Задачник_ДМ_текст_16.10.19. Цилиндрические прямозубые и косозубые передачи
 Скачать 3.23 Mb.
|
|
§ 1.3. Резьбовые соединения Геометрические параметры резьбы В крепежных деталях болтах, винтах, шпильках и гайках) применяется однозаходная треугольная метрическая резьба по ГОСТ 9150-2002 (рис. 1.1). 35 Рис. 1.1. Профиль метрической резьбы общего назначения Основные геометрические параметры метрической резьбы – 𝑑 – наружный диаметр наружной резьбы – 𝑑 1 – внутренний диаметр наружной резьбы (по точке перехода боковой стороны к впадине – 𝑑 2 – средний диаметр наружной резьбы (ширина впадины равна толщине выступа – 𝑑 3 – внутренний диаметр по дну впадины наружной резьбы – 𝐷, 𝐷 1 и 𝐷 2 – соответственно наружный, внутренний и средний диаметры внутренней резьбы – α – угол профиля, α = о – 𝑃 – шаг резьбы – 𝐻 – высота исходного треугольника, 𝐻 = 0,5√3𝑃; – 𝐻 1 – рабочая высота профиля, 𝐻 1 = 5𝐻/8; – 𝑅 – радиус впадины наружной резьбы, 𝑅 = 𝐻/6 = 0,144𝑃. Стандартами предусмотрено производство крепежных деталей с крупными мелким шагом (табл. 1.5). В качестве основной принята резьба с крупным шагом. Резьба с мелким шагом применяется при необходимости облегчения затяжки и стопорения соединения. 36 В условиях, где требуется повышенная усталостная прочность резьбовых соединений, необходимо применять метрическую резьбу с профилем MJ по ГОСТ 30892-2002. Профиль резьбы MJ является модификацией профиля метрической резьбы общего назначения см. рис. 1.1) и отличается от него увеличенным диаметром внутренней резьбы 𝐷 1 и увеличенным до 𝑅 = 0,18𝑃 радиусом закругления впадины наружной резьбы. В этой связи увеличились по сравнению с резьбой общего назначения диаметр по дну впадины 𝑑 3 и внутренний диаметр наружной резьбы Таблица 1.5 Диаметры и шаги метрической резьбы крепежных изделий по ГОСТ 8724-2002) Диаметр резьбы d, мм Шаг резьбы Р, мм Диаметр резьбы d, мм Шаг резьбы Р, мм крупный мелкий крупный мелкий 3 0,5 – (18) 2,5 1,5 (3,5) 0,6 – 20 2,5 1,5 4 0,7 – (22) 2,5 1,5 5 0,8 – 24 3 2 6 1 – (27) 3 2 8 1,25 1 30 3,5 2 10 1,5 1,25 36 4 2 12 1,75 1,25 (39) 4 2 (14) 2 1,5 42 4,5 2 16 2 1,5 48 5 2 Примечание. Диаметры резьб, заключенные в скобки, применять не рекомендуется. Для крепежных деталей с диаметрами 𝑑 от 1,6 мм до 7 мм рекомендуются резьбы с крупным шагом, а для деталей с диаметрами от 8 до 39 мм – резьбы с мелким шагом (табл. 1.6). Механические свойства резьбовых деталей По показателям статической прочности резьбовые детали разделяют на классы прочности. Обозначение класса прочности болта, винта и шпильки включает два числа, разделенные точкой. Первое число, умноженное на 100, представляет собой номинальное значение предела прочности на растяжение в в МПа. Произведение этих двух чисел, умноженное 37 на 10, равняется номинальному значению предела текучести на растяжение Т (или σ 0,2 ) в МПа. Класс прочности гайки обозначают числом, указывающим наибольший класс прочности болта, с которым она может свинчиваться в соединении. Таблица 1.6 Диаметры и шаги метрической резьбы с профилем MJ для крепежных изделий по ГОСТ 30892-2002) Диаметр резьбы d, мм Шаг резьбы Р, мм Диаметр резьбы d, мм Шаг резьбы Р, мм Диаметр резьбы d, мм Шаг резьбы Р, мм 1,6 0,35 7 1 22 1,5 2 0,4 8 1 24 2 2,5 0,45 10 1,25 27 2 3 0,5 12 1,25 30 2 3,5 0,6 14 1,5 33 2 4 0,7 16 1,5 36 2 5 0,8 18 1,5 39 2 6 1 20 1,5 Допускаемые напряжения и запасы прочности Допускаемые напряжения и запасы прочности учитывают точность расчетных формул, характер нагрузки, качество монтажа соединения, вид затяжки соединения (табл. 1.7). Трение в резьбовых соединениях В табл. 1.8 приведены значения коэффициентов трения в резьбе и на торце гайки в зависимости от вида покрытия и наличия смазки. 38 Таблица 1.7 Нормативные запасы прочности и допускаемые напряжения Вид нагрузки Рекомендуемые значения Растягивающая внешняя нагрузка без затяжки болтов с затяжкой болтов [σ] = 0,6 ∙ σ Т Статическая нагрузка [𝑠] по табл. 1.3 – неконтролируемая затяжка [𝑠] = 1,5 … 2,5 – контролируемая затяжка. Переменная нагрузка [ 𝑠] ≥ 2,5 … 4, Т – по табл. 1.3 неконтролируемая затяжка [ 𝑐] = 1,5 … 2,5, Т = 1,5 … 2,5 контролируемая затяжка Поперечная внешняя нагрузка болты поставлены с зазором болты поставлены без зазора [𝑠] по табл. 1.3 – неконтролируемая затяжка [𝑠] = 1,5 … 2,5 – контролируемая затяжка [τ] = 0,4 ∙ Т (статическая [τ] = (0,2 … 0,3) ∙ Т (переменная см = 0,8 Т – сталь см = (0,4 … 0,5) ∙ В – чугун Прочность деталей в стыке см = 0,8 Т – сталь см = 0,4 В – чугун см = 1 … 2 МПа – бетон см = 2 … 4 МПа – дерево Таблица 1.8 Значения коэффициентов трения в резьбе р (числитель) и на торце гайки т (знаменатель) Покрытие болтов и гаек Значения р и 𝑓 т Без покрытия 0,32 – 0,52 0,14 – 0,24 0,18 – 0,23 0,10 – 0,14 0,16 – 0,21 0,11 – 0,14 Кадмиевое 0,24 – 0,32 0,12 – 0,24 0,15 – 0,25 0,05 – 0,15 0,16 – 0,22 0,05 – 0,13 Цинковое 0,24 – 0,40 0,07 – 0,10 0,15 – 0,20 0,09 – 0,11 0,14 – 0,19 0,08 – 0,11 39 Задача 1 Определить силу, которую необходимо приложить к рукоятке ключа, соответствующей по длине стандартной, при контролируемой затяжке одноболтового соединения с резьбой Ми крупным шагом. Материал болта – сталь 45, покрытие цинковое, смазка – машинное масло. Допускаемое напряжение в стержне болта при затяжке 0,8 Решение Условие