10 - Длина окружности и площадь круга - I ТЕОРИЯ. Векторы и координаты 10. Длина окружности и площадь круга 255 10 Длина окружности и площадь круга
 Скачать 6.61 Mb.
|
|
Глава 3. Векторы и координаты §10. Длина окружности и площадь круга 255 § 10 Длина окружности и площадь круга Длина кривой линии Каждый знает, что расстояние между двумя точками на плоскости — это длина отрезка, который соединяет эти точки. Ведь отрезок — самый короткий путь между ними. Однако обстоятельства часто вынуждают человека идти по «кривому» пути: дороги обходят горы и препятствия, реки имеют извилистые русла, да и берега морей или озёр никогда не бывает прямыми. Вот почему в известной песне поют: «Нормальные герои всегда идут в обход!». Ещё с древ- них времён люди хотели знать длину пройденного ими пути и придумывали для этого разные приспособления. В трудах римского писателя Плиния Старшего указаны очень точные расстояния, которые проходило войско Алек- сандра Македонского во время своих завоеваний. Как их определяли? Выдающиеся инженеры всех времён: Архимед, Герон, а после них Леонардо да Винчи изобретали одоме- тры * — так называли тележки со специальными механиз- мами, которые считали длину пути по количеству оборотов их колёс (рис. 1) . Сегодня для того чтобы посмотреть на одометр, не нужно идти в музей — он есть в любом ав- томобиле. А чтобы найти протяжённость маршрута на то- пографической карте, используют курвиметр ** — аналогич- ный прибор со стрелкой и маленьким колёсиком. Впрочем, длину дороги на карте с хорошей точностью можно найти и с помощью обычной нитки или циркуля. Для этого ножки циркуля по очереди ставят на линию до- роги и «шагают» им по карте от начала пути до конечной точки. Потом складывают длины всех шагов и умножают на масштаб карты. Здесь действует простое правило: чем * На древнегреческом языке слово δ ς ([odos]) значит «дорога». Поэ- тому одометр — это измеритель дороги. ** Слово curvus на латыни значит «изогнутый». То есть курвиметр из- меряет длину кривых линий. Рис. 1 С помощью таких тележек считали длину пути по количеству оборотов их колёс Современный одометр Курвиметр Глава 3. Векторы и координаты §10. Длина окружности и площадь круга 256 более извилист участок пути, тем меньше должен быть шаг циркуля. На практике мы поступаем так же: измеряем свой путь шагами, а перегоны железной дороги промежут- ками между столбами. Как же в классической геометрии определяют длину кривой линии? Поскольку расстояние между точками — это длина отрезка, то и длину кривой определяют с помощью отрезков. Поэтому сделаем так же: впишем в кривую про- стую ломаную так, чтобы её начало и конец совпадали с концами данной кривой, а все вершины лежали на ней (рис. 2, а) . Тогда в первом приближении длину кривой мож- но считать равной длине вписанной в неё простой ломаной. Конечно, любая такая ломаная будет короче самой кривой (подумайте почему). Но если увеличивать число её звеньев и одновременно уменьшать длину каждого звена, то в пре- деле вписанная в кривую простая ломаная почти не будет отличаться от самой кривой, а её длина начнёт приближать- ся к некоторому числу (рис. 2, б, в) . Это предельное число и берут за длину кривой линии. Сам же процесс нахожде- ния длины кривой называют её спрямлением. Давайте за- пишем это как определение длины кривой линии. Длиной кривой называют число, к которому приближается длина вписанной в неё простой ломаной, если концы этой ломаной совпадают с концами кривой, а длина каждого её звена стремится к нулю. Как найти длину окружности? Наверное, самая простая кривая линия — это окружность. И одновременно она одна из самых совершенных линий на плоскости. С незапамятных времён человек чертил окружности верёвкой или циркулем на земле, на бумаге или на камне. И конечно, ему важно было знать, чему равна длина этой замкнутой кривой. На практике её дли- ну можно найти с помощью всё той же верёвки — доста- точно положить верёвку вдоль окружности, а потом рас- прямить. Однако такой способ не будет очень точным, а главное — он плохо применим для больших окружно- стей. Какой верёвкой, например, вы измерите длину орби- ты космического спутника? Поэтому мы вычислим длину окружности геометрически: впишем в неё простую замкну- тую ломаную и сделаем так, чтобы все её звенья были очень малы. Тогда эта ломаная почти не будет отличаться Рис. 2 Спрямление кривой а) б) в) Глава 