Экономические задачи. Диплом Кирилл. Квалификационная работа методика обучения решению экономикоматематических задач в средней школе Работу
 Скачать 154.22 Kb.
|
|
Министерство просвещения ПМР ПРИДНЕСТРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Т. Г. ШЕВЧЕНКО Физико-математический факультет Кафедра прикладной математики и информатики КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА Методика обучения решению экономико-математических задач в средней школе Работу выполнил студент 62 группы физико-математического факультета заочного отделения Нигодий Кирилл Научный руководитель старший преподаватель Кимаковская Г.Н. Допущен к защите: зав. кафедрой прикладной математики и информатики, Коровай А.В.___________ «___» ___________ 2019 г. Тирасполь 2  019СОДЕРЖАНИЕ
Введение Перед современной школой стоит задача формирования личности, реализующей свой интеллектуальный потенциал в социуме. В интеллектуальное становление личности неоценимый вклад вносят черты математики, как науки и как учебного предмета. Ведущие ученые и методисты, рассматривая перспективу развития образования, считают, что успех общества зависит от математической науки и уровня математической грамотности всего населения. Поскольку сейчас мы живём во время стремительного развития науки, техники и экономики, то для современного человека приоритетным являются готовность к получению и усвоению новых знаний, способность к анализу ситуаций, принятию решений и умению оценить их эффективность. В связи с этим современные ученые и методисты указывают на необходимость модернизации школьного образования вообще и математического образования в частности. Один из путей модернизации современного образования явилось введение новых образовательных стандартов, согласно которым современный выпускник должен обладать не только высоким уровнем знания предмета, но и умением применять полученные знания для решения практических задач в условиях реальной жизни. В связи с этим ставится вопрос об усилении прикладной направленности обучения математики. Проблема усиления прикладной направленности школьного курса математики в разное время рассмотрена такими учеными, как Г.Д. Глейзер, Г.В. Дорофеев, А.Д. Мышкис и др. Основные методические разработки такого обучения раскрыты в исследованиях и методических работах И.И. Баврина, Н.Я. Виленкина, СИ. Шварцбурда и др. «Практическая направленность курса математики в наше время, - писал академик С.Л. Соболев, - означает, прежде всего, то, что учащихся надо познакомить с соотношениями между явлениями реального или проектируемого мира и его математическими моделями» Одной из возможностей усиления прикладной направленности является увеличение количества задач с экономико-математическим содержанием при изучении различных разделов курса математики средней школы, так как на сегодняшний день решение большинства экономических вопросов основывается на математическом аппарате. На сегодняшний день, когда остро стоит вопрос об экономической грамотности общества, его экономической культуре, выпускники современной школы должны иметь ясное представление об общечеловеческой значимости экономики. Вопросы, связанные с введением различных типов экономическо-математических задач в курс математики средний школы, рассмотрены в научных работах И.И. Баврина, В.М. Монахова, А.С. Симонова, И.М. Шапиро. Тем не менее, не смотря на целесообразность использования в процессе обучения математики в средней школе задач с экономическо-математическим содержанием, которые показывали бы на доступном материале практическое применение математического аппарата, им не уделяется должного внимания. Об этом свидетельствуют анализ школьных учебников математики, а также дидактической и методической литературы, беседы с учителями-предметниками. Необходимость усиления прикладной направленности школьного курса математики, благодаря рассмотрению большего числа задач прикладного характера вообще и задач с экономико-математическим содержанием в частности, при изучении различных тем курса математики средней школы с одной стороны и недостаточное внимание к задачам такого рода с другой, определяет актуальность тематики данного исследования. Проблема исследования состоит в поиске путей обучения решению задач с экономико-математическим содержанием в средней школе. В связи с вышеизложенным, объектом исследования является процесс обучения математике в средней школе. Предмет исследования – методика обучения решению задач с экономико-математическим содержанием в средней школе. Гипотеза исследования состоит в том, что включение экономико-математических задач с соответствующей методикой обучения их решению способствует раскрытию прикладного аспекта курса математики средней школы и, как следствие, повышает эффективность ее обучения. Цель исследования – создание методических материалов для обучения решению задач с экономико-математическим содержанием как одного из видов задач прикладного характера Реализация поставленной цели потребовала решение нижеперечисленных задач. Задачи: 1. Изучение психолого-педагогической и научно-методической литературы по проблеме исследования и определение дидактических и методических возможностей реализации прикладной направленности через решение задач с экономико-математическим содержанием. 