статической прочности болта при затяжке соединения имеет вид σ = 1,3 ∙ 𝐹 0 π ∙ 𝑑 1 2 4 ≤ [σ], где 𝐹 0 – сила затяжки соединения 𝑑 1 – внутренний диаметр резьбы [σ] – допускаемое напряжение. По условию задачи [σ] = 0,8 ∙ σ 0,2 , где σ 0,2 – технический предел текучести материала болта для стали 45 σ 0,2 = 360 МПа. Определяем силу затяжки болта 𝐹 0 = 0,8 ∙ σ 0,2 1,3 ∙ π ∙ 𝑑 1 2 4 = 0,8 ∙ 360 1,3 ∙ 3,14 ∙ 10,106 2 4 = 17761 Н. Определяем момент завинчивания зав 𝐹 0 ∙ 𝑑 2 2 [ 𝐷 ср 𝑑 2 ∙ 𝑓 + tg(φ + ψ)], где 𝑑 2 = 10,863 мм – средний диаметр резьбы 𝐷 ср = 1,4𝑑 = 1,4 ∙ 12 = 16,8 мм – средний диаметр опорной поверхности гайки 𝑓 = 0,10 – коэффициент трения на опорной поверхности гайки р 0,15 – коэффициент трения в резьбе φ = arctg 𝑝 π ∙ 𝑑 2 = arctg 1,75 3,14 ∙ 10,863 = = о угол подъема винтовой линии 40 𝑝 = 1,75 мм для болта Мс крупным шагом резьбы по ГОСТ 8724-2002. ψ = ро угол трения в резьбе. зав 17761 ∙ 10,863 2 [ 16,8 10,863 ∙ 0,10 + о+ о = = 34406 Н ∙ мм. Определяем силу на ключе 𝐹 кл = 𝑇 зав 𝐿 кл = 34406 15 ∙ 12 = 191 Н. Ответ: 191 Н. Задача 2 Одноболтовое соединение нагружено постоянной силой 5000 Н, сдвигающей детали в стыке. Материал болта – сталь 30, класс прочности 5.6. Определить размеры резьбовой детали при постановке болта с зазором и без зазора. Коэффициент трения на стыке соединяемых деталей 𝑓 = 0,15. Затяжка неконтролируемая. Решение Рассмотрим вариант конструкции с болтом, установленным в отверстии с зазором. Определяем силу затяжки из условия работоспособности соединения 𝐹 0 = 𝑘 ∙ 𝐹 𝑓 = 1,3 ∙ 5000 0,15 = 43333 Н, здесь 𝑘 = 1,3 – коэффициент запаса по отсутствию сдвига деталей в стыке при постоянной силе 𝐹. Допускаемые напряжения [σ] = σ 0,2 𝑆 = 300 3 = 100 МПа, здесь σ 0,2 = 5 ∙ 6 ∙ 10 = 300 МПа – технический предел текучести материала резьбовой детали 41 𝑆 = 3 – запас статической прочности при неконтролируемой затяжке для углеродистой стали в предположении, что резьба имеет размеры в диапазоне ММ. Определение внутреннего диаметра резьбы из условия статической прочности резьбовой детали 𝑑 1 ≥ √ 1,3 ∙ 4 ∙ 𝐹 0 π ∙ [σ] = √ 1,3 ∙ 4 ∙ 43333 3,14 ∙ 100 = 26,788 мм. Определяем размеры резьбовой детали в соответствии с ГОСТ 24705-81 𝑑 1 = 27,727 мм, М. Рассмотрим вариант конструкции с болтом, установленным в отверстие без зазора. Определяем допускаемое напряжение сдвига при статической нагрузке [τ] = 0,4 ∙ σ 0,2 = 0,4 ∙ 300 = 120 МПа. Определяем диаметр стержня из условия статической прочности на сдвиг с √ 4 ∙ 𝐹 π ∙ [τ] = √ 4 ∙ 5000 3,14 ∙ 120 = 7,28 мм. По ГОСТ 24705-81 определяем размеры резьбовой детали. Ответ с 9 мм М. Задача 3 Одноболтовое соединение нагружено переменной силой 𝐹 = 2000 Н, раскрывающей стык соединяемых деталей. Материал детали 30ХГСА. Болт затянут контролируемой затяжкой. Проверить прочность. Коэффициент основной нагрузки χ = 0,25. Болт класса прочности 10.9. 42 Решение Определим силу затяжки болта из условия нераскрытия стыка 𝐹 0 = 𝑘 ∙ (1 − χ) ∙ 𝐹 = 2,0 ∙ (1 − 0,25) ∙ 2000 = 3000 Н. Определяем максимальную расчетную силу, действующую на болт р 1,3 ∙ 𝐹 0 + χ ∙ 𝐹 = 1,3 ∙ 3000 + 0,25 ∙ 2000 = 4400 Н. Определяем максимальное напряжение в резьбовой детали р ∙ 𝑑 1 2 = 4 ∙ 4400 3,14 ∙ 10,106 2 = 54,9 МПа. Определяем допускаемое напряжение для проверки статической прочности [σ] = σ 0,2 𝑆 = 900 2 = 450 МПа, здесь σ 0,2 = 10 ∙ 9 ∙ 10 = 900 МПа (класс прочности для стали 30ХГСА); 𝑆 = 3 = 2 – запас статической прочности при контролируемой затяжке. Проверка статической прочности σ max = 54,9 МПа < 450 МПа = [σ]. Условие статической прочности выполняется. Проверка прочности болтана многоцикловую прочность. Определяем напряжения цикла Амплитудное напряжение σ 𝑎 = ( χ ∙ 𝐹 2 ) ( π ∙ 𝑑 1 2 4 ) = ( 0,25 ∙ 2000 2 ) ( 3,14 ∙ 10,106 2 4 ) = 3,2 МПа. Среднее напряжение σ 𝑚 = (1,3 ∙ 𝐹 0 + χ ∙ 𝐹 2 ) ( π ∙ 𝑑 1 2 4 ) = (1,3 ∙ 3000 + 0,25 ∙ 2000 2 ) ( 3,14 ∙ 10,106 2 4 ) = 51,8 МПа. Определяем запас циклической прочности 𝑆 = σ −1𝑝 𝑘 σ ∙ σ 𝑎 + ψ σ ∙ σ 𝑚 = 400 3,5 ∙ 3,2 + 0,1 ∙ 51,8 = 24,4. 43 Проверка условия циклической прочности 𝑆 = 24,4 > 1,5 = Ответ условие циклической прочности выполняется. Задача 4 Определить нагрузку на наиболее нагруженный болт соединения кронштейна с основанием. Болты полностью идентичны и установлены в отверстия с зазором. 𝐹 = 2000 Нм мм, 𝑏 = 100 мм, 𝑐 = 180 мм. Решение Центры болтов в плоскости стыка лежат в вершинах равнобокой трапеции. Координаты центра тяжести 𝑦 = 𝑎 2 ∙ 𝑐 ∙ 𝑐 2 + 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 4 ∙ 2 ∙ 𝑐 3 = 4 9 ∙ 𝑐 = = 4 6 ∙ 180 = 80 мм. Приводим внешнюю нагрузку к центру соединения 𝑇 = 𝐹(𝐿 + 𝑦) = 2000(500 + 80) = 1160 Нм. Определяем реакции в точках крепления от силы 𝑅 𝐹 = 𝐹 𝑧 = 2000 4 = 500 Н. Определяем реакции от момента ℎ 1 = ℎ 2 = √80 2 + 100 2 = 128 мм ℎ 4 = √100 2 + 50 2 = 112 мм 𝑅 𝐹2 ; 𝑅 𝐹3 = 𝑅 𝐹4 ; 2𝑅 𝐹1 ∙ ℎ 1 + 2𝑅 𝐹3 ∙ ℎ 3 = 𝑇; 𝑅 𝐹1 𝑅 𝐹3 = ℎ 1 ℎ 3 ; 𝑅 𝐹3 = 𝑅 𝐹1 ℎ 3 ℎ 1 = 0,875 ∙ 𝑅 𝐹1 ; 44 𝑅 𝐹1 = 𝑇 2 ∙ ℎ 1 + 1,75 ∙ ℎ 3 = 1160000 2 ∙ 128 + 1,75 ∙ 112 = 2566 Н 2246 Н 0,6247; 𝑅 1 = 𝑅 2 = √𝑅 𝐹 2 + 𝑅 𝑀1 2 + 2𝑅 𝐹 ∙ 𝑅 𝑀1 ∙ β 1 = = 2905 Н 𝑅 4 = √𝑅 𝐹 2 + 𝑅 𝑀3 2 − 2𝑅 𝐹 ∙ 𝑅 𝑀3 ∙ β 3 = = 1813 Н. Ответ наиболее нагруженными являются болты 1 и 2. Задача 5 Подобрать болты для фланцевой муфты в количестве 𝑧 = 8 штук. Муфта передает крутящий момент 𝑇 = 200 