МатАнализВесна2022-2. Теорема о замене переменной под знаком предела для функций Пусть существуют и конечны пределы lim
 Скачать 0.52 Mb.
|
|
Теорема о замене переменной под знаком предела для функций Пусть существуют и конечны пределы lim y → B f (y) = A и lim x →a g(x) = B . Тогда существует и конечен предел lim x →a f (g(x)) = A . Доказательство lim y → B f (y) = A , следовательно, ∀ε > 0 ∃ δ 1 = δ 1 (ε) > 0 такое, что из неравенства |y − B | < δ 1 (ε) следует справедливость неравенства |f(y) − A | < ε . lim x →a g(x) = B , следовательно, ∀ε 2 > 0 (если для любого ε 2 , то и для ε 2 = δ 1 (ε)) ∃ δ 2 = δ 2 (ε 2 ) = δ 2 (δ 1 (ε 1 )) > 0 такое, что из неравенства |x − a| < δ 2 (ε 2 ) = δ 2 (δ 1 (ε 1 )) следует справедливость неравенства |g(x) − B | < ε 2 = δ 1 (ε) . Итак, при любом заданном ε > 0 существует такое значение функции δ 2 (δ 1 (ε)) , благодаря которому справедлива цепь следований |x − a| < δ 2 (δ 1 (ε)) = ⇒ | g(x) |{z} =y − B | < δ 1 (ε) = ⇒ |f(g(x) |{z} =y ) − A | < ε , что, по определению предела, означает lim x →a f (g(x)) = A Определение непрерывности функции в точке Если функция f : X → Y имеет в конечной точке a ∈ X конечный предел lim x →a f (x) , и существует конечное значение функции f (a) в этой точке, и при этом lim x →a f (x) = f (a) , то принято говорить, что функция f (x) непрерывна в точке a . Замечание На основании определения непрерывности функции, и на основании Теоремы о замене переменной под знаком предела для функций можно доказать, что для непре- 1 рывной функции f справедливо равенство lim x →a f (g(x)) = f ( lim x →a g(x) ) . На словах последнее равенство звучит так: "Знак предела и знак непрерывной функции можно обменять местами". Если, конечно, они следуют друг за другом. Замечание Иногда удобнее пользоваться вторым, равноценным первому определением непре- рывности функции в точке. Если существует конечное значение f (x) , и lim ∆x →0 (f (x + ∆x) − f(x)) = 0 , то функция непрерывна в точке x . Определение непрерывности функции на множестве Если функция f : X → Y непрерывна ∀x ∈ X , то принято говорить, что функция f непрерывна на множестве X Теорема о непрерывности элементарных функций Все элементарные функции непрерывны на всей области своего задания. Непрерывны также комбинации элементарных функций, построенные с по- мощью обычных арифметических операций. К элементарным функциям относятся: — степенная функция с любым действительным показателем, — показательная функция, — логарифмическая функция, — тригонометрические функции, — обратные тригонометрические функции. Без доказательства. 2 Определение эквивалентных бесконечно малых Пусть lim x →x 0 α(x) = 0 , lim x →x 0 β(x) = 0 , то есть, α(x) и β(x) – бесконечно малые в точке x = x 0 . Если lim x →x 0 α(x) β(x) = [ 0 0 ] = 1 , то принято говорить, что α(x) и β(x) есть эквивалентные бесконечно ма- лые, и принято обозначать это короткой записью α(x) ∼ x →x 0 β(x) . (43) Замечание Эквивалентность бесконечно малых и отношение (43) не следует понимать, как тождественное равенство функций. Пример lim x →0 tg x x = lim x →0 sin x cos x x = lim x →0 ( 1 cos x · sin x x ) = ( lim x →0 1 cos x ) · ( lim x →0 sin x x ) = 1 · 1 = 1 , следовательно, tg x ∼ x →0 x . Пример lim x →0 1 − cos x x 2 = lim x →0 2 sin 2 x 2 x 2 = [ y = x 2 , y → 0 x = 2y ] = lim y →0 2 sin 2 y (2y) 2 = lim y →0 ( 1 2 · sin 2 y y 2 ) = 1 2 · lim y →0 ( sin y y · sin y y ) = 1 2 · ( lim y →0 sin y y ) · ( lim y →0 sin y y ) = 1 2 · 1 · 1 = 1 2 , следовательно, lim x →0 1 − cos x x 2 2 = 1 , 3 следовательно, 1 − cos x ∼ x →0 x 2 2 . Замечание На основе двух последних примеров, а также на основе доказанных ранее заме- чательных пределов строится Первая таблица эквивалентных 1. sin x ∼ x →0 x . 