2870538 МОР, В-25. Решение Для запрета перемещения в x 12 устанавливаем для этой ячейки более высокое значение M
 Скачать 58.02 Kb.
|
|
Вариант 25 1. Проверьте оптимальность опорного плана транспортной задачи с дополнительными ограничениями и вычислите стоимость перевозок. Перевозки от поставщика А1 к потребителю В2 и от поставщика А2 к потребителю В4 запрещены.
Решение Для запрета перемещения в x12 устанавливаем для этой ячейки более высокое значение M. Для запрета перемещения в x24 устанавливаем для этой ячейки более высокое значение M. С целью составления двойственной задачи переменные xij в условии (2) заменим на u1, u2, ui,.., um, а переменные xij в условия (3) на v1, v2, vj,.., vn. Поскольку каждая переменная xij входит в условия (2,3) и целевую функцию (1) по одному разу, то двойственную задачу по отношению к прямой транспортной задаче можно сформулировать следующим образом. Требуется найти не отрицательные числа ui (при i = 1,2,…,m) и vj (при j = 1,2,..,n), обращающие в максимум целевую функцию: G = ∑aiui + ∑bjvj при условии: ui + vj ≤ cij, i = 1,2,..,m; j = 1,2,..,n (4) В систему условий (4) будет mxn неравенств. По теории двойственности для оптимальных планов прямой и двойственной задачи для всех i,j должно быть: ui + vj ≤ cij, если xij = 0, ui + vj = cij, если xij ≥ 0, Эти условия являются необходимыми и достаточными признаками оптимальности плана транспортной задачи. Числа ui , vj называются потенциалами. Причем число ui называется потенциалом поставщика, а число vj – потенциалом потребителя. По первой теореме двойственности в оптимальном решении значения целевых функций прямой и двойственных задач совпадают: F = G. Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов
Поскольку в матрице присутствуют запрещенные к размещению клетки, то для отыскания оптимального плана достаточно заменить их на максимальные тарифы (26 умноженное на 3).
Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи. ∑a = 80 + 20 + 110 = 210 ∑b = 60 + 40 + 30 + 80 = 210 Условие баланса соблюдается. Запасы равны потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой. Занесем исходные данные в распределительную таблицу.
Этап I. Поиск первого опорного плана. 1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи. Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирается наименьшая, и в клетку, которая ей соответствует, помещается меньшее из чисел ai, или bj. Затем, из рассмотрения исключим либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя. Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выберем наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены. Искомый элемент равен c13=6. Для этого элемента запасы равны 80, потребности 30. Поскольку минимальным является 30, то вычитаем его. x13 = min(80,30) = 30.
Искомый элемент равен c14=7. Для этого элемента запасы равны 50, потребности 80. Поскольку минимальным является 50, то вычитаем его. x14 = min(50,80) = 50.
Искомый элемент равен c21=7. Для этого элемента запасы равны 20, потребности 60. Поскольку минимальным является 20, то вычитаем его. x21 = min(20,60) = 20.
Искомый элемент равен c31=14. Для этого элемента запасы равны 110, потребности 40. Поскольку минимальным является 40, то вычитаем его. x31 = min(110,40) = 40.
Искомый элемент равен c34=15. Для этого элемента запасы равны 70, потребности 30. Поскольку минимальным является 30, то вычитаем его. x34 = min(70,30) = 30.
Искомый элемент равен c32=26. Для этого элемента запасы равны 40, потребности 40. Поскольку минимальным является 40, то вычитаем его. x32 = min(40,40) = 40.
Получим следующий опорный план:
В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность потребителей удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи. 2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы – их 6, должно быть m + n - 1 = 6 – опорный план является невырожденным. Значение целевой функции для этого опорного плана равно: F(x) = 6*30 + 7*50 + 7*20 + 14*40 + 26*40 + 15*30 = 2720 Этап II. Улучшение опорного плана. Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij: u1 = 0 u1 + v3 = 6; 0 + v3 = 6; v3 = 6 u1 + v4 = 7; 0 + v4 = 7; v4 = 7 u3 + v4 = 15; 7 + u3 = 15; u3 = 8 u3 + v1 = 14; 8 + v1 = 14; v1 = 6 u2 + v1 = 7; 6 + u2 = 7; u2 = 1 u3 + v2 = 26; 8 + v2 = 26; v2 = 18
Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vj > cij (2;2): 1 + 18 > 17; ∆22 = 1 + 18 - 17 = 2 (3;3): 8 + 6 > 12; ∆33 = 8 + 6 - 12 = 2 max(2,2) = 2 Выбираем максимальную оценку свободной клетки (2;2): 17 Для этого в перспективную клетку (2;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».
Цикл приведен в таблице (2,2 → 2,1 → 3,1 → 3,2). Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (2, 1) = 20. Прибавляем 20 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 20 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0 u1 + v3 = 6; 0 + v3 = 6; v3 = 6 u1 + v4 = 7; 0 + v4 = 7; v4 = 7 u3 + v4 = 15; 7 + u3 = 15; u3 = 8 u3 + v1 = 14; 8 + v1 = 14; v1 = 6 u3 + v2 = 26; 8 + v2 = 26; v2 = 18 u2 + v2 = 17; 18 + u2 = 17; u2 = -1 Опорный план примет вид:
Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vj > cij (3;3): 8 + 6 > 12; ∆33 = 8 + 6 - 12 = 2 Выберем максимальную оценку свободной клетки (3;3): 12 Для этого в перспективную клетку (3;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».
Цикл приведен в таблице (3,3 → 3,4 → 1,4 → 1,3). Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (1, 3) = 30. Прибавляем 30 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 30 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0. u1 + v4 = 7; 0 + v4 = 7; v4 = 7 u3 + v4 = 15; 7 + u3 = 15; u3 = 8 u3 + v1 = 14; 8 + v1 = 14; v1 = 6 u3 + v2 = 26; 8 + v2 = 26; v2 = 18 u2 + v2 = 17; 18 + u2 = 17; u2 = -1 u3 + v3 = 12; 8 + v3 = 12; v3 = 4
Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию ui + vj ≤ cij. Минимальные затраты составят: F(x) = 7*80 + 17*20 + 14*60 + 26*20 + 12*30 = 2620 Проверим оптимальность найденного плана по первой теореме двойственности (в оптимальном решении значения целевых функций прямой и двойственных задач совпадают: F = G).  Проведем анализ оптимального плана. Из 1-го склада необходимо весь груз направить к 4-у потребителю. Из 2-го склада необходимо весь груз направить к 2-у потребителю. Из 3-го склада необходимо груз направить к 1-у потребителю (60), к 2-у потребителю (20), к 3-у потребителю (30) Задача имеет множество оптимальных планов, поскольку оценка для (3;4) равна 0.
 Минимальные затраты на перевозку составят 2620. 2. Определите верхнюю и нижнюю цену игры, седловую точку (если она существует):  |