методичка по ТВ1. Основные понятия и теоремы теории вероятностей

• Название: Основные понятия и теоремы теории вероятностей
• Дата: 23.10.2022
• Размер: 0.76 Mb.
• Имя файла: методичка по ТВ1.pdf
• Тип: Глава; #750238
• страница: 1 из 4

4
Глава 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 1.1. Событие как результат испытания
Теория вероятностей, как и любая другая математическая дисциплина, начинает с неопределяемых событий. В теории вероятностей это понятие ис- пытания (употребляемыми синонимами также является опыт, эксперимент и пр.) и элементарные события.
Определение 1.1. Под испытанием понимают выполнение некоторо- го комплекса условий в результате которого наступает ровно одно элемен- тарное событие из общей их совокупности пространства элементарных собы- тий
Например, стрельба из лука, подбрасывание монеты.
Определение 1.2. Множество всех исходов, соответствующих испыта- нию, образует пространство элементарных исходов и обозначают



1 2
,
,...,
n
 

 
, где
i


элементарные исходы
1, .
i
n

Пример 1.1. Испытание – подбрасывание игрального кубика. Тогда


1 2
6 1,2,3,4,5,6 ,
1,
2,...,
6.



 



В зависимости от числа элементарных событий в пространстве, мы будем различать конечное, счетное и несчетное пространство элементарных событий. Конечное пространство содержит конечное число элементарных исходов, счетное – бесконечное число, однако такое, которое можно перену- меровать. Несчетное пространство содержит бесконечное число элементар- ных исходов, не поддающихся нумерации.
Различают неслучайные и случайные испытания.
Определение 1.3. Неслучайным (детерминированным) испытани-
ем называется испытание, исход которого можно предугадать, или говорят: испытание с одним исходом.

5
Например, физические законы (при подбрасывании предмета: один исход – падение на землю), математические формулы.
Определение 1.4. Случайным (стохастическим) испытанием на- зывается испытание, исход которого нельзя предугадать, или говорят испы- тание с двумя и более исходами.
Пример 1.2. Подбрасывание игрального кубика. (Заранее нельзя ска- зать, какая грань выпадет).
Из определений следует, что каждому испытанию в соответствие можно поставить исходы.
Определение 1.5. Событием называется подмножество пространства элементарных событий. Говорят, что событие наступило в результате испы- тания, если наступило одно из элементарных событий, входящих в данное событие.
Пример 1.3. Испытание – стрельба по мишени. Событие – поражение или не поражение мишени.
Пример 1.4. Испытание – игра в шахматы. Событие – выигрыш, ни- чейный исход или проигрыш.
События обозначаются большими буквами латинского или греческого алфавита А, В, С,

и так далее.
Как и ранее для пространства

, событие À описывается с помощью фигурных скобок, внутри которых указываются элементарные события, на- пример


2 4
6 8
,
,
,
À
   

Определение 1.6. Событие называется случайным, если оно может произойти или не произойти в результате некоторого испытания.
Пример 1.5. Завтра днем ясная погода. Наступление дня является ис- пытанием. «В течение дня наблюдалась ясная погода» – событие.
Пример 1.6. Подбрасывание монеты – испытание. Событие – выпаде- ние «герба».
Различают совместные и несовместные события.

6
Определение 1.7. События А, В, С называются несовместными, если в условиях испытания каждый раз возможно только одно из этих событий.
Все вышеизложенные события являются несовместными.
Определение 1.8. События А, В, С называются совместными, если в данных условиях появление одного из событий не исключает появление дру- гого.
Пример 1.7. В аудиторию вошел человек. События «В аудиторию вошел человек младше 20 лет» и «В аудиторию вошел парень» – совместные, поскольку в аудиторию может войти парень младше 20 лет.
Определение 1.9. Событие называется достоверным, если оно обяза- тельно произойдет в результате данного испытания. Обозначается

Пример 1.8. Наступление ночи по прошествии дня – достоверное со- бытие.
Определение 1.10. Событие называется невозможным, если оно не может наступить в условиях данного эксперимента. Обозначается

Пример 1.9. Выпадение цифры «2» при бросании 10-копеечной моне- ты – невозможное событие.
Определение 1.11. События называются равновозможными, если по условию испытаний нет оснований считать одно более возможным, чем лю- бое другое.
Пример 1.10. В урне 10 одинаковых шаров: 5 белых и 5 черных. Нау- дачу извлекается шар. Здесь события «появится белый шар» и «появится черный шар» равновозможны.
Важным понятием является полная группа событий. Несколько со- бытий в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них.
Пример 1.11. Стрелок произвел выстрел по мишени. Обязательно произойдет одно из следующих двух событий: попадание, промах. Эти два несовместных события образуют полную группу.