2. tg x ∼ x →0 x . 3. 1 − cos x ∼ x →0 x 2 2 . 4. ln(1 + x) ∼ x →0 x . 5. exp(x) − 1 ∼ x →0 x . 6. (1 + x) µ − 1 ∼ x →0 µ · x . Замечание Если γ(x) – бесконечно малая в точке x 0 , то lim x →x 0 sin γ(x) γ(x) = [ y = γ(x) y → 0 ] = lim y →0 sin y y = 1 . следовательно, sin γ(x) ∼ x →x 0 γ(x) . На основе такого рассуждения и подобных ему рассуждений строится 4 Вторая таблица эквивалентных 1. sin γ(x) ∼ x →x 0 γ(x) . 2. tg γ(x) ∼ x →x 0 γ(x) . 3. 1 − cos γ(x) ∼ x →x 0 (γ(x)) 2 2 . 4. ln(1 + γ(x)) ∼ x →x 0 γ(x) . 5. exp(γ(x)) − 1 ∼ x →x 0 γ(x) . 6. (1 + γ(x)) µ − 1 ∼ x →x 0 µ · γ(x) . Теорема о замене бесконечно малых на эквивалентные в произведении и в частном под знаком предела Если α(x) ∼ x →x 0 α 1 (x) , и β(x) ∼ x →x 0 β 1 (x) , то lim x →x 0 α(x) β(x) = lim x →x 0 α 1 (x) β 1 (x) . Доказательство lim x →x 0 α(x) β(x) = lim x →x 0 α(x) α 1 (x) · α 1 (x) β(x) β 1 (x) · β 1 (x) = lim x →x 0 α(x) α 1 (x) β(x) β 1 (x) · α 1 (x) β 1 (x) = = lim x →x 0 α(x) α 1 (x) lim x →x 0 β(x) β 1 (x) · lim x →x 0 α 1 (x) β 1 (x) = 1 1 · lim x →x 0 α 1 (x) β 1 (x) = lim x →x 0 α 1 (x) β 1 (x) . Доказательство закончено. 5 Пример lim x →0 √ 1 + x sin(2x) − 3 √ 1 − 4x 2 x tg (3x) = [ 0 0 ] = = lim x →0 ( (1 + x sin(2x)) 1 2 −1 ) − (( 1 + ( −4x 2 ) ) 1 3 −1 ) x · 3x = = lim x →0 (1 + x sin(2x)) 1 2 − 1 3x 2 − lim x →0 ( 1 + ( −4x 2 ) ) 1 3 − 1 3x 2 = = lim x →0 1 2 · x · sin(2x) 3x 2 − lim x →0 1 3 · (−4x 2 ) 3x 2 = = lim x →0 1 2 · x · 2x 3x 2 − lim x →0 1 3 · (−4) 3 = lim x →0 1 2 · 2 3 − lim x →0 1 3 · (−4) 3 = 1 3 + 4 9 = 7 9 . Замечание Заменять под знаком предела бесконечно малые на эквивалентные в сумме и в разности, вообще говоря , нельзя. В последнем примере, во избежание такой замены, сначала предел разности был заменён на разность пределов, и только затем в каждом из двух пределов замена на эквивалентные в числителе дроби была произведена на законных основаниях. При замене предела разности на разность пределов есть риск появления неопределённости [ ∞ − ∞] , но в данном случае риск оправдался: неопределённость не появилась. Теорема о пределе функции u(x) v(x) . Неопределённость вида [1 ∞ ] может быть раскрыта по формуле lim x →x 0 u(x) v(x) = [1 ∞ ] = exp ( lim x →x 0 v(x) · (u(x) − 1) ) . Доказательство Неопределённость [1 ∞ ] означает, что lim x →x 0 u(x) = 1 , lim x →x 0 v(x) = ∞ . 6 lim x →x 0 u(x) v(x) = [1 ∞ ] = lim x →x 0 ( e ln u(x) ) v(x) = lim x →x 0 e ln u(x) · v(x) = lim x →x 0 e v(x) · ln u(x) = = lim x →x 0 exp ( v(x) · ln u(x) ) = exp ( lim x →x 0 ( v(x) · ln ( u(x) ) )) = = exp ( lim x →x 0 ( v(x) · ln ( 1 + (u(x) − 1) ) )) = exp ( lim x →x 0 ( v(x) · (u(x) − 1) )) = = exp ([0 · ∞]) . Определение производной функции в точке Функция f : X → Y имеет в конечной точке x производную, если суще- ствует предел lim ∆x →0 f (x + ∆x) − f(x) ∆x . В данном пределе ∆x – переменная, x – постоянное значение. Понятия "функция имеет производную в точке" и "функция дифференци- руема в точке" равноценны. Обозначения: f ′ (x) = df (x) dx = lim ∆x →0 f (x + ∆x) − f(x) ∆x . Замечание Очевидно, что производная константы есть ноль. Замечание Альтернативное определение производной, но уже в точке x 0 , использует предел f ′ (x 0 ) = lim ∆x →x 0 f (x) − f(x 0 ) x − x 0 . 