2. Проанализировать содержание действующих на территории ПМР школьных учебников математики 5-9 классов на наличие задач прикладного характера и задач с экономико-математическим содержанием. 3. Провести диагностику уровня сформированности у учащихся умения решать задачи с экономико-математическим содержанием, используя основные этапы математического моделирования. 4. Разработать методику обучения решению задач с экономико-математическим содержанием в средней школе. 5. Экспериментально проверить эффективность разработанной методики. Для решения поставленных задач использовалась система взаимосвязанных методов, таких как анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования, анализ программ, учебных пособий и дидактических материалов, беседы с учителями-предметниками и учащимися, наблюдение и обобщение педагогического опыта, экспериментальная проверка разработанной методики и статистическая обработка результатов. Квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения списка литературы и приложения, проиллюстрирована схемами, таблицами и графиками. Глава 1. Роль задач с экономико-математическим содержанием в школьном курсе математики Обучение решению задач с экономико-математическим содержанием, как способ углубления прикладной направленности школьного курса математики средней школы Более глубокому пониманию математики, как науки, изучающей «пространственные формы и количественные отношения реальной действительности», способствует решение задач с практическим содержанием. Благодаря прикладной направленности школьного курса математики у школьника формируется понимание о единстве и целостности, изучаемого мира. Термин «прикладная направленность», заключающийся «…в осуществлении целенаправленной содержательной и методологической связи школьного курса математики с практикой, что предполагает введение в школьную математику специфических моментов, характерных для исследования прикладных проблем математическими методами», был введен В.В. Фирсовым в статье «О прикладной ориентации курса математики» Так же в указанной статье были сформулированы и общие требования, выполнение которых позволяет усилить прикладную ориентацию курса математики, благодаря которой у учащихся формируется правильное представление о математике и ее приложения.[21] О необходимости усиления прикладной направленности школьного курса математики говорят такие ученые, как И.И. Баврин, Г.Д. Глейзер, В.А. Гусев, Ю.М. Колягин и др. [9], [13],[14],[16] Прикладная направленность школьного курса математики обусловлена рядом психолого-педагогических особенностей учащихся старшего школьного возраста. В этот период у большинства учеников идет процесс самоопределения, они начинают рассматривать обучение в школе как создание базы для получения будущей профессии и поэтому к изучению предметов, необходимых для получения дальнейшего образования, учащиеся проявляют большую заинтересованность. Если ребёнок для себя определил важность изучаемого предмета, то он будет более активным и сосредоточенным при его изучении. Если же ученик пришел к выводу, что изучаемый предмет в дальнейшей жизни не пригодится, то внимание к его изучению ослабевает. Очень важно, чтобы учитель мог показать взаимосвязь своего предмета с повседневной жизнью, его практическую значимость. Одним из основных средств, благодаря которым учащиеся могут увидеть прикладной характер математики, является решение задач с практическим содержанием (задачи прикладного характера). Терешин Н.А. определяет прикладную задачу, как задачу, сформулированную вне математики и решаемую математическими средствами. Другими словами задача прикладного характера это «математическая задача, фабула которой раскрывает приложения математики в окружающей нас действительности, в смежных дисциплинах, знакомит с ее использованием в организации, технологии и экономике современного производства, в сфере обслуживания, в быту, при выполнении трудовых операций» К задачам прикладного характера, как указывает И.