Пояснительная записка курса по выбору Задачи по теории вероятностей и математической статистики, для обучающихся основной школы
 Скачать 148.74 Kb.
|
|
Содержание 1. Теоретические и психолого-педагогические аспекты разработки курсов по выбору для уровня основного общего образования Исторические и психолого-педагогические особенности разработки курсов по выбору Анализ тем по теории вероятностей и математической статистике в курсе математики на уровне основного общего образования 2. Разработка курса по выбору «Задачи по теории вероятностей и математической статистики для обучающихся основной школы» 2.1 Пояснительная записка курса по выбору «Задачи по теории вероятностей и математической статистики, для обучающихся основной школы» 2.2 Методические особенности курса по выбору «Задачи по теории вероятностей и математической статистики, для обучающихся основной школы» Результаты опытно-экспериментальной проверки Заключение Список литературы Введение Актуальность исследования. В силу большого количества сфер применения, теория вероятностей стала неотъемлемой частью как научной, так и повседневной жизни. В следствии этого, введение стохастической линии в современный курс математики является неизбежным. Методическое становление теории вероятностей началось ещё во второй половине прошлого века в результате возникновения большого количества работ методистов. Основной целью этих работ было внедрение теории вероятностей и математической статистики в школьную программу того времени. Через десять лет, а именно в 70-е годы, данные дисциплины оказались исключенными из школьного курса в силу того, что ученики были не готовы к изучению данного материала. Ещё через десять лет, теория вероятностей появилась в программе профильных классов. И только в 90-х годах теория вероятностей и математическая статистика стали постоянными компонентами школьного курса математики. Последние годы ознаменовались значительным прогрессом в процессе введения стохастической линии в школьное образование и как результат, данная линия попала в утвержденный стандарт базового и полного среднего образования. Современное школьное образование базируется на принципах учетах индивидуальных особенностей обучающихся, а также их интересов и способностей. Именно данный фактор обусловил изменение к требованиям математической подготовки обучающихся, что повлекло за собой введение интерактивности в методику преподавания математики современной школы. Федеральные Государственные Образовательные Стандарты основного общего образования принимают во внимание, прежде всего, на становление личностных характеристик выпускника, владеющего математическими рассуждениями, умениями решать задачи; применяющего математические знания в повседневной жизни. Согласно ФГОС, изучение учащимися алгебры должно отражать: 1) формирование представлений о статистических закономерностях в реальном мире и о различных способах их изучения, о простейших вероятностных моделях; 2) развитие умений извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах и графиках, описывать и анализировать массивы числовых данных с помощью статистических характеристик, использовать понимание вероятностных свойств окружающих явлений при принятии решений. Задачи по теме «Теория вероятностей и статистика» входят в итоговую аттестацию учащихся основной школы: в части первой они встречаются в заданиях № 14,15,18,19. В теории и методике обучения математики вопросам методики обучения учащихся теме «Теория вероятности и статистика» в курсе алгебры основной школы посвящены исследования таких авторов, как Е.А. Бунимовича, В.А. Булычева, Ю.Н. Тюрина , И.Р. Высоцкого, И.В. Ященко, М.В. Ткачевой, С.В. Щербатых, и др. Также следует отметить, что большой вклад в методику обучения стохастической линии внесли такие иностранные авторы, как Алан Карр, Марек Физц, Эрик Леман [43], Прасанна Сахо, Эдвин Джейнс идр. Все вышесказанное определяет актуальность темы исследования. Кроме того, актуальность темы исследования обусловлена сложившимся к настоящему времени противоречием между необходимостью обучения учащихся теме «Теория вероятностей и статистика» на уроках алгебры и недостатком методических рекомендаций по этой теме. Объект исследования: процесс обучения теории вероятностей и математической статистике в основной школе в рамках курса по выбору. Предмет исследования: курс по выбору «Теория вероятностей и математическая статистика» для учащихся основной школы. Цель исследования: разработать курс по выбору «Теория вероятностей и математическая статистика». Задачи исследования: Проанализировать исторические и психолого-педагогические особенности разработки курсов по