«Окружность в курсе геометрии 7-9 классов. Вписанная и описанная окружности. Центральные и вписанные углы. Разбор задания 10 ОГэ. Выступление. Окружность в курсе геометрии 79 классов. Вписанная и описанная окружности. Центральные и вписанные углы. Разбор задания 10 огэ Учитель мбоу сош 2 п. Гигант Н. Г. Курбанова(Попова)24. 10. 17
 Скачать 211 Kb.
|
|
Выступление на МО учителей математики по теме «Окружность в курсе геометрии 7-9 классов. Вписанная и описанная окружности. Центральные и вписанные углы. Разбор задания 10 ОГЭ» Учитель МБОУ СОШ №2 п.Гигант Н.Г. Курбанова(Попова)24.10.17 Окружность душа геометрии. Познайте окружность, и вы не Познайте окружность, и вы не только познаете геометрию, но и только познаете геометрию, но и возвысите душу свою… возвысите душу свою… И.Ф. Шарыгин Ведущей целью школьного математического образования является интеллектуальное развитие и формирование качеств мышления обучающихся, необходимых для полноценной адаптации к современной жизни. Наша задача дать равную возможность каждому выпускнику 9-го класса получить качественную подготовку к экзамену по математике, освоить тот объём знаний, умений и навыков, который необходим девятикласснику для успешной сдачи ОГЭ и решения пойти учиться дальше, или продолжить своё образование в средней школе. Обучающиеся, родители, учителя-предметники – все, заинтересованы в получении хороших результатов. Поэтому каждый педагог ищет в своей работе наиболее эффективные формы, методы и технологии обучения. Известно, что способность учащихся решать геометрические задачи прямо пропорциональна знанию теории, правильному построению и чтению чертежа, количеству решаемых на уроке задач. Количество переходит в качество при системном повторении и закреплении отдельных приемов решения. Осуществлять это можно с помощью задач на готовых чертежах. Это значительно увеличивает темп урока и объем решаемых задач. Чертежи могут использоваться как для устной работы, так и для различных видов контроля. Многие учителя математики сталкиваются с тем, что на изучение темы «Окружность» отводится недостаточно времени. Но можно вводить задачи, позволяющие закреплять знания и развивать навыки работы с окружностью при изучении других тем курса геометрии. С окружностью учащиеся впервые знакомятся в 5 классе. Вводятся понятия центр, радиус, диаметр. Они учатся строить окружность заданного радиуса и точки, удаленные от двух заданных точек на заданное расстояние. Все это позволяет начать работу по закреплению понятий центр, радиус, диаметр несколько раньше, чем это предусмотрено учебником Л.С. Атанасян. По учебнику Л.С. Атанасян окружность изучается в 7 классе в главе II §4 «Задачи на построение». На его изучение отводится 3 часа. Понятно, что этого времени недостаточно для того, чтобы вместе с задачами на отработку определения окружности и ее элементов отработать и задачи на построение. Но весь материал, изучаемый в теме «Окружность», основан на нахождении элементов в равных или подобных треугольниках. Поэтому в своей работе я ориентирую учащихся на способ решения задач, который называю «ищи треугольник». Даже в случае, когда учащийся забывает какое-то свойство окружности, хорд и касательных, он может решать задачу, используя знания о треугольнике. Поэтому с окружностью нужно начать работать раньше. Например, при изучении первого признака равенства треугольников, рекомендуется после доказательства теоремы разобрать как можно больше задач на готовых чертежах, как наглядное применение первого признака к нахождению равных треугольников, отрезков, углов. Такие задачи на готовых чертежах развивают наглядное представление об окружности и ее элементах, развивают мышление, способность достраивать недостающие элементы фигур и позволяют коротко формулировать условие и вопрос задачи, что экономит время на уроке. К тому же у учащихся постепенно формируется представление об окружности, как фигуре, несущей дополнительные условия к задаче – например, равенство сторон треугольника, являющихся радиусами окружности. При таком закреплении навыка нахождения равных треугольников, отрезков, углов, закрепляются и понятия радиус, диаметр окружности, центр. Можно продолжить закрепление знаний по теме «Окружность» при изучении признаков параллельности прямых, теоремы о сумме углов треугольника, неравенства треугольника, признаков равенства прямоугольных треугольников. В 8 классе при изучении главы VIII«Окружность» учащиеся знакомятся с касательной к окружности, центральными и вписанными углами, четырьмя замечательными точками треугольника, вписанной и описанной окружностями. Уровень сложности теоретического материала такой, что учитель имеет возможность в большей степени опираться на самостоятельную работу учащихся с учебником. Но теоретические сведения, изложенные в параграфах главы, необходимо пополнить. Так при изучении §1 «Касательная к окружности» целесообразно решать задачи и упражнения на готовых чертежах.  