрой является нуль. Это была гениальная идея — сделать что-то из ничего, дать этому «что-то» имя и обозначить его символом. Изобретение нуля приписывают греческим астрономам, которые для его обозначения использовали знак о. Система счисления иначе называемая нумерацией) — это способ именования и записи чисел с помощью определённого набора символов, называемых цифрами. Основание системы счисления — это количество цифр, которые используются в данной системе счисления для записи чисел. Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Позиционными называются те системы счисления, в которых значение цифры зависит от её расположения в записи числа. В качестве примера позиционной системы счисления можно привести привычную для нас десятичную систему счисления. Например, в записи числа 2222 одна и та же цифра — 2 означает (последовательно справа налево) количество — единиц, десятков, сотен, тысяч. Непозиционными называются те системы счисления, в которых значение цифры не зависит от её расположения в записи числа. В качестве примера непозиционной системы счисления можно привести достаточно широко применяющуюся в настоящее время, римскую нумерацию. Например, в записи числа CCC (триста) символ C в любом месте означает число сто. Вопросы для обсуждения — Откуда появились привычные нам арабские цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? Какой народ изобрёл удобную десятичную позиционную систему счисления Как называют знаки, с помощью которых записывают числа — Сколько разных цифр используют для записи чисел — Арабская, или индусская, система счисления принята сегодня во всём мире. А используется ли сейчас ещё какой-либо способ записи чисел Задания 1. Назовите основную мысль в каждом из фрагментов текста. 2. Приведите примеры, когда и где вы можете воспользоваться информацией, полученной из текста. 3. Приведите примеры, где используют римскую нумерацию? 16 . Упражнение на запоминание римских цифр 16 (Сейчас римской нумерацией пользуются для обозначения юбилейных дат, нумерации некоторых страниц книги (например, страниц предисловия, глав в книгах, строф в стихотворениях и т.д.) 45 1000 М Мы D Dарим 100 C Сочные L Lимоны 10 X Хватит V сем I х. Каким правилом нужно следовать, чтобы прочесть римскую цифру или написать ее 5. Подумайте, как записать римскими цифрами число 4? 6. Используя правило, запишите римскими цифрами числа 9, 14, 19. 7. Запишите в тетрадь ответы на вопросы римскими числами Сколько желаний исполняет золотая рыбка Сколько разбойников было с Али-бабой? Сколько раз надо измерить, прежде чем отрезать 8. Запишите число, используя арабскую нумерацию а) MMCCCXLII б 9. Запишите число цифрами А) 305 тысяч 200; Б) 408 миллионов 256 тысяч В) 29 триллионов 78 миллионов Занятие 2. Сюжетные задачи, решаемые с конца Текст для чтения Увлечение математикой часто начинается с размышлений над какой-то новой, интересной, нестандартной и понравившейся задачей. Задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь нате условия, которые указаны в задаче, и учитывая их (Л.М.Фридман). Задачи в которой зависимости между условием и требованием сформулированы словами называется текстовой. Сюжетная задача – текстовая задача, в которой речь идет о реальных объектах, процессах, связях и отношения. Сюжетные задачи - это наиболее древний вид школьных задач. Ещё задолго до нашей эры в Древнем Египте, Вавилоне, Китае, Индии были известны и многие методы их решения сюжетных задач существенно изменялись и видоизменяются до сих пор. Если, например, до ого века цели решения этих задач были чисто практические научить решать задачи, которые часто встречаются в жизненной практике, то затем эти цели значительно расширились и, кроме практических целей, они начинают использоваться как важное общеобразовательное и методическое средство. Текстовая задача есть описание некоторой ситуации (ситуаций) на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения. (Л.П., Стойлова, А.М. Пышкало). Под сюжетной задачей понимают задачи, в которых описан некоторый жизненный сюжет (явление, событие, процесс) с целью нахождения определенных количественных характеристик или значений (Л.П.Фридман) Всякая задача есть требование либо на нахождение каких-либо знаний о явлениях действительности (объектах и процессах) и их характеристиках, которые они имеют в определенных заданных в задаче условиях, либо на получение какого-то искомого практического результата (построить что-то, обеспечить выполнение каких-то условий и тому подобное. ( И.И. Ильясов) Задача представляет собой непустое множество элементов, на котором определено заранее данное отношение. (В.И. Крупич) Вопросы для обсуждения - Что нового узнали - Зачем каждому из вас необходимо это знание Где и когда вы сможете им воспользоваться - Кто и зачем составляет разные задачи Задания 1. Назовите основные признаки понятий текстовая задача, сюжетная задача. 2. Сформулируйте определение понятий родовой признак + видовые отличительные признаки. Обоснуйте правильность вашего определения Текстовая задача – это … Сюжетная задача – это … 3. Укажите компоненты ситуации как характеристики понятия текстовая задача. 4. Укажите компоненты жизненного сюжета, как характеристики понятия сюжетная задача. Объясните, почему понятие задача относится к различным областям знаниями не только к математике. 