М. Шапиро, наряду с общими требованиями к математическим задачам естественно предъявить и дополнительные требования, такие как: а) познавательная ценность задачи и ее воспитывающее влияние на учеников; б) доступность школьникам используемого в задаче нематематического материала; в) реальность описываемой в условии ситуации, числовых значений данных, постановки вопроса и полученного решения [23, с.5] Математическая задача с экономическим содержанием представляет собой частный случай задач с практическим содержанием и прикладных задач, так как условие этих задач сформулировано вне математики (в терминах экономики), а решается она математическими средствами (путем построения математической модели). На современном этапе социально-экономического развития общества, вопрос об экономической культуре и общеэкономической грамотности выпускников школ, является актуальным. В связи с этим, появился целый ряд исследований, посвященные методике обучения решению экономико-математических задач. Эти исследования охватывают следующий круг вопросов: 1. Разработка математического аппарата для углубленного изучения курса экономики учащимися 10-11 классов, включающего в себя матричное исчисление, элементы линейной алгебры, теорию вероятностей и элементы теории графов, математическую логику и теорию игр. Изучение этих разделов математики, позволяет углубить знания учащихся, расширить их кругозор, демонстрирует широту применения математических методов для решения прикладных (и в частности, экономических задач). Данный материал рекомендуется рассматривать на кружковых и факультативных занятиях с теми учащимися, которые свою будущую профессию видят в сфере экономики. 2. Разработка материалов экономической тематики, которые можно использовать на уроках математики для изучения тех или иных понятий, утверждений, свойств. [11, c.5] Ряд работ, посвященных анализу на наличие экономической составляющей курсов линейной алгебры, математического анализа, теории вероятностей и математической статистики, изучаемых в ВУЗах. Кроме того, рассматриваются вопросы об использовании информационно-коммуникационных технологий (ИКТ) при решении целого ряда экономико-математических задач, как в школе, так и в вузе. В этих работах рассматриваются вопросы преемсnвенности «школа-ВУЗ» и говорится о необходимости повышения экономической культуры, как школьников, так и студентов. Другими словами, в школе изучение элементов экономики может проходить двумя путями: во-первых, в рамках стандартной программы по математике, не требуя привлечения нового математического материала и, во-вторых, путем добавления некоторых разделов элементарной математики в основной курс школьной математики. Решение экономико-математических задач может осуществляться как в классно-урочной, так и во внеурочной деятельности, но все же основная часть изучаемого материала должна быть изучена на уроках. Целью обучения учащихся математическим задачам с экономическим содержанием является следующее: 1. Математические задачи с экономическим содержанием позволяют продемонстрировать учащимся наличие связей математики и экономики. Решая задачи с экономико-математическим содержанием учащиеся знакомятся с математическим смыслом некоторых экономических понятий, учатся анализировать реальные ситуации и применять математический аппарат для их описания. Использование реальных экономических задач при изучении школьного курса математики способствует преодолению формализма в преподавании математики и развитию интереса к ее изучению. 2. Решение экономико-математических задач способствует формированию экономического образа мышления, которое включает в себя оперативность, гибкость, критичность, умение анализировать обстановку, находить пути выхода из критических ситуаций. Эти качества у школьников формируются благодаря развитию таких умений, как составлять математические модели, выбирать рациональный метод решения задачи, оценивать оптимальность решения. Таким образом, решение экономическо-математических задач в структуре изучения математики способствует формированию экономической культуры школьников 3. При решении экономико-математических задач, учащиеся воспитывают в себе такие качества личности, как предприимчивость, инициативность, компетентность, способность к разумному риску и умение оценить его уровень, способность воспринимать новые идеи и т.д. 1.2. Использование методов математического моделирования при решении задач с экономико-математическим содержанием Содержание математики часто определяют как систему математических моделей и инструментов для их создания. Общее определение математических моделей – это математическое представление реальности. В настоящее время понятия модели и моделирования – это одни из самых широко распространённых в литературе . Не исключением являются задачи с экономико-математическим содержанием, процесс решения которых опирается на моделирования, как и любых других задач прикладного характера. Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей Главная особенность моделирования заключается в том, что это — метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов познания. Математические модели относятся к классу знаково-символических, так как могут состоять из чисел, матриц, уравнений, функций, их графиков и т.