Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду
 Скачать 3.42 Mb.
|
|
МАТЕМАТИКА В ЗАДАЧАХ Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду Под редакцией А. А. Заславского, ДА. Пермякова, А. Б. Скопенкова, М. Б. Скопенкова и А. В. Шаповалова Москва Издательство МЦНМО 2009 УДК 51 ББК 74.200.58:22.1 М34 Поддержано Департаментом образования г. Москвы в рамках программы Одаренные дети» Рецензент: А. К. Ковальджи М34 Математика в задачах. Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду Под ред. А. А. Заславского, ДА. Пермякова, А. Б. Скопенко- ва, М. Б. Скопенкова и А. В. Шаповалова. — М МЦНМО, 2009. — 488 с В данный сборник вошли материалы выездных школ по подготовке команды Москвы на Всероссийскую олимпиаду. Материалы сборника могут использоваться как школьниками для самостоятельных занятий, таки преподавателями. В большинстве материалов сборника приведены дававшиеся на занятиях задачи, а также решения или указания к ключевым задачам. ББК Рисунки Е. С. Горской 978-5-94057-477-4 c Коллектив авторов, 2009. c МЦНМО, 2009. ОГЛАВЛЕНИЕ От редакторов 8 Олимпиады и математика. А. Б. Скопенков 9 Философско-методическое отступление. А. Б. Скопенков 11 Напутствие. А. Я. Канель-Белов 14 I. Алгебра 15 Г лава. Миникурс по алгебре. А. Б. Скопенков 17 Деление многочленов с остатком (8 – 9) . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Рациональные и иррациональные числа (8 – 10). .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Решение уравнений й и й степени (9 – 10). .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Применения комплексных чисел (10 – 11) . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 24 Непостроимость правильных многоугольников (10– 11) А. Я. Канель- Белов . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Диагонали правильных многоугольников. И. Н. Шнурников . .. .. .. .. .. Глава. Миникурс по анализу. А. Б. Скопенков 33 Неравенства: базовые методы (9 – 10) . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Неравенства симметрические и циклические (10 – 11). МА. Бер- штейн . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Геометрическая интерпретация (10 – 11) . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Анализ, оценки, неравенства (11). В. А. Сендеров . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Анализ для многочленов (9 – 10) . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Число корней многочлена правило Штурма (10 – 11) . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Конечные суммы и разности (10 – 11) . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Линейные рекурренты (10 – 11) . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Конкретная теория пределов (11) . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Методы суммирования рядов (11) . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Сходимость рядов (11) . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Приложение (11) . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Глава. Миникурс по теории чисел. А. Б. Скопенков 67 Делимость и деление с остатком (7 – 8) . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 67 НОД и НОК (7 – 8) . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 70 4 Оглавление Простые числа (8) . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Каноническое разложение (8) . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Линейные диофантовы уравнения (8 – 9). .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Целые точки под прямой (9 – 10) . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Малая теорема Ферма (9 – 10) . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Квадратичные вычеты (10 – 11) . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Первообразные корни (10 – 11) . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Проверка простоты чисел Мерсенна (10 – 11). СВ. Конягин . .. .. .. .. .. Алгоритм Евклида для гауссовых чисел (10 – 11). А. Я. Канель-Белов 98 Разные задачи по элементарной теории чисел . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Разные задачи (8 – 10). ДА. Пермяков, И. Н. Шнурников . .. .. .. . Разные задачи (10 – 11). И. Н. Шнурников, А. Засорин . .. .. .. .. .. .. . Разные задачи (10 – 11). А. Я. Канель-Белов . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 106 II. Геометрия 109 Г лава. Геометрия треугольника 111 Принцип Карно. В. Ю. Протасов, А. А. Гаврилюк . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Центр вписанной окружности (9 – 10). В. Ю. Протасов . .. .. .. .. .. .. .. .. . Прямая Эйлера (9 – 10). В. Ю. Протасов . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 115 Ортоцентр, ортотреугольник и окружность девяти точек (9 – В. Ю. Протасов . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Несколько неравенств, связанных с треугольником (10– 11). В. Ю. Про- тасов . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Биссектрисы, высоты и описанная окружность (9 – 10). ПА. Кожевников. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 121 «Полувписанная» окружность (9 – 10). ПА. Кожевников . .. .. .. .. .. .. . Обобщенная теорема Наполеона (9 – 10). ПА. Кожевников . .. .. .. .. .. . Теорема Сонда (9 – 10). А. А. Заславский . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Изогональное сопряжение и прямая Симсона (10 – 11). А. В. Акопян 139 Г лава. Окружность 148 Простейшие свойства окружности (8 – 9). АД. Блинков. .. .. .. .. .. .. .. .. . Вписанный угол (8 – 9). ДА. Пермяков . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Вписанные и описанные (9 – 10). А. А. Гаврилюк . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Радикальная ось (9 – 10). И. Н. Шнурников, А. Засорин . .. .. .. .. .. .. .. .. . Касание (9 – 10). И. Н. Шнурников, А. Засорин . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . О теореме Понселе (10 – 11). А. А. Заславский . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Глава. Миникурс по геометрическим преобразованиям. А. Б. Ско- пенков 169 Применения движений (8 – 9). АД. Блинков. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 169 Оглавление 5 Самосовмещения (8 – 10) . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Классификация движений (8 – 10) . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Применение подобия и гомотетии (8 – 9). АД. Блинков . .. .. .. .. .. .. .. .. . Гомотетия и подобие (8 – 9) . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Параллельная проекция и аффинные преобразования (9 – 11) . .. .. .. .. . Центральная проекция и проективные преобразования (9 – 11) . .. .. .. . Инверсия (9 – 10) . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Глава. Аффинная и проективная геометрия 196 Буря на Массовом поле (9 – 10). А. А. Гаврилюк . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Немного о двойных отношениях (9 – 10). А. А. Гаврилюк . .. .. .. .. .. .. .. . Полярное соответствие (9 – 10). А. А. Гаврилюк, ПА. Кожевников . . Глава. Построения и геометрические места точек 210 Задачи на построение и ГМТ (8 – 9). АД. Блинков . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Задачи на построение и ГМТ, связанные с площадями (8 – АД. Блинков . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Построения. Ящик инструментов (9 – 10). А. А. Гаврилюк. .. .. .. .. .. .. .. . Дополнительные построения (9 – 10). И. Н. Шнурников . .. .. .. .. .. .. .. .. . Глава. Разные задачи по геометрии 228 Геометрические задачи на экстремальные значения (9 – АД. Блинков . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Площади (9 – 10). АД. Блинков . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Конические сечения (10 – 11). А. В. Акопян . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Криволинейные треугольники и неевклидова геометрия (10 – М. Б. Скопенков. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Рисование (8 – 10). А. Б. Скопенков . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Подсчет по частям. Углы, отрезки. (9 – 10). А. А. Гаврилюк . .. .. .. .. . Геометрический винегрет (9 – 10). А. А. Гаврилюк . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 256 III. Комбинаторика 259 Г лава. Подсчеты в комбинаторике 261 Подсчеты числа способов (7 – 8). А. А. Гаврилюк . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Подсчеты с подмножествами (9 – 10). ДА. Пермяков. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Наборы подмножеств (9 – 10). ДА. Пермяков . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Формула включения-исключения (9 – 10). ДА. Пермяков. .. .. .. .. .. .. .. . Комбинаторика классов эквивалентности (9 – 11). А. Б. Скопенков . . Задачи на комбинаторные покрытия (10 – 11). А. Я. Канель-Белов. .. . Оценка Виссера мощности пересечений (10 – 11). А. Б. Скопенков . .. . 271 6 Оглавление Г лава. Многомерный куб 275 Комбинаторика N -мерного куба (9 – 10). А. Б. Скопенков . .. .. .. .. .. .. .. . Структуры наконечном множестве (11). А. Б. Скопенков . .. .. .. .. .. .. . Теорема Поста о выразимости для функций алгебры логики (10 АИ. Засорин, А. Б. Скопенков . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Геометрия N -мерного куба (10 – 11). Ю. М. Бурман . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Глава. Миникурс по теории графов 290 Простейшие понятия теории графов (7 – 8). А. Б. Скопенков . .. .. .. .. .. . Пути в графах (8 – 11). ДА. Пермяков. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Теория Рамсея (8 – 9). ДА. Пермяков . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Раскраски графов (8 – 10). ДА. Пермяков . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Подсчеты в графах (9 – 11). ДА. Пермяков . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Задачи по комбинаторной теории графов (9 – 11). А. Б. Скопенков . . 302 Изоморфизмы графов (10 – 11). И. Н. Шнурников . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Задачи по топологической теории графов (9 – 11). А. Б. Скопенков, И. Н. Шнурников . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Метод минимального контрпримера и спуск в графах (10). А. ЯКа- нель-Белов . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Случайные графы (10 – 11). А. М. Райгородский . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Вокруг критерия Куратовского планарности графов. А. Б. Скопенков Глава. Алгоритмы, конструкции, инварианты 330 Инвариант (8 – 9). А. В. Шаповалов . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 330 Полуинвариант (8 – 9). А. В. Шаповалов . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Разные задачи (8 – 9). ДА. Пермяков . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Цикличность (8 – 10). ПА. Кожевников. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Конечное и счетное (9 – 11). ПА. Кожевников . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Игры (8 – 10). ДА. Пермяков, М. Б. Скопенков, А. В. Шаповалов . .. . Сложность суммирования (9 – 11). ЮГ. Кудряшов, А. Б. Скопенков 352 Комбинаторная разминка (10 – 11). И. Н. Шнурников . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Немного индукции и перебора (10 – 11). И. Н. Шнурников. .. .. .. .. .. .. .. . Разные задачи (10 – 11). И. Н. Шнурников. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Глава. Комбинаторная геометрия 372 Принцип Дирихле и его применения в геометрии (10 – 11). ИВ. Аржанцев. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Теорема Хелли (10 – 11). А. В. Акопян . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Теория вероятностей и комбинаторная геометрия (10– 11). А. М. Рай- городский . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 381 Оглавление 7 Теорема о 12 (10 – 11). В. В. Прасолов, М. Б. Скопенков . .. .. .. .. .. .. .. .. . Третья проблема Гильберта и разрезания прямоугольника (10 – В. В. Прасолов, М. Б. Скопенков . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Теория Рамсея для зацеплений (10 – 11). М. Б. Скопенков, А. В. Ша- повалов . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Треугольники и катастрофы (10 – 11). , А. К. Ковальджи. .. .. .. .. .. .. .. . Московские выездные математические школы. А. Б. Скопенков 461 От редакторов В данный сборник вошли материалы выездных школ по подготовке команды Москвы на Всероссийскую олимпиаду. Подробнее об этих школах, их программах, их преподавателях (многие из которых являются авторами сборника) и т. д. написано в приложении. Материалы сборника могут использоваться как школьниками для самостоятельных занятий, таки преподавателями. В большинстве материалов сборника приведены дававшиеся на занятиях задачи, а также решения или указания к ключевым задачам. Обычно ключевые задачи самостоятельно решаются некоторыми школьниками и после этого разбираются, а остальные задачи сдаются школьниками как на занятии, таки после него. Материалы разделены натри части Алгебра, Геометрия, Комбинаторика, а внутри каждой части на разделы. В скобках после названия каждого раздела указано, для каких классов он рекомендуется. Эта рекомендация примерно соответствует тому, каким участникам этот раздел предлагался на Школе. Конечно, эта рекомендация весьма условна. Достоинство данного сборника в том, что почти все разделы независимы друг от друга. Если водном разделе используются только определение из другого, то эти разделы не считаются зависимыми — все такие определения общеприняты. Схема зависимости разделов приведена вначале каждой главы (или вначале раздела написано, на какие другие разделы он опирается. Это дает большую свободу руководителю кружка при подготовке занятий, но одновременно требует его высокой квалификации. Для решения задач достаточно понимания их условий. Все определения, не входящие в школьную программу, приводятся в той же главе, где используются (ноне всегда в том же разделе. Иногда могут оказаться полезными другие задачи того же раздела или разделов, от которых зависит данный. Никакие другие знания и теории не нужны. Если условие задачи является формулировкой утверждения, то подразумевается, что это утверждение надо доказать. 