7
Если события, образующие полную группу попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из них.
§ 1.2. Операции над событиями
Операции над событиями аналогичны операциям над множествами и вводятся в теории вероятностей для того, чтобы упростить форму записи, а иногда и логическое построение задачи.
Определение 1.12. Суммой нескольких событий называется собы- тие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания.
Сумму событий будем обозначать знаком «+». Этот знак заменяет со- юз «или».
Пример 1.12. Турист хочет и имеет возможность посетить 2 города.
Обозначим события: А = {турист посетил город А}, В = {турист посетил го- род В}. Событие А+В заключается в том, что турист посетил только один из городов А и В или он посетил их оба.
Операции над событиями имеют геометрическую интерпретацию в виде диаграмм Вьена. События обозначаются кругами.
Рис. 1.1 Рис. 1.2 или
A B

А В
Сумме событий соответствует заштрихованная область (рис. 1.1 и 1.2)
Определение 1.13. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий в резуль- тате испытания.
Произведение обозначают знаком «

» или « ». Этот знак заменяет союз «и».
Ω
А
В
Ω
А
В

8
Пример 1.13. Пусть имеются следующие события: А = {из колоды карт вынута дама}, В ={из колоды карт вынута карта бубновой масти}. Оче- видно,
A B

есть событие {вынута дама бубновой масти} (рис 1.3).
Рис. 1.3
А В

или
А В
Определение 1.14. Разностью событий А и В называется событие, в котором в результате испытания наступает событие А, но не наступает собы- тие В.
Разность обозначается знаком « – » или «/» (рис 1.4).
Рис. 1.4
А В

или
\
А В
Определение 1.15. Событие A
A
  
называется противополож-
ным событиемк событию А (или дополнением) (рис. 1.5).
Рис. 1.5
Ω
А
В
Ω
А
В
Ω
А

9
Свойства противоположных событий
1. À À
  
2.
À
À
  
Пример 1.14. Бросают игральный кубик.


1, 2,3,4,5,6
 
Пусть событие: А = {выпадет четная цифра}, а событие В = {выпадет цифра, больше 3}. Найти , ,
,
,
\
А В А В А В А В


Решение:












 
2, 4,6 ,
4, 5, 6 ,
1,3,5 ,
1, 2, 3 ,
4, 6 ,
2, 4, 5, 6 ,
\
2 .
А
В
А
В
А В
А В
А В




 
 

События
1 2
,
,...,
n
À À
À образуют полную группу событий (или разбие- ние пространства

), если они попарно несовместны и в сумме дают все пространство элементарных исходов, то есть
,
, ,
1,
i
j
A
A
i
j i j
n

  

1
n
i
i
A

 

§ 1.3. Вероятность события
В повседневной жизни в разговоре часто используется слово «вероят- ный». Например: «Вероятней всего он опоздает», «Вероятней всего завтра будет хорошая погода».
При употреблении этого слова интуитивно оценивается возможность наступления того или иного события.
Пример 1.15. В ящике находится 25 одинаковых по внешнему виду изделий, среди которых 2 изделия 3-го сорта, 15 – второго и 8 – первого сор- та. Наудачу вынимают одно изделие. Разумно считать «вынуто изделие 2-го сорта» более возможным, так как изделий 2-го сорта значительно больше, чем изделий других сортов.

