Рво. Руководство по самостоятельной работе студентов Челябинск 2001 2 удк 621 011(075. 8)
 Скачать 0.79 Mb.
|
|
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Южно - Уральский государственный университет Кафедра Теоретические основы электротехники. 3 (В. Н. Непопалов Расчет линейных электрических цепей переменного тока Методическое руководство по самостоятельной работе студентов Челябинск 2001 2 УДК 621.3.011(075.8) Непопалов В. Н. Расчет линейных электрических цепей переменного тока Методическое руководство по самостоятельной работе студентов. – 77 с. В руководстве поясняются методы расчета установившихся режимов линейных электрических цепей периодического тока. Рассматривается комплексный метод расчета линейных электрических цепей синусоидального тока. Руководство предназначено в помощь студентам при самостоятельной работе по курсу Основы электротехники. Ил. 63, табл. 3. ОГЛАВЛЕНИЕ Синусоидальные токи, напряжения. Параметры идеальных элементов электрических цепей синусоидального тока. 4 1.1. Общие сведения. 4 1.2. Решение типовых задач ................................................................................. 10 1.3. Задачи и вопросы для самоконтроля. 16 2. Комплексный метод расчета ................................................................................ 18 2.1. Общие сведения. 18 2.2. Решение типовых задач ................................................................................. 21 2.3. Задачи и вопросы для самоконтроля. 29 3. Расчет разветвленных цепей синусоидального тока комплексным методом. 31 3.1. Общие сведения. 31 3. 2. Решение типовых задач ................................................................................ 33 3.3. Задачи и вопросы для самоконтроля. 49 4. Расчет установившихся режимов цепи синусоидального тока с индуктивно связанными элементами ........................................................................................... 50 4. 1. Общие сведения. 50 2. Решение типовых задач .................................................................................... 52 4.3. Задачи и вопросы для самоконтроля. 60 Расчет установившихся режимов электрической цепи периодического несинусоидального тока ........................................................................................... 62 5. 1. Общие сведения. 62 5. 2. Решение типовых задач ................................................................................ 64 5. 3. Задачи и вопросы для самоконтроля. 77 4 1. Синусоидальные токи, напряжения. Параметры идеальных элементов электрических цепей синусоидального тока 1.1. Общие сведения Электромагнитный процесс в электрической цепи считается периодическим, если мгновенные значения напряжений и токов повторяются через равные промежутки времени Т. Время Т называется периодом. Напряжения ) ( ) ( T t u t u + = и токи ) ( ) ( T t i t i + = ветвей электрической цепи являются периодическими функциями времени. Величина, обратная периоду (число периодов в единицу времени, называется частотой T f 1 = . Частота имеет размерность с, а единицей измерения частоты служит Герц (Гц. Широкое применение в электротехнике нашли синусоидальные напряжения и токи ) sin( ) ( u m t U t u ψ + ω = , В этих выражениях - ) (t u , ) (t i – мгновенные значения, - U m , I m – максимальные или амплитудные значения, - f T π = π = ω 2 / 2 – угловая частота (скорость изменения аргумента, - u ψ , i ψ – начальные фазы, - u t ψ + ω , i t ψ + ω – фазы, соответственно напряжения