БИЛЕТЫ МЖГ. 1 билет введение. Предмет и прикладное значение дисциплины. Основные понятия, терминология, модели жидкости
 Скачать 1.1 Mb.
|
|
1 БИЛЕТ Введение. Предмет и прикладное значение дисциплины. Основные понятия, терминология, модели жидкости. Прикладная газодинамика – это наука, изучающая законы движения сжимаемых и несжимаемых легкоподвижных сред, взаимодействие и силы взаимодействия движущихся сред с твердыми и упругими телами. Гидродинамика, исключая вопросы движения разряженных сред, является частью механики сплошных сред-механики жидкости и газа. Есть несколько взаимосвязанных наук: -гидромеханика- прикладной раздел механики сплошных сред , изучающий движение жидкости, условия её равновесия и взаимодействия с разнообразными твёрдыми телами, поверхностями или препятствиями, которые смачиваются или омываются ею. Включает в себя гидростатику и гидродинамику. Не рассматривается влияние на поведение потоков сжимаемости среды. Интересуется вопросами течения в открытых руслах -газодинамика- раздел механики , изучающий законы движения газообразной среды и её взаимодействия с движущимися в ней твёрдыми телами ; не интересуется вопросами течения в открытых руслах. -аэродинамика- кроме общетеоретических вопросов( в отличие от газодинамики), занимается изучением устойчивости и управляемости движения летательных аппаратов. Газодинамика и аэродинамика неизбежно должны включать в себя гидромеханику, если изучается движение газов или тел в атмосфере с малой скоростью. Название “прикладная гидрогазодинамика» ничего конкретного не сообщает, кроме того, что данная дисциплина содержит как теоретические, так и экспериментальные данные прикладного характера. Прикладной характер излагаемого в дальнейшем материала ориентирован на применение его в области авиадвигателестроения. Рассматриваемые в пособии закономерности являются базой для изучения авиационных лопаточных машин, теории и математического моделирования авиационных двигателей и других дисциплин той же практической ориентации. Предлагаемые теоретические сведения применимы при рассмотрении процессов, связанных с потоками жидкостей и газов. Неотъемлемой и основной частью гидрогазодинамики является изучение термодинамических процессов, протекающих в движущихся газах, так как изменение скорости движения газа сопровождается изменением термодинамических параметров состояния. Жидкостями называются субстанции, обладающие легкоподвижностью или текучестью, т.е непрерывно и сколь угодно сильно деформирующиеся под действием сколь угодно малого срезывающего напряжения. Легкоподвижностью в равной сепени обладают капельные жидкости и газы. Поэтому и те и другие называются жидкостями. Следует помнить, что под жидкостью подразумеваются как собственно малосжимаемые капельные жидкости, так и газы - сжимаемые жидкости. Капельные жидкости отличаются тем, что, будучи предоставленными самим себе (находясь в состоянии невесомости, либо при равенстве нулюравнодействующей всех внешних сил), под действием сил поверхностного натяжения принимают шарообразную форму. Вследствие значительной величины