10
Однако в жизни чаще встречаются события, сравнить или оценить возможность появления которых, основываясь на чисто интуитивных сооб- ражениях, трудно. Поэтому вводится такое понятие, как вероятность собы- тия.
Определение 1.16. Вероятность события – это численная мера объ- ективной возможности его появления.
Из определения следует, что событию можно поставить в соответст- вие определенное число – вероятность. Однако, это определение не дает формулу для нахождения вероятности.
Рассмотрим следующее понятие. Исход называется благоприятст-
вующим некоторому событию, если появление этого исхода влечет за собой появление данного события.
Например, при подбрасывании игрального кубика для события
А = «выпадение четной цифры» исход «выпадение цифры 2» является благо- приятствующим.
1.3.1. Классическое определение вероятности и ее свойства
Пусть имеется полная группа попарно несовместных и равновозмож- ных событий. Вероятность
( )
Р А
наступления события вычисляется как от- ношение числа исходов, благоприятствующих наступлению события, к числу всех исходов испытания
( )
m
Р А
n

,
(1.1) где
m

число благоприятствующих событию А исходов, а
n

число всех исходов испытания.
Впервые определение вероятности события было дано в
XVIII
веке
Лапласом. Из формулы (1.1) следует, что вероятность события является по- ложительным числом и может меняться в пределах от 0 до 1 в зависимости от того, какую долю составляет благоприятствующее число исходов от обще- го числа исходов

11 0
, 0
( ) 1
m
n
P A
 


Свойства вероятности
1. Если все исходы являются благоприятствующими для события А, то это событие обязательно произойдет. Следовательно, рассматриваемое собы- тие является достоверным, а вероятность его появления
( ) 1
P A

, так как в этом случае
m
n

:
( )
1
n
P A
n
 
2. Если нет ни одного исхода, благоприятствующего данному собы- тию А, то это событие в результате опыта произойти не может. Следователь- но, рассматриваемое событие является невозможным, а вероятность его по- явления ( ) 0
P A

, так как в этом случае
0
m

:
0
( )
0
P A
n
 
3. Вероятность случайного события А находится в пределах от 0 до единицы, так как в этом случае
0
m
n
 
:
0
( ) 1.
P A


Проиллюстрируем эти свойства на примерах.
Пример 1.16. Какова вероятность появления нечетного числа очков при одном бросании игральной кости?
Решение. Обозначим А = {выпадение нечетного числа очков}. Благо- приятствующими исходами будут цифры


1, 3, 5 ,
3
m

, ко всем исходам относятся цифры


1, 2, 3, 4, 5, 6 ,
6.
n

Тогда искомая вероятность
3 1
( )
6 2
m
P A
n

 
Пример 1.17. Бросаются 2 игральных кубика. Какова вероятность то- го, что сумма выпавших очков равна 6?

12
Решение. Каждый кубик может упасть шестью различными способа- ми. Тогда по правилу умножения два кубика могут упасть
6 6 36
n
  
раз- личными способами. В силу симметричности кубиков все эти события рав- новозможны и образуют полную группу несовместных событий. Выпишем исходы, благоприятствующие событию А:
(1, 5); (2, 4); (3, 3); (4, 2); (5, 1),
5.
m

Тогда
5
( )
36
P A

Пример 1.18. Бросают 2 игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков меньше 13?
Решение. Число
n
всех исходов испытания равно 36. Любой из этих исходов благоприятствует наступлению события А, заключающегося в том, что сумма выпавших очков меньше 13 (так как максимальная сумма очков равна 12 и она меньше 13). Следовательно,
36
( )
1 36
m
P A
n



Пример 1.19. На карточках написаны цифры 3, 4, 5, 6, которые тща- тельно перемешаны. Произвольным образом вынимают 3 карточки подряд и кладут в ряд. Какова вероятность того, что число, составленное из трех цифр будет больше 654.
Решение. Очевидно, что благоприятствующее число исходов для со- бытия равно нулю, так как из данных карточек нельзя составить число, большее 654. Тогда
0
( )
0.
m
P A
n
n

 
0
( ) 1.
P A



13
1.3.2. Применение элементов комбинаторики к нахождению веро-
ятностей
Комбинаторика – раздел математики, изучающий вопросы о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных пред- метов (элементов).
Как при решении задач с использованием классического определения вероятностей, так и в дальнейшем нам понадобятся некоторые формулы ком- бинаторики. Приведем наиболее употребительные из них.
Основным принципом комбинаторики является теорема умножения.
Теорема 1.1. Если выполнение некоторого эксперимента можно раз-
бить на
k
шагов, причем первый шаг выполняется
1
n способами, второй шаг
–
2
n и так до
k

