|
|
Закон движения материальной точки. Траектория. Вектор перемещения. Путь
1. Материальная точка. Абсолютно твердое тело. Тело отсчета. Система отсчета. Способы задания положения точки в пространстве. Кинематический закон движения материальной точки. Траектория. Вектор перемещения. Путь.
Материальной точкой называется физическое тело, размерами которого можно пренебречь в следующих условиях:
Размеры тела много меньше его перемещения в пространстве.
Тело движется поступательно. Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором все точки тела движутся одинаково.
При поступательном движении любая прямая, проходящая через любые две точки тела, остается параллельной самой себе. В случае поступательного движения тела достаточно знать движение какой-либо одной из его точек, а само тело рассматривать как материальную точку.
Размеры тела много меньше расстояний от него до других тел.
Абсолютно твердым телом называется тело, расстояние между любыми двумя точками которого не изменяется при любом движении тела.
Тело отсчета – это тело, относительно к-рого рассматривают положение других тел.
Системой отсчета (СО) называется совокупность:
- физического тела отсчета,
- связанной с ним системы координат,
- указание начала отсчета времени.
Радиус-вектором точки в пространстве называется вектор, проведенный из начала координат в данную точку пространства.
Траекторией данной точки тела называется множество точек пространства, проходимых этой точкой во время движения тела.
Для описания движения м. точки необходимо задавать кинематический закон движения, т.е. уравнение или систему уравнения, определяющих положение тела в любой момент времени относительно выбранной с. отсчета. В случае векторного способа задания положения точки в пространстве кинематический закон ее движения имеет вид  , а при координатном способе он может быть записан в виде 
Перемещением называется векторная физическая величина, равная вектору, соединяющему начальное положение материальной точки с ее текущим положением.
Перемещение материальной точки равно разности радиус-векторов этой точки, соответствующих текущему ее положению и ее начальному положению:
Путем называется скалярная физическая величина, равная длине дуги траектории, пройденной телом за заданное время.
Способы задания положения точки в пространстве: Векторный. Положение материальной точки М задается с помощью радиус-вектора r, который проводится из начала координат в точку М.Для того, чтобы задать радиус-вектор r необходимо указать: 1)начало системы координат(т.О); 2) модуль r; 3) направление радиус-вектора в пространстве, определяемое двумя независимыми углами. Используя векторы единичной длины, сонаправленные с осями координат, можно представить r следующим образом:
r=rₓi+ryj+rzk
Координатный. Положение материальной точки М задается с помощью координат x,y,z и записывается в виде М (x,y,z). Замечание: минимальное число параметров, которое полностью определяет положение физической системы в пространстве, называется числом ее степеней свободы. Можно сказать, что материальная точка имеет три степени свободы.
|
2. Скорость. Ускорение. Кинематический закон движения тела в случае постоянного ускорения. Скорость и ускорение при движении точки по криволинейной траектории. Нормальное и тангенсальное ускорение. Границы применимости классического способа описания движения точки.
Разобьем траекторию L м. точки на бесконечно малые участки длиной dL. Каждому участку траектории dL будет соответствовать перемещение  . Разделим это перемещение на промежуток времени dt, за который м. точка проходит путь  . Тогда получим мгновенную скорость в данной точке тр-и:
Ускорение характеризует быстроту изменения вектора скорости и определяется как производная скорости по времени:
В общем случае направление вектора ускорения тела неизвестно. Для его нахождения выберем в каждой точке траектории два единичных вектора  и  . направлен по касательной к траектории в сторону движения точки, а - по нормали в сторону вогнутости траектории.
Проекция  на направление наз. нормальным (центростремительным) ускорением, а на направление тангенциальным (касательным) ускорением
 , где  - модули тангенциального и нормальных ускорений
Тангенциальное ускорение отвечает за изменение скорости по величине: 
Нормальное ускорение отвечает за изменение вектора скорости по направлению:
Равнопеременным движением называется движение с постоянным ускорением.
Законы изменения координат тела:
Все вышеизложенное относится к классическому способу описания движения м. точки. В случае неклассического рассмотрения движения микрочастиц понятия траектории их движения не существует, но можно говорить о вероятности нахождения частицы в той или иной области пространства. Для микрочастицы нельзя одновременно указать точные значения координаты и скорости. В квантовой механике существует соотношение неопределенностей
В. Гайзенберга  , где h=1,05∙10-34 Дж∙с (постоянная Планка), которое определяет погрешности одновременного измерения координаты  и импульса 
|
4.Система материальных точек. Внутренние и внешние силы. Импульс материальной точки, системы мат.точек. Закон сохранения импульса. Условия применимости закона сохранения импульса. Преобразования Галилея. Принцип относительности.