7 Определение правосторонней производной функции в точке f ′ (x + 0 ) = df (x + 0 ) dx = lim ∆x →+0 f (x + ∆x) − f(x) ∆x . Определение левосторонней производной функции в точке f ′ (x − 0 ) = df (x − 0 ) dx = lim ∆x →−0 f (x + ∆x) − f(x) ∆x . Теорема о связи производной с односторонними производными Следующие два утверждения равносильны. 1. Существуют и равны односторонние производные f ′ (x − 0 ) = f ′ (x + 0 ). 2. Существует производная f ′ (x). Без доказательства. Замечание Очевидно, что если одно из двух утверждений этой Теоремы верно, то f ′ (x) = f ′ (x − 0 ) = f ′ (x + 0 ) , df (x) dx = df (x − 0 ) dx = df (x + 0 ) dx . Определение дифференцируемости функции на множестве Если функция f : X → Y дифференцируема ∀x ∈ X , то принято говорить, что функция f дифференцируема на множестве X Замечание Иногда, во избежание путаницы, для значения производной в точке использу- ются обозначения: f ′ (x) | x=a вместо f ′ (a), 8 df (x) dx x=a вместо df (a) dx , Аналогичные обозначения применяются и для односторонних производных. Пример (x) ′ = lim ∆x →0 (x + ∆x) − x ∆x = lim ∆x →0 ∆x ∆x = lim ∆x →0 1 = 1 . Пример Обозначение (√ +0 ) ′ в принцие верно, но неудобно: не совсем понятно, что здесь имеется в виду. Лучше записать так: (√ x ) ′ x=+0 = lim ∆x →+0 √ ∆x − √ 0 ∆x = lim ∆x →+0 1 √ ∆x = + ∞ (по теореме о связи бесконечно малой и бесконечно большой). Мы показали, что право- сторонняя производная функции √ x в точке 0 существует, но бесконечна. Нетрудно догадаться, что лево сторонняя производная функции √ x в точке 0 не существует. Теорема о достаточном условии непрерывности функции в точке Пусть f : R → R . Пусть f(x) имеет конечное значение и конечную про- изводную в точке x . Тогда f (x) непрерывна в точке x . Доказательство Существование конечной производной функции в точке означает, что существует и конечен предел lim ∆x →0 f (x + ∆x) − f(x) ∆x = A . Тогда lim ∆x →0 (f (x + ∆x) − f(x)) = lim ∆x →0 ( f (x + ∆x) − f(x) ∆x · ∆x ) = 9 = lim ∆x →0 f (x + ∆x) − f(x) ∆x | {z } ̸=∞ · lim ∆x →0 ∆x | {z } =0 = A · 0 = 0. Доказательство закончено. Теорема об арифметических действиях над производными функций Если существуют и конечны производные u ′ (x) и v ′ (x), то: 1. (u(x) + v(x)) ′ = u ′ (x) + v ′ (x) . 2. (u(x) − v(x)) ′ = u ′ (x) − v ′ (x) . 3. (u(x) · v(x)) ′ = u ′ (x) · v(x) + u(x) · v ′ (x) . 4. ( u(x) v(x) ) ′ = u ′ (x) · v(x) − u(x) · v ′ (x) v(x) 2 . Доказательство приводится только для Пункта 3 (u(x) · v(x)) ′ = lim ∆x →0 u(x + ∆x) · v(x + ∆x) − u(x) · v(x) ∆x = = lim ∆x →0 u(x + ∆x) · v(x + ∆x) − u(x) · v(x + ∆x) + u(x) · v(x + ∆x) − u(x) · v(x) ∆x = = lim ∆x →0 u(x + ∆x) · v(x + ∆x) − u(x) · v(x + ∆x) ∆x + lim ∆x →0 u(x) · v(x + ∆x) − u(x) · v(x) ∆x = = lim ∆x →0 ( u(x + ∆x) − u(x) ∆x · v(x + ∆x) ) + lim ∆x →0 ( v(x + ∆x) − v(x) ∆x · u(x) ) = = lim ∆x →0 u(x + ∆x) − u(x) ∆x · lim ∆x →0 v(x + ∆x) + lim ∆x →0 v(x + ∆x) − v(x) ∆x · lim ∆x →0 u(x) = = u ′ (x) · v(x) + v ′ (x) · u(x) . Использовано равенство lim ∆x →0 u(x) = u(x). Оно верно, поскольку под знаком предела нет зависимости от ∆x. Использовано, также, равенство lim ∆x →0 v(x + ∆x) = v(x) , которое верно, если функция непрерывна. Непрерывность следует из дифференцируемости по предыду- щей теореме. 