3. Векторы и координаты §10. Длина окружности и площадь круга 257 от окружности, а её длина будет лишь немного меньше длины самой кривой. Проще всего вписать в окружность ломаную, все зве- нья которой имеют одинаковую длину. Давайте впишем в окружность с центром O простую замкнутую лома- ную A 1 A 2 A 3 ... A n A 1 , все звенья которой равны a (рис. 3) Очевидно, эта ломаная будет равносторонним n-угольни- ком. Проведём из центра O радиусы во все его верши- ны — они разобьют многоугольник на n равнобедренных треугольников OA 1 A 2 , OA 2 A 3 , ... OA n A 1 . Все эти тре- угольники равны по трём сторонам, поэтому будут равны их углы с вершиной в центре окружности. В сумме эти углы составляют 360°, поэтому каждый из них будет ра- вен 360° : n. Это позволит нам выразить длину a звена ломаной через радиус R окружности. Рассмотрим равнобедренный треугольник OA 1 A 2 : его боковые стороны равны радиусу R окружности, основа- ние — звену a нашей ломаной, а угол A 1 OA 2 равен 360° : n. Проведём в этом треугольнике высоту OH — по свойству она будет его биссектрисой и медианой (рис. 4) . Тогда отрез- ки A 1 H и A 2 H будут равны половине звена ломаной, а угол A 1 OH составит половину от угла OA 1 A 2 , то есть бу- дет равен 180° : n. Из прямоугольного треугольника OHA 1 найдём, что a R n 2 180 = ! sin °. Откуда a R n = 2 180 ! sin °. Теперь легко найти периметр всего n-угольника: P R n n n = 2 180 ! ! sin °. Исследуем эту формулу при разных n. При n = 6 мы получим периметр уже известного нам правильного шести- угольника, вписанного в окружность радиуса R (рис. 5) : P R R R 6 2 6 180 6 12 30 6 = = = ! ! ! sin sin ° ° При n = 18 получим P R R 18 2 18 180 18 36 10 = = ! ! ! ! sin sin ° °. Из тригонометрической таблицы на стр. 17 найдём, что sin 10° ≈ 0,173. Тогда P R R 18 2 18 0 173 6 228 = ! ! ! , , ≈ Возьмём n значительно больше. Пусть n = 180. Тогда P R R 180 2 180 180 180 360 1 = = ! ! ! ! sin sin ° °. По тригонометрической таблице учебника можно най- ти, что sin 1° ≈ 0,017. Правда, здесь нам потребуется уже большая точность. Не зря же астрономы прошлых веков различными способами старались вычислить синус одного градуса с пятью или шестью знаками после запятой. Из их таблиц или на современном калькуляторе можно найти, что sin 1° ≈ 0,017452. Если мы подставим это значение в нашу формулу, то получим, что P R R R 180 360 1 360 0 017452 6 282 = = ! ! ! ! ! sin , , ° ≈ Чему же равна длина окружности радиуса R? Ясно, что она должна быть чуть больше числа 6,282 · R. Можно Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5 Периметр правильного шестиугольника равен 6R Глава 3. Векторы и координаты §10. Длина окружности и площадь круга 258 строго доказать *, что длина ломаной с любым числом зве- ньев, которая вписана в окружность радиуса R, должна быть меньше 6,284 · R. Таким образом, мы будем считать, что длина окружности радиуса R равна 6,283 · R с точно- стью до одной тысячной её радиуса. Число π Что такое число π? Ответить на этот вопрос можно так: π — главное число окружности. Но почему его обозначили такой буквой? Здесь всё просто: с этой буквы начинается грече- ское слово περιφερεία, которое и значит «окружность». Это слово читается как периферия, оно существует в со- временном русском языке и обозначает то же самое, что и окраина, то есть область, сильно удалённую от центра. Обычно так и говорят: «уехать на периферию», «периферия сознания» или даже «периферия компьютера». А для древ- них греков это слово просто означало окружность. Вот пер- вую букву π от этого греческого слова и взял Леонард Эйлер в XVIII веке для обозначения главного числа окружности. Что же это за число? Число π показывает, во сколько раз длина окружности больше её диаметра. То есть окруж- ность с диаметром D должна иметь длину π · D. А по- скольку диаметр окружности в два раза больше её радиуса, то её длина так же равна 2 πR. Вписывая ломаные в окруж- ность радиуса R, мы выяснили, что её длина L равна 6,283 · R с точностью до одной тысячной радиуса. Поэто- му L = 2πR ≈ 6,283 · R. Отсюда можно найти, что число π примерно равно 3,1415. Давайте запишем это как определе- ние числа π. Число πравно отношению длины L любой окружности к её диаметру D. Число π Υ 3,1415. Из определения следует важная формула, выражающая длину окружности через её радиус: L = π · D = 2πR. * Наметим идею такого доказательства. Опишем