выбору. Выполнить анализ учебников по алгебре из числа рекомендованных на предмет наличия сквозных тем по теории вероятностей и математической статистике. Разработать методические рекомендации преподавания курса по выбору «Теория вероятностей и математическая статистика» Провести опытно-экспериментальную проверку разработанного курса. Практическую значимость результатов исследования составляют методические рекомендации обучения теме «Теория вероятностей и математическая статистика» учащихся 5-9-х классов, которые могут быть использованы учителями математики основной школы и студентами педагогических направлений подготовки в ходе педагогической практики. Гипотеза исследования: реализация в условиях школьного образования курса по выбору "Теория вероятностей и математическая статистика" окажет оптимизирующее влияние на совершенствование математических знаний, умений, развитие логических структур, математической культуры, а также будет оказывать стимулирующее воздействие к освоению курса математики. Для решения поставленных задач были избраны следующие методы исследования: теоретический анализ научной, научно-популярной, методической, педагогической, психологической, литературы по теме; анализ учебных пособий, а также нормативных документов, регламентирующих развитие математического образования и профильную дифференциацию; проектирование, эмпирические (наблюдение, анкетирование, анализ продуктов деятельности, метод экспертных оценок); диагностический и формирующий эксперименты, математические методы статистической обработки данных. Структура работы. Данная работа состоит из введения, двух глав, заключения. 1. Теоретические и психолого-педагогические аспекты разработки курсов по выбору для уровня основного общего образования Исторические и психолого-педагогические особенности разработки курсов по выбору Началом развития курсов по выбору считаются 60-е годы прошлого века, когда в свет вышло постановление следующего характера, «О мерах дальнейшего улучшения работы средней общеобразовательной школы». Основным посылом данного постановления являлось то, что в обществе образовалась тенденция понижения уровня учебно-воспитательной работы, который уже не отвечал современным запросам. В силу данного обстоятельства, были предложены меры, которые останавливали данную тенденцию. Решением являлось создание принципиально новых форм обучения в школе. Одной из таких форм были факультативы. Изначально, целью создания факультативов являлось увеличение уровня знаний учеников в различных учебных дисциплинах и одновременно, развитие навыков и умений. Именно тогда, факультативная форма обучения дала начало развитию дифференциации обучения, в основу которой ложились принципы учета индивидуальных качеств учеников [19]. Официально, факультативы были внедрены в 1967 году. Также со временем менялись и названия данных курсов. Одними из таких были: 1) «Дополнительные главы и вопросы математики»; 2) «Специальные курсы». Также стоит отметить, что в данный период факультативы разрабатывались по новой программе. Факультативные курсы по математики стали полем для экспериментов различных педагогов. В 1980 году полностью все школы страны осуществили переход на новую программу по математике. Последнее десятилетие прошлого века ознаменовалось появление обновленной программы факультативных курсов [27]. Данная программа предполагала более глубокое усвоение материала базовых курсов, посредством решения более сложных вариативных задач, которые значительно отличались от стандартных. Простой ученик мог начать посещать факультативный курс с 7 класса основной школы. Помимо получения более глубоких знаний по базовому курсу математики, предполагалось, что на факультативных курсах, можно будет изучать темы, выходящие за рамки базовой программы. Следующим этапом развития факультативных курсов стал 2002 год, который ознаменовался введением Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования. Данная концепция ещё больше расширила сферу влияния каких-либо курсов на систему образования в целом, так как к ней присоединились, так называемые, элективные курсы(курсы по выбору). Элективные курсы стали последователями факультативов, так как преследовали одну и ту же цель, удовлетворить индивидуальные потребности учеников, а также развития различных умений и навыков. Но несмотря на схожую идеологию, между факультативными курсами и элективными курсами есть существенные различия. Одним из таких отличий является то, что факультативный курс являлся добровольным мероприятием, никто не заставлял учеников посещать данные курсы [19]. Следующим этапом развития курсов по выбору стал 2012 год, который ознаменовался