Нм. Болты установлены с зазором. Допускаемое напряжение растяжения тела болта [σ] = 120 МПа. Нагрузка постоянная. Коэффициент запаса 𝑆 = 1,5. Решение Определяется сила сдвига, приходящаяся на один болт 𝐹 = 2𝑇 𝐷 0 ∙ 𝑧 = 2 ∙ 200 0,150 ∙ 8 = 333,3 Н. Сила сдвига в стыке должна уравновешиваться силой трения, создаваемой при затяжке, условие отсутствия сдвига выражается 𝐹 ≤ 𝑖 ∙ 𝐹 тр , где 𝑖 = 1 – количество плоскостей стыка. Необходимое усилие затяжки определяется по формуле 𝐹 0 = 𝑆 ∙ 𝐹 𝑖 ∙ 𝑓 = 1,5 ∙ 333,3 1 ∙ 0,15 = 3333 Н, 45 где 𝑆 = 1,5 – коэффициент запаса при постоянной нагрузке 𝑓 = 0,15 – коэффициент трения в стыке. Условие прочности тела болта при затяжке (внешняя растягивающая сила отсутствует) выражается формулой экв ∙ 𝐹 0 ( π𝑑 1 2 4 ) ≤ отсюда определяется внутренний диаметр резьбы болтам мм. Этой резьбе соответствует болт М, так как при стандартном болте М имеем 𝑑 1 = 6,771 мм и это меньше расчетного 𝑑 1 = 6,78 мм. Ответ М. Задачи для самостоятельного решения к § 1.3 Задача 1 Стержни 1 и 3 соединены между собой резьбовой муфтой 2. Соединение нагружено статической осевой силой F. Материал конструкции – сталь 45. Определите величину допускаемой осевой силы, а также запасы статической прочности для каждой детали соединения. Резьба метрическая с крупным шагом. Ответ F = 50712 Н S 1 = 1,6; S 2 = 1,8; S 3 = 1,6. Задача 2 Болтовое соединение нагружено постоянной сдвигающей силой 𝐹 = 1200 Н. Проверить работоспособность конструкции при материале резьбовой детали с группой 46 прочности 5.6. Затяжка неконтролируемая. Справочные данные 𝐾 = 1,3; 𝑓 = 0,15 . Ответ S = 8,5; конструкция работоспособна. Задача 3 Грузовая скоба воспринимает максимальную статическую нагрузку 𝐹 = 20 кН. Определите диаметральные размеры болта, выполненного из стали Ст. Ответ М. Задача 4 Винтовая стяжка имеет правую и левую метрическую резьбу с мелким шагом. В процессе работы осевая нагрузка F циклически меняется от 1000 Н до 1400 Н. Материал конструкции – сталь 20. Определите диаметр резьбы. Ответ М. Задача 5 Болт соединения «ухо-серьга» установлен в отверстие с зазором и затянут. Соединение нагружено осевой силой 𝐹 = 3 кН. Нагрузка переменная. Затяжка неконтролируемая. Материал болта – сталь 10. Коэффициент трения на стыке 𝑓 = 0,2. 47 Определить диаметральные размеры болта. Ответ М. Задача 6 Два вала соединены при помощи фланцев. В соединении – шесть болтов с наружным диаметром стержня с 10 мм. Болты установлены без зазора и изготовлены из стали марки Ст. Какой вращающий момент можно передать от одного вала к другому исходя из условия прочности болтов Ответ Т = 754 Нм. Задача 7 Смотровое окно вакуум-камеры снабжено стеклом 3, прижимаемым накладкой 2, крепящейся к корпусу 1 шестью винтами 4. В процессе работы на стекло действует осевая сила 𝐹 = 8 кН. Материал винтов – сталь Х. Затяжка контролируемая. Определить параметры резьбы винтов. Ответ М. Задача 8 Две детали соединены при помощи трех одинаковых болтов, установленных в отверстия с зазором. Соединение нагружено переменной силой, достигающей максимального значения 15 кН. Затяжка неконтролируемая. 48 Группа прочности болтов 5.6. Определить диаметр болтов. Ответ М. Задача 9 Кронштейн крепится к основанию двумя болтами. Нагрузка постоянная. Болты установлены в отверстия с зазором. Материал болтов – сталь Ст. Определить диаметр болтов. Ответ М. 49 Глава 2. МЕХАНИЧЕСКИЕ ПЕРЕДАЧИ § 2.1. Цилиндрические прямозубые и косозубые передачи Задача 1 Рассчитать величину приведенного радиуса кривизны зубьев прямозубых цилиндрических колес внешнего зацепления для расчета их рабочих поверхностей на контактную прочность, если известно межосевое расстояние передачи а =180 мм, передаточное число u = 3 и коэффициенты смещения 0 Решение Построим схему зацепления зубьев колес этой передачи в момент контакта зубьев в точке полюса зацепления П. Здесь O 1 O 2 – межосевое расстояние ОП радиус начальной окружности шестерни, 𝑑 𝑤1 2 = 𝑎 𝑤 𝑢 + ОП радиус начальной окружности колеса, 𝑑 𝑤2 2 = 𝑎 𝑤 ∙ 𝑢 𝑢 + 1 ; и 𝑑 𝑏2 – радиусы основных окружностей соответственно шестерни и колеса, α 𝑤 – угол зацепления, по условию задачи α 𝑤 = α = о Пи П – радиусы кривизны ρ эвольвентных поверхностей зубьев в точке П соответственно шестерни и колеса. 50 Известно, что приведенная кривизна зубьев равна сумме кривизн поверхностей зубьев шестерни и колеса, те. 1 ρ пр = 1 ρ 1 + 1 ρ 2 Из схемы зацепления определим ρ 1 = ОП ∙ sinα 𝑤 = α 𝑤 𝑢 + 1 ∙ и ρ 2 = ОП ∙ sinα 𝑤 = α 𝑤 ∙ 𝑢 𝑢 + 1 ∙ После подстановки в формулу приведенной кривизны и несложных алгебраических преобразований получим, что пр + 1 α 𝑤 ∙ sinα 𝑤 + 𝑢 + 1 α 𝑤 ∙ 𝑢 ∙ sinα 𝑤 = (𝑢 + 1) 2 α 𝑤 ∙ 𝑢 ∙ Отсюда про мм. Ответ 11,54 мм. Задача 2 Рассчитать действующие контактные напряжения в прямозубой цилиндрической передаче со стальными колесами, если вращающий момент на колесе 𝑇 2 = 1000 Нм, передаточное число передачи 𝑢 = 4, начальный диаметр колеса 𝑑 𝑤2 = 200 мм и рабочая ширина зубчатого венца 𝑏 𝑤 = 60 мм. В расчетах принять коэффициент расчетной нагрузки Н 1,2, коэффициенты смещения 𝑥 1 = 𝑥 2 = 0 и КПД зубчатой передачи μ = 0,97. Решение Для расчета воспользуемся следующей формулой Н 1,18√ 𝑇 1 ∙ Н пр (𝑢 + 1) 𝑑 𝑤 2 ∙ 𝑏 𝑤 ∙ sinα 𝑤 ∙ 𝑢 , где 𝑇 1 – вращающий момент на шестерне передачи, Н·мм, 51 𝑇 1 = 𝑇 2 𝑢 ∙ μ = 1000 ∙ 10 3 4 ∙ 0,97 = 257730 Н ∙ мм; 𝐸 пр – приведенный модуль упругости, для стальных зубчатых колес пр стали = 2,1·10 5 Н/мм 2 ; 𝑑 𝑤1 – начальный диаметр шестерни, 𝑑 𝑤1 = 𝑑 𝑤2 𝑢 = 200 4 = 50 мм – угол зацепления передачи, для случая 𝑥 1 = 𝑥 2 = 0, α 𝑤 = α = 20 о После подстановки числовых значений указанных параметров передачи в предложенную формулу получим Но МПа. Ответ: 1083 МПа. Задача 3 Рассчитать допускаемые контактные напряжения при расчете на усталость зубьев прямозубого цилиндрического колеса, изготовленного из стали 40ХН, подвергшейся термоулучшению с расчетным диапазоном твердости НВ = 230…300. Известно, что расчетный срок службы зубчатой передачи при постоянном режиме нагружения 10000 t часов, а колесо вращается с частотой 100 n мин -1 Решение Известно 1 , что допускаемые контактные напряжения рассчитывают по формуле [σ 𝐻 ] = σ 𝐻lim 𝑆 𝐻 ∙ 𝑍 𝑁 , где σ 𝐻lim – предел контактной выносливости материала зубчатого колеса, по [1, табл. 8.8]. σ 𝐻lim = 2𝐻𝐵 расч + 70 МПа. Здесь 𝐻𝐵 расч – расчетная твердость, определяется как среднее арифметическое 52 в указанном диапазоне, те. 𝐻𝐵 расч = (230 + 300)/2 = 265; тогда σ 𝐻lim = 2 ∙ 265 + 70 = 600 МПа. 𝑆 𝐻 – коэффициент безопасности, для указанной в условии задачи термической обработки рекомендуют 𝑆 𝐻 = 1,1; 𝑍 𝑁 – коэффициент долговечности, учитывающий влияние срока службы и режима нагрузки передачи. Он разрешает возможность повышения допускаемых напряжений для кратковременно работающих передач (при 𝑁 𝐻 < 𝑁 𝐻𝐺 ). 𝑍 𝑁 = √ 𝑁 𝐻𝐺 𝑁 𝐻 6 ≥ 1, где 𝑁 𝐻𝐺 – базовое число циклов, величину его определяют по [1, рис. 8.40] или рассчитывают по эмпирической зависимости 𝑁 𝐻𝐺 = 30 ∙ 𝐻𝐵 расч 2,4 = 30 ∙ 265 2,4 = 19,6 ∙ 10 6 ; 𝑁 𝐻 – циклическая долговечность, 𝑁 𝐻 = 60 ∙ 𝑛 ∙ 𝑡 = 60 ∙ 100 ∙ 10000 = 60 ∙ 10 Итак, 𝑍 𝑁 = √ 19,6 ∙ 10 6 60 ∙ 10 6 6 = 0,83, что меньше единицы, поэтому принимают в этом случае 𝑍 𝑁 = 1. Теперь величину допускаемых контактных напряжений колеса рассчитывают как [σ 𝐻 ] = 600 1,1 ∙ 1 = 545 МПа. Ответ 545 МПа. Задача 4 Рассчитать величину нормальной силы в зацеплении прямозубых цилиндрических колес внешнего контакта с модулем 𝑚 = 3 мм и коэффициентами смещения 𝑥 1 = 𝑥 2 = 0. Известно, что созданные при работе передачи напряжения изгиба σ 𝐹 = 160 МПа действуют в зубе колеса с параметрами делительный диаметр 𝑑 = 120 мм, рабочая ширина зубчатого венца 𝑏 𝑤 = 50 мм. Справочные данные 𝐾 𝐹 = 1,2. 53 Решение Нормальная сила в зацеплении прямозубых цилиндрических колес 𝐹 𝑛 = 𝐹 𝑡 cosα 𝑤 , где 𝐹 𝑡 – окружная составляющая α 𝑤 – угол зацепления, α 𝑤 = α = = о при заданных условиях задачи коэффициентах смещения 𝑥 1 = 𝑥 2 = 0. Расчетные действующие напряжения определяются по [1] из выражения σ 𝐹 = 𝐹 𝑡 ∙ 𝐾 𝐹 ∙ 𝑌 𝐹𝑆 𝑚 ∙ Отсюда 𝐹 𝑡 = σ 𝐹 ∙ 𝑚 ∙ 𝑏 𝑤 𝐾 𝐹 ∙ 𝑌 𝐹𝑆 , где, кроме указанных в условии задачи параметров, неизвестен коэффициент формы зуба 𝑌 𝐹𝑆 . Значение последнего находят по [1, рис. 8.20] в зависимости от числа зубьев 𝑧 и коэффициента смещения 𝑥. Так как 𝑧 = 𝑑/𝑚 = 120/3 = 40, то 𝑌 𝐹𝑆 = 3,76. Действующая нормальная сила в зацеплении может быть вычислена по соотношению 𝐹 𝑛 = σ 𝐹 ∙ 𝑚 ∙ 𝑏 𝑤 𝐾 𝐹 ∙ 𝑌 𝐹𝑆 ∙ 1 cosα 𝑤 = 160 ∙ 3 ∙ 50 1,2 ∙ о 5660 Н. Ответ 66 , 5 кН. Задача 5 Определить величину наибольшего передаваемого цилиндрическим прямозубым колесом вращающего момента в передаче внешнего зацепления при следующих данных 𝑧 1 = 20; 𝑢 = 5; 𝑚 = 2,5; 𝑥 1 = 0; 𝑥 2 = 0; ψ 𝑏𝑎 = 0,3; 𝐾 𝐻 = 1,24; [σ 𝐻 ] = 500 МПа материал зубчатых колес – сталь 𝐸 = 2,1 ∙ 10 5 МПа 54 Решение Число зубьев колеса 𝑧 2 = 𝑧 1 ∙ 𝑢 = 20 ∙ 5 = 100. Межосевое расстояние в зубчатой передаче 𝑎 𝑤 = 𝑚 ∙ 𝑧 1 + 𝑚 ∙ 𝑧 2 2 = 𝑚 ∙ (𝑧 1 + 𝑧 2 ) 2 = 2,5 ∙ 120 2 = 150 мм. Ширина зубчатого колеса 𝑏 𝑤 = 𝑎 𝑤 ∙ ψ 𝑏𝑎 = 150 ∙ 0,3 = 45 мм. Делительный диаметр шестерни 𝑑 𝑤1 = 𝑚 ∙ 𝑧 1 = 2,5 ∙ 20 = мм. Условие прочности зубьев прямозубых цилиндрических передач по контактным напряжениям Н пр 𝑇 1 ∙ Н 2 ∙ 𝑏 𝑤 ∙ sin2α 𝑤 ∙ ( 𝑢 ± 1 𝑢 ) ≤ [σ Н ]. Приравнивая в последнем выражении [ σ 𝐻 ] = 500 МПа и решая относительно 𝑇 1 , получим 𝑇 1 = 𝑑 𝑤1 2 ∙ 𝑏 𝑤 ∙ sin2α 𝑤 ∙ 𝑢 ∙ 500 2 1,18 2 ∙ пр Н (𝑢 + 1) = 50 2 ∙ 45 ∙ 0,6428 ∙ 5 ∙ 500 2 1,18 2 ∙ 2,1 ∙ 10 5 ∙ 1,24 ∙ 6 = = 41550 Н ∙ мм = 41,55 Н ∙ м. Наибольший вращающий момент на колесе 𝑇 2 = 𝑇 1 ∙ 𝑢 = 41,55 ∙ 5 = 207,75 Н ∙ м. Ответ: 𝑇 2 = 207,75 Н ∙ м. Задача 6 Рассчитать величину наибольшего передаваемого прямозубым цилиндрическим колесом в передаче внешнего зацепления вращающего момента, если модуль зацепления 𝑚 = 5 мм, число зубьев 𝑧 = 60, коэффициент смещения 𝑥 = 0, рабочая ширина зубчатого венца 𝑏 𝑤 = 40 мм, допускаемое напряжение [σ 𝐹 ] = 150 МПа и коэффициент расчетной нагрузки 𝐾 𝐹 = 1,2. 