межмолекулярных сил и сил поверхностного натяжения капельные жидкости не в состоянии занять весь выделенный для них объем. Данное свойство не распространяется на течения, когда объем канала или русла заполняется за счет притока жидкости (исключая особые случаи потери неразрывности течения, например при так называемой кавитации). Отличительной особенностью сжимаемых жидкостей - газов - является малый уровень межмолекулярных сил и отсутствие сил поверхностного натяжения. В силу этих обстоятельств газы не собираются в капли и полностью заполняют весь предоставленный им объем. Иногда сжимаемостью газов в описываемом процессе можно пренебречь, в этом случае принимают, что их поведение в потоках и качественно, и количественно неотличимо от поведения капельных жидкостей. Именно в этом случае по отношению к газам применимо понятие жидкости. Понятие газа применяется тогда, когда свойством сжимаемости пренебрегать нельзя. Однако и в этом случае понятие жидкости применимо, так как основным ее качеством является легкоподвижность, которой обладают и капельные жидкости, и газы. Контрольный объем- произвольно выделенная область пространства, рассматриваемая в неподвижной выбранной сис.коорд., проницаемая для потоков( вещества, энергии, импульса и т.д). Ограниченная поверхность у нее проницаемая. Масса в к.о. меняется. Форма не меняется. Жидкая частица – определенная часть движущейся среды, с непроницаемыми границами. Она способна перемещаться в пространстве и изменять форму, но массу менять не может. У жидкой частицы может меняться энергия только за счет тепла. У к.о. еще за счет скорости. В то же время объем частицы велик по сравнению с объемом молекулы жидкости. В частице содержится так много молекул, что жидкость в пределах частицы можно считать сплошной средой. БИЛЕТ 2. Основные математические понятия. Операторы и операции. Физический смысл дивергенции вектора скорости применительно к контрольному объему и жидкой частице. Формула Остроградского-Гаусса. Основными дифференциальными операциями над скалярным полем U и векторным полем а являются grad U, div a, rot а. Действия взятия градиента, дивергенции и ротора называются векторными операциями 1 порядка ( в них участвуют только 1 производные). Эти операции удобно записываются с помощью оператора Гамильтона: 𝛻 = 𝜕 𝜕𝑥 𝑖̅ + 𝜕 𝜕𝑦 𝑗̅ + 𝜕 𝜕𝑧 𝑘̅ . Этот символический вектор называют оператором «набла». Он приобретает определенный смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями: Символическое умножение вектора 𝛻 на скаляр 𝑈 или вектор 𝑎̅ производится по обычным правилам векторной алгебры, а умножение символов 𝜕 𝜕𝑥 ; 𝜕 𝜕𝑦 ; 𝜕 𝜕𝑧 на величины 𝑈, 𝑃, 𝑄, 𝑅 − как взятие соответствующей частной производной от этих величин. 