СС. Практические работы _Системы счисления_. Методическая разработка предназначена для студентов 1 курса очной формы обучения. Содержит практические работы с инструкциями по их выполнению, набор упражнений для самостоятельного изучения материала.
 Скачать 180.5 Kb.
|
|
Введение Данное пособие составлено с учетом требований государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования по дисциплине «Информатика» и программы курса. Методическая разработка предназначена для студентов 1 курса очной формы обучения. Содержит практические работы с инструкциями по их выполнению, набор упражнений для самостоятельного изучения материала. Перечень практических работ охватывает курс по теме «Системы счисления». Для обмена информацией с другими людьми человек использует естественные языки (русский, английский). Наряду с естественными языками были разработаны формальные языки (системы счисления, язык алгебры). Работы содержат блок общеобразовательных знаний, поэтому могут быть использованы для преподавания информатики студентам, обучающимся по различным специальностям. Пособие ставит своей целью оказание помощи студентам очного отделения в организации самостоятельной работы по овладению системой знаний, умений и навыков в объеме действующей программы. Позиционные системы счисления Основные достоинства любой позиционной системы счисления — простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов (цифр), необходимых для записи любых чисел. Основанием позиционной системы счисления называется возводимое в степень целое число, которое равно количеству цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. Основание показывает также, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию. Возможно множество позиционных систем, так как за основание системы счисления можно принять любое число не меньшее 2. Наименование системы счисления соответствует ее основанию (десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и т. д.).
Десятичная система характеризуется тем, что в ней 10 единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего старшего разряда. Другими словами, единицы различных разрядов представляют собой различные степени числа 10. В системе счисления с основанием q (q-ичная система счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа q, иначе говоря, q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда. Для записи чисел в q-ичной системе счисления требуется q различных цифр (0,1,...,q-1). В позиционной системе счисления любое вещественное число в развернутой форме может быть представлено в следующем виде:
Здесь А — само число, q — основание системы счисления, ai —цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления, n — число целых разрядов числа, m — число дробных разрядов числа. Свернутой формой записи числа называется запись в виде
Именно такой формой записи чисел мы и пользуемся в повседневной жизни. Иначе свернутую форму записи называют естественной или цифровой. Пример 1. Десятичное число А10=4718,63 в развернутой форме запишется так: А10=4·103+7·102+1·101+8·100+6·10-1+3·10-2 Пример 2. Двоичная система счисления. В двоичной системе счисления основание q=2. В этом случае формула (2.4) принимает вид: А2= ± (an-12n-1+an-22n-2+...+a020+a-12-1+a-22-2+...+a-m2-m) Здесь аi — возможные цифры (0, 1). Итак, двоичное число представляет собой цепочку из нулей и единиц. При этом оно имеет достаточно большое число разрядов. Быстрый рост числа разрядов — самый существенный недостаток двоичной системы счисления. Записав двоичное число А2=1001,1 в развернутом виде и произведя вычисления, получим это число, выраженное в десятичной системе счисления: А2=1·23+0·22+0·21+1·20+1·2-1 = 8+1+0,5 = 9,510. Пример 3. Восьмеричная система счисления. Основание: q=8. Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Записав восьмеричное число А8=7764,1 в развернутом виде и произведя вычисления, получим это число, выраженное в десятичной системе счисления: А8=7·83+7·82+6·81+4·80+1·8-1 = 3584 + 448 + 48 + 4 + 0,125 = 4084,12510 Пример 4. Шестнадцатеричная система счисления. Основание: q=16. Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое обозначение 0,1, …9. Для записи остальных цифр (10, 11, 12, 13, 14 и 15) обычно используются первые пять букв латинского алфавита. Таким образом, запись 3АF16 означает: 3АF16 = 3·162+10·161+15·160 = 768+160+15 = 94310. Пример 5. Запишем начало натурального ряда чисел в десятичной и двоичной системах счисления:
Задания для самостоятельного выполнения 1. Какой числовой эквивалент имеет цифра 6 в числах:
2. Сравните числа III и 111, записанные в римской и десятичной системах счисления. 3. Какие числа записаны римскими цифрами: а) MCMXCIX; б) CMLXXXVIII; в) MCXLVII? 4. Запишите год, месяц и число своего рождения c помощью римских цифр. 5. Некоторые римские цифры легко изобразить, используя палочки или спички. Ниже написано несколько неверных равенств. Как можно получить из них верные равенства, если разрешается переложить с одного места на другое только одну спичку (палочку)? VII - V=XI IX-V=VI VI - IX=III VIII - III=X 6. Заполните следующую таблицу:
7. Заполните следующую таблицу:
8. Запишите в развернутом виде числа:
9. Запишите в свернутой форме следующие числа:
10. Правильно ли записаны числа в соответствующих системах счисления:
11. Какое минимальное основание имеет система счисления, если в ней записаны числа 127, 222, 111? Определите десятичный эквивалент данных чисел в найденной системе счисления. 12. Чему равен десятичный эквивалент чисел 101012, 101018 1010116? 13. Трехзначное десятичное число оканчивается цифрой 3. Если эту цифру переместить на два разряда влево, т.е. с нее будет начинаться запись нового числа, то это новое число будет на единицу больше утроенного исходного числа. Найдите исходное число. 14. Шестизначное десятичное число начинается слева цифрой 1. Если эту цифру перенести с первого места слева на последнее место справа, то значение образованного числа будет втрое больше исходного. Найдите исходное число. 15. Какое из чисел 1100112, 1114, 358 и 1В16 является: а) наибольшим; б) наименьшим. 16.Существует ли треугольник, длины сторон которого выражаются числами 128, 1116 и 110112? РЕШЕНИЕ переведем все числа в 10-ную сс • 12₈=2*8⁰+1*8¹=2+8=10₁₀ • 122₃=2*3⁰+2*3¹+1*3²=2+6+9=17₁₀ • 11011₂=1*2⁰+1*2¹+0*2²+1*2³+1*2⁴=1+2+8+16=27₁₀ _____ условие существования треугольника: любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. проверяем: a b c => данный треугольник существовать не может 17. Какое наибольшее десятичное число можно записать тремя цифрами в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления? 18. "Несерьезные" вопросы. Когда 2×2=100? Когда 6×6=44? Когда 4×4=20? 19. Выпишите целые десятичные числа, принадлежащие следующим числовым промежуткам:
20. В классе 11112 девочек и 11002 мальчиков. Сколько учеников в классе? 21. В классе 36q учеников, из них 21q девочек и 15q мальчиков. В какой системе счисления велся счет учеников? 22. В саду 100q фруктовых деревьев, из них 33q яблони, 22q груши, 16q слив и 5q вишен. В какой системе счисления посчитаны деревья? 23. Было 100q яблока. После того как каждое из них разрезали пополам, стало 1000q половинок. В системе счисления с каким основанием вели счет? 24. У меня 100 братьев. Младшему 1000 лет, а старшему 1111 лет. Старший учится в 1001 классе. Может ли такое быть? 25. Некогда был пруд, в центре которого рос один лист водяной лилии. Каждый день число таких листьев удваивалось, и на десятый день вся поверхность пруда уже была заполнена листьями лилий. Сколько дней понадобилось, чтобы заполнить листьями половину пруда? Сколько листьев было после девятого дня? Практическая работа № 1. Перевод чисел в позиционных системах счисления. Можно сформулировать алгоритм перевода целых чисел из системы с основанием p в систему с основанием q: 1. Основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления. 2. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя. 3. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления. 4. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка. Пример 1. Перевести десятичное число 17310 в восьмеричную систему счисления:
Получаем: 17310=2558 Пример 2. Перевести десятичное число 17310 в шестнадцатеричную систему счисления:
Получаем: 17310=AD16. Пример 3. Перевести десятичное число 1110 в двоичную систему счисления. Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) удобнее изобразить так:
Получаем: 1110=10112. Пример 4. Иногда более удобно записать алгоритм перевода в форме таблицы. Переведем десятичное число 36310 в двоичное число.
Получаем: 36310=1011010112 Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую Можно сформулировать алгоритм перевода правильной дроби с основанием p в дробь с основанием q: 1. Основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления. 2. Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или будет достигнута требуемая точность представления числа. 3. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления. 4. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения. Пример 1. Перевести число 0,6562510 в восьмеричную систему счисления.
Получаем: 0,6562510=0,528 Пример 2. Перевести число 0,6562510 в шестнадцатеричную систему счисления.
Получаем: 0,6562510=0,А816. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||