1) По некоторым темам занятия проводились неоднократно на различных школах, причем иногда разными преподавателями. В сборнике соответствующие материалы объединены Олимпиады и математика 9 Некоторые материалы сборника отражают опыт преподавания не только на Школах, но также в СУНЦ МГУ и на кружке Олимпиады и математика в МЦНМО. Многие материалы использовались для дистанционного обучения математике. В таких материалах присутствуют контрольные вопросы с выбором ответов (предназначенные для быстрой оценки готовности школьника к решению данного цикла задач такие задания не используются на школах) и перечисление номеров задач, являющихся зачетными поданной теме при дистанционном обучении. Сборник предваряют заметки об общих принципах преподавания, адресованные прежде всего преподавателям. Возможно, заметки окажутся полезными и школьникам. Мы благодарим проректора МИОО директора МЦНМО ИВ. Ящен- коза идею создания Школ и книги, а также за организацию материальной основы. Мы благодарим авторов настоящего сборника за серьезную работу над материалами (эти материалы существенно доработаны по сравнению стем, что предлагалось на занятиях. Мы благодарим участников школ, поскольку эти материалы создавались для них (более того, иногда участники помогали совершенствовать материалы, благодарим А. К. Ковальджи за общее рецензирование книги (после рецензирования нами отдельных материалов, МГ. Быкову за техническое редактирование текста и Е. С. Горскую за подготовку рисунков. Редакторы сборника частично поддержаны грантами РФФИ 06- 01-72551-НЦНИЛа и а, НШ-4578.2006.1, РНП 2.1.1.7988, ИНТАС Олимпиады и математика 3) А. Б. Скопенков To him a thinking man’s job was not to deny one reality at the expense of the other, but to include and to connect. U. K. Le Guin. The Перед учителями и руководителями кружков, занимающимися с сильными школьниками, встает вопрос как подготовить школьников к олимпиадам или к серьезной математике Некоторые думают, что 2) http://math.olymp.mioo.ru 3) Это обновленный вариант введения к статье из Мат. просвещения. 2006. № С. 57 – 63. Обновляемый текст Для него работой мыслителя было не отрицание одной реальности за счет другой, а взаимовключение и взаимосвязь. У. К. Ле Гуин. Обделенные. — Пер. автора Олимпиады и математика для первого надо прорешивать задачи последних олимпиад, для второго надо читать научную литературу, и что ввиду принципиальной разницы первого и второго бессмысленно пытаться достичь итого, и другого. Автор этой заметки придерживается распространенного мнения о том, что эти подходы недостаточно эффективны и приводят к вредным побочным эффектам школьники либо чрезмерно увлекаются спортивным элементом в решении задач, либо изучают язык высшей математики вместо ее содержания. Мне кажется, что основу математического образования сильного ученика должно составлять решение и обсуждение задач, в процессе работы над которыми он знакомится с важными математическими идеями и теориями. Это одновременно подготовит школьника и к математической науке, и к олимпиадами не нанесет вреда его развитию в целом. Это будет более эффективно и для достижения успеха только в олимпиадах или только в науке (если не учитывать большого количества других факторов кроме разумной организации занятий). Как и при естественном развитии самой математики, каждая следующая задача должна быть мотивирована либо практикой, либо уже решенными задачами (см. подробнее [4]). Поэтому ученик, занимающийся «мотивированной для него математикой (обычно более элементарной, но содержательной и потому сложной) вместо немотивированной для него математики (обычно менее элементарной, но языковой и потому тривиальной, имеет преимущество в дальнейшей учебе и научной работе. АН. Колмогоров говорил, что до тридцати лет математику разумнее всего заниматься решением конкретно поставленных задач. А значит, умение решать сложные задачи является одним из важнейших для молодого математика. Олимпиадных задач очень много, большинство из них интересны школьнику, и среди них много математически содержательных. Такие задачи могут составить основу изучаемого материала. Однако решение олимпиадных задач без изучения математических идей и теорий недостаточно эффективно даже для чистой подготовки к олимпиадам (на долгих — год и более — промежутках времени, как и вообще решение сиюминутных задач без фундаментального развития. Кроме того, большинству людей легче достичь успеха на олимпиадах в том случае, когда они не считают успех главной целью. Сложную задачу легче решить, если спокойно думать о самой задаче, а не о награде, которая последует за ее решением. Поэтому школьник, имеющий более высокую цель, чем успех на олимпиаде, имеет на этой олимпиаде психологическое преимущество. Как удачно подобрать задачи для обучения учеников Этот вопрос учителя задавали себе последние десять тысяч лет [1, предисловие Философско-методическое отступление, [3, с. 26 –33], [5, предисловие. Очередным примером являются материалы настоящего сборника Генкин С. А, Итенберг ИВ, Фомин Д. В. Ленинградские математические кружки. Киров, 1994. [2] Судзуки Д. Основы дзен-буддизма. Наука дзен — ум дзен. Киев Платон. Федон // Федон, Пир, Федр, Парменид. М Мысль, 1999. [4] Скопенков А. Б. Философско-методическое отступление, наст. сборник Шклярский ДО, Ченцов Н. Н, Яглом ИМ. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. М Физматлит, 2001. Философско-методическое отступление 5) А. Б. Скопенков Круг мог, нацелясь встаю самых признанных и возвышенных человеческих мыслей, вмиг ссадить ворону в павлиньих перьях. В. Набоков. Под знаком незаконнорожденных По моему мнению, именно с новых идей, а нес немотивированных определений, полезно начинать изучение любой теории 6) «Мы стараемся свести к минимуму число понятий, откладывая определения до момента, когда они напрашиваются сами собой, и избегая задач на понимание и применение формальных определений (типа ” яв- ляется ли множество целых чисел группой по сложению )» При изложении материала нужно ориентироваться на объекты, которые основательнее всего укореняются в человеческой памяти. Это отнюдь не системы аксиом и не логические приемы в доказательстве теорем. Изящное решение красивой задачи, формулировка которой ясна и доступна, имеет больше шансов удержаться в памяти студента, нежели абстрактная теория. Скажем больше именно по такому реше- 5) Это часть исходной версии заметки [3], не включенная в опубликованную версию. Обновляемый текст http://www.mccme.ru/circles/oim/oimphil.pdf и http://arxiv.org/abs/0804.4357 Такие идеи наиболее ярко выражаются доказательствами, подобными приведенным в [3]. 12 Философско-методическое отступление нию, при наличии некоторой математической культуры, студент впоследствии сможет восстановить теоретический материал. Обратное же, как показывает опыт, практически невозможно [2, предисловие]. Известно также, что путь познания должен повторять путь развития По моему мнению, такой стиль изложения не только делает материал более доступным, но позволяет сильным студентам (для которых доступно даже абстрактное изложение) приобрести математический вкуси стиль стем, чтобы, во-первых, разумно выбирать проблемы для исследования и их мотивировки. (Математик, понимающий, что теория Галуа мотивируется более важными проблемами, чем построимость правильных многоугольников и разрешимость алгебраических уравнений в радикалах, вряд ли станет мотивировать созданную им теорию приложениями, которые можно получить и без его теории.) Во-вторых, это позволит ясно излагать собственные открытия, не скрывая ошибки или известности полученного результата за чрезмерным формализмом. (К сожалению, такое — обычно бессознательное сокрытие ошибки часто происходит с молодыми математиками, воспитанными на чрезмерно формальных курсах. Происходило это и с автором этих строк к счастью, все мои серьезные ошибки исправлялись перед публикациями.) Мода на искусственно формализованное изложение 8) привела к следующему парадоксу. Поданному известному понятию высшей математики зачастую непросто (и это требует высокой научной квалификации) выбрать конкретный красивый результат, для которого это понятие действительно необходимо (и при получении которого это понятие обычно и возникло). 7) «Впрочем, это не вполне верно. Так, изучение геометрии Лобачевского вовсе необязательно начинать с попыток доказать пятый постулат Евклида. Геометрия Лобачевского для нас сейчас важна, в первую очередь, ее приложениями в ТФКП, теории чисел, топологии, теории групп, алгебраической геометрии, космологии и т. да вовсе не тем, что она демонстрирует независимость пятого постулата от остальных аксиом Евклида. С этой точки зрения более плодотворно ее построение не на основе аксиом Евклида—Гильберта, а на основе понятия группы преобразований (Клейн) или римановой метрики (Риман. Аналогично изучение теории Галуа вовсе необязательно начинать с задачи о решении алгебраического уравнения в радикалах или квадратных радикалах. С современной точки зрения теория Галуа есть теория алгебраических расширений полей, составляющая неотъемлемую часть алгебры и имеющая приложения и аналоги в других разделах математики (алгебраическая геометрия, теория накрытий, теория инвариантов, а решение алгебраических уравнений в радикалах — это маргинальная задача (Э. Б. Винберг). 