д. С понятием математического моделирования и методики использования математических моделей в преподавании математики в средней школе, связаны работы таких авторов, как В.И. Арнольд [8], О.О. Замков [5], Л.М. Фридман [22] и др. Принятое решение экономических задач с помощью построения математических моделей называется экономико-математическим моделированием. Математические модели при решении экономических задач могут использоваться в таких целях, как изучение объекта или систем объектов, прогнозирования их поведения, принятие оптимальных решений для достижения поставленных целей. В литературе нет единой классификации моделей, используемых для решения экономико-математических задач, однако их можно разделить на следующие группы: По целевому назначению модели делятся на теоретико-аналитические, исследующие закономерности процессов и прикладные, применяемые для решения конкретных задач управления анализа, прогнозирования и планирования. Постепени охвата объектов изучения, модели делятся на макроэкономические и микроэкономические. Первые позволяют изучать экономику, как единое целое, а вторые являются моделями функционирования отдельных предприятий и организаций. По цели применения модели делятся на: балансовые модели, выражающие требование соответствия наличия ресурсов и их использования; трендовые модели, в которых развитие моделируемой системы отражается через тренд (длительную тенденцию) ее основных показателей; оптимизационные модели, предназначенные для осуществления выбора наилучшего варианта из ограниченного множества возможных вариантов. 4) имитационные модели, предназначенные для использования в процессе машинной имитации изучаемых систем или процессов и др. По типу информации, используемой в моделях, они делятся на аналитические, построенные на априорной информации, и идентифицируемые, построенные на апостериорной информации. По учету фактора неопределенности модели можно разделить на детерминированные, если в них результаты на выходе однозначно определяются управляющими воздействиями, и стохастические (вероятностные), если при задании на входе модели определенной совокупности значений на ее выходе могут получаться различные результаты в зависимости от действия случайного фактора. По учету фактора времени модели подразделяются на статические, в которых все зависимости отнесены к одному моменту времени, и динамические, описывающие систему в развитии во времени. Математические модели могут классифицироваться также по характеристике математических объектов, включенных в модель, по типу математического аппарата, используемого в модели. По этому признаку могут быть выделены матричные модели, модели линейного и нелинейного программирования, корреляционно-регрессионные модели, модели теории игр и т. д. По типу подхода к изучаемым социально-экономическим системам можно подразделить модели на дескриптивные (описательные) и нормативные. Дескриптивный подход в моделировании предполагает создание модели, предназначенной для описания и объяснения, фактически наблюдаемых явлений, и/или для прогноза этих явлений. Трендовые модели - яркий пример именно дескриптивных моделей. При нормативном подходе исследователя, управленца интересует не столько то, каким образом устроена и как развивается система, а то, как она должна быть устроена и как должна функционировать в смысле выполнения определенных критериев. Оптимизационные модели, например, по смыслу относятся к нормативным моделям. Существует несколько подходов к выделению количества этапов решения экономико-математических задач. Так, Н.А. Терешин выделяет следующие основные этапы решения задачи: формализация - решение задачи внутри математической модели - интерпретация.[20] На первом этапе - формализации, происходит переход от текста условия задачи, описывающего реальную ситуацию ситуации к построению формальной математической модели. Для того , чтобы учащиеся были в состоянии осуществить такой переход, они должны уметь анализировать полноту , имеющихся у них данных в условии, выделять основные взаимосвязи между компонентами условия и выражать на математическом языке. На втором этапе задача решается "внутри математической модели". На этом этапе учащиеся должны уметь выбирать наиболее рациональный метод решения, разбивать сложные задачи на подзадачи. На третьем этапе - интерпретации, учащиеся должны научиться переходить к от математической модели обратно к исследуемой ситуации, быть в состоянии интерпретировать результаты, полученные в ходе второго этапа. Л.М. Фридман процесс решения задачи разбивает на восемь этапов: анализ задачи; схематическая запись задачи; поиск способа решения задачи; осуществление решения задачи; проверка решения задачи; исследование задачи; формулировка ответа задачи; познавательный анализ решения задачи. Приведенный перечень взглядов на процесс решения задачи позволяет говорить об отсутствии особых противоречий в толковании его этапов. Однако, наиболее приемлемой для решения задач с экономическо-математическим содержанием на уроках алгебры именно в основной школе представляется последовательность этапов моделирования, которая была предложена группой ученых под руководством О.