вокруг данной окруж- ности 180-угольник, все стороны которого имеют длину b. Легко дока- зать, что окружность будет касаться его сторон в серединах, откуда по- лучить, что b = 2R · tg 1° ≈ 2R · 0,017455. Периметр такого 180-уголь- ника будет равен 180 · 2R · 0,017455 ≈ 6,2838 · R. Этот многоугольник будет содержать окружность внутри себя, а значит, и все вписанные в неё многоугольники. А поскольку все эти многоугольники выпуклые, то их периметры всегда будут меньше 6,2838 · R. Леонард Эйлер L = 2πR Глава 3. Векторы и координаты §10. Длина окружности и площадь круга 259 Мы нашли число π с точностью до одной тысячной. Но история его вычисления продолжалась тысячи лет. В Древнем Вавилоне его считали равным 25 8 3 125 = , В Древнем Египте полагали, что π = 256 81 3 16 ≈ , . А в Древ- ней Индии за число π принимали 10. Великий Архимед вписал в окружность правильный 96-угольник и получил, что число π ≈31 7 . В настоящее время π вычислено с огром- ным числом верных знаков с помощью числовых рядов: π ≈ 3,141592653589793238462643383379502... Доказано, что число π иррациональное, то есть оно не может быть записано как отношение двух целых чисел и в десятичной записи его цифр после запятой никогда не будет периода. А для запоминания первых цифр числа π даже придумывают стихи. Земля и апельсин Все окружности — это подобные фигуры, поэтому и отно- шение длины каждой из них к своему диаметру одинако- во. По сути это означает, что число π для них одно и то же. С одной стороны, это очевидно, а с другой... да- вайте разберём один парадокс, придуманный в прошлом веке замечательным писателем и популяризатором науки Яковом Перельманом. Представим себе земной шар и обыкновенный апель- син. Мысленно плотно обтянем их железными обручами по экваторам. Ясно, что обруч апельсина будет маленьким, а обруч Земли огромным. Теперь разрежем эти обручи, до- бавим к каждому из них по одному метру длины и снова замкнём их (рис. 6, 7) Наши обручи тогда уже не будут плотно прилегать к поверхностям апельсина и земного шара — у каждого из них появится свой зазор. Понятно, что расстояние, на которое обруч отступит от поверхности апельсина, будет довольно большим: ведь целый метр по сравнению с апельсином — это много. И наоборот: тот же метр по сравнению с окружностью Земли — это со- всем мало, его и заметить будет нельзя. Но тогда и зазор, на который железный обруч отступит от поверхности зем- ного шара, будет практически незаметен. Поэтому возника- ет такой вопрос: этот зазор будет больше или меньше одно- го миллиметра? Не знаете? Тогда зададим ещё один совсем уж «глупый» вопрос: пролезет ли под этим обручем обык- новенная мышка? А для справки напомним, что длина эк- ватора земного шара равна 40 000 км. Наверняка у вас уже сложилось своё мнение по пово- ду мышки, апельсина и земного шара. Не будем пока Надо только постараться И запомнить всё как есть: Три, четырнадцать, пятнадцать, Девяносто два и шесть. Рис. 6 Рис. 7 Глава 3. Векторы и координаты §10. Длина окружности и площадь круга 260 отвечать на заданные вопросы, а просто посчитаем. Пусть радиус обруча равен R. Тогда длину L этого обруча можно найти по формуле: L = 2πR. Если мы увеличим длину об- руча на 1 м, то его радиус увеличится на величину зазо- ра h (рис. 8) Тогда для увеличенного обруча можно запи- сать уравнение: L + 1 = 2π(R + h) = 2πR + 2πh. Подставим в него выражение для длины первого обру- ча: L = 2πR. Тогда 2πR + 1 = 2πR + 2πh. Откуда 1 = 2 πh. Теперь найдём величину зазора: h = = 1 2 1 2 3 14 100 6 28 15 9 π ≈ ≈ < A< A< ! , , , см см м Таким образом, зазор h, на который обруч отступит от поверхности любой окружности, будет около 16 см. Но са- мое удивительное состоит в том, что он будет одинаковым для апельсина и земного шара! Конечно, в такой зазор под обручем пролезет не только мышка, но и любая кошка! Этот удивительный парадокс следует из того, что дли- на любой окружности выражается через её радиус по одной и той же формуле. А можно было бы сказать и так: он на- глядно показывает, что число π постоянно для всех окруж- ностей. УПРАЖНЕНИЯ 1. С точностью до 1 мм найдите длины окружностей, по- казанных на клетчатой бумаге, если сторона одной клетки равна 1 см (рис. 9) 2. Если колесо без проскальзывания катится по прямой дороге и делает ровно один оборот вокруг оси, то от- Рис. 8 Рис. 9 Глава 3. Векторы и координаты §10. Длина окружности и