го шага, который можно выполнить
k
n способами, то весь
эксперимент можно выполнить
1 2
k
N
n n
n
   
способами.
Пример 1.20. Четыре мальчика и четыре девочки садятся на 8 распо- ложенных подряд стульев, причем мальчики садятся на места с четными но- мерами, а девочки – на места с нечетными номерами. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Первый мальчик может сесть на любое из четырех мест, второй – на любое из оставшихся трех мест, третий – на любое из двух мест.
Последнему мальчику предоставляется всего одна возможность. Согласно правилу умножения мальчики могут занять четыре места
4 3 2 1 24
   
спо- собами. Столько же возможностей имеют и девочки. Тогда, согласно теореме умножения мальчики и девочки могут занять все стулья
24 24 576


спосо- бами.
Определение 1.17. Размещениями из
n
различных элементов по
m
элементов ( m n

) называют комбинации, составленные из данных
n
элемен- тов по
m
элементов, которые отличаются либо самими элементами, либо их порядком.

14
Например, из трех элементов
, ,
a b c
можно составить по два элемента следующие размещения:
,
,
,
,
,
ab ac bc ba ca cb
Определим число
m
n
A
размещений из
n
элементов
1 2
,
,...,
n
a a
a по
m
Пусть
1 2
,
,...,
(1
;
1,..., )
m
a
a
a
n k
m




 

– всевозможные размеще- ния, содержащие
m
элементов. Будем эти размещения строить последова- тельно. Сначала определим
1
a

–
первый элемент размещения. Очевидно, из данной совокупности
n
элементов его можно выбрать
n
различными спосо- бами. После выбора первого элемента
1
a

для второго элемента
2
a

остается
(
1
n

) способов выбора и т.д. Так как каждый такой выбор дает новое разме- щение, то все эти выборы можно свободно комбинировать между собой. По- этому имеем:
(
1) (
2) ... (
1).
m
n
A
n n
n
n m
        
(1.2)
Пример 1.21. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков раз- личного цвета, взятых по 2?
Решение. Искомое число сигналов
2 6
6 5 30.
A
  
Определение 1.18.
Перестановками из
n
различных элементов на- зываются различные комбинации, составленные из данных
n
элементов по
n
, отличающиеся только порядком элементов.
Как видно из определения 1.17, перестановки можно считать частным случаем размещений при
m
n

Следовательно, число всех перестановок из
n
элементов вычисляется по формуле:
(
1) (
2) ... 3 2 1
!
n
P
n n
n
n
         
(1.3)
Пример 1.22. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,
2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только 1 раз?
Решение. Искомое число трехзначных чисел:
3 1 2 3 6.
P
   

15
Определение 1.19. Сочетаниями из
n
различных элементов по
m
элементов называются комбинации, составленные из данных
n
элементов по
m
элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.
Отметим разницу между сочетаниями и размещениями: в первых не учитывается порядок элементов.
Обозначим через
m
n
C
число сочетаний из
n
элементов по
m
Рассмотрим все допустимые сочетания наших элементов
1 2
,
,...,
m
a
a
a



. Делая в каждом из них
!
m
возможных перестановок их эле- ментов, очевидно, получим все размещения из
n
элементов по
m
. Таким об- разом,
!
m
m
n
n
C
m
A


, отсюда
(
1) ... (
1)
!
!
m
m
n
n
A
n n
n
m
C
m
m
     


(1.4)
Формулу (1.4) можно также представить в виде:
!
!(
)!
m
n
n
C
m n
m


(1.5)
Символ
m
n
C
обладает очевидным свойством:
,
m
n m
n
n
C
C


(1.6) которое будет верно также и при
0
m

, если принять
0 1.
n
C

Этой особенностью удобно пользоваться, когда
2
n
m

Числа
m
n
C
являются коэффициентами в формуле бинома Ньютона
1 1
2 2
2
(
)
n
n
n
n
n
n
n
p
q
p
C p
q C p
q
q