О. Замкова . [15, c.3]: Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ. Формулировка предмета и цели исследования. Выделение в рассматриваемой экономической системе функциональных или структурных элементов и их наиболее важных характеристик. Этот этап включает выделение важнейших черт и свойств моделируемого объекта и абстрагирование от второстепенных; изучение структуры объекта и основных зависимостей, связывающих его элементы. 3. Словесное качественное описание взаимосвязей между элементами модели. Здесь формулируется предварительная гипотеза поведения и развития исследуемого объекта. 4. Введение символических обозначений и формализация взаимосвязей (построение математической модели). Это - этап формализации экономической проблемы, выражения ее в виде конкретных математических зависимостей и отношений (функций, уравнений, неравенств и т.д.). На этом этапе математического моделирования добывается и оценивается необходимая для построения модели информация, делаются необходимые упрощения, разрабатывается общая схема модели, выбирается язык ее формального описания, и конструируется соответствующая математическая модель. Таким образом, построение модели подразделяется в свою очередь на несколько стадий. В результате этапа формализации математическая модель оказывается представленной в виде математических символов, связанных математическими и логическими соотношения. 5. Проведение расчетов по математической модели. При этом оттачиваются навыки работы с новыми математическими понятиями, отрабатываются уже известные правила, понятия, формулы или создаются новые. 6. Анализ и интерпретация полученных результатов. На этом этапе учащиеся учатся соотносить полученные результаты моделирования с реальностью. Анализ и интерпретация математических результатов образуют самостоятельный этап исследования. Будучи заключительным этапом, открывающим прямой выход в практику, он должен завершаться четкими, компактно сформулированными ответами на вопросы, поставленные реальной задачей, для выяснения которых и было предпринято исследование. Задачи прикладного характера, которые требуют аргументированного ответа, полученного в результате расчетов по математической модели, способствуют возрастанию интереса к изучению математики. Одна из важных особенностей математических моделей — потенциальная возможность их использования для решения разнокачественных проблем. Поэтому, даже сталкиваясь с новой экономической задачей, не нужно сразу стремиться «изобретать» новую математическую модель; вначале необходимо попытаться применить для решения этой задачи уже известные модели. Рассмотрим использование данной последовательности построения различных моделей для решения некоторых прикладных задач с экономическим содержанием. Задача 1. Вкладчик открыл счёт в банке и положил на него 12000 рублей на два года без возможности пополнения счёта и снятия денег. По условиям вклада ровно через год банк начисляет 12,5% годовых. Какой будет сумма по истечении срока? На сколько увеличится вклад за два года. Решение: 1 этап. Предмет исследования - функционирование денежного капитала. Цель исследования - нахождение суммы капитала через определенный промежуток времени. 2 этап. Структурные элементы, соответствующие данной экономической ситуации: первоначальный капитал; годовая процентная ставка; способ начисления — простые проценты; срок вложения. 3 этап. Наращенная сумма получается путем сложения начального вклада и дохода, полученного от вложения денег. Ввиду того, что в данной ситуации полученный доход зависит от времени, логично выстроить динамическую модель. 4 этап. Обозначим через  — первоначальный капитал, р - процентнаяставка, п - количество полных лет, Sn- сумма капитала с начисленными процентами на конец п -го года. Тогда по истечении одного года сумма начисленных процентов составит  рублей, а величина вклада  рублей.Так как проценты, начисляемые по вкладу, простые, то в течении последующих лет они будут начисляться лишь на первоначальную сумму, а значит доход за n лет составит  , а общая сумма  рублей.Данная формула является математической моделью данной экономической задачи. 5 этап. Проведем расчеты для конкретной задачи. Т.к.  , то  рублей.6 этап. Сумма вклада через 2 года будет равна 15 000 рублей, то есть вклад вырастет на 3 000 рублей. Построенная выше динамическая модель является микроэкономической, балансовой и прикладной. Определим ее существенные характеристики: математической моделью рассмотренной финансовой задачи является формула простых процентов; балансовый характер задачи позволяет вычленить из основной модели искомый элемент; динамичность модели демонстрирует возможность определения «временной» стоимости денег. Выделенные этапы решения задачи служат той ориентировочной основой опираясь на которую учитель сможет управлять учебной деятельностью учащихся по решению задачи. Задача 2. Фонд заработной платы на предприятии с численностью персонала менее 40 человек составляет 480 тыс. р. В результате увеличения персонала на 15 человек и роста заработной платы на 3 тыс. р., фонд зарплаты вырос на 375 тыс. р. Решение: Необходимо рассчитать: 1) численность персонала предприятия на данный момент; 2) величину средней заработной платы. 1этап. Предмет исследования - фонд заработной платы. Цель исследования заключается в определении средней заработной платы и фактической численности работающего персонала. этап. Структурные элементы рассматриваемой экономической системы: средняя заработная плата; численность персонала на предприятии; фонд заработной платы. этап. При решении поставленной задачи необходимо построить экономическую модель, отражающую зависимость фонда заработной платы от численности персонала предприятия и средней заработной платы. этап. В соответствии с вопросом задачи обозначим через  первоначальную численность персонала предприятия и через у первоначальнуюсреднюю заработную плату. Условие задачи можно записать следующим образом.  этап. Решая систему из двух уравнений с двумя неизвестными, получи   этап. Решая систему из двух уравнений с двумя неизвестными, получи   Полученная система имеет два решения (60;6) и (30;16). Так как по условию задачи х < 40, значит х = 30. Следовательно: 1) x+15=30+15=45 и 2)  .6 этап. Итак: 1) новая численность персонала - 45 человек; 2) средняя заработная плата теперь равна 19 тыс. р. Рассмотрение решения данной задачи показало, что при изучении квадратных уравнений в VIII классе можно использовать прикладные задачи с экономическим содержанием. Указанная модель обладает следующими особенностями: содержит четко поставленную цель исследования — определение средней заработной платы в зависимости от численности персонала; использует квадратное уравнение в качестве математической модели для исследования экономического процесса. Решение рассмотренных выше задач основано на применении различных математических моделей, однако сам ход решения, основанный на использовании этапов моделирования, предложенных О.О. Занковым, является общим. Это позволяет сделать вывод о целостности технологической цепочки моделирования, способствующей формированию у школьников умений и навыков, которые понадобятся им как в будущей профессиональной деятельности, так и в повседневной жизни. Использование указанных этапов построения математической модели и ее исследования позволяет - эффективнее усвоить осуществление перехода от словесной формулировки текста условия задачи к ее математической модели; - научиться выделять существенные характеристики изучаемого объекта и абстрагироваться от второстепенных; - определять структурные элементы экономических ситуаций; интерпретировать полученные результаты. Таким образом, решение задач с экономико-математическим содержанием, основываясь на основных этапах математического моделирования, дает возможность учащимся решать экономические задачи на уроках математики. Решение данного класса задач выполняет такие функции , как познавательная, интерпретационная, ориентировочная и контролирующая функции, функция повторения и обобщения учебного материала, этическая и эстетическая функции. Метод математического моделирования в процессе обучения математике позволяет комплексно охватить мыслительные операции, такие, как сравнение, синтез, анализ, обобщение, классификация, а также способствует развитию творческого мышления, возрастающего познавательного, мотивирующего интереса к изучению математики. Краткие выводы по главе 1 Анализ научно-педагогической и методической литературы показал, что обучение решению задач с экономико-математическим содержанием, позволяет усилить прикладную направленность школьного курса математики. Прикладной характер задач, решаемых в ходе ученого процесса позволяет продемонстрировать учащимся взаимосвязь математики с реальной действительностью, возможность ее использования в будущей профессии, тем самым активизируя внимание учащихся, их исследовательскую деятельность и усиливая интерес к изучаемому предмету. Решая задачи с экономико-математическим содержанием, школьники учатся элементам ситуационного анализа, прогнозирования, повышая свою экономическая культуру. Обучение решению прикладных задач с экономико-математическим содержанием дает возможность на практике овладеть основними этапами математического моделирования реальних процессов с целью их исследования и без ущерба для овладения материалом, рассматриваемом на уроках математики. |