55 Решение Известно [1] условие прочности зубьев прямозубых цилиндрических колес по напряжениям изгиба σ 𝐹 = 𝐹 𝑡 ∙ 𝐾 𝐹 ∙ 𝑌 𝐹𝑆 𝑚 ∙ 𝑏 𝑤 ≤ [σ 𝐹 ]. Отсюда наибольшая по условию изгибной прочности окружная составляющая силы зацепления определится из соотношения 𝐹 𝑡 = [σ 𝐹 ] ∙ 𝑚 ∙ 𝑏 𝑤 𝐾 𝐹 ∙ Из условия задачи в данном выражении неизвестным остается лишь коэффициент формы зуба 𝑌 𝐹𝑆 колеса, величина которого может быть определена по [1, рис. 8.20] для числа зубьев 𝑧 = 60 при 𝑥 = 0 как 𝑌 𝐹𝑆 = 3,73. Теперь 𝐹 𝑡 ≤ 150 ∙ 5 ∙ 40 1,2 ∙ 3,73 = 6702 Н. Тогда наибольший вращающий момент навалу колеса 𝑇 ≤ 𝐹 𝑡 ∙ 𝑑 2 = 𝐹 𝑡 ∙ 𝑚 ∙ 𝑧 2 = 6702 ∙ 5 ∙ 60 2 = 1005000 Н ∙ мм = 1005 Н ∙ м. Ответ: 1005 Нм. Задача 7 Во сколько раз изменится вращающий момент, передаваемый прямозубым цилиндрическим колесом с числом зубьев 𝑧 = 80 и коэффициентом смещения 𝑥 = 0 и допускаемый прочностью зубьев по напряжениям изгиба [ σ 𝐹 ], если при сохранении величины модуля зацепления m делительный диаметр колеса 𝑑 и рабочую ширину зуба 𝑏 𝑤 его уменьшить в 4 раза Решение Условие прочности зубьев прямозубых цилиндрических колес по напряжениям изгиба имеет вид 1 σ 𝐹 = 𝐹 𝑡 ∙ 𝐾 𝐹 ∙ 𝑌 𝐹𝑆 𝑚 ∙ 𝑏 𝑤 ≤ [σ 𝐹 ], 56 где 𝐹 𝑡 – окружная составляющая силы зацепления колес 𝐾 𝐹 – коэффициент расчетной нагрузки 𝑌 𝐹𝑆 – коэффициент формы зуба колеса. Величина вращающего колесо момента рассчитывается как 𝑇 = 𝐹 𝑡 ∙ 𝑑/2 или после подстановки в эту формулу выражения из предыдущего 𝑇 = [σ 𝐹 ] ∙ 𝑚 ∙ 𝑏 𝑤 𝐾 𝐹 ∙ Вращающий момент на колесе после уменьшения величины его параметров будет 𝑇 ′ = [σ 𝐹 ] ∙ 𝑚 ∙ 𝑏 𝑤 ′ 𝐾 𝐹 ∙ 𝑌 𝐹𝑆 ′ ∙ 𝑑 ′ 2 , где 𝑏 𝑤 ′ = 𝑏 𝑤 /4, 𝑑 ′ = 𝑑/4 – по условию задачи 𝑌 𝐹𝑆 ′ – коэффициент формы зуба при новом числе зубьев колеса 𝑧 ′ , которое равно 𝑧/4 = 80/4 = 20. По [1, рис. 8.20] находим коэффициенты формы зуба для 𝑧 = 80 𝑌 𝐹𝑆 = 3,73, для 𝑧 = 20 𝑌 𝐹𝑆 ′ = 4,13. Теперь соотношение передаваемых вращающих моментов будет 𝑇 𝑇 ′ = [σ 𝐹 ] ∙ 𝑚 ∙ 𝑏 𝑤 ∙ 𝑑 ∙ 𝐾 𝐹 ∙ 𝑌 𝐹𝑆 ′ ∙ 2 𝐾 𝐹 ∙ 𝑌 𝐹𝑆 ∙ 2 ∙ [σ 𝐹 ] ∙ 𝑚 ∙ 𝑏 𝑤 ′ ∙ 𝑑 ′ = 𝑌 𝐹𝑆 ′ ∙ 16 𝑌 𝐹𝑆 = 4,13 ∙ 16 3,73 = 17,7. Следовательно, после указанного изменения геометрических параметров колеса передаваемый им вращающий момент уменьшится в 17,7 раза. Ответ уменьшение в 17,7 раза. Задача 8 Рассчитать основные исполнительные размеры шестерни 𝑧 1 = 20 открытой цилиндрической прямозубой передачи, если передаваемый ею вращающий момент 𝑇 1 = 300 Нм. В расчетах принять относительную ширину зубчатого венца ψ 𝑏𝑑 = 𝑏 𝑤 /𝑑 1 = 0,6 и величину допускаемых напряжений изгиба [ σ 𝐹 ] 1 = 200 МПа, а расположение шестерни в передаче – консольное. 57 Решение Известно, что основным видом разрушения зубьев колес открытых передач, работающих вне герметичного корпуса, является износ рабочих поверхностей зубьев, который происходит быстрее, нежели усталостное выкрашивание. У изношенной передачи увеличиваются боковые зазоры в зацеплении, возрастают дополнительные (внутренние) динамические нагрузки. В тоже время прочность изношенного зуба понижается вследствие уменьшения площади его поперечного сечения. Все это приводит к поломке зубьев. В силу указанного выше основным проектным расчетом для открытых передач является расчет по напряжениям изгиба, в результате чего определяют модуль зацепления, являющийся физическим масштабом зубьев. Итак, 𝑚 ≥ √ 3 ∙ 𝑇 1 ∙ 𝐾 𝐹β ∙ 𝑌 𝐹𝑆1 𝑧 1 ∙ ψ 𝑏𝑑 ∙ [σ 𝐹 ] 1 По [1, рис. 8.15] для колеса, расположенного консольно кривая а, имеющего твердость поверхности зуба не выше НВ = 350 судя по величине заданных в условии задачи допускаемых напряжений [ σ 𝐹 ] 1 ), при относительной ширине ψ 𝑏𝑑 = 0,6, находим коэффициент неравномерности распределения нагрузки по линии контакта 𝐾 𝐹β = 1,6. Коэффициент ψ 𝑏𝑚 = ψ 𝑏𝑑 ∙ 𝑧 1 = 0,6 ∙ 20 = 12. Определим по [1, рис. 8.20] величину коэффициента формы зуба шестерни с числом зубьев 𝑧 1 = 20 в предположении, что коэффициент смещения принят 𝑥 1 = 0, 𝑌 𝐹𝑆1 = 4,13. Рассчитаем модуль зацепления 𝑚 ≥ √ 3 ∙ 300 ∙ 10 3 ∙ 1,6 ∙ 4,13 20 ∙ 12 ∙ 200 3 = 4,98 мм. По первому ряду значений стандартных модулей зацепления [1, табл. 8.1] назначаем модуль 𝑚 = 5 мм. Тогда основные геометрические параметры шестерни рассчитаем последующим соотношениям – делительный диаметр 𝑑 1 = 𝑚 ∙ 𝑧 1 = 5 ∙ 20 = 100 мм 58 – диаметр вершин зубьев 𝑑 𝑎1 = 𝑑 1 + 2 ∙ ℎ 𝑎 ∗ ∙ 𝑚, здесь ℎ 𝑎 ∗ – коэффициент высоты головки зуба, по ГОСТ 13755-81 ℎ 𝑎 ∗ = 1,0. Тогда 𝑑 𝑎1 = 100 + 2 ∙ 1 ∙ 5 = мм – диаметр окружности впадин зубьев 𝑑 𝑓1 = 𝑑 1 + 2(ℎ 𝑎 ∗ + 𝑐 ∗ ) ∙ 𝑚, здесь 𝑐 ∗ – коэффициент радиального зазора в зацеплении, по ГОСТ 13755-81; 𝑐 ∗ = 0,25; тогда 𝑑 𝑓1 = 100 + 2(1 + 0,25) ∙ 5 = 87,5 мм – ширина зубчатого венца шестерни обычно рекомендуется несколько большей ширины зуба колеса ( 𝑏 2 = 𝑏 𝑤 ), тогда 𝑏 1 = 𝑏 𝑤 + 2𝑚 = 0,6 ∙ 100 + 2 ∙ 5 = 70 мм. Ответ: 100 мм 110 мм 87,5 мм 70 мм. Задача 9 Определить величины и направления составляющих силы в зацеплении косозубого цилиндрического колеса со следующими геометрическими параметрами нормальный модуль 𝑚 𝑛 = 2,5, мм, число зубьев 𝑧 = 40, угол наклона линии зуба β = о. К колесу приложен вращающий момент 𝑇 = 200 Нм. Решение Приводим схему цилиндрического косозубого колеса с приложенными к зубьям его усилиями. Окружная составляющая силы зацепления 𝐹 𝑡 = 2 ∙ 𝑇 𝑑 = 2 ∙ 𝑇 ∙ cosβ 𝑚 𝑛 ∙ 𝑧 = 2 ∙ 200 ∙ о ∙ 40 = 3960 Н. Осевая составляющая 𝐹 𝑎 = 𝐹 𝑡 ∙ tgβ = 3960 ∙ о 564 Н 59 Радиальная составляющая 𝐹 𝑟 = 𝐹 𝑡 ∙ tgα 𝑤 cosβ = 3960 о о 1456 Н. Ответ 3960 Н 564 Н 1456 Н. Задача 10 Цилиндрическая косозубая передача внешнего зацепления имеет параметры нормальный модуль 𝑚 𝑛 = 3 мм угол наклона линии зуба β = о число зубьев 𝑧 1 = 21; коэффициенты смещения 𝑥 1 = 𝑥 2 = 0; рабочую ширину зубчатого венца 𝑏 𝑤 = 50 мм передаточное число 𝑢 = 5; допускаемое контактное напряжение в зубчатой передаче Н = 750 МПа материал зубчатых колес – сталь с 𝐸 = 2,1 ∙ 10 5 МПа. Определить передаваемый колесом вращающий момент Принять коэффициенты 𝐾 𝐻 = 1,24; 𝑍 𝐻β = 0,8. Решение Начальный диаметр