матан шпора. Упорядоченность
![]()
|
№1. Свойства рациональных чисел. Упорядоченность. Для любых рациональных чисел и существует правило, позволяющее однозначно идентифицировать между ними одно и только одно из трёхотношений: «», «» или «». Это правило называется правилом упорядочения и формулируется следующим образом: два положительных числа и связаны тем же отношением, что и два целых числа и ; два неположительных числа и связаны тем же отношением, что и два неотрицательных числа и ; если же вдруг неотрицательно, а — отрицательно, то . ![]() ![]() Суммирование дробей Операция сложения. Для любых рациональных чисел и существует так называемое правило суммирования, которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число . При этом само число называется суммой чисел и и обозначается , а процесс отыскания такого числа называется суммированием. Правило суммирования имеет следующий вид: ![]() ![]() Операция умножения. Для любых рациональных чисел и существует так называемое правило умножения, которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число . При этом само число называется произведением чисел и и обозначается , а процесс отыскания такого числа также называется умножением. Правило умножения имеет следующий вид: ![]() ![]() Транзитивность отношения порядка. Для любой тройки рациональных чисел , и если меньше и меньше , то меньше , а если равно и равно , то равно . ![]() Коммутативность сложения. От перемены мест рациональных слагаемых сумма не меняется. ![]() Ассоциативность сложения. Порядок сложения трёх рациональных чисел не влияет на результат. ![]() Наличие нуля. Существует рациональное число 0, которое сохраняет любое другое рациональное число при суммировании. ![]() Наличие противоположных чисел. Любое рациональное число имеет противоположное рациональное число, при суммировании с которым даёт 0. ![]() Коммутативность умножения. От перемены мест рациональных множителей произведение не меняется. ![]() Ассоциативность умножения. Порядок перемножения трёх рациональных чисел не влияет на результат. ![]() Наличие единицы. Существует рациональное число 1, которое сохраняет любое другое рациональное число при умножении. ![]() Наличие обратных чисел. Любое ненулевое рациональное число имеет обратное рациональное число, умножение на которое даёт 1. ![]() Дистрибутивность умножения относительно сложения. Операция умножения согласована с операцией сложения посредством распределительного закона: ![]() Связь отношения порядка с операцией сложения. К левой и правой частям рационального неравенства можно прибавлять одно и то же рациональное число. ![]() Связь отношения порядка с операцией умножения. Левую и правую части рационального неравенства можно умножать на одно и то же положительное рациональное число. ![]() Аксиома Архимеда. Каково бы ни было рациональное число , можно взять столько единиц, что их сумма превзойдёт . ![]() №2. Модуль действительного числа. Определение. Модулем неотрицательного действительного числа х называют само это число: | х | = х; модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число: I х | = - х. Короче это записывают так: ![]() №3. 2. Геометрический смысл модуля действительного числа Вернемся к множеству R действительных чисел и его геометрической модели — числовой прямой. Отметим на прямой две точки а и b (два действительных числа а и b), обозначим через ![]() ![]() ![]() Все три случая охватываются одной формулой: ![]() б) Уравнение | х + 3,2 | = 2 перепишем в виде | х - (— 3,2) | = 2 и далее ![]() ![]() ![]() №4. МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Объединение множества рациональных чисел и множества иррациональных чисел называется множеством действительных (или вещественных) чисел. Множество действительных чисел обозначается символом R. Очевидно, . Действительные числа изображаются на числовой оси Ох точками (рис.). ![]() При этом каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой оси и каждой точке оси соответствует определенное действительное число. Поэтому вместо слов «действительное число» можно говорить «точка». №5. Числовые промежутки.
№6. Числовая функция. Пусть задано числовое множество Если каждому числу поставлено в соответствие единственное число y, то говорят, что на множестве D задана числоваяфункция:
Множество D называется областью определения функции и обозначается D (f (x)). Множество, состоящее из всех элементов f (x), где называется областью значений функции и обозначается E (f (x)). Число x часто называют аргументом функции или независимой переменной, а число y – зависимой переменной или, собственно, функцией переменной x. Число соответствующее значению называют значением функции в точке и обозначают или Для того чтобы задать функцию f, нужно указать: 1) ее область определения D (f (x)); 2) указать правило f, по которому каждому значению ставится в соответствие некоторое значение y = f (x). №7. Обратная функция, Обратная функция Если поменять ролями аргумент и функцию, то x станет функцией от y. В этом случае говорят о новой функции, называемой обратной функцией.Предположим, мы имеем функцию: v = u 2 , где u - аргумент, a v - функция. Если поменять их ролями, то мы получим u как функцию v : Если обозначить аргумент в обеих функциях через x, а функцию – через y, то мы имеем две функции: каждая из которых является обратной по отношению к другой. П р и м е р ы . Эти функции являются обратными друг к другу: 1) sin x и Arcsin x, так как, если y = sin x, то x = Arcsin y; 2) cos x и Arccos x, так как, если y = cos x, то x = Arccos y; 3) tan x и Arctan x, так как, если y = tan x, то x = Arctan y; 4) ex и ln x, так как, если y = ex , то x = ln y. Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:
![]() №8. Основные элементарные функции. Элементарные функции
Стоит отметить, что обратные тригонометрические функции являются многозначными (бесконечно значимыми), при действиях с ними используются так называемые главные значения. №9. Комплексные числа записываются в виде: a+ bi. Здесь a и b – действительные числа, а i – мнимая единица, т.e. i 2 = –1. Число a называетсяабсциссой, a b – ординатой комплексного числа a+ bi. Два комплексных числа a+ bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами. Действительные числа можно изобразить точками прямой линии, как показано на рисунке, где точка A изображает число 4, а точка B число -5. Эти же числа можно изображать также отрезками OA, OB, учитывая не только их длину, но и направление. Каждая точка M числовой прямой изображает некоторое действительное число (рациональное, если отрезок OM соизмерим с единицей длины, и иррациональное если несоизмерим). Таким образом, на числовой прямой не остается места для комплексных чисел. ![]() Но комплексные числа можно изображать на числовой плоскости. Для этого мы выбираем на плоскости прямоугольную систему координат, с одинаковым масштабом на обеих осях. Комплексное число a + b·i изображается точкой M, у которой абсцисса x равна абсциссе a комплексного числа, а ордината y равна ординате b комплексного числа. №10. |