и тока. Графики изменения ) ( t u , ) ( t i удобно представлять не в функции времени t, а в функции угловой величины t ω , пропорциональной t рис. 1.1). U m I m ωt ω π T = 2 ψ i ψ u ϕ π 2 π 3 2 π 2 π I m U m u i 0 i u Рис. 1.1 Величина ϕ ( ) − ψ + ω = u t ( ) = ψ + ω i t u ψ – i ψ называется углом сдвига фаз. На рис. 1.1 u ψ > 0, u ψ > i ψ > 0 , i u ψ − ψ = ϕ > 0 , те. напряжение опережает ток. Аналогично можно ввести понятия углов сдвига фаз между двумя напряжениями или токами. Количество тепла, рассеиваемого на сопротивление при протекании по нему тока, электромагнитная сила взаимодействия двух проводников с равными токами, пропорциональны квадрату тока. Поэтому о величине тока судят по действующему значению за период. Действующее значение периодического тока определяется по выражению ∫ = T dt i T I 0 Для квадратов левой и правой частей этого равенства, после умножения их на RT , будем иметь ∫ = T dt Ri RT I 0 Из этого равенства следует, что действующее значение периодического тока равно по величине такому постоянному току I , который на неизменном сопротивление R за время Т выделяет тоже количество тепла, что и ток При синусоидальном токе t I t i m ω = sin ) ( интеграл ( ) T I dt t I tdt I m T m T m 2 2 cos 1 2 sin 2 0 2 0 2 Следовательно, действующее значение синусоидального тока равно Действующие значения синусоидальных напряжений ) ( t u , э. д. с. определяются аналогично 2 m U U = ; Для измерения действующих значений используются приборы электромагнитной, электродинамической, тепловой и др. систем. Среднее значение синусоидального тока определяется как среднее за половину периода. Поэтому, ∫ ω = 2 0 ср sin 2 T m tdt I T I ( ) m T m I t T I π = ω − ω = 2 cos 2 2 0 Средние значения синусоидальных напряжений ) (t u , э. д. с. ) (t e определяются аналогично m U U π = 2 ср ; m E E π = 2 ср Отношение амплитудного значения к действующему называется коэффициентом амплитуды а, а отношение действующего значения к среднему коэффициентом формы ф. Для синусоидальных величин, например, тока ) (t i , эти коэффициенты равны 41 , 1 2 a ≈ = = I I k m ; 11 , 1 2 2 2 2 cp ф ≈ π = π = = m m I I I I k Для синусоидальных токов ) sin( ) ( i m t I t i ψ + ω = уравнения идеальных элементов R , L , C при принятых на рис. 1.2 положительных направлениях имеют вид ) sin( i m R t RI Ri u ψ + ω = = ; ) 90 sin( o + ψ + ω ω = = i m L t LI dt di L u ; ) 90 sin( 1 ) 0 ( ) ( 1 0 o − ψ + ω ω = + τ τ = ∫ i m t C C t I C u d i C u R i R u RI U R = , 0 = = ψ − ψ ϕ i u R U I i L u L LI U L ω = , = ψ − ψ = ϕ i u 2 π I L U i C u C I C U C ω = 1 , = ψ − ψ = ϕ i u – Рис. 1.2 На активном сопротивление R мгновенные значения напряжения и тока совпадают по фазе. Угол сдвига фаз На индуктивности L мгновенное значение тока отстает от мгновенного значения напряжения на угол 2 π . Угол сдвига фаз = ϕ 2 π На емкости С мгновенное значение напряжения отстает от мгновенного значения тока на угол 2 π . Угол сдвига фаз = ϕ – Величины L ω и C ω 1 имеют размерность Ом и называются реактивным сопротивлением индуктивности или индуктивным сопротивлением L X : и реактивным сопротивлением емкости или емкостным сопротивлением C X : Величины L ω 1 и имеют размерность Ом –1 ] и называются реактивной проводимостью индуктивности или индуктивной проводимостью L B : и реактивной проводимостью емкости или емкостной проводимостью C B : Связь между действующими значениями напряжения и тока на идеальных элементах R , L , C устанавливают уравнения RI U R = ; R GU I = ; I X U L L = ; L L U B I = ; I X U C C = ; Для синусоидального напряжения начальная фаза тока на входе пассивного двухполюс- ника (рис. 1.3) равна ϕ − = ψ i , поэтому Проекция напряжения на линию тока , R , L Рис. 1.3 ϕ = называется активной составляющей напряжения. Проекция напряжения на линию, перпендикулярную току, ϕ = называется реактивной составляющей напряжения. Проекция тока на линию напряжения ϕ = называется активной составляющей тока. Проекция тока на линию, перпендикулярную напряжению, ϕ = называется реактивной составляющей тока. Имеют место очевидные соотношения 2 2 X R U U U + = ; 2 Вцепи синусоидального тока для пассивного двухполюсника по определению вводятся следующие величины 1. Полное сопротивление Z : I U Z = , 2. Эквивалентные активное эк и реактивное эк сопротивления эк, эк, 3. Полная проводимость Y : U I Y = , 4. Эквивалентные активная эк и реактивная эк проводимости эк, U I B B = эк C L B B − = Из треугольников сопротивлений и проводимостей (рис. 1.4) следует эк cos Z ; эк sin Z ; 2 эк 2 эк X R Z + = , эк G ϕ = cos Y ; эк sin Y ; 2 эк 2 эк B G Y + = , эк эк эк эк Y Z 1 = ; Z Y 1 = ϕ эк R ϕ Z эк X Y эк G эк B Рис. 1.4 Эквивалентные параметры являются измеряемыми величинами, поэтому могут быть определены из физического эксперимента (рис. 1.5). I ϕ П U A U u i Рис. 1.5 Электрическая цепь по схеме рис. 1. 5 должна содержать амперметр Аи вольтметр U для измерения действующих значений напряжения и тока, фазометр для измерения угла сдвига фаз между мгновенными значениями напряжения и тока на входе пассивного двухполюсника П Угол сдвига фаз пассивного двухполюсника ≤ π − 2 ϕ Физическая величина, численно равная среднему значению от произведения мгновенных значений напряжения ) (t u и тока ) (t i , называется активной мощностью Р. По определению имеем = = ∫ T uidt T P 0 1 = ( ) ∫ ∫ ϕ − ω − ϕ = ϕ − ω ω T m m T m m dt t T I U dt t t T I U 0 Расчетные величины UI P S = = max ; называются полной мощностью S и реактивной мощностью Q вцепи синусоидального тока. Имеет место равенство 2 Коэффициент мощности м вцепи синусоидального тока определяется выражением ϕ = = cos м S P k i I W U u Рис. 1.6 Единицей измерения активной мощности является Ватт Вт. Для измерения активной мощности служит ваттметр. Ваттметр включается по схеме рис. 1.6. Единица измерения полной мощности [ВА], реактивной [ВАр]. Для вычисления мощностей удобно использовать следующие выражения эк 2 эк 2 G U UI R I I U P G R = = = = ; эк 2 эк 2 B U UI X I I U Q B X = = = = ; Y U Z I S 2 2 = = 10 1.2. Решение типовых задач Для измерения мгновенных значений напряжений ) ( t u и токов ) ( t i служит осциллограф. Поскольку сопротивление входа этого прибора очень большое, непосредственно для измерения тока осциллограф использовать нельзя. Измеряют не тока пропорциональное току напряжение на шунте ш (риса. Задача 1.1. К источнику синусоидального напряжения частотой = f 50 Гц подключена катушка индуктивности (риса. Активное сопротивление провода, из которого изготовлена катушка Ом, индуктивность L = 1,6 мГн. Осциллограмма напряжения ) ( ш t u представлена на рис. 1.7, б. Сопротивление шунта ш 0,1 Ом. Масштаб по вертикальной оси осциллограммы дел вольта наделение. Рассчитать действующие значения напряжения, составляющих R u и L u этого напряжения. Построить графики мгновенных значений напряжений RL u , составляющих R u и L u i ш u RL u L R u К осцоллографу ша б) Рис. 1.7 Решение. По осциллограмме рис. 1.7, б двойная амплитуда напряжения