введение Федерального Государственного Образовательного Стандарта (ФГОС) среднего (полного) общего образования [40]. Изменение коснулись и элективных курсов, они получили новое название, а именно курсов по выбору. В период своего становления появилась классификация курсов по выбору. Выделяли предметные, ориентационные и информационные курсы по выбору. Ознакомившись с историей возникновения курсов по выбору, можно перейти к рассмотрению их основных аспектов. Курсом по выбору называется некоторый учебный курс, которые подразумевает рассмотрение малоизученных тем, которые имеют непосредственную связь с различными сферами жизни людей. Данный курс предоставляет возможность ученику, удовлетворить все свои запросы, касающиеся образования. В связи с переходом на личностно-ориентированное обучение, ужесточились требования, предъявляемые курсам по выбору. К ним относятся: каждый ученик должен иметь возможность самостоятельно совершить выбор курса. Навязывать один курс каждому ученику против его воли – запрещено; каждый ученик имеет право сменить свой курс как минимум дважды в учебном году. Помимо базовых требований к курсам по выбору, предъявляются различные подходы, непосредственно, к созданию данных курсов. Среди них выделяют следующие: Фундаментальный – подразумевает более глубокое изучение учебной дисциплины учеником, осуществляя переход от общего к частному); Методологический – подразумевает использование метода научного познания, а также использования проектной деятельности); Универсальный – подразумевает изучение различного рода понятий с разных ракурсов воспиятия); Прагматичный – подразумевает конкретную цель, а именно получение комплекса необходимых знаний, для повседневного их использования; Деятельностно-ценностный – подразумевает процесс ознакомления учеников с деятельность, которая будет нести пользу в дальнейшем изучении различных учебных дисциплин; Компетентностный – подразумевает овладение необходимыми прикладными навыками для использовании их при решении различных жизненных ситуаций [20]. Помимо всего вышеперечисленного, курсы по выбору должны соответствовать всем нормам ФГОС среднего(полного) общего образования. Среди данных норм выделяют: Качественное удовлетворение индивидуальных потребностей учеников; общеобразовательную, общекультурную составляющую данной ступени общего образования; осуществление процесса развития ученика, как личности, учитывая все особенности, личные интересы, особенностей интеллектуальной, а также, ценностно-смысловой сферы; организация процесса развития умений и навыков самообразования; проведение мероприятий, по увеличению, расширению и систематизации знаний в выбранной области; работа над совершенствованием уже полученного опыта познавательной деятельности, профессионального самоопределения обучающихся. Предполагаемыми результатами освоения курса по выбору являются: осуществления процесса развития личности обучающихся, при помощи материалов учебного предмета, курса: расширение общего кругозора обучающихся, осуществление процесса развития различных видов УУД учащихся, готовности и способности к саморазвитию и профессиональному самоопределению; осуществление процесса развития навыков непрерывного самообразования; обеспечение академической мобильности и (или) возможности поддерживать избранное направление образования; обеспечение профессиональной ориентации обучающихся. Именно выполнение вышеперечисленных норм способствует качественному освоению курса по выбору. По продолжительности, курс по выбору занимает примерного от 24 до 36 часов, это если курс долгосрочный, и от 8 до 16 часов, если курс краткосрочный [20]. Анализ тем по теории вероятностей и математической статистике в курсе математики на уровне основного общего образования Введение в современный курс математики стохастической линии уже давно оправдано многочисленными успешными результатами, в виду того, что теория вероятностей имеет большое значение для науки в целом и прикладной сферы в частности. Каждый человек хоть раз в жизни сталкивался с многочисленными событиями, которые основываются на различных знаниях стохастической линии. Данные события связанны с процессом анализа, синтеза, обработки больших объемов информации с целью принятия оптимальных решений в событиях, которые предполагают существование случайных исходов. Хоть и введение стохастической лини является целиком оправданным, сам процесс введения является достаточно сложной задачей, ввиду отсутствия методологической базы у педагогов, а также отсутствия целостной методики в учебной литературе. В связи с вышеперечисленными фактам, есть необходимость рассмотрения методики изложения раздела «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» в различных учебных пособиях для учеников 5-9 классов общеобразовательной школы. Обязательными к изучению в данной теме являются следующие материалы: понятие и примеры случайных событий; понятия частоты события и вероятности; равновозможные события и подсчет их вероятности; представление о геометрической вероятности; представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков; средние результаты измерений; понятие о статистическом выводе на основе выборки. Основными учебниками, по которым работает большинство школ являются: «Математика 5-6» под ред. Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина, «Математика 7-9» под ред. Г.В. Дорофеева. Материал по введению элементов теории вероятностей и математической статистики последовательно введен на протяжении всей основной школы [21]. Примечательно то, что в изложении материала отсутствуют сложные определения или непонятные конструкции, которые будут мешать ученикам усваивать материал. Изучения материала начинается в 5 классе с классификации событий, а именно случайных, достоверных и невозможных. В 6 классе ученикам предлагается освоить такие понятия как эксперимент со случайными исходами, частота и вероятность события. В результате изучения, ученики должны уметь проводить оценку вероятностей простых событий, с последующим вычисление вероятностей. Также, учебник снабжен достаточным количеством наглядных примеров, что ещё раз подчеркивает доступность излагаемого материала. Задачи комбинаторики решаются одним из самых тривиальных методов, а именно методом перебора, так как комбинаторные формулы в 6 классе не вводятся. Параллельно формируются необходимые умения и навыки при работе с информацией, для более качественного изучения темы. Освоение материала 7 класса начинается с изучения базовых статистических характеристик, таких как, среднее арифметическое, мода, размах. Опять же стоит подчеркнуть, наличие большого количества прикладных примеров. Изучение комбинаторики сопровождается введение понятия перестановок. По завершению обучения в 7 классе продолжается изучение понятий вероятности и частоты случайных событий. Материал 8 класса расширяется с введением понятия медианы. Появляется понятие таблицы частот. Наличие прикладных примеров присутствует. Стоит отметить, что только в 8 классе ученики знакомятся с понятием классической вероятности, которое было введено ещё Лапласом. Вводится понятие геометрической вероятности. Заключительным этапом является изучение материала в 9 классе, когда вводятся понятия статистического исследования, вводится определение статистики, новые понятия: генеральная совокупность, выборка, репрезентативность, объем выборки, ранжирование. Для более качественного освоения материала приводятся достаточно простые примеры. Также вводится понятие полигона, которое является разновидностью интерпретации данных. Помимо этого появляются определения дисперсии и среднего квадратичного отклонения. В результате рассмотрения материалов, представленных в данных пособиях можно сделать следующие выводы: материал достаточно сильно растянут и изучается на протяжении всей основной школы в отличии от остальных учебников, в которых данный материал изучается в период с 7 по 9 класс, также можно увидеть, что нет разделения в темах комбинаторика, статистика и теория вероятностей, они идут параллельно друг с другом. Следующим к рассмотрению является комплект учебников по редацией А.Г. Мордковича: И.И. Зубарева ,А.Г. Мордкович «Математика 5-6», А.Г. Мордкович «Алгебра 7-9» [30]. Материал пятого класса имеет некоторые схожести с материалами прошлого комплекта учебников. В данном учебнике вводится классификация событий, вводится система задач, помогающая определить вид события. Далее приводится метод перебора для решения комбинаторных задач. Материал 6 класса начинается с изучения понятия вероятности, с введением системы задач, которая позволяет определить степень вероятности некоторого события. Выполняя данные задачи, ученики должны руководствоваться интуицией. После этого вводится классическое определение вероятности, которое в прошлом комплекте изучалось в 8 классе. Рассмотрев данные пособия, можно отметить, что система задач является достаточно сложной для данного возраста, можно было взять более простые задачи. Учебно-методический комплекс «Курс алгебры 7-9 классов» сопровождается наличием дополнительных материалов в виде пособия А.Г.Мордкович, П.