10 Замечание В следующей теореме очень несподручно было бы пользоваться обозначением f ′ (a) . Обозначение df (x) dx x=a намного удобнее. Теорема о производной сложной функции Если существуют и конечны производные df (y) dy y=g(x) и dg(x) dx , то существует и конечна производная df (g(x)) dx , причём, вычисляется она по формуле df (g(x)) dx = df (y) dy y=g(x) · dg(x) dx . Доказательство df (g(x)) dx = lim ∆x →0 f (g(x + ∆x)) − f(g(x)) ∆x · 1 = = lim ∆x →0 ( f (g(x + ∆x)) − f(g(x)) ∆x · g(x + ∆x) − g(x) g(x + ∆x) − g(x) ) = = lim ∆x →0 ( f (g(x + ∆x)) − f(g(x)) g(x + ∆x) − g(x) · g(x + ∆x) − g(x) ∆x ) = = lim ∆x →0 f (g(x + ∆x)) − f(g(x)) g(x + ∆x) − g(x) · lim ∆x →0 g(x + ∆x) − g(x) ∆x = = lim ∆x →0 f ( g(x + ∆x) ) − f(g(x)) g(x + ∆x) − g(x) · dg(x) dx = = [ y = g(x) , ∆y = g(x + ∆x) − g(x), g(x + ∆x) = g(x) + ∆y = y + ∆y , ∆x → 0, ∆y → 0 ] = = lim ∆y →0 f ( y + ∆y ) − f(y)) ∆y · dg(x) dx = df (y) dy y=g(x) · dg(x) dx . Доказательство закончено. 11 Теорема о производной степенной функции (x n ) ′ = nx n −1 Доказательство опирается на пятый замечательный предел: (x n ) ′ = lim ∆x →0 (x + ∆x) n − x n ∆x = lim ∆x →0 x n · ( (x+∆x) n x n − 1 ) ∆x = x n · lim ∆x →0 (x+∆x) n x n − 1 ∆x = = x n · lim ∆x →0 ( x+∆x x ) n − 1 ∆x = x n · lim ∆x →0 ( 1 + ∆x x ) n − 1 ∆x = x n x · lim ∆x →0 ( 1 + ∆x x ) n − 1 ∆x x = = [ ∆x x = y y → 0 ] = x n x · lim y →0 (1 + y) n − 1 y = x n −1 · n . Теорема о производной логарифмической функции (ln x) ′ = 1 x ; (log a x) ′ = 1 x ln a (a > 0 , a ̸= 1). Доказательство опирается на третий замечательный предел: (ln x) ′ = lim ∆x →0 ln(x + ∆x) − ln x ∆x = lim ∆x →0 ln ( x+∆x x ) ∆x = lim ∆x →0 ln ( 1 + ∆x x ) ∆x = = 1 x · lim ∆x →0 ln ( 1 + ∆x x ) ∆x x = [ ∆x x = y y → 0 ] = 1 x · lim y →0 ln (1 + y) y = 1 x · 1 = 1 x ; (log a x) ′ = ( ln x ln a ) ′ = 1 ln a · (ln x) ′ = 1 ln a · 1 x = 1 x ln a . Теорема о производной показательной функции (e x ) ′ = e x ; (a x ) ′ = a x · ln a (a > 0 , a ̸= 1). Доказательство опирается на четвёртый замечательный предел: (e x ) ′ = lim ∆x →0 e x+∆x − e x ∆x = lim ∆x →0 e x · ( e x+∆x e x − 1 ) ∆x = e x · lim ∆x →0 e x ·e ∆x e x − 1 ∆x = = e x · lim ∆x →0 e ∆x − 1 ∆x = [ ∆x = y y → 0 ] = e x · lim y →0 e y − 1 y = e x · 1 = e x ; 12 (a x ) ′ = (( e ln a ) x ) ′ = ( e x ln a ) ′ = e x ln a · (x ln a) ′ = e x ln a · ln a = a x · ln a . Теорема о производных тригонометрических функций (sin x) ′ = cos x ; (cos x) ′ = − sin x ; (tg x) ′ = (tg x) ′ = 1 cos 2 x ; (cot x) ′ = (ctg x) ′ = − 1 sin 2 x . Доказательство (sin x) ′ = lim ∆x →0 sin(x + ∆x) − sin x ∆x = lim ∆x →0 2 · sin ( ∆x 2 ) cos ( x + ∆x 2 ) ∆x = = lim ∆x →0 sin ( ∆x 2 ) ∆x 2 · lim ∆x →0 cos ( x + ∆x 2 ) = lim ∆x →0 sin ( ∆x 2 ) ∆x 2 · cos ( x + 0 2 ) = = [ ∆x 2 = y y → 0 ] = lim y →0 sin y y · cos x = 1 · cos x = cos x ; (cos x) ′ = ( sin ( π 2 − x )) ′ = cos ( π 2 − x ) · ( π 2 − x ) ′ = cos ( π 2 − x ) · (−1) = − sin x ; (tg x) ′ = ( sin x cos x ) ′ = (sin x) ′ · cos x − (cos x) ′ · sin x cos 2 x = = cos x · cos x − (− sin x) · sin x cos 2 x = cos 2 x + sin 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x ; (cot x) ′ = (ctg x) ′ = ( tg ( π 2 − x )) ′ = 1 cos 2 ( π 2 − x ) · ( π 2 − x ) ′ = 1 sin 2 x · (−1) = −1 sin 2 x . Геометрический смысл производной Пусть в декартовой прямоугольной системе координат xOy построен график функции y = f (x) . Зафиксируем на кривой точку M 0 = (x 0 , f (x 0 )) , а также обозна- чим "плавающую" точку M 1 = (x 0 + ∆x, f (x 0 + ∆x)) , и проведём прямую (секущую) через эти две точки (Рис. 2, части (а) и (б)). 