шестерни 𝑑 𝑤1 = 𝑚 ∙ 𝑧 1 cosβ = 3 ∙ 21 0,97029 = 64,928 мм. Условие прочности зубьев косозубой цилиндрической передачи по контактным напряжениям Н 1,18 ∙ 𝑍 𝐻β ∙ пр 𝑇 1 ∙ Н 2 ∙ 𝑏 𝑤 ∙ sin2α 𝑤 ∙ ( 𝑢 ± 1 𝑢 ) ≤ Н. Приравнивая в последнем выражении [ σ 𝐻 ] = 750 МПа и решая относительно 𝑇 1 , получим 𝑇 1 = 𝑑 𝑤1 2 ∙ 𝑏 𝑤 ∙ sin2α 𝑤 ∙ 𝑢 ∙ 750 2 (1,18 ∙ 𝑍 𝐻β ) 2 ∙ пр Н (𝑢 + 1) = = 64,928 2 ∙ 50 ∙ 0,6428 ∙ 5 ∙ 750 2 (1,18 ∙ 0,8) 2 ∙ 2,0 ∙ 10 5 ∙ 1,24 ∙ 6 = 271286 Н ∙ мм = 271,28 Н ∙ м. Наибольший вращающий момент на колесе 𝑇 2 = 𝑇 1 ∙ 𝑢 = 271,28 ∙ 5 = 1356,4 Н ∙ м. Ответ: 𝑇 2 = 1356,4 Нм Задача 11 Определить величину силы, нагружающей вал косозубого цилиндрического колеса с делительным (начальным) диаметром 𝑑 = 200 мм и углом наклона линии зуба β = о, при передаче вращающего момента 𝑇 = 500 Нм. Решение Сила в зацеплении косозубых цилиндрических колес пространственно ориентирована. Принято раскладывать ее натри составляющие окружную 𝐹 𝑡 , радиальную 𝐹 𝑟 и осевую 𝐹 𝑎 , которые передаются навал зубчатого колеса и его опоры (в разных плоскостях. Поэтому силу, нагружающую вал колеса при работе передачи, можно определить как суммарную, те. нормальную силу в зацеплении. Известно [1], что 𝐹 𝑛 = 𝐹 𝑡 cosβ ∙ cosα 𝑤 = 2𝑇 𝑑 cosβ ∙ cosα 𝑤 , тогда 𝐹 𝑛 = 2 ∙ 500 ∙ 10 3 200 ∙ о о 5440 Н. Ответ 44 , 5 кН. Задача 12 В цилиндрической косозубой передаче внешнего зацепления с параметрами нормальный окружной модуль 𝑚 𝑛 = 5, угол наклона линии зуба β = о, рабочая ширина зубчатого венца 𝑏 𝑤 = 50 мм, передаточное число 𝑢 = 5 шестерня имеет делительный диаметр 𝑑 1 = 154,592 мм и испытывает рабочие напряжения изгиба σ 𝐹1 = 150 МПа. Определить передаваемый колесом передачи вращающий момент 𝑇 2 . Принять коэффициенты 𝐾 𝐹𝑣 = 1,15 и 𝐾 𝐹𝑎 = 1,07. 61 Решение Зная, что вращающий момент 𝑇 2 = 𝐹 𝑡 ∙ 𝑑 2 /2, величину окружной составляющей силы зацепления 𝐹 𝑡 определим из зависимости [1] σ 𝐹1 = 𝑌 𝐹β ∙ 𝐹 𝑡 ∙ 𝐾 𝐹 ∙ 𝑌 𝐹𝑆1 𝑚 𝑛 ∙ 𝑏 𝑤 , где 𝑌 𝐹β – коэффициент, учитывающий повышение прочности косозубых передач по напряжениям изгиба, 𝑌 𝐹β = 𝐾 𝐹𝑎 ∙ Здесь 𝑌 β – коэффициент, учитывающий повышение изгибной прочности вследствие наклона контактной линии к основанию зуба, 𝑌 β = 1 о 1 о 0,9; ε 𝑎 – коэффициент торцового перекрытия, рассчитывается как ε 𝑎 = [1,88 − 3,2 ( 1 𝑍 1 + 1 𝑍 2 )] ∙ cosβ. Числа зубьев шестерни 𝑍 1 и колеса 𝑍 2 определим по формулам 𝑍 1 = 𝑑 1 ∙ cosβ 𝑚 𝑛 = 154,592 ∙ о 30 и 𝑍 2 = 𝑍 1 ∙ 𝑢 = 30 ∙ 5 = 150. Тогда ε 𝑎 = [1,88 − 3,2 ( 1 30 + 1 150 )] ∙ о 1,7; 𝑌 𝐹β = 1,07 ∙ 0,9 1,7 = 0,566. В выражении 𝐹 𝑡 = σ 𝐹1 ∙ 𝑚 𝑛 ∙ 𝑏 𝑤 𝑌 𝐹β ∙ 𝐾 𝐹 ∙ неизвестным остается значение коэффициента формы зуба шестерни 𝑌 𝐹𝑆 , который рассчитывают (или определяют графически) в зависимости от числа зубьев эквивалентного прямозубого колеса 𝑧 𝑣 = 𝑧 cos 3 β 62 Итак, 𝑧 𝑣1 = 𝑧 1 cos 3 β = 30 cos 3 о 32,8 и 𝑌 𝐹𝑆1 = 3,87. Теперь 𝐹 𝑡 = 150 ∙ 5 ∙ 50 0,566 ∙ 1,15 ∙ 3,87 = 14887 Ни вращающий момент на колесе 𝑇 2 = 𝐹 𝑡 ∙ 𝑑 2 2 = 𝐹 𝑡 ∙ 𝑚 𝑛 ∙ 𝑧 2 2 ∙ cosβ = 14887 ∙ 5 ∙ 150 2 ∙ о 10 3 = 5753,5 Нм. Ответ 5753,5 Нм. Задача 13 Определить величину действующих напряжений изгиба в зубьях шестерни косозубой цилиндрической передачи с передаточным числом 𝑢 = 3 и углом наклона линии зуба β = о. Известно, что зубья сопряженного колеса 𝑧 2 = 90 испытывают напряжения σ 𝐹2 = 150 МПа. Решение Если действующие в зубьях колес напряжения изгиба рассчитывают по формуле [1] σ 𝐹 = 𝑌 𝐹β ∙ 𝐹 𝑡 ∙ 𝐾 𝐹 ∙ 𝑌 𝐹𝑆 𝑚 𝑛 ∙ 𝑏 𝑤 , то соотношение рабочих напряжений изгиба в зубьях сопряженных колес определится как σ 𝐹1 σ 𝐹2 = 𝑌 𝐹𝑆1 𝑌 𝐹𝑆2 , где 𝑌 𝐹𝑆 – коэффициент формы зуба соответственно шестерни и сопряженного с ней колеса. Известно, что для косозубых колес принято определять коэффициент формы зуба в зависимости от числа зубьев эквивалентного прямозубого колеса с числом зубьев 𝑧 𝑣 = 𝑧 cos 3 β 63 Из условия задачи имеем 𝑧 2 = 90 и 𝑢 = 3, тогда 𝑧 1 = 𝑧 2 𝑢 = 90 3 = 30; 𝑧 𝑣1 = 𝑧 1 cos 3 β = 30 cos 3 о 33,3; 𝑧 𝑣2 = 𝑧 2 cos 3 β = 90 cos 3 о 99,9. По [1, рис. 8.20] для найденных значений 𝑧 𝑣 находим 𝑌 𝐹𝑆1 = 3,81 и 𝑌 𝐹𝑆2 = 3,75. Действующие в зубьях шестерни напряжения изгиба рассчитаем как σ 𝐹1 = σ 𝐹2 ∙ 𝑌 𝐹𝑆1 𝑌 𝐹𝑆2 = 150 ∙ 3,81 3,75 = 152,4 МПа. Ответ 4 , 152 МПа. Задача 14 Во сколько раз изменится допускаемое контактное напряжение в прямозубой цилиндрической передаче одноступенчатого редуктора, если первый редуктор имеет параметры 𝑍 1 = 20, 𝑍 2 = 40, 𝑚 1 = 2 мм, 𝑏 1 = 30 мм второй 𝑍 1 = 20, 𝑍 2 = 40, 𝑚 2 = 3 мм, 𝑏 2 = 30 мм. Вращающий момент на колесе во втором редукторе увеличен в 1,5 раза. Расположение зубчатых колес относительно опор симметричное, все колеса изготовлены из стали пр 2,1 ∙ 10 5 МПа. Решение Межосевое расстояние первой передачи 𝑎 1 = 𝑚 1 ∙ 𝑍 1 + 𝑚 1 ∙ 𝑍 2 2 = 2 ∙ 20 + 2 ∙ 40 2 = 60 мм. Межосевое расстояние второй передачи 𝑎 2 = 𝑚 2 ∙ 𝑍 1 + 𝑚 2 ∙ 𝑍 2 2 = 3 ∙ 20 + 3 ∙ 40 2 = 90 мм. Отношение ширины зубчатого колеса к межосевому расстоянию в первом редукторе Ψ 𝑏𝑎 = 𝑏 1 𝑎 1 = 30 60 = 0,5. 