6. Определите, к какому типу задач (текстовая задача, сюжетная задача) относятся представленные задачи, объясните своё мнение 47 а) Космическая станция Мир оставалась на орбите в течение 15 лети около 86 500 раз облетела вокруг Земли в течение всего срока своего полетав космосе. Самый длинный период пребывания космонавта на станции Мир длился приблизительно 680 дней. Сколько раз при этом космонавт облетел вокруг Земли? б) Три пятых класса собрали кг макулатуры, 5 А 130 кг, 5 Б в 2 раза больше, сколько кг. Макулатуры собрал 5 В Текст для чтения Главным отличием задачи от примера является не только наличие текста, а наличие части условия или требования, выраженного на естественном (нематематическом) языке, которая требует в процессе решения перевода на математический язык. Например, задание уменьшить сумму чисел 18 и 11 на 9» является текстовой задачей, а задание вычислить ((267-219)+33):3» является примером. Если в текстовой задаче речь идет о реальных объектах, процессах, связях и отношениях, то задача называется сюжетной. Реальные процессы – это движение, работа, покупки, смеси, сплавы и т.д. Сюжетная задача всегда текстовая Сюжетные задачи различают по способам решения Известно несколько различных способов решения текстовых задач. Давайте назовем их 1) Способ рассуждений – самый примитивный способ. Этим способом решаются самые простые текстовые задачи. Его идея состоит в том, что мы проводим рассуждения, используя последовательно все условия задачи, и приходим к выводу, который и будет являться ответом задачи. 2) Основной прием, который используется при решении текстовых задач, заключается в построении таблиц. Таблицы не только позволяют наглядно представить условие задачи или ее ответ, нов значительной степени помогают делать правильные логические выводы входе решения задачи. 3) Решение задачи с конца – алгоритм решения задачи, когда производится обратный расчёт для вычисления каких-либо неизвестных данных на основе уже известного конечного результата. Суть этого метода рассмотрим наследующем примере Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый мальчик даёт другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй мальчик даёт двум другим столько яблок, сколько каждый из них теперь имеет в свою очередь и третий даёт каждому из двух других столько, сколько есть у каждого в тот момент. После этого у каждого из мальчиков оказывается по 8 яблок. Сколько яблок было у каждого мальчика вначале 48 Рассмотрим метод решения задачи с конца с помощью таблицы. НОМЕР МАЛЬЧИКА 1 2 3 Число яблок в конце 8 8 8 Число яблок до передачи их третьим мальчиком 8 : 2 = 4 8 : 2 = 4 8 + 4 + 4 = 16 Число яблок до передачи их вторым мальчиком Число яблок первоначально 2 + 4 + 7 = 13 14 : 2 = 7 8 : 2 = 4 Таким образом, первоначально яблоку первого, второго и третьего мальчиков было соответственно 13, 7 и 4. Таким образом, при решении сюжетных задач, решаемых с конца, необходимо использовать следующий алгоритм 1. Определить конечный результат условия задачи. 2. Определить порядок развития сюжета. 3. Осуществить порядок действий в соответствии с развитием сюжета. 4. Решить задачу с использованием математических операций, взаимообратных указанным в условии задачи. Задания 1. Решите задачу, используя предложенный порядок действий. Сколько математических операций необходимо выполнить для её решения Магия чисел. Я задумал число, прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое число я задумал 2. Выберите из предложенных задач сюжетные задачи, решаемые с конца и их решите: а) Это старинная задача. Крестьянка пришла на базар продавать яйца. Первая покупательница купила у нее половину всех яиц и еще половину яйца. Вторая покупательница приобрела половину оставшихся яиц и еще половину яйца. Третья купила всего одно яйцо. После этого у крестьянки не осталось ничего. Сколько яиц она принесла на базар б) Задача из книги Арифметика Леонтия Магницкого. Отец решил отдать сына в учебу испросил учителя Скажи, сколько учеников у тебя в классе Учитель ответил Если придет еще учеников столько же, сколько имею, и полстолько, и четвертая часть, и твой сын, тогда будет у меня сто учеников. Сколько же учеников было в классе в) Я задумал число, отнял 57, разделил на 2 и получил 27. Какое число я задумал 3. Составьте синквейн на тему Задача, Сюжет 4. Приведите примеры использования метода решения задачи с конца в личностном контексте 49 5. Дай совет своему другу, где он может воспользоваться понятием Сюжетная задача. Занятие Задачи на переливание (задача Пуассона) и взвешивание Математические задачи на переливание и взвешивания известны с древности. Сейчас их можно встретить в олимпиадных задачах или в компьютерных играх – головоломках. Классическая задача о фальшивых монетах в последнее время нашла применение в теории кодирования и информации – для обнаружения ошибки в коде. Текст для изучения Задача на переливание Эту задачу связывают с именем знаменитого французского математика, механика и физика Сименона Денни Пуассона. Когда Пуассон был еще очень молоди колебался в выборе жизненного пути, приятель показал ему тексты нескольких задач, с которыми никак не мог справиться сам. Пуассон менее чем за час решил их все до одной. Но