8) Видимо, общепринятый термин «бурбакизация» не очень удачен ввиду масштаба и влияния деятельности Бурбаки, независимо от оценки пользы и вреда разных ее аспектов» (А. Шень). Философско-методическое отступление 13 Доказательство c использованием некоторого нового термина имеет свои преимущества оно подготавливает читателя к доказательству тех теорем, которые уже трудно или невозможно доказать без этого термина. Однако такие доказательства, как правило, не должны быть первыми доказательствами данного результата (легко себе представить результат первого знакомства с теоремой Пифагора на основе понятий векторного пространства и скалярного умножения. Кроме того, при приведении терминологического доказательства полезно четко оговорить его мотивированность не доказываемым результатом, а обучением полезному новому методу. Приведенная выше точка зрения разделяется многими математиками (а некоторыми — нет я унаследовал ее от Ю. П. Соловьева. Например, приводимые порой в качестве основных приложений теории Галуа доказательство теоремы Гаусса о правильных многоугольниках и другие результаты о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах неубедительны для мотивировки этой теории (как и приложение к решению квадратных уравнений неубедительно для мотивировки общей теории разрешимости уравнений произвольной степени в радикалах. Действительно, теорема Гаусса имеет элементарное доказательство, не использующее групп Галуа [3]. Теорема Руффини—Абе- ля о неразрешимости в радикалах общего алгебраического уравнения степени 5 и выше (как и достаточность условия Кронекера неразрешимости в радикалах конкретного уравнения простой степени) также имеет алгебраическое доказательство, не использующее групп Галуа [2], и топологическое доказательство [1]). В терминах теории Галуа формулируется общий критерий разрешимости конкретного алгебраического уравнения в радикалах, но этот критерий не дает настоящего решения проблемы разрешимости, а лишь сводит ее к трудной задаче вычисления группы Галуа уравнения. (То, что никакая другая теория не дает легкого для применения ответа, не позволяет утверждать, что теория Галуа дает такой ответ) Но, конечно, формулировка общего критерия в адекватных проблеме терминах может иметь важное философское значение. 9) «Например, векторное доказательство теоремы Пифагора уже является достаточным основанием для введения понятий векторного пространства и скалярного умножения, хотя эти понятия и не являются необходимыми для доказательства упомянутой теоремы (Э. Б. Винберг). 10) Возможно, именно поэтому работы Галуа были забыты налет после их выхода пока не появились важные задачи, в первую очередь о разрешимости дифференциальных уравнений в квадратурах, при решении которых уже трудно обойтись без теории Галуа — ведь математика XIX века была гораздо ближе к естествознанию, чем современная. Конечно, приведенная гипотеза нуждается в серьезной проверке 14 Напутствие Популяризации теории Галуа послужит дальнейшая публикация интересных теорем, формулируемых без ее понятий, но при попытках доказать которые она естественно возникает. Примеры таких теорем мне сообщили А. Я. Канель-Белов, СМ. Львовский и ГР. Челноков (к сожалению, в доступной мне учебной литературе по теории Галуа мне не удалось найти такие теоремы, формулировка которых не была бы скрыта под толщей обозначений и терминов Алексеев В. Б. Теорема Абеля в вопросах и задачах. М Наука Колосов В. А. Теоремы и задачи алгебры, теории чисел и комбинаторики. М Гелиос, 2001. [3] Козлов П. В, Скопенков А. Б. В поисках утраченной алгебры в направлении Гаусса (подборка задач) // Мат. просвещение. 2008. № С. 127–143. http://arxiv.org/abs/0804.4357 [4] Прасолов В. В. Многочлены. М МЦНМО, 1999, 2001, 2003. [5] Задачи по математике / Под ред. А. Шеня. М МЦНМО, 2000. Напутствие А. Я. Канель-Белов Для успешного решения задач математических олимпиад высшего уровня необходимы в первую очередь общеукрепляющие средства хорошая проработка алгебры (культура алгебраических преобразований), проработка школьной геометрии. Задачи этих олимпиад (кроме первых задач) практически всегда используют смешанный сценарий решения редки задачи на применение некоторого метода или идеи в чистом виде. Решению таких смешанных задач должна предшествовать работа с ключевыми задачами, в которых идеи работают в чистом виде. Этому и посвящен настоящий сборник. См. также А. Я. Канель- Белов, А. К. Ковальджи Как решают нестандартные задачи, С. Ген- кин, И. Итенберг, Д. Фомин Ленинградские математические кружки Часть I АЛГЕБРА ГЛАВА 1 МИНИКУРС ПО АЛГЕБРЕ 1) А. Б. Скопенков Сегодня основная масса учащихся решает алгебраические задачи относительно плохо. Это связано с ухудшением качества школьного образования при сохранении кружкового. Для успешного решения олимпиадных задач алгебраического и теоретико-числового типа всячески рекомендуем нарабатывать культуру арифметических выкладок. (А. Я. Канель-Белов.) Деление многочленов с остатком (8–9) 1. а) Вычислите значение функций (x) = 2x 3 − 27x 2 + 141x − 256 при x = и) = x 4 + x 3 4 − x 2 2 + 1 при x = − 3 Указание n x n + a n−1 x n−1 + . . . + a 1 x + a 0 = = (. . . ((a n x + a n−1 )x + a n−2 )x + . . . + a 1 )x + Этот способ вычисления значения многочлена в точке называется схемой Горнера. б) Сколько операций сложения и умножения нужно для вычисления значения функции f (x) = a n x n + a n−1 x n−1 + . . . + a 1 |