13 Уравнение секущей прямой имеет вид y = f (x 0 ) + (x − x 0 ) · f (x 0 + ∆x) − f(x 0 ) ∆x . (44) По мере стремления ∆x к нулю и сближения точки M 1 с точкой M 0 прямая (44) стремится занять некое предельное положение (Рис. 2, часть (в)) y = f (x 0 ) + a · (x − x 0 ) , где a – некий постоянный (при фиксированном x 0 ) коэффициент. Ну а если это по- ложение секущей является предельным, читателя ничуть не удивит то, что a = f ′ (x 0 ) = lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x) − f(x 0 ) ∆x , (45) (а) (б) (в) Рис. 2 по определению производной. Важно отметить, что предел в (45) и положение каса- тельной (Рис. 2, часть (в)) не должно зависеть от того, стремится ∆x к нулю слева (Рис. 2, часть (а)) или справа (Рис. 2, часть (б)). Если выражаться языком вежливых автомобилистов, значение производной функ- ции y = f (x) в точке x 0 – это "крутизна подъёма" при "движении" вдоль по касатель- 14 ной к графику функции в точке x 0 . Более определённо, это тангенс угла (на Рис. 2, часть (в), тангенс угла α) наклона касательной к положительному направлению оси Ox . Угол α подчиняется неравенству −π/2 ≤ α ≤ +π/2 . Читателю предлагается самостоятельно подумать над вопросом, а что будет, если lim ∆x →+0 f (x 0 + ∆x) − f(x 0 ) ∆x ̸= lim ∆x →−0 f (x 0 + ∆x) − f(x 0 ) ∆x . Определение Пусть f : R → R . Функция f(x) строго возрастает на промежутке (a, b) , если ∀x 1 , x 2 ∈ (a, b) , таких, что x 1 < x 2 , можно доказать справедливость неравенства f (x 1 ) < f (x 2 ) . Обозначение: f (x) ↑ на промежутке (a, b) . Определение Пусть f : R → R . Функция f(x) не строго возрастает на промежутке (a, b) , если ∀x 1 , x 2 ∈ (a, b) , таких, что x 1 < x 2 , можно доказать спра- ведливость неравенства f (x 1 ) ≤ f(x 2 ) . Обозначение: f (x) ↗ на промежутке (a, b) . Определение Пусть f : R → R . Функция f(x) строго убывает на промежутке (a, b) , если ∀x 1 , x 2 ∈ (a, b) , таких, что x 1 < x 2 , можно доказать справедливость неравенства f (x 1 ) > f (x 2 ) . Обозначение: f (x) ↓ на промежутке (a, b) . Определение Пусть f : R → R . Функция f(x) не строго убывает на промежутке (a, b) , если ∀x 1 , x 2 ∈ (a, b) , таких, что x 1 < x 2 , можно доказать справедливость неравенства f (x 1 ) ≥ f(x 2 ) . 15 Обозначение: f (x) ↘ на промежутке (a, b) . Замечание В дальнейшем, для краткости, вместо двух слов "строго возрастает" будет при- меняться одно слово "возрастает", а вместо двух слов "строго убывает" будет приме- няться одно слово "убывает". Предлагаемое сокращение вполне оправдано, поскольку все элементарные (и даже все специальные) функции либо строго возрастают на некоем подмножестве области своего задания, либо строго убывают на нём. Не строго убывающими ли- бо не строго возрастающими могут быть только выдуманные кусочно-однородные (и кусочно-константные) функции. Примером может служить функция sign x . Определение Пусть f : R → R . Функция f(x) монотонна на промежутке (a, b) , если она либо возрастает на всём промежутке (a, b) , либо убывает на нём. Определение Пусть f : X → Y . Функция f называется взаимно-однозначной на множестве X , если ∀x 1 ∈ X , ∀x 2 ∈ X , f (x 1 ) = f (x 2 ) = ⇒ x 1 = x 2 . Для взаимно-однозначной функции есть и другое название: биективная функция (биекция). Примеры 1. Функция f (x) = x 7 + x − 1 является взаимно-однозначной. Действительно, пусть x 1 ∈ R , x 2 ∈ R , и пусть x 1 < x 2 = ⇒ x 7 1 < x 7 2 , тогда, по правилу сложения неравенств и равенств, 16 + x 7 1 < x 7 2 x 1 < x 2 −1 = −1 = ⇒ x 7 1 + x 1 − 1 < x 7 2 + x 2 − 1 . 