 
(1.7) и поэтому часто называются биномиальными коэффициентами.
Пример 1.23. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?
Решение. Искомое число способов:

16 2
10 10!
9 10 45.
2! 8!
2
C





Приведем, наконец, примеры применения формул комбинаторики к нахождению вероятности события.
Пример 1.24. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Какова вероятность того, что номер набран правильно?
Решение. Две последние цифры можно набрать
2 10
A
способами, а бла- гоприятствовать событию А={цифры набраны правильно} будет только один способ. Поэтому,
2 10 1
1 1
( )
9 10 90
P A
A




Пример 1.25. Партия из 10 деталей содержит одну нестандартную.
Какова вероятность, что при случайной выборке 5 деталей из этой партии все они будут стандартными (событие А)?
Решение. Всего способов выбрать из 10 деталей 5:
5 10 10!
6 7 8 9 10 30 240 252 5! 5!
1 2 3 4 5 120
n
C
   






   
, а число благоприятствующих со- бытию А исходов
0 5
1 9
9!
6 7 8 9 3 024 1
126 5! 4!
1 2 3 4 24
m
Ñ
C
  


 




  
Тогда
126
( )
0,5.
252
P A


Пример 1.26. В классе 20 учащихся, из них 7 мальчиков, а остальные девочки. Для дежурства отобраны 3 человека. Какова вероятность того, что среди них 2 девочки?
Решение. Событие А = {выбраны 2 девочки и 1 мальчик}. Количество всех исходов равно числу способов выбрать 3 человек из 20 учащихся
3 20
n
C

. Число благоприятствующих исходов равно числу способов выбора двух девочек из 13 и одного мальчика из 7 2
1 13 7
m
C
C



17
Тогда
2 1
13 7
3 20 91
( )
190
C
C
P A
C



1.3.3. Статистическое определение вероятности и ее свойства
Классическое определение вероятности в применении имеет недос- татки, так как оно применяется только к группе попарно несовместных и равновозможных событий. Однако на практике такую группу зачастую быва- ет выделить трудно. Например, любой полет в космос можно считать испы- танием. Но вряд ли кто-то возьмет на себя смелость представить результат этого опыта в виде полной совокупности исходов.
Если в данном конкретном случае нельзя применить классическую формулу, то возникает вопрос, что считать вероятностью и как ее вычислять.
Пусть есть эксперимент

, в результате которого наступает событие
А. На практике было замечено, что при многократном повторении экспери- мента можно посчитать относительную частоту появления события А, при- чем эта частота стремится к устойчивости. Условимся обозначать:
n

чис- ло повторений эксперимента,
( )
k A

число появления события А. Тогда под
относительной частотой появления события А будем понимать отноше- ние
( )
k A
n
и обозначим
*
( )
p A , где
0
( )
k A
n


Я. Бернулли доказал, что при неограниченном увеличении числа экс- периментов относительная частота появление события будет практически сколь угодно мало отличаться от некоторого постоянного числа, которое и принимается за вероятность события в отдельном эксперименте.
*
( )
lim
( )
n
k n
p A
n


Это положение носит название закона больших чисел, который будет рассматриваться в дальнейшем.
Указанную вероятность называют статистической вероятностью. За- кон Я. Бернулли проверяли многие исследователи, например Дж. Керрих.

18
Дж. Керрих провел опыт с бросанием монеты. Он сделал 10 серий, каждая из которых содержала по 1000 бросков монеты. Оказалось, что «герб» выпал 502, 497, 511, 529, 504, 476, 507, 528, 504, 529,… раз. Как видно, ни в одной из серий относительная частота выпадения «герба» не равна 0,5, то есть, не совпадает с вероятностью выпадения герба при одном подбрасыва- нии.
Свойства статистической вероятности
1. Пусть A – невозможное событие, тогда
( )
0
k
 
и
*
( )
0
( )
0
k
p
n
n

 
 
, то есть
*
( )
0.
p
 
2. Пусть A
 
– достоверное событие, тогда
( )
k
n
 
и
*
( )
( )
1
k
n
p
n
n

 
 