площадь круга 261 L L α α = 360 носительно дороги оно перемещается на длину своей окружности. Найдите радиус колеса телеги, если она проехала 157 м, а каждое её колесо сделало ровно 100 оборотов (рис. 10) Длина дуги окружности Длина окружности радиуса R равна 2πR. А чему может быть равна длина её дуги? В частных случаях это очевид- но. Например, диаметр делит окружность на две равные части — полуокружности. Значит, их длины одинаковы и составляют половину от длины всей окружности, то есть πR (рис. 11) А если всю окружность, как циферблат часов, разделить на 12 равных частей, то длина каждой дуги между делениями может быть вычислена как 2 πR : 12 = πR : 6 (рис. 12) А как быть в общем случае? Из приведённых приме- ров видно, что длина дуги окружности должна зависеть от её градусной меры — величины угла, под которым она видна из центра окружности. Очевидно, что с увеличением этого угла увеличивается и длина такой дуги. Мы дока- жем, что эта зависимость линейная, то есть длина дуги пропорциональна её градусной мере. А поскольку вся окружность видна из её центра под углом 360°, то справед- лива следующая теорема. ТЕОРЕМА Длина дуги окружности относится к длине всей окружности как её градусная мера к полному углу 360°. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Мы докажем теорему для случая, когда градусная мера α дуги окружности относится к полному углу 360° ра- ционально, то есть как два целых числа *. Пусть α : 360 = = k : n, где k, n — натуральные числа. * Общий случай можно свести к этому, поскольку любое действительное число сколь угодно точно можно приблизить натуральной дробью. Рис. 12 2πR Рис. 10 Рис. 11 Глава 3. Векторы и координаты §10. Длина окружности и площадь круга 262 Разобьём весь круг на n равных секторов с углами ϕ. Они разделят всю окружность длины L на n равных частей длины L : n (рис. 13) Очевидно, что n · ϕ = 360°. По условию α : 360 = k : n, поэтому α = k · ϕ. Значит, центральный угол α данной дуги вместит ровно k таких секторов. Следовательно, сама дуга состоит из k частей с длиной L n Откуда получим, что длина дуги окружности, соответ- ствующая углу α, равна L k L n α = ! Поэтому L L k n α α = = 360 Что и требовалось доказать. СЛЕДСТВИЕ Из доказанной теоремы следует формула, выражаю- щая длину дуги L α окружности через её радиус R и гра- дусную меру α этой дуги (рис. 14) : L R α π α = 2 360 ! УПРАЖНЕНИЯ 3. Докажите формулу для вычисления длины дуги окруж- ности. 4. В квадрат со стороной 1 поместили дуги окружностей так, как это показано на рисунке 15 . Найдите длину каждой из этих дуг, если их центры находятся на сто- ронах этого квадрата. 5. На кафельной плитке изображён «месяц». С точностью до 1 см найдите периметр этого «месяца», если он со- стоит из дуг двух окружностей. Сторона одной плитки 10 см (рис. 16) Радианы Вы уже знаете, как найти длину дуги окружности по её радиусу и центральному углу. Оказывается, что можно по- ступить ровно наоборот: центральный угол выразить через длину дуги, которую он высекает на окружности. Если дугу измерять в радиусах самой окружности, то по длине дуги однозначно можно определить угол, под которым она видна из центра. Определённая так величина угла называ- ется его радианной мерой. Получается, что углы можно мерить не только в привычных уже нам градусах, но и в радианах. Рис. 13 Рис. 14 Рис. 15 Рис. 16 L α = k L n ! Глава 3. Векторы и координаты §10. Длина окружности и площадь круга 263 А что такое радианы? Давайте «согнём» радиус окружности и превратим его в дугу той же самой окружно- сти. Тогда из её центра такой «согнутый в дугу» радиус будет виден под некоторым углом. Именно этот угол и на- зывают одним радианом (рис. 17) В каком-то смысле ради- анная мера угла даже более универсальна, чем привычная нам градусная мера. Как бы, например, вы объяснили ино- планетянам, что углы на Земле нужно измерять в 180 ча- стях развёрнутого угла? А объяснить, что такое один ради- ан, можно просто на рисунке. Арабские астрономы ещё в XIV веке откладывали на окружности части её радиуса и мерили так центральные углы. Но само слово «радиан» появилось лишь во второй половине XIX века, и образова- ли его от слова «радиус». А теперь давайте запишем опре- деление одного радиана. Радианом называют центральный угол окружности, длина дуги которого равна её радиусу. Угол с величиной α радиан записывают так:α рад. На рисунках 18 а