2. Функция f (x) = x 2 не является взаимно-однозначной. Действительно: f (+1) = f ( −1) = 1, но +1 ̸= −1. 3. Функция f (x) = sin x не является взаимно-однозначной. Действительно: f (π/6) = f (5π/6) = 1/2 , но π/6 ̸= 5π/6 . Теорема Пусть f : X → Y . Если X – промежуток, и если функция f (x) монотонна на X , то она взаимно-однозначна на нём. Без доказательства. Определение Пусть f : X → Y , и пусть g : Y → X . Функция g является обратной к функции f , и функция f является об- ратной к функции g , если f (g(y)) = y , ∀y ∈ Y , и g(f (x)) = x , ∀x ∈ X . Обозначение: g(y) = f −1 (y) , f (x) = g −1 (x) . Если для функции f существует обратная функция, то f называется об- ратимой функцией. Замечание f −1 (y) ̸= 1/f(y) . В школьной программе допускались обозначения в стиле cos 2 x = (cos x) 2 , но даже там никогда не допускалось cos −1 x = (cos x) −1 = 1 cos x Обозначения f −1 (y) и f ( −1) (y) (а это вовсе не одно и то же) нельзя отнести к разряду удачных. Но лучше пока не придумали. 17 Пример Пусть f (x) = e x , f : ( −∞, +∞) → (0, + ∞) . Тогда знакомая по школьной программе функция g(y) = ln y , g : (0, + ∞) → ( −∞, +∞) , является обратной по отношению к функции f (x) . Действительно, e ln x = x , ∀x ∈ ( −∞, +∞) , и ln(e y ) = y , ∀y ∈ (0, + ∞) Пример Пусть f (x) = sin x , f : [ −π/2, π/2] → [ −1, +1] . Тогда знакомая по школьной программе функция g(y) = arcsin y , g : [ −1, +1] → [ −π/2, π/2] , является обратной по отношению к функции f (x) . Действительно, sin(arcsin y) = y , ∀y ∈ [ −1, +1] , и arcsin(sin x) = x , ∀x ∈ [ −π/2, π/2] Замечание Если f (x) = sin x , но f : ( −∞, +∞) → [ −1, +1] , то такая f (x) не имеет обратной функции, поскольку не является взаимно-однозначной. Определение Пусть f : X → Y . Пусть Z ⊂ X . Функция F называется сужением функции f на множество Z , если { F (x) = f (x) , для всех x ∈ Z F (x) не существует для всех x ̸∈ Z . Обозначение: F = f | Z , или F = f | Z . Замечание Операция замены области определения функции sin x со всей вещественной оси на более узкий промежуток [ −π/2, +π/2] называется сужением функции. Пример Пусть f (x) = tg x , f : ( −π/2, π/2) → ( −∞, +∞) . Тогда знакомая по школь- 18 ной программе функция g(y) = arctg y , g : ( −∞, +∞) → ( −π/2, π/2) , является обратной по отношению к функции f (x) . Действительно, tg (arctg y) = y , ∀y ∈ ( −∞, +∞) , и arctg (tg x) = x , ∀x ∈ ( −π/2, π/2) Замечание Если f (x) = tg x, f : ( ( −∞, +∞) \ ( {π/2 ± πn}, n ∈ N) ) → ( −∞, +∞) , то такая f (x) не имеет обратной функции, поскольку не является взаимно-однозначной. Теорема о производной обратной функции Пусть f (x) есть функция, обратная по отношению к функции g(y). Тогда df (x) dx x=x 0 = 1 dg(y) dy y=f (x 0 ) . (46) Без доказательства. Замечание В литературе встречаются "аналоги"формулы (46), которые выглядят так: y ′ x = 1 x ′ y , dy dx = 1 dx dy . (47) Формулы в стиле (47) легко запоминаются (особенно, вторая из них), но по их внеш- нему виду не вполне понятно, как ими пользоваться на практике. Замечание Формула производной обратной функции (46) используется тогда, когда функ- ция f (x) является аналитическим решением уравнения x = g(y) относительно y , но это аналитическое решение получить затруднительно либо невоз- 19 можно. Что касается величины f (x 0 ) , стоящей в правой части (46), то её можно (и нужно) находить, как численное решение уравнения x 0 = g(y) относительно y . В частности, пригоден