В. Семенов. «События. Вероятности. Статистическая обработка данных», который состоит из пяти параграфов [31]. Структура параграфов состоит из двух частей: первая часть снабжена достаточным количеством примеров, в которых осветлены комбинаторные методы, теория вероятности и статистики, вторая часть содержит задачи для классных, домашних, самостоятельных и контрольных работ. Два первых параграфа повествуют о комбинаторике. Изучение начинается с простейших задач, которые решаются методом перебора. Вводится понятие сочетания. В третьем параграфе изучаются случайные события и их вероятности, затем вводится классическое определение вероятности. Следующий параграф содержит материал о статистике. В основе лежит умение работать с информацией, которая интерпретируется с помощью таблиц, диаграмм. Четвертый параграф посвящен статистике. Формируется умение работать с информацией в виде таблиц, диаграмм. Из нового материала рассматриваются такие понятия как среднее арифметическое, мода, медиана и др. Последним рассматривается определение статистической вероятности. В последнем параграфе представлена информация о схеме Бернулли, вычисление вероятности с помощью функции φ, закон больших чисел. Из недостатков можно отметить достаточно скудное количество материала по теории вероятности, причем во всех аспектах. Из положительных сторон можно отметить то, что все теоремы и определения формулируются только после рассмотрения большого количества практических примеров, когда становится ясной необходимость их введения. Последним к рассмотрению является комплект учебников Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И.Нешков, С.Б. Суворова «Алгебра 7-9», под редакцией С.А. Теляковского. Данное пособие также имеет дополнительные материалы в виде пособия:«Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей», под редакцией С.А.Теляковского [30]. Структура данного пособия разделена на 4 параграфа, каждый из которых имеет информацию о различных разделах изучаемой темы. Данные параграфы снабжены задачами, имеющие более высокий уровень сложности, а также задачи по систематизации ранее изученного материала. Материал 7 класса содержит информацию о статистических характеристиках. Ученикам предлагается изучение понятий среднего арифметического, моды, медианы, размаха. Материал 8 класс содержит информацию о статистических исследованиях. Ученикам предлагается изучение информации об организации исследований и методах представления конечного результата в виде таблицы частот. Пропедевтикой данного материала является повторение сведений о статистических характеристиках. Далее рассматриваются понятия интервального ряда, сплошного и выборочного исследования, выборки, генеральной совокупности, репрезентативности. Касаемо теории 9 класса можно отметить её большое количество, которое разделено на два параграфа. В первом параграфе даются необходимые знания по комбинаторике, изучаются базовые задачи, а также из решения методом перебора, а также вводятся комбинаторные формулы для перестановок, размещений и сочетаний. Во втором параграфе дается необходимая информация о теории вероятностей. Рассмотрение темы начинается с определения понятия эксперимента, далее рассматривается понятие «случайного события», а также «относительной частоты случайного события». Только после рассмотрения вышеизложенного материала, рассматривается статистическое и классическое определение вероятности. Параграф завершается пунктом «сложение и умножение вероятностей». Стоит отметить, что данные учебники схожи по содержанию с первым рассмотренным комплектом, одно лишь отличие в том, что материал достаточно сильно сжат в объеме. Достаточно большим преимуществом является то, что в данном учебно-методическом комплекте присутствует большое количество задач различного уровня сложности, под каждого ученика. Выводы к главе 1. В данной главе были рассмотрены основные теоретические сведения, касаемо курсов по выбору, детально рассмотрена история их становления. Стоит отметить, что они прошли достаточно большой путь от факультативов к современным курсам, соответствующим всем стандартам ФГОС. Период становления составил практически 50 лет. Сегодня же курсы по выбору занимают своё достаточно важное место в современной организации учебного процесса, так как помогают ученикам раскрыть свой потенциал как личности, сформировать необходимые умения и навыки, которые будут полезны в дальнейшей деятельности. Далее был рассмотрен анализ содержания различных учебников на предмет наличия информации по темам теории вероятностей, статистики и комбинаторики. Каждое пособие имеет как свои достоинства так и недостатки, что в какой-то мере может как упростить, так и усложнить процесс изучения данных тем, но тем не менее ни содержать достаточное количество как теоретического, так и практического материала. В следующей главе будет представлена