𝛻𝑈 = ( 𝜕 𝜕𝑥 𝑖̅ + 𝜕 𝜕𝑦 𝑗̅ + 𝜕 𝜕𝑧 𝑘̅) ∙ 𝑈 = 𝜕𝑈 𝜕𝑥 𝑖̅ + 𝜕𝑈 𝜕𝑦 𝑔̅ + 𝜕𝑈 𝜕𝑧 𝑘̅ = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑈 𝛻 ∙ 𝑎̅ = ( 𝜕 𝜕𝑥 𝑖̅ + 𝜕 𝜕𝑦 𝑗̅ + 𝜕 𝜕𝑧 𝑘̅) ∙ (𝑃 ∙ 𝑖̅ + 𝑄 ∙ 𝑔̅ + 𝑅 ∙ 𝑘̅) = 𝜕𝑃 𝜕𝑥 + 𝜕𝑄 𝜕𝑦 + 𝜕𝑅 𝜕𝑧 = 𝑑𝑖𝑣 𝑎̅ 𝛻 × 𝑎̅ = | 𝑖̅ 𝑗̅ 𝑘̅ 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝑃 𝑄 𝑅 | = 𝑟𝑜𝑡 𝑎̅ Это диф. операции 1 порядка Оператор Гамильтона действует только на множитель, расположенный непосредственно за оператором. Скалярное произведение оператора Гамильтона самого на себя дает новый скалярный оператор-оператор Лапласа: 𝛥 = 𝛻 ∙ 𝛻 = 𝜕 2 𝜕𝑥 2 + 𝜕 2 𝜕𝑦 2 + 𝜕 2 𝜕𝑧 2 Операциями второго порядка являются: 1) 𝑑𝑖𝑣 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑈: 𝑑𝑖𝑣 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑈 = 𝛻 ∙ (𝛻𝑈) = (𝛻 ∙ 𝛻)𝑈 = ( 𝜕 2 𝜕𝑥 2 + 𝜕 2 𝜕𝑦 2 + 𝜕 2 𝜕𝑧 2 ) ∙ 𝑈 = 𝛥𝑈 2) 𝑟𝑜𝑡 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑈: Поле градиента есть поле безвихревое, так как векторное произведение двух векторов (𝛻) равно нулю: 𝑟𝑜𝑡 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑈 = 𝛻 × (𝛻𝑈) = 0 3) 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑣 𝑎̅: 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑣 𝑎̅ = 𝛻(𝛻 ∙ 𝑎̅) = 𝛥𝑎̅ + 𝛻 × (𝛻 × 𝑎̅) = 𝜕 𝜕𝑥 (𝛻 ∙ 𝑎̅)𝑖̅ + 𝜕 𝜕𝑦 (𝛻 ∙ 𝑎̅)𝑗̅ + 𝜕 𝜕𝑧 (𝛻 ∙ 𝑎̅)𝑘̅ 4) 𝑑𝑖𝑣 𝑟𝑜𝑡 𝑎̅ Смешанное произведение трех векторов, из которых два одинаковые, равно нулю. Это означает, что поле вихря – соленоидальное: 𝑑𝑖𝑣 𝑟𝑜𝑡 𝑎̅ = 𝛻 ∙ (𝛻 × 𝑎̅) = 0 5) 𝑟𝑜𝑡 𝑟𝑜𝑡 𝑎̅ 𝑟𝑜𝑡 𝑟𝑜𝑡 𝑎̅ = 𝛻 × (𝛻 × 𝑎̅) = 𝛻(𝛻 ∙ 𝑎̅) − (𝛻 ∙ 𝛻)𝑎̅ = 𝛻(𝛻 ∙ 𝑎̅) − 𝛥𝑎̅ Последнее преобразование – по свойству векторного произведения 𝑎̅ × (𝑏̅ × 𝑐̅) = 𝑏̅ ∙ 𝑎̅ ∙ 𝑐̅ − 𝑐̅ ∙ 𝑎̅ ∙ 𝑏̅. 6) 𝑑𝑖𝑣 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑎̅ = 𝛻 ∙ (𝛻𝑎̅)= 𝛥𝑎̅. Также divdiv𝑎̅ не имеет смысла, тк div𝑎̅ – скаляр, а говорить о дивергенции скаляра бессмысленно. Дивергенция вектора есть предел отношения вектора через контрольную поверхность F к контрольному объему V, ограниченному данной поверхностью, при условии, что данный объем может быть стянут к внутренней точке, не выходя за пределы векторного поля (непрерывность функции): 𝑑𝑖𝑣 𝐵̅ = lim r→0 ∫ B ̅∙n 0 ̅̅̅̅dF F ∫ 𝑑𝑉 𝑉 ∫ (𝐵 𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝐵 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝐵 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦) 𝐹 = ∫ ( 𝜕𝐵 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝐵 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕𝐵 𝑧 𝜕𝑧 ) 𝑑𝑉 𝑉 − уравнение Остр. −Гаусса . В сокращенной форме записывается так ∫ 𝐵̅ ∙ n 0 ̅̅̅dF 𝐹 = ∫ 𝛻 ∙ B ̅dV 𝑉 - поток вектора через замкнутую поверхность F ( в направлении внеш.нормали) равен объемному (тройному интегралу от дивергенции этого поля по объему V, ограниченного данной поверхностью. Дивергенцию называют схождением или расхождением вектора, а если вектором является скорость потока, то коэффициентом кубического или объемного расширения, а также скоростью объемной относительной деформации. Для контрольного объема дивергенция – источник/сток: Поскольку в определении дивергенции участвует скалярное умножение на внешнюю нормаль, постольку положительное значение дивергенции означает, что внутренняя относительно объема V точка является источником для векторного поля. Если дивергенция отрицательна, то точку называют стоком. Билет 3. Основные математические понятия. Ротор вектора скорости и его физический смысл в вихревом течении, теорема Стокса. Правила действия с оператором Гамильтона. В теории, посвященной