метод дихотомии либо метод хорд. Пример Функция y = f (x) есть решение уравнения y 7 + y − x = 0 (48) относительно y . Найти df (x) dx x=2 , а также df (x) dx x=3 Решение Ясно, что g(y) = y 7 + y . Подставляем x = 2 в (48). Получаем: y 7 + y − 2 = 0 . (49) Из школьной математики известно: если алгебраическое уравнение с целочис- ленными коэффициентами имеет целочисленные корни, то искать их нужно среди делителей свободного члена. В данном случае таких делителей всего четыре: y = ±1 и y = ±2 . Нам повезло: корнем является y = 1 . Конечно, так везёт не всегда, и иногда приходится применять численные методы. Но на экзамене по математике нам обязательно повезёт. Итак, df (x) dx x=2 = 1 dg(y) dy y=1 = 1 (7y 6 + 1) | y=1 = 1 8 . Далее подставляем x = 3 в (48). Получаем: y 7 + y = 3 ⇐⇒ g(y) = 3 . (50) Целочисленных решений у уравнения (50) нет. Проведём несложнную оценку числа корней уравнения (50). Это нужно, скорее, для закрепления пройденного материала. Возьмём любые два вещественных числа y 1 , y 2 , такие, что y 1 < y 2 . Справедлива 20 цепь утверждений: y 1 < y 2 = ⇒ y 7 1 < y 7 2 = ⇒ y 7 1 + y 1 < y 7 2 + y 2 , означающая, что функция g(y) = y 7 + y – возрастающая при росте y . Пусть y 0 – корень уравнения (50), то есть g(y 0 ) = 3 . Тогда для любого y 1 такого, что y 1 < y 0 , справедливо g(y 1 ) < g(y 0 ) = 3 = ⇒ g(y 1 ) < 3 то есть, y 1 не является корнем (50). Далее, для любого y 2 такого, что y 0 < y 2 спра- ведливо 3 = g(y 0 ) < g(y 2 ) = ⇒ g(y 2 ) > 3 то есть, y 2 также не является корнем (50). Следовательно, если вещественный корень у уравнения (50) есть, то только один. Заметим, что g(0) = 0 < 3 , g(2) = 130 > 3 . Тогда, по Теореме Кош´ и о промежуточных значениях функции, можно утверждать, что на промежутке [0, 2] корень уравнения (50) есть, так как 3 ∈ [g(0), g(2)] . Численно найти его поможет сайт wolframalpha.com . Результат обращения к сайту: Рис. 3 Итак, df (x) dx x=3 = 1 dg(y) dy y=1.09633 = 1 (7y 6 + 1) | y=1.09633 = 1 (7 · 1.09633 6 + 1) = 0.0760179 . 21 Теорема о производных обратных тригонометрических функций 1. (arcsin x) ′ = 1 √ 1 − x 2 . 2. (arccos x) ′ = − 1 √ 1 − x 2 . 3. (arctg x) ′ = 1 1 + x 2 . 4. (arcctg x) ′ = − 1 1 + x 2 . Доказательство 1. y = arcsin x = ⇒ x = sin y . По теореме о производной обратной функции, (arcsin x ) ′ x = 1 ( sin y ) ′ y = 1 cos y = 1 + √ 1 − sin 2 y = 1 √ 1 − x 2 . В данной теореме, равенство cos y = + √ 1 − sin 2 y содержит знак + , посколь- ку, по определению функции "арксинус", y = arcsin x ∈ [π/2, +π/2] , тогда как, по свойствам функции "косинус", cos y ≥ 0 , ∀y ∈ [π/2, +π/2] . 2. arccos x = π/2 − arcsin x . По теореме о производной разности, (arccos x) ′ x = (π/2 − arcsin x) ′ x = 0 − (arcsin x) ′ x = − 1 √ 1 − x 2 . 3. y = arctg x = ⇒ x = tg y . По теореме о производной обратной функции, (arctg x ) ′ x = 1 ( tg y ) ′ y = 1 1 cos 2 y = 1 1 + tg 2 y = 1 1 + x 2 . 4. arcctg x = π/2 − arctg x . По теореме о производной разности, (arcctg x) ′ x = (π/2 − arctg x) ′ x = 0 − (arctgx) ′ x = − 1 1 + x 2 . 