готовая курсовая 2. Курсоваяработ а по дисциплине Математический анализ Поверхностные интегралы и их приложения Выполнил(а) студент (ка)
Скачать 0.52 Mb.
|
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «МУРМАНСКИЙ АРКТИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (ФГБОУ ВО «МаГУ») Факультет математичеких и естественных наук Кафедра Математики, физики и информационных технологий К У Р С О В А Я Р А Б О Т А по дисциплине «Математический анализ» Поверхностные интегралы и их приложения Выполнил(а) студент (ка): Осокин А.Д. 3БПО-МФ, ФМиЕН Научный руководитель: _____________________ к.п.н., доцент ОглавлениеВведение 3 1.1Определение поверхностного интеграла первого типа 4 1.2 Физические приложения поверхностных интегралов первого типа 9 1.3 Поверхностный интеграл II-го рода 14 1.3.1 Выражение поверхностного интеграла II-го рода через двойной интеграл. 18 1.4 Формула Стокса. 20 1.5 Формула Остроградского 24 1.6 Некоторые приложения формулы Остроградского 26 2.Решение задач, связанных с поверхностными интегралами 31 Заключение 37 Список использованной литературы 38 ВведениеПонятие интеграла возникло ещё несколько веков назад в связи с возрастающими потребностями человечества. Прикладная направленность интегрального исчисления выражается в различного рода, задачах, среди которых задача нахождения длины пути, задача нахождения площадей, объемов и т.д. Особый интерес для исследования представляет поверхностный интеграл. Понятие поверхностного интеграла используют такие задачи как задача нахождения массы поверхности, имеющей поверхностную плотность. Поверхностные интегралы существуют двух видов, это поверхностные интегралы первого и второго рода. С поверхностным интегралом второго рода связаны две формулы, находящие разнообразные применения, в том числе в физических приложениях. Это формулы Стокса и Остроградского-Гаусса. Формула Стокса применяется при нахождении циркуляции векторного поля. Формула Остроградского-Гаусса имеет множество применений, среди которых нахождение объема тела, нахождение потока векторного поля по замкнутой поверхности и т.д. Целью данной работы является исследование поверхностного интеграла первого и второго рода, а также их практического применения. Объектом данной работы является интегральное исчисление функции нескольких переменных. Предметом данной работы является вычисление поверхностных интегралов первого и второго рода. Задачи работы: 1.Систематизировать теоретический материал по данной теме. 2.Рассмотреть определение и свойства поверхностных интегралов первого и второго рода. 3.Выявить практическое применение данного материала в физике. 4.Рассмотреть некоторые примеры задач по применению поверхностных интегралов 5.На основе теоретического и практического материала сделать выводы 1.1Определение поверхностного интеграла первого типаТеория поверхностных интегралов во многом аналогична теории криволинейных интегралов. Рассматриваются интегралы двух типов: поверхностные интегралы I-го и II-го рода, их определения аналогичны соответствующим определениям для криволинейных интегралов, для определения поверхностного интеграла II-го рода на поверхности необходимо задать ориентацию. Как и для криволинейных интегралов, существуют формулы, связывающие поверхностные интегралы I-го и II-го рода. Однако в отличие от кривой, которая определяется заданием одного параметра, для описания поверхности необходимо уже два параметра, поэтому вычисление поверхностных интегралов сводится к вычислению двойного интеграла по области на плоскости (а не определенного интеграла Римана, как для криволинейных интегралов). Поверхностный интеграл I-го рода. В трехмерном пространстве с декартовой системой координат ОXYZ рассмотрим кусочно-гладкую поверхность Ω, ограниченную кусочно-гладкой кривой . В частном случае замкнутой поверхности (например, сферы) ее граница представляет собой пустое множество, а значит также является кусочно-гладкой. Пусть на поверхности Ω задана функция f(M), где – точка на поверхности, а (х, у, z) – ее декартовы координаты. Пусть функция f(M) непрерывна на поверхности Ω, т.е. в ранее введенных обозначениях Зададим разбиение T поверхности Ω с помощью произвольно проведенных кусочно-гладких кривых на части (рис. 1). В каждой из этих частей Ωk выберем по произвольной точке с координатами , и составим интегральную сумму: Рисунок 1. К определению поверхностного интеграла I рода Где – площадь поверхности Ωk. Определение 1. Пусть P и N– произвольные точки части Ωk поверхности Ω. Соединим эти точки дугой γ гладкой кривой, целиком лежащей в Ωk. Обозначим через γ(P, N) длину этой дуги, а через ℓ(P, N) – длину самой короткой дуги, соединяющей точки P и N и целиком лежащей на поверхности Ωk: Диаметром части поверхности назовем величину γ Диаметром dT разбиения T будем называть наибольший из диаметров частей: Определение 2. Поверхностным интегралом I-го рода от функции по поверхности называется предел интегральной суммы (1) при бесконечном увеличении числа n частей разбиения и бесконечном уменьшении диаметра разбиения, если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения T, ни от выбора точек : Для поверхностного интеграла используются и другие обозначения: Сформулируем без доказательства теорему о существовании поверхностного интеграла I-го рода: Теорема 1. Если Ω – непрерывная кусочно-гладкая поверхность, ограниченная кусочно-гладкой кривой Г(Ω), и функция f(M) непрерывна на ней, то поверхностный интеграл I-го рода (2) от функции f(M) существует и определен однозначно. Обратимся теперь к вычислению поверхностного интеграла I-го рода. Теорема 2. Пусть Ω – гладкая поверхность, заданная на ограниченной области D плоскости OXY уравнением: , где , и пусть функция f(M) непрерывна на этой поверхности. В этом случае поверхностный интеграл I-го рода от функции f(M) находится по формуле: Рисунок 2. К доказательству теоремы 2 Доказательство теоремы 2. Спроектируем на плоскость множество кривых, разбивающих поверхность Ω на части Ωk (рис.2). Получим в результате разбиение области D на части . По формуле имеем выражение для площади поверхности Ωk: Это равенство можно преобразовать, применив теорему о среднем для двойного интеграла: где – некоторая точка части , а – площадь этой части. Подставляя формулу (4) в выражение (1) для интегральной суммы, получим: Отметим, что выражение (5) отличается от интегральной суммы двойного интеграла только значениями аргументов частных производных и под знаком квадратного корня. В силу предположения о гладкости поверхности эти частные производные непрерывны на замыкании области D. Тогда и функция также непрерывна на Функция, непрерывная на замкнутой (т.е. содержащей свою границу) ограниченной области является равномерно непрерывной на ней, т.е. для любого значения существует такое , что при диаметре разбиения меньшим δ, разность будет меньше ε . Из непрерывности на поверхности Ω функции f(M) следует, что функция непрерывна, а следовательно, и ограничена на области : Тогда получаем, что при выполнено неравенство поэтому при разность → 0, т.е. пределы интегральных сумм и совпадают: Отсюда и следует утверждение теоремы 2. Замечание. Интегральная сумма (1) для функции равна площади поверхности Ω. Таким образом, площадь поверхности можно найти с помощью поверхностного интеграла I-го рода: (Основано на Калинин В.В., Петрова И.В. К 18 Математика в нефтегазовом образовании. Теория и задачи: Учеб. пособие. − М.: РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2005. Вып. 3. Часть 2: Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы – 121- 126с) |