на шунте А = 10 дел. Находим амплитудное значение тока i : ш 2 R Am u = 1 , 0 2 02 , 0 10 ⋅ ⋅ = 1 А. Реактивное сопротивление Х индуктивности L на частоте ω = f π 2 = 6,28⋅1000 = 6280 с равно Х ωL = 6280 ⋅1,6 ⋅10 –3 = 10,053 ≈ 10 Ом. Амплитудные значения напряжений R u и L u : R I U m mR = = 10 В = = X I U m mL 10 В. Мгновенные значения составляющих напряжения на сопротивление R катушки индуктивности и индуктивности L соответственно равны ( 0 = ψ i ) : = ω = t U u mR R sin 10 ⋅sin 6280 ⋅t В ( ) = π + ω = 2 sin t U u mL L 10 ⋅sin ( 6280 ⋅t + 2 π ) В. Мгновенное значение напряжения на активном сопротивление в фазе стоком, на индуктивности опережает ток на угол Действующие значения напряжений 2 mR R U U = = 2 10 = 7,07 В 2 mL L U U = = 2 10 = 7,07 В RL U = ⋅ 2 7,07 = 10 В. I R U L U RL U ϕ 4 π = ϕ Рис. 1.8 Векторные диаграммы напряжений и тока приведены на рис. 1.8. Амплитудное значение mRL U = ⋅ 2 10 = 14,1 В. Начальная фаза 4 arctg π = = ϕ = ψ R L u U U (т. к. 0 = ψ i ), следовательно ( ) = ψ + ω = u mRL RL t U u sin 14,1 ( ) 4 sin π + ωt В. Зависимости ) ( t u R ω ; ) ( t u L ω ; ) ( t u RL ω представлены на рис. 1.9. t ω 0 2 π π 4 3 π π 2 5 − 10 − B 5 10 Рис. 1.9 Задача Рис. 1.10 К цепи со схемой рис. 1.10 приложено синусоидальное напряжение t u 314 sin 141 = В. Найти мгновенные и действующие значения тока и напряжений на всех участках цепи, если R = 30 Ом, С 79,62 мкФ. Решение Назначаем положительные направления тока и напряжений как на рис. 1.10. Определяем реактивное сопротивление Х С емкости Сна частоте 314 = ω с –1 : Х С = ⋅ = ω = 62 , 79 314 10 1 6 C 40 Ом. Полное сопротивление цепи 2 2 C X R Z + = = + = 2 2 40 30 50 Ом. Амплитудные значения - тока i : = = = 50 141 Z U I m m 2,82 А - напряжения на резисторе R : = = m mR RI U 30 ⋅ 2,82 = 84,6 В- напряжения на емкости С = = m C mC I X U 40 ⋅ 2,82 = 112,8 В. Угол сдвига фаз между напряжением u и током i эк arctg = ϕ = − = − = 30 40 arctg arctg R X C – 53 °. Начальная фаза тока i определяется из соотношения ϕ = ψ − ψ i u . Откуда, = ϕ − = ψ i Мгновенные значения тока и напряжений на участках цепи ( ) = ψ + ω = i m t I i sin 2,82 ( ) o 53 314 sin + t А ( ) = ψ + ω = i mR R t U u sin 84,6 ( ) o 53 314 sin + t t В ( ) = − ψ + ω = o 90 sin i mC C t U u 112,8 ( ) o 37 В. Действующие значения = = 2 m I I 2 А = = 2 mR R U U 60 В = = 2 mC C U U 80 В. Задача Для пассивного двухполюсника (рис. 1.5) экспериментально определены U = 10 В I = 2 А ϕ = Найти полное и эквивалентные активное и реактивное сопротивления двухпо- люсника. Решение. Имеем по определению = = I U Z 5 Ом 13 = = ϕ = o 30 cos 5 cos эк Ом = = ϕ = o 30 sin 5 sin эк Ом. Задача 1.4 Вцепи по схеме рис. 1.10 действующие значения тока i на частотах = 1 f 500 Гц и = 2 f 1000 Гц равны, соответственно, I 1 = 1 Аи А. Определить параметры цепи R и С, если на этих частотах напряжение на входе U = 100 B. Решение По определению на частотах 1 f и 2 f имеем 1 1 I U Z = ; 2 Непосредственно по схеме цепи рис. 1.10 находим 2 1 2 2 1 1 ω + = C R Z ; 2 2 2 2 2 Значения параметров R и С найдем из решения системы уравнений = ω + = ω + 1 ; 1 2 2 2 2 2 2 1 2 Программа расчета в пакете Mathcad. U 100 f1 500 f2 1000 I1 1 I2 1.8 z1 U I1 z2 U I2 = z1 100 = z2 55.556 ω1 2 π f1 ω2 2 π f2 R 100 C 10 6 1 Given R 2 1 ω1 C 2 z1 2 R 2 1 ω2 C 2 z2 2 RC Find( ) , R C = RC 27.962 3.315 10 6 ← Присвоение переменным заданных условием задачи величин. ← Расчет полных сопротивлений на частотах и f 2 ← Расчет угловой частоты. ← Задание