вихревому движению, используется понятие ротора вектора скорости. Ротор вектора определяется аналогично дивергенции, с той лишь разницей, что вместо скалярного произведения используется векторное умножение: 𝑟𝑜𝑡 𝐵̅ = lim r→0 ∫ B ̅×n 0 ̅̅̅̅̅̅dF F ∫ 𝑑𝑉 𝑉 После преобразования следует, что 𝑟𝑜𝑡𝑩 = 𝛻 × 𝐵 ̅ Полное выражение для ротора вектора (например, вектора скорости С) можно получить, вычислив это векторное произведение, тогда 𝑟𝑜𝑡 𝐵̅(𝑀) = | 𝑖̅ 𝑔̅ 𝑘̅ 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝐶𝑥 𝐶𝑦 𝐶𝑧 | =( 𝜕𝐶𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕𝐶𝑦 𝜕𝑧 ) 𝑖̅ + ( 𝜕𝐶𝑥 𝜕𝑧 − 𝜕𝐶𝑧 𝜕𝑥 ) 𝑔̅ + ( 𝜕𝐶𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕𝐶𝑥 𝜕𝑦 ) 𝑘̅ В кинематике движения жидкой частицы угловая скорость ее вращения относительно точки (в проекции на одну из координатных плоскостей, рис. 1.1), принадлежащей данной частице, определяется как среднеарифметическая из угловых скоростей двух других, также принадлежащих частице точек, удаленных в направлении координатных осей на бесконечно малые расстояния. Для угловой скорости вращения в точке А вокруг оси Z имеем ( ) / 2 z B C = + Угловую скорость вращения точки В относительно точки А можно определить как отношение приращения линейной скорости к радиусу вращения dy. С учетом знака имеем: ( ) / B x Cx Cx C dy Cx dy y y = − + − = − ; Аналогично находим угловую скорость вращения точки С относительно точки А: с Сy x = . Тогда окончательно угловая скорость z - вращения частицы относительно оси z будет вычисляться так: 1 ( ) 2 z Cy Cx x y = − Следовательно ротор скорости: 2( ) 2 x y z = + + = С i j k Ω равен удвоенной угловой скорости Ω , т.е. оценивает интенсивность вращательного движения в точке. Циркуляция вектора - это криволинейный интеграл от скалярного произведения вектора (например, скорости С) на единичный вектор τ , касательный в данной точке к кривой интегрирования. Например, для вектора скорости имеем: Г dL d = = C τ C L где кривая L может быть и дугой, и замкнутым контрольным контуром. Циркуляцию вектора и ротор вектора связывает между собой формула Стокса: 0 0 ( ) 2 L F F dL dF dF = = C τ C n Ω n , которая является математической записью теоремы Стокса: циркуляция вектора по замкнутому контуру равна потоку ротора вектора (потоку вихря скорости 2 Ω ) через поверхность, ограниченную данным контуром при условии, что данный контур можно стянуть в точку, не выходя за пределы векторного поля. Правила действий с оператором Гамильтона : Действия, опред. св-вом линейности: 1) ( ) f g f g + = + 2) ( ) f f = 3) ( ) + = + C B C B 4) ( ) ( ) = C C 5) ( ) + = + C B C B 6) ( ) ( ) = C C Действия с произв.: 1) ( ) fg f g g f = + 2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + C B C B B C C B B C Операциями второго порядка являются: 1) 𝑑𝑖𝑣 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑈 = 𝛻 ∙ (𝛻𝑈) = (𝛻 ∙ 𝛻)𝑈 = ( 𝜕 2 𝜕𝑥 2 + 𝜕 2 𝜕𝑦 2 + 𝜕 2 𝜕𝑧 2 ) ∙ 𝑈 = 𝛥𝑈 2) 𝑟𝑜𝑡 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑈: Поле градиента есть поле безвихревое, так как векторное произведение двух векторов (𝛻) равно нулю: 𝑟𝑜𝑡 