Но особо следует уделить внимание следующим задачам: № 635 – на нахождение угла между касательной и хордой; № 636 – на нахождение угла между двумя касательными; № 637 - на нахождение угла между касательной и секущей. Наибольший интерес представляет §2 «Центральные и вписанные углы». Параграф содержит большое количество важнейших задач, которые в школьном курсе математики используются редко. Это задачи, утверждающие, что: № 659 – дуги, заключенные между параллельными хордами, равны; № 664 – угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключенной внутри этого угла; № 670 – если через точку вне окружности к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат касательной равен произведению отрезков секущей; № 672 – для секущих, проходящих через одну точку, произведение отрезков одной – равно произведению отрезков другой; № 716 – если дуги равны, то стягивающие их хорды равны. Теорию, которую несут в себе условия данных задач, учащиеся смогут запомнить и применять в дальнейшем только при условии неоднократного возвращения к ним. Поэтому для этих задач мы заготовим чертежи и в течение нескольких уроков работаем по ним устно, вырабатывая зрительную память и иногда повторяя доказательства утверждений, сформулированных в задачах. Также следует обратить внимание на задачи № 662 (угол между двумя хордами), № 660, № 661(угол между двумя секущими), № 658 (угол между касательной и секущей). А из дополнительных задач - на № 758 (по образцу решения № 662), в которой утверждается, что угол между хордами равен полусумме дуг, заключенных между сторонами угла, продолженными в обе стороны; № 719 ( по образцу решения № 660) -угол между секущими равен полу разности дуг, заключенных внутри угла. Можно обратить внимание учащихся на то, что угол между касательной и секущей, двумя касательными, так же равен полу разности дуг, заключенных между его сторонами. В результате изучения §1 и §2 учащиеся должны знать возможные случаи расположения прямой и окружности, определение касательной, свойство и признак касательной; уметь их доказывать и применять при решении задач. Знать какой угол называется центральным, вписанным; градусную меру дуги; уметь доказывать теорему о вписанном угле и теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд; применять их при решении задач. Для утверждений, сформулированных в перечисленных задачах, следует составить конспект со словесной формулировкой и соответствующими чертежами не для обязательного запоминания, а для возможного использования в дальнейшем. При изучении §4 «Вписанная и описанная окружности» необходимо ввести основные понятия, доказать теорему об окружности вписанной в треугольник, теорему об окружности, описанной около треугольника; познакомить учащихся со свойствами вписанного и описанного четырехугольника. Следует остановиться на решении № 697 (доказать, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности). Хорошо закрепляют знания по теме задачи на готовых чертежах. Задачи на вписанные и описанные многоугольники настолько разнообразны, что невозможно разобрать их решения за отведенное для этого в рамках учебного предмета времени, но возможно его закрепление при изучении различных теорий: признаки подобия треугольников; решение прямоугольных треугольников; свойство точки пересечения медиан треугольника; свойство биссектрисы треугольника; свойство медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе и т. д. В каждом случае учитель самостоятельно может составить условие задачи так, чтоб окружность была одной из фигур, присутствующих в задаче. В 10 задании ОГЭ по математике (в демоверсии ОГЭ-2018 задача №17), необходимо решить простую задачу по геометрии. Для успешного решения необходимо обладать базовыми знаниями