64 Отношение ширины зубчатого колеса к межосевому расстоянию во втором редукторе Ψ 𝑏𝑎 = 𝑏 2 𝑎 2 = 30 90 = 0,33. Изменение допускаемых контактных напряжений в передачах определяем по формуле 𝑎 𝑤 = 0,85(𝑢 ± 1) ∙ пр 𝑇 2 ∙ Н Н 𝑢 2 ∙ Возводим правую и левую части приведенного уравнения в кубическую степень и вычислим отношение контактных напряжений с учетом параметров зубчатых передач 𝑎 𝑤 3 = 0,85 3 (𝑢 + пр 𝑇 2 ∙ Н Н 𝑢 2 ∙ Ψ 𝑏𝑎 ; 60 3 90 3 = 0,85 3 ∙ (2 + 1) 3 0,85 3 ∙ (2 + пр 𝑇 2 ∙ Н Н [σ 𝐻 ] 2 ∙ 𝑢 2 ∙ 0,33 [σ 𝐻 ] 1 ∙ 𝑢 2 ∙ 0,5 ∙ пр 1,5 ∙ 𝑇 2 ∙ Н Н ∙ 0,5 ∙ 1,5 0,33 = 0,67. Ответ:во второй зубчатой передаче контактные напряжения уменьшились на 33 %. Задача 15 Определить величину угла наклона β 𝑇 линии зуба и ее направление на шестерне тихоходной ступени цилиндрического двухступенчатого зубчатого редуктора при условии отсутствия осевых нагрузок на радиальные подшипники опор промежуточного вала. Известно, что соотношение начальных диаметров зубчатых колеси угол наклона линии зуба на колесах быстроходной ступени β 𝑇 = о 65 Решение Кинематическая схема рассматриваемого редуктора. Осевая составляющая силы зацепления косозубых колес определяется по соотношению 𝐹 𝑎 = 𝐹 𝑡 ∙ tgβ. В зацеплении колес быстроходной ступени осевая сила Б 𝐹 𝑡2 ∙ Б ∙ Б tgβ Б , где 𝑇 2 – вращающий момент на колесе 𝑧 2 быстроходной ступени. По аналогии для тихоходной ступени имеем Т 𝐹 𝑡3 ∙ Т ∙ 𝑇 3 𝑑 𝑤3 ∙ tgβ Т , где 𝑇 3 – вращающий момент на шестерне z 3 тихоходной ступени, с учетом потерь в подшипниках промежуточного вала 𝑇 3 = 𝑇 2 ∙ η П Обычно П 0,99. При условии разгрузки подшипников опор промежуточного вала величины Б и Т равны, а векторы сил имеют противоположные направления, те. 2 ∙ 𝑇 2 𝑑 𝑤2 ∙ Б ∙ 𝑇 2 ∙ П tgβ Т Отсюда величина угла наклона линии зуба в тихоходной ступени Т arctg ( 𝑑 𝑤3 𝑑 𝑤2 ∙ tgβ Б ∙ 1 η П ) = arctg ( 1 ∙ о 1 3 ∙ 0,99 ) = 6 о 14 ′ 36 ′′ При заданном на колесе 𝑧 2 быстроходной ступени правом направлении линии зуба и при принятом направлении вращения входного (ведущего для быстроходной ступени) вала редуктора показано направление силы Б, приложенной к колесу 𝑧 2 . Тогда промежуточный вал будет вращаться против часовой стрелки и, чтобы компенсировать силу Б, требуется шестерню тихоходной ступени сделать с правым направлением зуба. Ответ о, правое направление зуба на шестерне z 3 66 Задача 16 Оценить, опоры какого вала – цилиндрического косозубого колеса с углом наклона линии зуба β = о или конического прямозубого, при одинаковых передаваемых вращающих моментах и равных расчетных диаметральных размерах ( 𝑑 𝑤 = 𝑑 𝑚 ) будут испытывать больше нагрузки и во сколько раз. Решение Указанные в условии задачи виды зубчатых колес при передаче вращающих моментов нагружаются пространственно расположенными силами 𝐹 𝑛 , называемыми нормальными силами зацепления. Принято раскладывать их натри составляющие – окружную 𝐹 𝑡 , радиальную 𝐹 𝑟 и осевую 𝐹 𝑎 . Поскольку каждая из этих составляющих действует навал колеса и его опоры (в разных плоскостях, то оценку нагружения валов возможно выполнить по величинам нормальных сил в зацеплении Для косозубой цилиндрической передачи кос ∙ cosα 𝑤 , для конической прямозубой 𝐹 𝑛кон = 𝐹 𝑡 cosα 𝑤 Так как чаще всего зубья косозубых и конических колес нарезаются с коэффициентом смещения 𝑥 Σ = 0, то угол зацепления α 𝑤 в обеих передачах равен углу профиля исходного контура α = о. При одинаковых передаваемых вращающих моментах и равных расчетных диаметрах окружные составляющие также равны. Следовательно, соотношение усилий 𝐹 𝑛кос 𝐹 𝑛кон = 𝐹 𝑡 ∙ cosα cosβ ∙ cosα ∙ о 1,05. Ответ вал косозубого колеса испытывает враз большие нагрузки. 67 Задача 17 Две косозубые цилиндрические передачи внешнего зацепления имеют одинаковые материалы и термообработку колес, одинаковую точность изготовления зубьев, одинаковые межосевые расстояния 𝑎 𝑤 , одинаковую ширину зубчатого венца 𝑏 𝑤 , одинаковые передаточные числа u и одинаковый угол наклона линии зуба β = о. Впервой передаче нормальный окружной модуль, 𝑚 𝑛 = 2 мм, числа зубьев 𝑧 1 = 30 и 𝑧 2 = 120. У второй передачи 𝑚 𝑛 = 3 мм. Каково соотношение действующих напряжений изгиба в зубьях шестерен этих передач при передаче равного вращающего момента Решение Рабочие (действующие) напряжения изгиба в зубьях цилиндрических косозубых колес определяются по формуле [1] σ 𝐹 = 𝑌 𝐹β ∙ 𝐹 𝑡 ∙ 𝐾 𝐹 ∙ 𝑌 𝐹𝑆 𝑚 𝑛 ∙ 𝑏 𝑤 , где 𝑌 𝐹β – коэффициент повышения прочности косозубых колес, 𝑌 𝐹β = 𝐾 𝐹𝑎 ∙ Здесь 𝐾 𝐹𝑎 – коэффициент неравномерности нагрузки одновременно зацепляющихся пар зубьев 𝑌 β – коэффициент повышения изгибной прочности вследствие наклона контактной линии к основанию зуба, 𝑌 β = 1 о 1 о 0,896; ε 𝑎 – коэффициент торцового перекрытия, для передач без смещения ε α = [1,88 − 3,2 ( 1 𝑧 1 + 1 𝑧 2 )] ∙ cosβ. Для первой передачи ε α = [1,88 − 3,2 ( 1 30 + 1 120 )] ∙ о 1,69. 68 Для второй передачи требуется рассчитать числа зубьев. Из условия задачи следует, что при одинаковом межосевом расстоянии 𝑎 𝑤 = 𝑚 𝑛 ∙ 𝑧 Σ 2 ∙ cosβ = 𝑚 𝑛 ′ ∙ 𝑧 Σ ′ 2 ∙ или 2(30 + 120) = 3 ∙ 𝑧 Σ ′ , откуда суммарное число зубьев второй передачи 𝑧 Σ ′ = 100. При одинаковом передаточном числе передач 𝑢 = 𝑧 2 /𝑧 1 == 120/30 = 4 числа зубьев колес второй передачи будут 𝑧 1 ′ = 20 и 𝑧 2 ′ = 80. Тогда для второй передачи ε α ′ = [1,88 − 3,2 ( 1 20 + 1 80 )] ∙ о 1,626. В итоге соотношение коэффициентов 𝑌 𝐹β /𝑌 𝐹β ′ = ε 𝑎 ′ /ε 𝑎 = 1,626/1,69 = 0,962. Коэффициенты формы зуба 𝑌 𝐹𝑆 косозубых колес находят по [1, рис. 8.20] в зависимости от числа зубьев 𝑧 𝑣 эквивалентных прямозубых колес, Для шестерни первой передачи 𝑧 1 = 30 𝑧 𝑣1 = 30 cos 3 о 33, для шестерни второй передачи 𝑧 1 ′ = 20 𝑧 𝑣1 ′ = 20 cos 3 о 22. Следовательно, по графикам [1, рис. 8.40] находим 𝑌 𝐹𝑆1 = 3,83 и 𝑌 𝐹𝑆1 ′ = 4,09. При равных передаваемых шестернями вращающих моментах и одинаковых делительных диаметрах 𝑑 1 = 𝑚 𝑛 ∙ 𝑧 1 cosβ = 2 ∙ о 62 мм, 𝑑 1 ′ = 𝑚 n ′ ∙ 𝑧 1 ′ cosβ = 3 ∙ о 62 мм окружные силы в зацеплениях обеих передач равны. 