и б вы можете видеть углы величи- ной 2 и 3 радиана. Согласно данному определению этим уг- лам должны соответствовать дуги окружности, равные 2R и 3R. На последнем рисунке видно, что угол в 3 рад немно- го меньше развёрнутого угла. Это легко объяснить: развёр- нутому углу должна соответствовать ровно половина окруж- ности, длина которой равна πR. Значит, радианная мера половины окружности равна π, что немного больше 3 (рис. 19) . Ну а мера целой окружности в радианах должна составлять 2 π. Это позволяет составить таблицу пересчёта углов из градусов в радианы. Сделать это вы можете в качестве упражнения. УПРАЖНЕНИЕ 6. Заполните пустые места в таблице пересчёта углов из градусов в радианы. Градусы 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° Радианы π 6 π 2 2 3 π π Рис. 17 Рис. 18 Рис. 19 а) б) Глава 3. Векторы и координаты §10. Длина окружности и площадь круга 264 Теперь поставим обратную задачу: выясним, сколько градусов составляют угол в 1 рад. Обозначим градусную меру этого угла за α. Мы знаем, что углу 180° соответству- ет π радиан. Радианная мера угла, как и дуга окружности, пропорциональна её градусной мере, поэтому должна вы- полняться пропорция 1 180 π α = ° ° Откуда α π = 180 57 3 ° ° ≈ , Значит, один радиан содержит чуть больше 57 граду- сов. А для того чтобы привыкнуть переводить радианы об- ратно в градусы, сделайте следующее упражнение. УПРАЖНЕНИЕ 7. Переведите углы в таблице из радианов в градусы. Радианы 2 π 1,5 π 1,25 π 4 3 π 7 6 π 3,1415 1,57 Градусы 360° Почему углы решили измерять в радианах? Главная причина состоит в том, что многие формулы в радианах записывать короче и понятнее. Например, формулу для вы- числения длины дуги окружности. Посмотрим, как она бу- дет выглядеть в радианах. Пусть радиус окружности ра- вен R, а её дуга видна из центра под углом α рад. Длина дуги L α должна относиться к длине всей окружности так же, как её угол α к полному углу, под которым из цен- тра видна вся окружность. Поскольку длина окружности равна 2 πR, а полный угол в радианах равен 2π, то можно записать такую пропорцию L R α π α π 2 2 = @04 рад Откуда мы получим, что L α = α : 2π. Давайте запи- шем это как формулу длины дуги окружности. ФОРМУЛА ДЛИНЫ ДУГИ ОКРУЖНОСТИ Длину L α дуги окружности радиуса R, которая видна из её центра под углом α радиан, можно найти по формуле: L α = α · R. Какова должна быть вели- чина острого угла, чтобы и в градусах, и в радианах этот угол имел один и тот же синус? Глава 3. Векторы и координаты §10. Длина окружности и площадь круга 265 УПРАЖНЕНИЕ 8. Окружность радиуса 1 касается сторон угла величи- ной 1 рад в точках A и B. Найдите длину меньшей из дуг AB этой окружности (рис. 20) Площадь круга Замкнутая линия на плоскости ограничивает некоторую площадь. Если эта линия — многоугольник, найти его пло- щадь можно, просто разбив многоугольник на треугольни- ки. А что делать, если эта линия кривая? Например, если она окружность? В начале этого параграфа мы определяли длину окружности и приближали её многоугольниками, вписанными в эту окружность. Для вычисления площади круга давайте поступим так же: впишем в окружность мно- гоугольник с большим числом сторон и найдём его площадь. Если каждая сторона такого многоугольника будет очень мала, то он почти не будет отличаться от окружности, а его площадь будет практически равна площади круга. Получить нужный многоугольник можно методом удвоения сторон * из любого треугольника, который вписан в эту окружность. Но проще вписать в окружность многоугольник, все стороны которого равны между собой, и сделать их число очень большим. Примерно так и поступил великий Архимед, ко- гда доказывал теорему о площади круга. До него эту пло- щадь вычисляли, пользуясь неточными формулами (рис. 21) Сам же Архимед формулировал свою теорему так: Всякий круг равновелик прямоугольному треугольнику, один катет которого равен радиусу круга, а другой — периметру его окружности. Мы дадим современную формулировку теоремы Архи- меда и назовём ее теоремой о площади круга. * Метод удвоения заключается в том, что все дуги окружности между соседними вершинами вписанного многоугольника делят пополам и по- лученные точки добавляют к его вершинам. При этом каждый раз коли- чество вершин многоугольника удваивается и можно доказать, что раз- ница между площадью круга и многоугольника уменьшается более, чем в два раза. Поэтому после 10 таких удвоений площадь многоугольника будет отличаться от площади круга меньше чем на 0,001 его площади. Рис. 20 Рис. 21 По одной из гипотез так вычисляли площадь круга в Древнем Египте. Египтяне считали, что она составляет от площади квадрата, в который вписан круг. Интересно, что при этом ошибка составляла меньше процента. A B C S cer 2 < S ABC сегм Глава 3. Векторы и координаты §10. Длина окружности и площадь круга 266 ТЕОРЕМА О ПЛОЩАДИ КРУГА Площадь круга равна половине произведения его радиуса на длину окружности. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Впишем в окружность n-угольник A 1 A 2 ...A n , все сто- роны которого имеют длину a (рис. 22) данной окружности. Проведём радиусы во все его вершины — они разделят многоугольник на n равнобедренных треугольников с вер- шиной в центре O данной окружности. Все эти треугольни- ки будут равны по трём сторонам, а сумма их площадей будет составлять площадь всего многоугольника. Давайте вычислим площадь одного из таких треуголь- ников A 1 OA 2 . Его боковые стороны равны радиусу R дан- ной окружности, а основание имеет длину a. Опустим в этом треугольнике высоту на основание. Так как треуголь- ник равнобедренный, то эта высота совпадает с медианой и разбивает его на два равных прямоугольных треугольни- ка. Обозначим длину высоты за h (рис. 23) и запишем тео- рему Пифагора для одного из этих прямоугольных тре- угольников: h a R 2 2 2 2 + ( ) = Из полученного равенства видно, что если длина сто- роны a многоугольника становится близкой к нулю, то дли- на высоты h приближается радиусу R окружности. То есть h R, если a 0. Площадь S треугольника A 1 OA 2 найдём по формуле: S ah = 1 2 Многоугольник состоит из n равных ему треугольни- ков, поэтому можно найти его площадь S n : S n = n · S = n ah h na ! ! 1 2 1 2 ( ) ( ) = Поскольку периметр P n многоугольника равен na, то последнее равенство можно записать так S h P n n = 1 2 ! Сделаем теперь число n сторон многоугольника очень большим. Тогда сам многоугольник будет почти неотличим от окружности, а его площадь S n станет практически равна площади круга S о . Периметр P n многоугольника будет очень близок к длине L окружности, а его сторона будет близка нулю. Мы знаем, что в этом случае высота h будет мало отличаться от радиуса R окружности (рис. 24) . Зна- чит, при очень большом числе n сторон можно написать приближённое равенство S R L o ≈ 1 2 ! . S L R ο = 1 2 ! Рис. 22 a 2 Рис. 23 Рис. 24 Глава 3. Векторы и координаты §10. Длина окружности и площадь круга 267 Это равенство будет выполняться тем точнее, чем больше число n сторон многоугольника. А при увеличении числа n до бесконечности мы получим, что S n S о , P n L, h R. Тогда приближённое равенство станет уже точным: S R L o = 1 2 ! . Значит, площадь круга будет равна половине произве- дения его радиуса на длину окружности. Что и требовалось доказать. Поскольку длина окружности равна 2 πR, то из дока- занной теоремы легко вывести формулу для площади круга: S R L R R R o = = = 1 2 1 2 2 2 ! ! π π . Эту формулу легко запомнить и просто применять. Давайте её запишем как формулу для вычисления площа- ди круга. ФОРМУЛА ПЛОЩАДИ КРУГА Площадь круга радиуса R вычисляется по формуле S = πR 2 Из формулы площади круга следует, что площади кру- гов относятся как квадраты их радиусов. В этом нет ничего удивительного, ведь круги — это подобные фи- гуры. Поэтому если в кафе вместо трёх одинаковых круглых пицц вам предлагают взять одну, но вдвое большего диаметра, то соглашайтесь не раздумывая! Площадь круга можно вычислить на пальцах. Идею такого рассуждения придумал Леонардо да Винчи. Возьмём два одинаковых круга радиуса R и разрежем их на много одинаковых секторов. Потом раскроем каждый из них, как кружок апельсина, не отделяя от него кожуры (рис. 25) Если мы совместим зубчиками две эти «цитрусовые пилы», то получим один параллелограмм с высотой R и основани- ем, равным длине окружности L = 2πR (рис. 26 а, б) . Пло- щадь этого параллелограмма будет равна R · L = 2πR 2 Тогда мы получим, что удвоенная площадь S о круга равна площади параллелограмма, то есть 2S о = 2 πR 2 . Откуда по- лучим нужную формулу для площади круга S о = πR 2 Рис. 25 Рис. 26 R S = 2πR а) б) Глава 3. Векторы и координаты §10. Длина окружности и площадь круга 268 УПРАЖНЕНИЯ 9. Найдите площадь круга, ограниченного окружностью длиной: а) π; б) 10 π; в) 62,83. 