по геометрии вообще, так как сложно выделить какую-то одну тему, по которой даны задания. Это относится ко всему модулю геометрии. Я рекомендую повторить понятия центральные и вписанные углы, свойства касательных к окружности, взаимосвязь между радиусом описанной или вписанной окружности в геометрические фигуры - в первую очередь прямоугольный треугольник и квадрат. По спецификации ОГЭ здесь могут встретиться задания, связанные с необходимостью нахождения длин, углов и площадей. Теория к заданию №10 Начнем рассмотрение с понятия вписанная окружность: Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис треугольника. Если окружность вписана в произвольный четырехугольник, тогда попарные суммы противолежащих сторон равны между собой: a + b = c + d  Длинна окружности и площадь:  Касательная и секущая: Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку. Секущая – прямая, имеющая с окружностью две общие точки.  Описанная окружность и её свойства: Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его трем сторонам. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы. Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда трапеция равнобочная. Если окружность описана около произвольного четырехугольника, тогда попарные суммы противолежащих углов равны между собой.  Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен хорде. В окружности равные хорды равноудалены от центра окружности. Отрезки пересекающихся хорд связаны равенством:  Центральный и вписанный углы:  Разбор типовых вариантов заданий №10 ОГЭ по математике Первый вариант задания Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 92°, угол CAD равен 60°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.  Внимательно посмотрим на рисунок. Угол ABC опирается на дугу ADC, а угол CAD - на дугу DC. Угол, который нам необходимо найти - ABD, опирается на дугу AD - которая является частью дуги ADC за вычетом дуги DC. Значит, угол ABD равен разности углов ABC и CAD: ∠ABD = 92 - 60 = 32 Ответ: 32° Второй вариант задания Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 2º. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.  Во-первых, касательные равны между собой по длине, а значит треугольник с основанием AB равнобедренный. Угол при вершине этого треугольника равен 2 градуса по условию, значит углы при основании равны: (180 - 2) / 2 = 89° Во-вторых, касательные перпендикулярны радиусу, то есть угол между ними и радиусом равен 90 градусов. Заметим, что угол ABO, который необходимо найти, является частью угла между касательной и радиусом, а именно за вычетом угла, который мы нашли в первом пункте. Значит, этот угол равен: 90 - 89 = 1° Ответ: 1 Третий вариант задания В треугольнике ABC известно, что AC = 16, BC = 12, угол C равен 90º. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.  Для решения необходимо вспомнить, что центр описанной около прямоугольного треугольника окружности расположен в середине гипотенузы. То есть гипотенуза является диаметром, а её половина - радиусом. По теореме Пифагора найдем гипотенузу AB: AB² = BC² + AC² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400 AB = √400 = 20 Гипотенуза равна 20, значит радиус - 10. Ответ: 10 Четвертый вариант задания (демонстрационный вариант 2017) Найдите длину хорды окружности радиусом 13 см, если расстояние от центра окружности до хорды равно 5 см. Ответ дайте в см.  Решение: Для решения данной задачи необходимо провести радиус окружности к точке начала хорды:  Получаем прямоугольный треугольник, где гипотенуза c - радиус и равна 13 см, b - расстояние до хорды - 5 см. По теореме Пифагора находим катет a: a² + b² = c² a² = c² - b² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144 Откуда а = √144 = 12 Но а - лишь половина хорды, поэтому вся хорда равна 2 • а = 24 Ответ: 24 Успех во многом определяется тем, насколько эффективна подготовительная работа. Принципиально важно наличие единой позиции у всех участников образовательного процесса – учителей, учеников, родителей – по отношению к самой итоговой аттестации и к готовности выпускников. И все же успех экзамена в первую очередь зависит от педагога, от его профессиональной готовности к новой форме государственной итоговой аттестации обучающихся. Другое непременное условие хорошей результативности экзамена – стремление самого школьника к успеху. |