69 Соотношение действующих в зубьях шестерен обеих передач напряжений изгиба σ 𝐹1 σ 𝐹1 ′ = 𝑌 𝐹β ∙ 𝑌 𝐹𝑆1 ∙ 𝑚 𝑛 ′ 𝑚 𝑛 ∙ 𝑌 𝐹β ′ ∙ 𝑌 𝐹𝑆1 ′ = 𝑌 𝐹β 𝑌 𝐹β ′ ∙ 𝑚 𝑛 ′ 𝑚 𝑛 ∙ 𝑌 𝐹𝑆1 𝑌 𝐹𝑆1 ′ = 0,962 ∙ 3 2 ∙ 3,82 4,09 = 1,348. Ответ 1,348. Задача 18 Определить передаточные числа в ступенях цилиндрического двухступенчатого редуктора с косозубыми колесами при условии разгрузки опор промежуточного вала от осевых нагрузок. Известно, что межосевые расстояния ступеней Б 100 мм и Т 200 мм, углы наклона линии зуба в ступенях Бои То, а общее передаточное отношение редуктора 𝑖 = 20. Решение Приведем кинематическую схему рассматриваемого редуктора. Осевая составляющая силы в зацеплении косозубых цилиндрических колес определяется по формуле [1] 𝐹 𝑎 = 𝐹 𝑡 ∙ tgβ, где 𝐹 𝑡 – окружная составляющая силы в зацеплении, 𝐹 𝑡 = Если принять вращающий момент на колесе 𝑧 2 промежуточного вала 𝑇 2 (Нм, тогда на шестерне 𝑧 3 тихоходной ступени момент 𝑇 3 = 𝑇 2 ∙ П. Здесь П – КПД подшипников опор промежуточного вала, П 0,99. Начальные диаметры колеса 𝑧 2 и шестерни 𝑧 3 рассчитываются соответственно по формуле 𝑑 𝑤2 = 2 ∙ Б 𝑢 Б 𝑢 Б + 1 и 𝑑 𝑤3 = 2 ∙ 𝑎 𝑤Т 𝑢 Т + Для указанного редуктора имеем следующие силовые взаимозависимости – в быстроходной ступени Б 𝐹 𝑡2 ∙ Б и 70 𝐹 𝑡2 = 2𝑇 2 𝑑 𝑤2 = 𝑇 2 ∙ (Б+ Б Б – в тихоходной ступени Т 𝐹 𝑡3 ∙ Т и 𝐹 𝑡3 = 2𝑇 3 𝑑 𝑤3 = 2 ∙ 𝑇 2 ∙ П (Т+ 1) 2 ∙ 𝑎 𝑤Т По условию задачи величины осевых сил в зацеплениях равны, те. Б Т или 𝑇 2 ∙ (Б+ 1) ∙ tgβ Б 𝑎 𝑤Б ∙ Б П (Т+ 1) ∙ tgβ Т 𝑎 𝑤Т Заменяем передаточное число тихоходной ступени 𝑢 Т выражением Б, так как Б Т 𝑖. Тогда выражение предыдущего равенства примет вид Б+ 1) ∙ tgβ Б 𝑎 𝑤Б ∙ 𝑢 Б = η П ∙ (Б+ 1) ∙ tgβ Т 𝑎 𝑤Т ∙ 𝑢 Б Отсюда после ряда алгебраических преобразований передаточное число быстроходной ступени редуктора определится из выражения 𝑢 Б = 𝑎 𝑤Т ∙ Б П Т Б П Т Б Т tgβ Б После подстановки численных значений из условия задачи получим Б ∙ о 0,99 ∙ о 100 ∙ 20 0,99 ∙ о 100 − 200 ∙ о 5,25. Тогда передаточное число тихоходной ступени редуктора Т 5,25 = 3,81. Ответ и Задача 19 Две косозубые цилиндрические передачи внешнего зацепления имеют следующие одинаковые параметры материалы и термообработку колес, рабочую ширину зубчатых венцов, межосевое расстояние, угол наклона линии зубьев β = о и передаточные числа. Модуль зацепления первой передачи 𝑚 𝑛 = 2, числа зубьев ее колеси. У второй передачи известен 𝑚 n ′ = 3. 71 Найти соотношения действующих контактных напряжений σ 𝐻 /σ 𝐻 ′ и напряжений изгиба для зубьев колес этих передачи Решение Из условия задачи имеем 𝑎 𝑤 = 𝑚 𝑛 2 ∙ cosβ ∙ (𝑧 1 + 𝑧 2 ) = 𝑚 𝑛 ′ 2 ∙ cosβ ∙ (𝑧 1 ′ + 𝑧 2 ′ ). Отсюда суммарное число зубьев колес второй передачи (𝑧 1 ′ + 𝑧 2 ′ ) = 𝑚 𝑛 ∙ (𝑧 1 + 𝑧 2 ) 𝑚 𝑛 ′ = 2 ∙ (30 + 120) 3 = 100. Передаточное число обеих передач 𝑢 = 𝑧 2 𝑧 1 = 120 30 = 4 Тогда числа зубьев колес второй передачи находим из соотношений 𝑧 1 ′ = 20 и 𝑧 2 ′ = 80. Рабочие контактные напряжения в передачах определяются выражениями Н 1,18 ∙ 𝑧 𝐻β ∙ √ 𝑇 1 ∙ 𝐾 𝐻 ∙ пр (𝑢 + 1) 𝑑 𝑤1 2 ∙ 𝑏 𝑤 ∙ sinα 𝑤 ∙ 𝑢 , σ 𝐻 ′ = 1,18 ∙ 𝑧 𝐻β ′ ∙ √ 𝑇 1 ∙ 𝐾 𝐻 ∙ пр (𝑢 + 1) (𝑑 𝑤1 ′ ) 2 ∙ 𝑏 𝑤 ∙ sin2α 𝑤 ∙ Здесь 𝑧 𝐻β – коэффициент повышения прочности косозубых передач по контактным напряжениям, 𝑧 𝐻β = √ 𝐾 𝐻𝑎 ∙ В этой формуле коэффициент торцового перекрытия передач для первой передачи ε α = [1,88 − 3,2 ( 1 𝑧 1 + 1 𝑧 2 )] ∙ cosβ, и для второй передачи ε α ′ = [1,88 − 3,2 ( 1 𝑧 1 ′ + 1 𝑧 2 ′ )] ∙ cosβ. 72 Итак, ε α = [1,88 − 3,2 ( 1 30 + 1 120 )] ∙ о 1,69; ε α ′ = [1,88 − 3,2 ( 1 20 + 1 80 )] ∙ о 1,626. По условию задачи подрадикальные выражения в формулах рабочих контактных напряжений одинаковы, так как 𝑑 𝑤1 = 𝑑 1 = 𝑚 𝑛 ∙ 𝑧 1 cosβ = 2 ∙ о 62 мм и 𝑑 w1 ′ = 𝑑 1 ′ = 𝑚 𝑛 ′ ∙ 𝑧 1 ′ cosβ = 3 ∙ о 62 мм. Соотношение контактных напряжений рассматриваемых передач σ 𝐻 σ 𝐻 ′ = √ 𝑧 𝐻β 𝑧 ′ β = √ ε α ′ ε α = √ 1,626 1,69 = 0,981. Действующие напряжения изгиба в зубьях косозубых колес определяются по формуле σ 𝐹 = 𝑌 𝐹β ∙ 𝐹 𝑡 ∙ 𝐾 𝐹β ∙ 𝐾 𝐻𝑉 ∙ 𝑌 𝐹𝑆 𝑚 𝑛 ∙ Соотношение напряжений в зубьях шестерен обеих передач σ 𝐹1 σ 𝐹1 ′ = 𝑌 𝐹β ∙ 𝑌 𝐹𝑆1 ∙ 𝑚 𝑛 ′ 𝑚 𝑛 ∙ Y 𝐹β ′ ∙ Y 𝐹𝑆1 ′ , где 𝑌 𝐹β и Y 𝐹β ′ – коэффициенты повышения прочности косозубых колес по напряжениям изгиба 𝑌 𝐹β = 𝐾 𝐹α ∙ 𝑌 β ε α и Y 𝐹β ′ = 𝐾 𝐹α ∙ и Y 𝐹𝑆1 ′ – коэффициенты формы зуба шестерен 𝑧 1 и определяется по [1, рис. 8.20] для зубьев эквивалентных колесо и 𝑧 𝑣1 ′ = 20 cos 3 о 22, соответственно 𝑌 𝐹𝑆1 = 3,83 и Y 𝐹𝑆1 ′ = 4,08. Окончательное соотношение σ 𝐹1 σ 𝐹1 ′ = 𝑌 𝐹𝑆1 ∙ 𝑚 𝑛 ′ ∙ ε α ′ ε α ∙ 𝑚 𝑛 ∙ Y 𝐹𝑆1 ′ = 3,83 ∙ 3 ∙ 1,626 1,69 ∙ 2 ∙ 4,08 = 1,355. 73 Соотношение напряжений изгиба для колес передач определяется аналогично σ 𝐹2 σ 𝐹2 ′ = 𝑌 𝐹𝑆2 ∙ 𝑚 𝑛 ′ ∙ ε α ′ ε α ∙ 𝑚 𝑛 ∙ Y 𝐹𝑆2 ′ , где коэффициенты формы зуба колеса 𝑧 2 находим по [1, рис. 8.20] для 𝑧 𝑣2 = 𝑧 2 cos 3 β = 120 cos 3 о 132; 𝑌 𝐹𝑆2 = 3,75 и колеса 𝑧 2 ′ – для 𝑧 𝑣2 ′ = 𝑧 2 ′ cos 3 β = 80 cos 3 о 88; Y 𝐹𝑆2 ′ = 3,73. Окончательно имеем σ 𝐹1 σ 𝐹1 ′ = 3,75 ∙ 3 ∙ 1,626 1,69 ∙ 2 ∙ 3,73 = 1,451. Ответ 0, 980; 1,355; 1,451. |