приближенных значений параметров R и Сцепи Решение системы нелинейных уравнений. Для набора нажмите [Ctrl] = ← Присвоение вектору RC найденных значений параметров R и Сцепи Ом, С = 3,3 мкФ. Значения параметров цепи R = 28 Ом С = 3,3 мкФ. Задача Вычислить действующее значение тока и активную мощность на входе пассивного двухполюсника с эквивалентными активной проводимостью G = 0,011 Ом и реактивной проводимостью В = 0,016 Ом –1 . Напряжение на входе двухпо- люсника U = 30 В. Решение Полная проводимость 2 2 B G Y + = = 2 2 016 , 0 011 , 0 + = 0,019 Ом Действующее значение тока I =YU = 0,019⋅30 = 0,58 А. Активная мощность ϕ = cos UI P Y G UI = = 30⋅0,58⋅ 019 , 0 011 , 0 = 10,1 Вт. Задача Действующее значение синусоидального тока ветви с резистором R равно 0,1 А (рис. Найти действующие значения напряжения u , токов L i и i , если R = 430 Ом L X = 600 Ом. Чему равна активная, реактивная и полная мощности этого двухполюсника? Решение Положительные направления напряжения и токов указаны на рис. 1.11. Рис. 1.11 Действующее значение тока = R I 0,1 А. По закону Ома = = R I U R 0,1 ⋅430 = 43 В. Ток 600 43 = = L L X U I = 0,072 А. Ток 2 2 2 2 072 , 0 1 , 0 + = + = L R I I I = 0,123 А. Действующее значение тока I можно вычислить, определив полную проводимость цепи. По виду схемы имем 2 2 2 2 600 1 430 1 1 1 + = + = L X R Y = 2,86 ⋅10 –3 Ом –1 Ток YU I = = 2,86 ⋅10 –3 ⋅43 = 0,123 А. Мощности R I P R 2 = = 4,3 Вт L L X I Q 2 = = 3,082 ВАр, = = UI S 5,29 ВА. Выполняется соотношение 2 Задача Действующее значение синусоидального напряжения на емкости Св цепи со схемой рис. 1.10 = C U 24 В. Найти действующие значения напряжения u и тока i , если Х С = 12 Ом R = 16 Ом. Решение Определяем действующее 12 24 = = C C X U I = 2 А. Полное сопротивление цепи 2 2 2 12 16 + = + = C X R Z = 20 Ом. Действующее значение напряжения u 20 2 ⋅ = = IZ U = 40 В. Задача 1.8 Для определения эквивалентных параметров пассивного двухпо- люсника вцепи синусоидального тока были сделаны измерения действующих значений напряжения и токаи активной мощности рис. 1.12). Показания приборов: I W П U A U u i C C i Рис. А → 0,5 А, U → 100 В, W → 30 Вт. Для определения характера реактивного сопротивления (проводимости) параллельно двухполюснику была включена емкость С ( В С < В эк ). При этом показания амперметра уменьшились. Рассчитать эквивалентные сопротивления и проводимости двухполюсника. Решение Действующие значения I = 0,5 А U = 100 В. Активная мощность, потребляемая двухполюсником, Р = 30 Вт Полное сопротивление двухполюсника I U Z = 5 , 0 100 = = 200 Ом. Эквивалентное активное сопротивление 25 , 0 30 эк 120 Ом. Эквивалентное реактивное сопротивление 2 2 2 эк 200 − = − = R Z X = = 160 Ом ′ I′ C I C I U I ) а ) б 0 > ϕ 0 < ϕ Рис. 1.13 Характер реактивного сопротивления индуктивный ( L X Х = эк , 0 > ϕ ). После включения параллельно двухполюснику емкости Сток. Этому случаю соответствует векторная диаграмма риса. Емкостному характеру соответствует векторная диаграмма рис. 1.13, б. Полная проводимость двухполюсника U I Y = 100 5 , 0 = = 5⋅ 3 10 − Ом Эквивалентная активная проводимость 2 эк 30 = = U P G = 3⋅ 3 10 − Ом Эквивалентная реактивная проводимость 6 6 2 эк 2 эк 10 9 10 25 − − ⋅ − ⋅ = − = G Y B = 4⋅ 3 10 − Ом Следует обратить внимание, что треугольники сопротивлений и проводимостей для одного итого же двухполюсника подобны (рис. 1.4). Поэтому, Y G Z R = и Y B Z X Следовательно, эк эк 200 120 = = 3⋅ 3 10 − Ом эк эк 200 160 = = 4⋅ 3 10 − Ом –1 |