10. Найдите площадь кругов, изображённых на клетчатой бумаге, если сторона клетки равна 1. Как относятся друг к другу их площади (рис. 27) ? 11. Найдите площадь кольца, изображённого на клетчатой бумаге, если сторона клетки равна 1. (рис. 28) 12. Три металлических круглых диска одинаковой толщи- ны с радиусами 40, 40 и 70 см переплавили в один диск такой же толщины. Чему будет равен радиус это- го диска? 13. Катушка ниток имеет форму цилиндра с малым отвер- стием. Изначально в ней было 2000 м нитки. Сколько примерно метров нитки в ней останется, когда диаметр этой катушки уменьшится в два раза? Площадь сектора круга Площадь сектора круга так же линейно зависит от величи- ны его угла, как и длина дуги окружности. Что это зна- чит? Ровно то, что при разделе круглой пиццы на части площади её кусков будут относиться друг к другу так же, как относятся их углы в центре круга (рис. 29) . Это очевид- но, когда угол одного сектора в несколько раз больше угла другого. Но само утверждение будет верно во всех случаях. И обосновать его можно тем же способом, который мы ис- пользовали для получения длины дуги. Давайте по аналогии с дугой окружности запишем со- отношение для площади сектора круга и получим нужную формулу. Площадь сектора относится к площади всего круга как градусная мера его угла α к полному углу 360 °. Рис. 27 Рис. 28 Рис. 29 Глава 3. Векторы и координаты §10. Длина окружности и площадь круга 269 рад Формулу для площади сектора круга можно записать и через его угол, выраженный в радианах. Для этого нужно лишь помнить, что углу 360° соответствует 2 π ра- диан. Тогда по аналогии мы получим пропорцию S S cektora kryga rad = α π 2 сектора рад круга Подставив в эту пропорцию выражение π R 2 для пло- щади круга, получим формулу площади сектора. ФОРМУЛА ПЛОЩАДИ СЕКТОРА Сектор круга радиуса R, угол которого равен α рад , имеет площадь: α rad ! R 2 2 рад Интересно, что площадь сектора круга можно найти тем же методом Архимеда и получить S R L sectora = ! α 2 сектора УПРАЖНЕНИЯ 14. Найдите площадь сектора круга, если его радиус ра- вен 2, а длина дуги составляет: а) π; б) 3. 15. Найдите площадь круговых секторов, показанных на клетчатой бумаге. Сторона клетки равна 1 (рис. 30) 16. Из бумаги вырезали сектор круга радиуса 24 см с прямым углом, а потом свернули из него кониче- скую воронку (рис. 31) . Найдите радиус R окружности, идущей по краю этой воронки. Рис. 30 24 см R Рис. 31 ВОПРОСЫ 1. Какие способы измерения длины кри- вой вы знаете? 2. Что означает число π? Чему оно равно? 3. Во сколько раз длина окружности больше её радиуса? 4. Как зависит длина дуги окружности от её градусной меры? 5. Чему равна длина дуги окружности радиуса 6, градусная мера которой равна 60°? 6. Что такое 1 радиан? Сколько радиан соответствует прямому углу? 7. Чему равна длина дуги сектора ра- диуса 5 с центральным углом, рав- ным 2 радиана? 8. По какой формуле вычисляют пло- щадь круга? 9. Какую формулу площади кругового сектора вы знаете? Глава 3. Векторы и координаты §10. Длина окружности и площадь круга 270 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗА ДАЧ ПРИМЕР 1. Город имеет форму круга, по границе которого проходит дорога. Путь между точками A и B по окружной дороге оказался равен пути между ними че- рез центр города. Чему равен угол α между двумя про- спектами, идущими из точек A и B в центр? РЕШЕНИЕ Пусть O — центр города, а R — радиус его круга. Обозначим величину угла AOB за α радиан (рис. 32) Путь между точками A и B по окружной дороге будет ра- вен длине дуги AB окружности, поэтому он равен α· R. Длина пути через центр города равна 2R. По условию α· R = 2R. Откуда α = 2 рад ≈ 114°. Ответ: 2 радиана. ПРИМЕР 2. Две окружности радиуса 1 проходят че- рез центры друг друга. Найдите площадь пересечения кру- гов, образованных этими окружностями (рис. 33) РЕШЕНИЕ Пусть окружности радиуса 1 с центрами O 1 и O 2 пе- ресекаются в точках A и B. Поскольку центр O 1 первой окружности лежит на окружности с центром O 2 , то O 1 O 2 = 1. Значит, треугольники AO 1 O 2 и BO 1 O 2 равно- сторонние и все их углы равны 60° (рис. 34) Площадь каждого из этих треугольников найдём по формуле S ∆ = = 1 1 60 2 3 4 ! ! sin ° Пересечение данных кругов состоит из этих двух рав- носторонних треугольников и четырёх круговых сегментов, прилегающих к их сторонам. Давайте найдём площадь сегмента, прилегающего