, то есть
*
( ) 1.
p
 
3. Если A
 
, то
0
( )
k A
n


. Поделив почленно на
n
, получим
0
( )
k A
n
n
n
n


или
*
0
( ) 1.
p A


1.3.4. Геометрическое определение вероятности
Классическая формула вероятности применяется, когда эксперимент имеет конечное число исходов. Однако в жизни встречаются эксперименты, для которых число возможных исходов бесконечно. Например, при изготов- лении на станке некоторой детали нужно выдержать определенный размер.
Точность изготовления детали зависит от квалификации рабочего, точности измерительного прибора и т.д. Таким образом, можно получить деталь любо- го размера, сколь угодно близкого к требуемому. В данном примере испыта- ние – изготовление детали. Этому испытанию соответствует бесконечное множество исходов.
Рассмотрим еще один пример. Пусть на плоскости имеется фигура F, которая содержит фигуру f. На эту фигуру бросается наугад точка, которая

19 может оказаться в любой точке фигуры F. Очевидно, что исходов может быть бесконечное множество. Поставим вопрос – с какой вероятностью точка может попасть на фигуру f ? Естественно связать вероятность с площадями фигур F и f. Чем больше площадь f, тем больше вероятность попадания точ- ки.
Тогда под вероятностью события A будем понимать отношение дан- ных площадей, то есть
( )
f
F
S
P A
S

В приведенном примере рассматривались двумерные области, мерами которых были соответствующие площади. Но область может быть одномер- ной (прямая, отрезок), тогда ее мерой является длина. Область также может быть и трехмерной (некоторое тело в пространстве), мерой ее является объ- ем. Исходя из этого дадим геометрическое определение вероятности.
Определение 1.20. Геометрической вероятностью события называ- ется отношение меры области благоприятствующей появлению события к мере всей области:
( )
f
F
S
P A
S

Геометрическая вероятность обладает теми же свойствами, что и классическая вероятность.
Пример 1.27. На плоскость нанесена сетка квадратов со стороной 8 см. Найти вероятность того, что брошенный на плоскость круг
1
R

см не пересечет ни одной стороны квадрата.
Решение. При бросании круга его центр может попасть в любой из квадратов, начерченных на плоскости (рис1.6).
В
С
А
Д
А
1
В
1
С
1
Д
1 6 см.
8 см.

20
Рис 1.6
Сторона заштрихованного квадрата равна 6 см., а ширина рамки 1 см.
Если центр круга попадет в «рамку», то он обязательно пересечет сторону квадрата со стороной 8 см. Если же центр круга попадет в заштрихованный квадрат со стороной 6 см., то он не пересечет границу квадрата со стороной 8 см. Поэтому заштрихованный квадрат является «благоприятст- вующей областью» наступления события A , вероятность которого следует найти. Таким образом,
1 1 1 1 2
2 6
9
( )
8 11
A B C D
ABCD
S
P A
S



1.3.5 Аксиоматическое определение вероятности
Аксиоматическое построение теории вероятностей создано в начале
30-х годов академиком А.Н. Колмогоровым. Пусть

– пространство эле- ментарных событий для некоторого испытания,
S

алгебра событий (сово- купность
S
подмножеств множества

называется алгеброй, если выполне- ны следующие условия: а)
S
содержит невозможное и достоверное события; б) если события
1 2
,
,...,
n
H H
H принадлежат
S
, то
S
принадлежат сумма, произведение и дополнение этих событий).
Вероятностью называется функция
( )
P A
, определенная на алгебре событий
S
, принимающая действительные значения и удовлетворяющая следующим аксиомам.
Аксиома неотрицательности: вероятность любого события
A S

неотрицательна, то есть
( )
0.
P A

Аксиома нормированости: вероятность достоверного события равна единице, то есть

21
( ) 1.
P
 
Аксиома аддитивности: вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, то есть если
(
)
i
j
A
A
i
j

 

, то
(
)
k
k
k
k
P
A
P A









Совокупность объектов ( , , )
S P

, где

– пространство элементар- ных исходов,
S
– алгебра событий, P – числовая функция, удовлетворяющая выше указанным аксиомам, называется вероятностным пространством слу- чайного испытания.