особенно ему понравилась задача про два сосуда. Эта задача определила мою судьбу, - говорил он впоследствии. – Я решил, что непременно буду математиком. Рассмотрите задачу Пуассона. Некто имеет 12 пинт вина и хочет подарить из него половину. Ноу него нет сосуда в 6 пинт. У него 2 сосуда. Один в 8, другой в 5 пинт. Спрашивается, каким образом налить 6 пинт в сосуд в 8 пинт Заполним таблицу. № переливаний 0 1 2 3 4 5 6 7 12 л 12 4 4 9 9 1 1 6 5 л 0 0 5 0 3 3 5 0 8 л 0 8 3 3 0 8 6 6 Получаем 7 переливаний. Замечание, если налить сначала в сосуд в 5 пинт, то потребуется 18 переливаний. Рассмотрите общее описание задачи на переливание имея несколько сосудов разного объема, один из которых наполнен жидкостью, требуется разделить ее в каком-либо отношении или отлить какую-либо ее часть при помощи других сосудов за наименьшее число пере- ливаний. В задачах на переливания требуется указать последовательность действий, при которой осуществляется требуемое переливание и выполнены все условия задачи Чаще всего используются словесный способ решения (те. описание последовательности действий) и способ решения с помощью таблиц, где в первом столбце (или строке) указываются объемы данных сосудов, а в каждом следующем — результат очередного переливания. Таким образом, количество столбцов (кроме первого) показывает количество необходимых переливаний. Вопросы для обсуждения - Что такое задача на переливание Опишите е. - Какими основными методами она решается - Зачем нам знать такие задачи и уметь их решать - Где и когда мы сможем воспользоваться этими знаниями Задание 1. Найдите в научной литературе еще способы, которым можно решать такие задачи 17 Текст для чтения 17 Например, метод математического бильярда, Я.И. Перельман в своей книге Занимательная геометрия предложил решать задачи на переливание с помощью умного шарика. Текст для чтения Метод бильярда Всем известна игра бильярд за прямоугольным столом с лузами. Появившись до нашей эры в Индии и Китае, бильярд через много веков перекочевал в европейские страны. В России бильярд стал известен и распространился при Петре I. Игра в бильярд послужила предметом серьезных научных исследований по механике и математике. Задачи на переливание жидкостей можно очень легко решать, вычерчивая бильярдную траекторию шара, отражающегося от бортов стола, имеющего форму параллелограмма Демонстрация учителем решения задачи Имеются два сосуда — трехлитровый и пятилитровый. Нужно, пользуясь этими сосудами, получить 4 литра воды. В нашем распоряжении водопроводный кран и раковина, куда можно выливать воду. Решение. В рассматриваемой задаче стороны параллелограмма должны иметь длины 3 и 5 единиц. По горизонтали будем откладывать количество воды в литрах в литровом сосуде, а по вертикали – в литровом сосуде. На всем параллелограмме нанесена сетка из одинаковых равносторонних треугольников (рис) Бильярдный шар может перемещаться только вдоль прямых, образующих сетку на параллелограмме. После удара о стороны параллелограмма шар отражается и продолжает движение вдоль выходящего из точки борта, где произошло соударение. При этом каждая точка параллелограмма, в которой происходит соударение, полностью характеризует, сколько воды находится в каждом из сосудов. Пусть шар находится в левом нижнем углу и после удара начнет перемещаться вверх вдоль левой боковой стороны параллелограмма до тех пор, пока не достигнет верхней стороны в точке А. Это означает, что мы полностью наполнили водой малый сосуд. Отразившись упруго, шар покатится вправо вниз и ударится о нижний борт в точке В, координаты которой 3 по горизонтали и 0 по вертикали. Это означает, что в большом сосуде 3 литра воды, а в малом сосуде воды нетто есть мы перелили воду из малого сосуда в большой сосуд. Прослеживая дальнейший путь шара и записывая все этапы его движения в виде отдельной таблицы табл, в конце концов, мы попадаем в точку Н, которая соответствует состоянию, когда малый сосуд пуста в большом сосуде 4 литра воды. Таким образом, получен ответ и указана последовательность переливаний, позволяющих отмерить 4 литра воды. Все 8 переливаний изображены схематически в таблице. 51 Задачи на взвешивание – это тип задач, в которых требуется установить тот или иной факт (выделить фальшивую монету среди настоящих, отсортировать набор грузов по возрастанию веса и т. п) посредством взвешивания на рычажных весах без циферблата. Чаще всего в качестве взвешиваемых объектов используются монеты. Реже имеется также набор гирек известной массы. Очень часто используется постановка задачи, требующая определить либо минимальное число взвешиваний, потребное для установления определённого факта, либо привести алгоритм определения этого факта за определенное количество взвешиваний. Реже встречается постановка, требующая ответить на вопрос, возможно ли установление определённого факта за некоторое количество взвешиваний. Часто такая постановка является не очень удачной, так как при положительном ответе на вопрос задача чаще всего сводится к построению алгоритма, а отрицательный почти не встречается. Поиск решения осуществляется путем операций сравнения, причем, не только одиночных элементов, но и групп элементов между собой. Задачи данного типа чаще всего решаются методом рассуждений или блок-схем. |