к стороне BO 2 (рис. 35) Поскольку угол BO 1 O 2 равен 60°, то сектор круга с центром O 1 и дугой BO 2 составляет ше- стую часть этого круга. Значит, его площадь будет равна π : 6. Чтобы найти площадь сегмента, вычтем из площади этого сектора площадь треугольника BO 1 O 2 . Тогда мы по- лучим, что S sgm = π 6 3 4 − сегм Площади остальных трёх сегментов будут такими же. Теперь можно найти площадь пересечения кругов S = = 3 4 3 4 4 6 3 4 2 3 3 2 1 29 + + − − ≈ ! π π , Ответ: 2 3 3 2 π − . Рис. 32 Рис. 33 Рис. 34 Рис. 35 Глава 3. Векторы и координаты §10. Длина окружности и площадь круга 271 ПРИМЕР 3. Фигура, образованная тремя полуокруж- ностями с концами в точках A, B и C, лежащих на одной прямой, называется арбелосом Архимеда. Найдите пло- щадь арбелоса, если отрезок CK, перпендикулярный диаме- трам полуокружностей, равен h (рис. 36) РЕШЕНИЕ Обозначим длины отрезков AC и BC за a и b. Тогда длина отрезка AB будет a + b (рис. 37) Каждый из этих отрезков — диаметр своей окружности, поэтому их радиусы будут соответственно равны 1 2 a, 1 2 b и 1 2 a b + ( ) . Полукруги с такими диаметрами будут иметь площади π ! a 2 8 , π ! b 2 8 и π ! ( ) a b + 2 8 Тогда площадь S арбелоса будет равна S = = = π π π π π ! ! ! ! ! ( ) a b a b ab ab + − − 2 2 2 8 8 8 2 8 4 Теперь давайте вспомним, что из точек окружности её диаметр всегда виден под прямым углом. Значит, угол AKB равен 90°. Поэтому треугольник AKB прямоугольный, а от- резок CK — это его высота, опущенная на гипотенузу (рис. 38) . По свойству прямоугольного треугольника высота равна среднему геометрическому отрезков, на которые она разбивает его гипотенузу. Поэтому h ab = . Откуда следу- ет, что ab = h 2 Теперь площадь арбелоса Архимеда можно выразить через h: S ab h = = π π 4 4 2 Ответ: πh 2 4 ПРИМЕР 4. Докажите, что для острого угла α ради- ан выполняется двойное неравенство: sin α < α < tg α. РЕШЕНИЕ Рассмотрим окружность с центром O и радиусом R. Проведём в этой окружности радиусы OA и OB так, чтобы ∠ AOC = α. Тогда длина дуги AB окружности, лежащая внутри этого угла, будет равна Rα. Длина дуги AB по определению больше длины любой вписанной в неё простой ломаной. Значит, она больше длины хорды AB окружности. Поэтому AB < Rα. Опустим из точки B перпендикуляр BH на прямую OA (рис. 39) Тогда из прямоугольного треугольника OBH мож- но найти, что BH = OB · sin α = R · sin α. Рис. 36 Рис. 37 Рис. 38 Арбелосом в древних Сира- кузах называли нож, кото- рым кожевенники разрезали шкуры животных. В точке С его насаживали на дере- вянную рукоять. Рис. 39 Глава 3. Векторы и координаты §10. Длина окружности и площадь круга 272 Перпендикуляр к прямой всегда короче наклонной, проведённой из той же точки, поэтому BH < BA. Значит, R sin α < AB < Rα. Откуда sin α < α. Таким образом, мы доказали, что синус острого угла всегда меньше величины этого угла в радианах. Теперь докажем вторую часть двойного неравенства. Для этого проведём касательную к окружности в точке A и пересечём её с прямой OB в точке C (рис. 40) По свойству касательной угол OAC будет равен 90°. Тогда из прямо- угольного треугольника AOC мы получим, что AC = R · tg α. Найдём площадь этого треугольника: S OA CA R AOC = = 1 2 1 2 2 ! ! tg α. Найдём теперь площадь S сектора AOB круга: S R = α ! 2 2 Сектор AOB целиком содержится в треугольнике AOC, поэтому S < S AOC . Значит, α α ! ! R R 2 2 2 2 < tg Откуда получим, что α < tg α. Что и требовалось доказать. ПРИМЕР 5. На круглом столе радиуса 25 лежат 156 монет радиуса 1, и они не касаются друг друга. Все- гда ли на этот стол можно положить ещё одну такую же монету так, чтобы она не коснулась других монет (рис. 41) ? РЕШЕНИЕ Построим 156 кругов радиуса 2, центры которых со- впадают с центрами монет, лежащих на столе. Сумма их площадей равна 156 · π · 2 2 = 624 π. Площадь же всего сто- ла равна π · 25 2 = 625 π. Значит, сумма площадей постро- енных кругов меньше площади стола и они не могут пол- ностью покрыть все точки этого стола. Рассмотрим точку A на столе, которую не покрывает ни один из кругов радиуса 2. Расстояние от неё до центра любого из них больше 2 (рис. 42) Положим на стол ещё одну монету радиуса 1 так, чтобы её центр совпадал с точ- кой A. Тогда она не будет касаться ни одной из других мо- нет, лежащих на столе. Значит, на стол всегда можно по- ложить ещё одну монету. Ответ: всегда можно. Рис. 40 Рис. 41 A Рис. 42 |