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑈 = 𝛻 × (𝛻𝑈) = 0 3) 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑣 𝑎̅: 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑣 𝑎̅ = 𝛻(𝛻 ∙ 𝑎̅) = 𝛥𝑎̅ + 𝛻 × (𝛻 × 𝑎̅) = 𝜕 𝜕𝑥 (𝛻 ∙ 𝑎̅)𝑖̅ + 𝜕 𝜕𝑦 (𝛻 ∙ 𝑎̅)𝑗̅ + 𝜕 𝜕𝑧 (𝛻 ∙ 𝑎̅)𝑘̅ 4) 𝑑𝑖𝑣 𝑟𝑜𝑡 𝑎̅ Смешанное произведение трех векторов, из которых два одинаковые, равно нулю. Это означает, что поле вихря – соленоидальное: 𝑑𝑖𝑣 𝑟𝑜𝑡 𝑎̅ = 𝛻 ∙ (𝛻 × 𝑎̅) = 0 5) 𝑟𝑜𝑡 𝑟𝑜𝑡 𝑎̅ 𝑟𝑜𝑡 𝑟𝑜𝑡 𝑎̅ = 𝛻 × (𝛻 × 𝑎̅) = 𝛻(𝛻 ∙ 𝑎̅) − (𝛻 ∙ 𝛻)𝑎̅ = 𝛻(𝛻 ∙ 𝑎̅) − 𝛥𝑎̅ Последнее преобразование – по свойству векторного произведения 𝑎̅ × (𝑏̅ × 𝑐̅) = 𝑏̅ ∙ 𝑎̅ ∙ 𝑐̅ − 𝑐̅ ∙ 𝑎̅ ∙ 𝑏̅. 6) 𝑑𝑖𝑣 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑎̅ = 𝛻 ∙ (𝛻𝑎̅)= 𝛥𝑎̅. БИЛЕТ 4.Термодинамические характеристики рабочего тела, параметры состояния в идеальных и реальных газах, молекулярно-кинетическое обоснование. Первый и второй закон термодинамики. Изменение энтропии. Рабочее тело - промежуточная среда тепловой или иной машины, предназначенная для преобразования энергии из одного ее вида в другой или для переноса энергии из одной части машины в другую. Для упрощения расчетов в газодинамике часто применяют модель совершенного газа, для нее характерно: Полностью отсутствуют межмолекулярные силы;Молекулы в виде материальных точек, обладающих массой;Теплоемкость, газовая постоянная, показатель адиабаты и молярная масса неизменны и не зависят от температуры; Агрегатное состояние неизменно при любых условиях. Газ можно рассматривать как совершенный до температуры 2500 К, при более высоких температурах начинаются процессы диссоциации, ионизации и рекомбинации. Если совершенный газ лишен вязкости, то он идеальный. Термодинамич.параметры состояния ( являются статическими параметрами- движутся с той же скоростью, что и поток-неподвижны относительно потока): давлением р (Па), температурой Т (К), плотностью ρ(кг/м3), удельным объемом v = 1/ρ (м3/кг). При реальном или условном торможении потока без потерь и при отсутствии энергетического обмена с окружающей средой кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную. Благодаря этому параметры состояния принимают максимальное значение и получают название параметров заторможенного потока (или параметров торможения, заторможенных параметров, полных параметров) р*, Т*, ρ* ,v*. Относительная плотность - величина, равная отношению его плотности к плотности некоторого вещества при определенных физических условиях. Таким стандартным веществом является вода при температуре 3,98°С (температура наибольшей плотности воды) и нормальном атмосферном давлении (101325,0 Па) или сухой воздух при 20°С и нормальном атмосферном давлении. Относительная плотность / 0 = где р - плотность данного вещества ρо - плотность стандартного вещества. Вид термодинамического процесса в газах определяется показателем политропы n. После логарифмирования уравнения политропы получаем выражение: 2 ln 1 1 ln 2 P P n v v = . При n=0: p=const(газ абсолютно сжимаем). При n=1:T=const,. При n=k – адиабатный. При n=бесконечность: v=const- газ абсолютно несжимаем. Чем больше n, тем меньше сжимаемость и больше