разработка курса по выбору «Задачи по теории вероятностей и математической статистики с экономическим наполнением, для обучающихся основной школы» 2. Разработка курса по выбору «Задачи по теории вероятностей и математической статистики с экономическим наполнением, для обучающихся основной школы» Пояснительная записка курса по выбору «Задачи по теории вероятностей и математической статистики с экономическим наполнением, для обучающихся основной школы» Пояснительная записка Курс по выбору «Задачи по теории вероятностей и математической статистики с экономическим наполнением, для обучающихся основной школы» ставит перед собой задачу дать ученикам необходимые знания для решения различного рода заданий по предлагаемой теме, связанных с различными ситуациями, которые могут произойти с каждым из них. Данный курс даёт возможность подготовить учеников средней школы к дальнейшему изучению данного предмета. Цель курса по выбору – привести в действие процесс по формированию и развитию умений и навыков учеников в различных областях данной темы, вывести знания учеников на новый уровень, расширить их кругозор, научить делать первые шаги формирования исследовательской деятельности. Задачи: Выделить основные навыки и умения для решения базовых комбинаторных задач; Применить полученную теорию к решению практических задач различного уровня сложности; Познакомить учеников с базовыми задачами математической статистики Сформировать необходимые навыки по работе с информацией; Требования к уровню освоения содержания курса. По окончанию изучения, ученики должны будут получить следующие результаты: Получить представление о математике как науке и способе познания окружающего мира; Развить навыки анализа, сопоставления, сравнения и т.д.; Иметь необходимые навыки самостоятельной работы с различной учебной литературой; Иметь представление об основных комбинаторных законов; Иметь представление об основных законах теории вероятностей и математической статистики. Тематическое планирование Тема 1. Комбинаторика. При изучении данной темы ученики должны рассмотреть следующий материал: базовые комбинаторные формулы, в которые входят формулы перемножения количества способов, формулы, связанные с перестановками, размещениями, сочетаниями. Учащиеся должны знать: определение факториала числа, уметь различать их свойства. Учащиеся должны уметь: находить оптимальные способы решения задач, с применением комбинаторных закономерностей. Тема 2. Вероятность. В основу изучения данной темы входят следующие понятия: операции с событиями, основные определения вероятности, базовые законы нахождения вероятностей, формулы полной вероятности и Байеса. Учащиеся должны знать: определение события и их классификацию, знать определения операций над множествами, различать различные определения вероятности, уметь пользоваться формулами полной вероятности и Байеса. Учащиеся должны уметь: находить оптимальные способы решения задач, с применением полученных формул. Тема 3. Случайные величины. Базовые изучаемые понятия: дискретные и непрерывные случайные величины, ряд распределения ДСВ, нахождение значений математического ожидания и дисперсии. Учащиеся должны знать: понятие случайной величины, понятия дискретных и непрерывных случайных величин, уметь находить отличия между данными величинами, знать определение закона распределения, знать определения основных характеристик случайных величин. Учащиеся должны уметь: определять основные характеристики случайных величин. Тема 4. Статистика. Базовые понятия для изучения: основные теоретические аспекты, понятие вариационного ряда и способов их интерпретации, основные виды рядов распределения, способы проверки статистических гипотез. Учащиеся должны знать: теоретические аспекты математической статистики; умения находить основные статистики генеральной совокупности и выборки; выделять основные гипотезы и умение их проверять. Учащиеся должны уметь: интерпретировать вариационные ряды; находить эмпирические линии регрессии и уравнение линии регрессии. Календарно-тематический план курса