22 Численные методы решения уравнений В школьной программе изучалась формула корней квадратного уравнения. Су- ществует формула корней кубического уравнения (формула Кардано). Существует формула корней уравнения четвёртой степени (формула Феррари). Формулы для кор- ней алгебраических уравнений степени 5 и выше не существуют (теорема Абеля– Руффини). Во всяком случае, корни таких уравнений невозможно выразить через их коэффициенты с применением четырёх арифметических действий и операций из- влечения арифметического корня. Разумеется, есть уравнения, иные, чем алгебраические, которые также не могут быть решены с помощью конечной формулы (как говорят математики, в конечном виде). В качестве примера можно взять частный случай уравнения Кеплера x + sin x 2 = 1 , (51) формулы для решения которого в конечном виде нет. Однако, Иоганн Кеплер успешно решал это уравнение одним из численных методов ещё в 16 веке. Следует отметить, что даже уравнения, решаемые формульно (те же уравнения 3-й и 4-й степени), во многих случаях выгоднее решать численными методами. Любой из численных методов предполагает, что перед его применением прове- дено хотя бы грубое аналитическое исследование вопроса. Чаще всего считается, что уже найден тот отрезок [a, b] , на котором гарантированно имеется корень, причём, ровно один. Метод дихотомии У этого метода есть и другие названия: метод вилки, метод деления отрезка пополам. Предположим, требуется найти корень уравнения f (x) = x 7 + x − 1 = 0 , (52) с погрешностью не хуже ε = 0.01 . В силу того, что f (0) = −1 < 0 , f(1) = 1 > 0 , по 23 Теореме о промежуточных значениях функции (теореме Кош´ и) уравнение (52) имеет корень на промежутке [0, 1] . То, что корень ровно один, нетрудно доказать школьны- ми методами. Забегая вперёд, покажем решение задачи: x ⋆ = 0.7965443541284571037 . Идея метода состоит в следующем. Формируются две переменные a , b – концы промежутка [a, b] , на котором га- рантированно есть корень уравнения f (x) = 0 . Будем считать, что f (a) ̸= 0 и f (b) ̸= 0 , иначе это означало бы, что корень уже найден. Далее совершается несколь- ко шагов, или т.н. приближений. Такое название означает, что при совершении нового шага будет найдено новое число, более близкое к корню, чем предыдущее. Промежуток [a, b] будем называть текущим, концы промежутка, значения a, b , с каждым шагом будут "плыть" навстречу друг другу – то правое из них подплывёт к левому, то левое к правому. Начальную ширину промежутка w = b − a сохраним в фиксированной переменной w . Она-то никуда не уплывёт. На очередном, i–ом шаге берётся середина текущего промежутка [a, b] , точ- ка x i = (a + b)/2 , и в ней вычисляется значение функции f (x i ) . Будем считать, что f (x i ) ̸= 0 , иначе это означало бы, что корень уже найден. В нашем распоряже- нии имеется два полупромежутка, [a, x i ] и [x i , b] , но корень есть только на одном – том, на концах которого функция f (x) принимает противоположные знаки. Если f (x i ) · f(a) < 0 , то корень находится на левом полупромежутке, [a, x i ] , так что мы "пододвинем" правую границу, приняв b = x i . Если f (x i ) · f(a) > 0 , то корень нахо- дится на правом полупромежутке, [x i , b] , так что мы "пододвинем" левую границу, приняв a = x i . На этом i–й шаг заканчивается, новый текущий промежуток [a, b] становится короче старого в два раза. На счастливый случай f (x i ) = 0 , означающий, что задача уже решена, зря надеяться не будем. 24 Рис. 4 25 На Рис. 4 наглядно представлен процесс поиска корня методом дихотомии. Вни- зу, под графиком функции, изображены промежутки, на каждом из которых берётся середина, и в ней вычисляется значение функции. Значение показано красным цве- том, если оно отрицательное, и зелёным, если положительное. Та из половин текущего промежутка, где есть корень (поскольку на концах её функция имеет разные знаки |