Любое тело можно представить как совокупность материальных точек.
Рассмотрим систему N м. точек массами  , которые могут взаимодействовать друг с другом и с внешними телами, не входящими в данную систему. Положение каждой м. точки в системе задается радиусом-вектором  в выбранной СО. Пусть на i-ю точку со стороны k-й действует сила  . Тогда по 3-му з-ну Ньютона на k-ю точку действует сила  , причем  . Силы, с которыми тела, входящие в рассматриваемую систему тел, взаимодействуют друг с другом наз. внутренними силами. Силы, с которыми тела, не входящие в рассматриваемую систему тел, действуют на м. точки рассматриваемой системы наз. внешними силами.
Запишем 2-й з-н Ньютона для каждой точки:
 где  - равнодействующая всех внешних сил, действующих на i-ю точку.
Сложив эти уравнения, получим
 причем во втором слагаемом правой части этого выражения отсутствуют члены с индексами i = k. Импульсом системы м. точки наз. геометрическая сумма импульсов всех ее тел
 . Тогда, поскольку  , то 
В соответствии с 3-им законом Ньютона  , поэтому 
Из полученной формулы следует, что импульс системы м. точек могут изменить только внешние силы, если их геометрическая сумма не равна 0. Система тел называется замкнутой, если на нее не действуют внешние силы или действие этих сил взаимно компенсировано. Импульс замкнутой системы взаимодействующих тел не изменяется при любом движении тел системы (Закон сохранения импульса системы взаимодействующих тел): 
Строго говоря, закон сохранения импульса выполняется только для замкнутой системы
Но если на систему не действуют ударные (импульсные) силы, то для малых интервалов времени можно с достаточной степенью точности считать, что импульс сохраняется. Например, в задачах на соударения и в задачах о взрывах импульсом ограниченной силы тяжести можно пренебречь
Кроме того, сохраняется проекция импульса системы взаимодействующих тел на ту ось, вдоль которой внешние силы не действуют:
Если в задаче, описывающей кратковременное взаимодействие тел, не задано время взаимодействия, то предполагается модель бесконечно малого времени взаимодействия
В этом случае можно учитывать лишь ударные (импульсные) силы.
По первому закону Ньютона, существуют такие системы отсчета, называемые инерциальными, в которых м. точка находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не выведет ее из этого состояния.
В классической механике преобразование координат и времени при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой выглядят следующим образом:
 , где
r1 и t1- радиус-вектор и время в первой ИСО
r2 и t2 - радиус-вектор и время во второй ИСО
v12 – скорость второй СО относительно первой СО
Здесь для простоты принято, что в начальный момент времени начала отсчета систем координат совпадают.
Условно первую ИСО называют "неподвижной", а вторую ИСО - "подвижной". Ясно, что обе системы, на самом деле, полностью равноправны.
Из преобразования Галилея прямо следует закон сложения скоростей:
Если еще раз продифференцировать полученный закон сложения скоростей:
то получаем, что ускорение одинаково (инвариантно) во всех инерциальных системах отсчета.
Здесь при дифференцировании мы учли, что ИСО движутся относительно друг с постоянной скоростью:
Аналогично можно доказать, что масса и сила также одинаковы (инвариантны) во всех инерциальных системах отсчета. Например, все известные нам силы зависят от расстояния между телами (сила гравитации, сила электростатического взаимодействия, сила упругости) или относительной их скорости (сила трения, сила магнитного взаимодействия между движущимися зарядами). Но согласно преобразованию Галилея, расстояние между телами и скорость их относительного движения одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Отсюда следует, что величины сил инвариантны.
Относительность механического движения и одинаковость законов механики в разных инерциальных системах отсчета называется принципом относительности Галилея. Таким образом, все инерциальные системы отсчета по своим механическим свойствам эквивалентны друг другу. Это означает, что никакими механическими опытами, проводимыми в данных системах, нельзя установить, покоится эта система отсчета или движется.
|
3. Динамика материальной точки. Масса. Сила. Импульс тела, импульс силы. Инерциальные системы отсчета. Законы Ньютона.
Динамика – это раздел физики, отвечающий на вопрос, почему так или иначе движется тело. Законы динамики были сформулированы Ньютоном в 1686г. Они являются обобщением опытных фактов, накопленных человеком в течение многих лет. Для того, чтобы сформулировать законы динамики, необходимо ввести ряд понятий.