Методические особенности курса по выбору «Задачи по теории вероятностей и математической статистики, для обучающихся основной школы» Занятие 1 Опытом является некоторое явление или процесс, который выполняется в зависимости от некоторых условий. Данный набор условий должен работать для каждого выполненного опыта. В случае, когда набор условий другой, следовательно, это уже другой опыт. Приведем простой пример, когда лучник, на очередном чемпионате мира, стреляет по мишени с расстояния 25 метров. Если лучник стреляет уже с 50 метров, следовательно, выполняется иное испытание. Конечным результатом определенного опыта, является произошедшее событие. Классификация событий следующая: достоверное (всегда наступает при выполнении опыта); невозможное (ни при каких условиях не наступит); случайное (может произойти или не произойти в результате испытания). Возвращаясь к рассмотренному примеру: при одном выстреле цель будет поражена дважды (невозможное); при одном выстреле лучник получит определенное количество очков (достоверное); при одном выстреле лучник получит 50 очков (случайное). Если ведется обсуждение о степени соблюдения всех необходимых условий при опыте, то в данном контексте, имеется в виду устойчивость всех компонентов, которые подаются контролю в данном опыте. Также есть доля факторов, устойчивость показателей которых не гарантирована, (к примеру, погодные условия). В связи с этим, наблюдается непостоянство значений данной группы факторов, в результате чего, полученные результаты опыта являются случайными. Особый интерес в теории вероятностей представляют случайные события, с учётом того, что испытание может циклически повторяться определенное количество раз. Например, подбрасывание монеты является опытом, а выпадение определенной стороны монеты является событием. Что касается обозначений событий, их принято записывать заглавными латинскими буквами, но возможны и другие обозначения. Рассмотрим определения совместных и несовместных событий. Два события называются несовместными тогда, когда они мне могут произойти в одном опыте, следовательно, два события являются совместными, если они могут произойти в результате одного и того же опыта. Возвращаясь к рассмотренному ранее примеру с подбрасыванием монеты можно говорить, что выпадение какой-либо стороны является несовместным событием. Рассмотрим определения зависимых и независимых событий. Два события являются независимыми друг от друга только в том случае, если вероятность одного из событий не зависит от появления другого события. Следовательно, зависимые события, это такие, при которых появление одного события зависит от появления другого и наоборот. Опять же, возвращаясь к примеру о монетах, покажем, как работают зависимые и независимые события. Опыт будет заключаться в подбрасывании двух монет. Зафиксируем событие А – первая монета упадет гербом вверх, соответственно, событие В – вторая монета упадет гербом вверх и событие С – на одной и только на одной монете выпадет герб. Из поставленных условий можно заключить, что все три события являются попарно независимыми, т.е события А и В независимые, В и С независимые и А, С также являются независимыми. Но помимо этого заключения, можно сделать ещё одно, два и трех заданных событию определяют третье. Данный пример иллюстрирует тот факт, что два события могут быть независимы друг от друга, но зависимы в совокупности. Рассмотрим основные операции над событиями. 1.Сумма Суммой некоторых событий А и В является третье событие С, которое состоит из появления хотя бы одного из событий А и В. Следовательно, может появиться событие А, событие В, либо и событие А, и событие В. 2. Произведение Произведением двух событий А и В является некоторое третье событие С, которые включает в себя все события, которые принадлежат и событию А, и событию В. 3.Противоположное Противоположным к событию А, является некоторое событие, сутью которого является непоявление события А. Обозначается противоположное событие символом  .Вероятность событий Существует несколько подходов к определению понятия вероятности. Стоит рассмотреть каждый из них. а) статистический подход. Суть данного подхода состоит в следующем: Рассмотрим некоторое количество испытаний, в результате которых появилось событие А. Пусть было произведено n испытаний, в результате которых событие А появилось ровно m раз. Тогда отношение  - называют относительной частотой.Так как n всегда больше либо равно N, то вероятность заключена в интервале:  .б) классическое определение. Иногда, вероятности исследуемых событий можно вычислить, используя только условия опыта. Допустим, проведенный опыт имеет определенное количество исходов, которое можно обозначить как n. Данное количество исходов показывает, сколько их может появиться в результате проведения опыта. С последующими опытами возможно только одно появление любого из исходов, таким образом обосновывается несовместность всех исходов. Помимо этого, исходя из условий, нельзя определить, частоту появления определенного исхода, следовательно, все исходы будут равновозможными. Рассмотрим пример. Пример 1. Бросается игральная кость. Появление определенного количества очков равновозможно. Следовательно, вероятность того, что при броске выпадет «6» равна 1/6. |