упругость газов. Теплоемкость- количество тепла, необходимое для нагрева единиць вещества на один градус Кельвина. В газодинамике используют массовьх теплоемкости - изобарную сp и изохорную cv. Разность этих теплоемкостей равна газовой постоянной R (Дж/(кг*К)). R=cp-cv. где R также определяется через молярную массу μ и универсальную газовую постоянную μR = 8314,9 = const (Дж/(моль-К)). Отношенbt теплоемкостей дает показатель адиабаты k= c p cv 𝑐 𝑝 = 𝑘 𝑘−1 𝑅 ; 𝑐 𝑣 = 1 𝑘−1 𝑅 .- изобарная и изохорная теплоемкости. Совершенные газы подчиняются ур-ю состояния ( ур-ю Менд.Клайперона): ; * * * p RT p RT = = . Поведение реального рабочего тела обычно описывает уравнение Ван-дер-Ваальса: 2 1 ( ) / ( ) p m n RT + − = .Где m-эксперимент.константа, харк-щая силы межмолек.взаимодействия;n-суммарный объем, занимаемый молекулами при давлении p=беск. Энтальпия i -сумма потенциальной внутренней энергии U= v с dT и потенциальной энергии давления р/ρ для единицы вещества (в газодинамике обычно один килограмм в соответствии с международной системой единиц СИ). 𝑖 = 𝑐 𝑣 𝑇 + 𝑝 𝜌 = 𝑐 𝑝 𝑇 ; 𝑖 ∗ = 𝑖 + 𝐶 2 2 = 𝑐 𝑝 𝑇 ∗ Уравнение состояния через полную энтальпию и внутреннюю энергию 𝑒 = 𝑈 + 𝐶 2 2 : 𝑝 = 𝑘−1 𝑘 𝜌 (𝑖 ∗ − 𝐶 2 2 ) = (𝑘 − 1)𝜌 (𝑒 − 𝐶 2 2 ) Модуль упругости – количественная оценка сжимаемости газа, отношение изменения давления к вызванному им относительному изменению плотности: 𝐾 = 𝑑𝑝 𝑑𝜌/𝜌 = 𝑛𝑝 В адиабатном процессе n=k, следовательно K=kp. Изотерм.процесс: K=p. Первый закон термодинамики: подводимые к газу удельное тепло трения 𝑑𝑄 𝑟 и внешнее тепло 𝑑𝑄 внеш расходуются на изменение внутренней энергии 𝑐 𝑣 𝑑𝑇 и на работу деформации 𝑝𝑑𝑣, иначе говоря, на изменение энтальпии и работу проталкивания: 𝑑𝑄 = 𝑑𝑄 внеш + 𝑑𝑄 𝑟 = 𝑑𝑈 + 𝑝𝑑𝑣 = 𝑐 𝑣 𝑑𝑇 + 𝑝𝑑𝑣 = 𝑑𝑖 − 𝑣𝑑𝑝 = 𝑐 𝑝 𝑑𝑇 − 𝑑𝑝 𝜌 Энтропия S-определяет направление самопроизвольного процесса. Второй закон термодинамики: рост количества подводимого тепла увеличивает приращение энтропии, в то время как рост температуры, при которой к системе подводится тепло, снижает приращение энтропии. Изменение энтропии оценивает второй закон термодинамики. 𝑑𝑆 = 𝑑𝑄 внеш +𝑑𝑄 𝑟 𝑇 При подводе тепла к неподвижному газу его температура является температурой торможения, т.е. имеет максимальное значение, рост энтропии при этом минимален и обусловлен только подводом тепла. Если газ движется, то его температура является статической. Таким образом, при подводе тепла к потоку газа энтропия возрастает как за счет собственно нагрева, так и за счет снижения статической температуры при увеличении скорости потока. Чем больше скорость газового потока, тем меньше статическая температура, что приводит к дополнительному приросту энтропии, вызывающему потери давления торможения. Исп.1 и 2 законы можно получить след.связи: dU TdS pdV = − ( ) di dU d pV TdS pdv pdv vdp = + = − + + = TdS+ 1 dp U T S p v = − i T S p v = − В термодинамике неподв.газа адиабатный процесс-изоэнтропный(нет тепла трения движения). А в газовой динамике различают адиабатный и идеальный адиабатный (изоэнтр. процессы). Закон сохранения энтропии: ( ) 0 dS S S dt t = + = |