Сила определяется как физическая величина, служащая мерой воздействия на данное тело другого тела. Это векторная величина.
Действие силы приводит:
к изменению скорости (т.е. тело получает ускорение);
к деформации;
Действие силы зависит:
от числового значения (модуля);
от направления;
от точки приложения.
Тело получает ускорение (изменяет скорость) под действием другого тела. В природе сущ. взаимодействие – действие тел друг на друга.
Из опытов установили, что при вз-и двух тел:
оба тела получают ускорение, напр. в разные стороны:
отношение ускорений тел при любых вз-ях постоянно.
То тело, к-рое при вз-и получает меньшее ускорение, т.е. меньше изменяет скорость, ближе к состоянию инерции, и оно более инертно.
 Инертность – свойство тела, состоящее в том, что для изменения скорости телу нужно время, чем оно больше, тем тело инертнее. Масса – мера инертности. Чем > тело изменяет v, тем > a, тем оно менее инертно, его m<, и наоборот.
В природе существует 4 типа вз-ий:
1) гравитационное
2) слабое
3) электромагнитное
4)сильное
Первый закон Ньютона. Существуют такие с.о., называемые инерциальными, в кот.материальная точка находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не выведет ее из этого состояния. Со времен Аристотеля до Галилея считалось, что для поддержания неизменной скорости тела необходимо воздействие других тел на него. Существование и.с.о. подтверждается опытом. Любая другая с.о., движущаяся равномерно и прямолинейно относительно инерциальной, также является инерциальной. Если в и.с.о. ускорение тела равно нулю, то оно равно нулю и в любых из таких систем. С.о., движущиеся с ускорением относительно и.с.о., называют неинерциальными.
2-й закон Ньютона.
Из опыта стало известно, что при действии одной и той же силы на разные тела оказывается одинаковым произведение массы тела на его ускорение. Поэтому произведение массы тела на его ускорение принято за величину, выражающую силу.
 Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение.
Если на тело действует несколько сил, то ускорение тела равно векторной сумме ускорений, вызванных каждой силой в отдельности. А в результате оно будет таким, как будто бы его сообщила одна сила, заменяющая действие всех, ее называют равнодействующей, она равна векторной сумме сил, действующих на тело.
Третий закон Ньютона: силы, с которыми две м. точки действуют друг на друга в ИСО, всегда равны по модулю и направлены в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти точки.
Импульсом тела называется векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость:
В системе СИ за единицу измерения импульса - килограмм на метр в секунду (кгм/с) - принят импульс тела массой в 1 килограмм, движущегося со скоростью 1 метр в секунду.
Импульсом силы называется векторная физическая величина, равная произведению силы на интервал времени ее действия: 
Импульсом системы сил называется векторная физическая величина, равная произведению векторной суммы этих сил (то есть равнодействующей этих сил) на интервал времени их действия:
В системе СИ за единицу импульса силы - ньютон на секунду (Нс) или килограмм на метр в секунду (кгм/с) - принимается импульс силы величиной в 1 ньютон, которая действует в течение 1 секунды.
 (Второй закон Ньютона в импульсной форме)
|
|
5. Система материальных точек. Центр масс системы материальных точек. Теорема о движении центра масс системы материальных точек.
Любое тело можно представить как совокупность материальных точек.
Центром масс системы взаимодействующих материальных точек называется такая точка пространства, радиус-вектор которой определяется выражением:
 , где mi и - масса и радиус-вектор i-ой частицы, М – масса всей системы тел.
Центра масс системы совпадает с ее центром тяжести, если поле сил тяжести в пределах данной системы тел можно считать однородным. Скорость центра масс:
Если скорость центра масс равна 0, то говорят, что система в целом покоится. Сама же скорость центра масс имеет смысл скорости движения всей системы как целого. Из последней формулы следует:
 , т.е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.
Подставим эту формулу (закон изменения импульса) и учтем, что масса системы тел постоянна. Тогда  ,
где  - результирующая всех внешних сил, действующих на систему.
Полученное выражение наз. уравнением движения центра масс системы тел. Согласно этому уравнению, центр масс любой системы тел движется так, как если бы вся масса системы была сосредоточена в этой точке, и к ней были бы приложены все внешние силы системы.
Если центр масс системы движется равномерно и прямолинейно, то импульс системы сохраняется в процессе движения. Справедливо и обратное утверждение. Уравнение является обобщением основного уравнения динамики мат.точки на систему частиц: ускорение системы как целого пропорционально результирующей всех внешних сил и обратно пропорционально суммарной массе системы.
| |
|
|
Скачать 0.72 Mb.