Виды условных уравнений. Некоторые виды условных уравнений в тригонометрических сетях

• Название: Некоторые виды условных уравнений в тригонометрических сетях
• Анкор: Виды условных уравнений
• Дата: 13.01.2022
• Размер: 95.78 Kb.
• Имя файла: Vidy_uslovnykh_uravneniy.docx
• Тип: Документы; #330099

НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ УСЛОВНЫХ УРАВНЕНИЙ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СЕТЯХ

Рассмотрим виды условий, которые встречаются при уравнивании углов в некоторых простейших фигурах триангуляции. Эти условия будут иметь место в фигурах решенных ниже задач и в заданиях контрольной работы №4.

Будем обозначать измеренные значения углов буквами у₁, у₂, …, у_n, а поправки к измеренным значениям углов - буквами υ₁, υ₂, …,υ_n.
I . Условие фигуры (треугольника)

Если в плоском треугольнике измерены и уравнены

три угла: 1, 2 и 3 (рис.1), то с уравненными значениями

углов условие фигуры будет:

̅у₁+ ̅у₂+ ̅у₃ - 180=0. (1)

Заменив уравненные значения углов измеренными, найдем невязку:

у₁+ у₂+ у₃ - 180=W. (2)

Подставив в уравнение (1) вместо уравненных значений углов измеренные значения с соответственными поправками, получим:

у₁+ υ₁+ у₂+ υ₂+ у₃+ υ₃ - 180=0. (3)

С учетом (2) условные уравнения фигуры будет иметь вид

υ₁+υ₂+ υ₃+ W =0. (4)

II. Условие горизонта

С умма уравненных углов при точке 0 (рис.2)

должна быть равна 360, т.е.

̅у₁+ ̅у₂+ ̅у₃+̅у₄ - 360=0, (5)

но с измеренными значениями углов получим:

у₁+у₂+у₃+у₄ - 360= W. (6)

Если в уравнение (5) подставить измеренные значения углов с поправками, будем иметь:

у₁+ υ₁+ у₂+ υ₂+ у₃+ υ₃+ у₄+ υ₄ - 360=0. (7)

С учетом уравнения (6) условное уравнение горизонта представится в следующем виде:

υ₁+ υ₂+ υ₃+ υ₄ + W = 0. (8)

III. Условие станции

Условие станции возникает в случае, когда кроме

отдельных углов измеряется их сумма (рис.3). При этом

должно соблюдаться условие:

̅у₁+ ̅у₂ - ̅у₃ =0. (9)

Условное уравнение станции будет иметь вид:

υ₁+ υ₂ - υ₃+W = 0, (10)

где W= у₁+ у₂- у₃. (11)

IV. Условие суммы (условие твердого угла)

Если при точке Д дан твердый, т.е. не подлежащий

изменению, угол АДС (рис.4), то сумма уравненных

углов должна равняться этому твердому углу. В данном

случае:

̅у₃+̅у₆ - < АДС=0. (12)

Условное уравнение суммы будет иметь вид:

υ₃+ υ₆+ W = 0, (13)

где W = у₃+ у₆ - < АДС. (14)

V. Условие сторон (базисов)

У словие сторон применительно к рис.4 выражает требование, чтобы значение стороны СД=S₂, вычисленное путем решения треугольников АВД и ВДС по уравненным углам и первой твердой стороне АД=S₁, равнялось твердому значению той же стороны ДС. Это условие можно записать так:

, (15)

где у_i– измеренные значения углов;

υ_i– поправки к измеренным углам.

После приведения к линейному виду условное уравнение сторон будет иметь вид:

∆ ₁ υ₁ - ∆₂ υ₂+∆₄ υ₄ - ∆₅ υ₅+ W=0, (16)

где - изменение функции lgSin у_iс изменением угла на 1". В семизначных таблицах логарифмов для этой функции приведена табличная разность на 10", поэтому:

.
Свободный член (невязка) уравнения (16):

. (17)
Невязка W вычисляется, как разность суммы логарифмов числителя и суммы логарифмов знаменателя в единицах последнего знака логарифмов. Для углов, меньше 90^◦, величина ∆_i имеет знак плюс, а для углов больше 90^◦ - знак минус.

Правило составления базисного условного уравнения:

1) выбирают направление подхода от одного базиса к другому (см. рис.4).

2) выписывают номера углов, лежащих против «передних» по ходу сторон в каждом треугольнике (1, 4);

3) то же самое делают для «задних» углов (2, 5);

4) пишут условные уравнения в общем виде типа (15), а затем в линейном виде (16);

5) находят ∆_i и вычисляют свободный член (невязки) по формуле (17).

Коэффициенты ∆_iи невязку W_i вычисляют в специальной таблице.

V I. Условие полюса

Условие полюса возникает в том случае, когда из

одной точки, называемой полюсом, измерены

направления на все вершины какой-либо замкнутой

фигуры (рис.5). Сущность его заключается в том, что в результате последовательного решения треугольников необходимо получить из решения последнего треугольника то же значение исходной стороны, которое

было принято при решении первого треугольника.

Полюсное условие составляется так, как и базисное (сторон), но базисы в вычислениях не участвуют.

В центральной системе (рис.5) полюсом может быть, как центральная точка 0, так и любая из остальных точек А, В, С. Если принять за полюс точку 0, то условное уравнение в линейном виде представляется формулой:

- ∆₂ υ₂+∆₃ υ₃ - ∆₄ υ₄+∆₆ υ₆ - ∆₇ υ₇+∆₈ υ₈+ W=0, (18)

г де . (19)