БИЛЕТЫ МЖГ. 1 билет введение. Предмет и прикладное значение дисциплины. Основные понятия, терминология, модели жидкости
 Скачать 1.1 Mb.
|
|
Билет 10. Напряжения, действующие в жидкостях. Силы, вызванные вязкостью. Виды движения частицы: • чисто деформационное – поворот граней АВ и АС за некоторое малое время 𝑑𝑡 на одинаковый угол в разные стороны, либо навстречу друг другу, либо друг от друга; диагональ частицы при этом сохраняет свое положение в пространстве(ротор скорости = 0); • чисто вращательное движение относительно собственных осей (вихревое) – поворот граней АВ и АС на одинаковый угол в одну сторону, что означает и поворот диагонали частицы на тот же угол в ту же сторону; • вращательное движение относительно внешних осей – при этом могут присутствовать как деформационное, так и вихревое движение; • плоскопараллельное вместе с потоком. Рассмотрим частицу объемом dV=dxdydz. Сначала рассмотримнапряжения, действующие на поверхности частицы. Касательные напряжения трения принято обозначать с указанием двух индексов. Первый определяет ось, перпендикулярную граням, второй - ось, в направлении которойдействует напряжение. Из курса сопротивления материалов известно о парности касательных напряжений: { 𝜏 𝑥𝑦 = 𝜏 𝑦𝑥 = 𝜇 ( 𝜕𝐶 𝑥 𝜕𝑦 + 𝜕𝐶 𝑦 𝜕𝑥 ) 𝜏 𝑥𝑧 = 𝜏 𝑧𝑥 = 𝜇 ( 𝜕𝐶 𝑥 𝜕𝑧 + 𝜕𝐶 𝑧 𝜕𝑥 ) 𝜏 𝑦𝑧 = 𝜏 𝑧𝑦 = 𝜇 ( 𝜕𝐶 𝑦 𝜕𝑧 + 𝜕𝐶 𝑧 𝜕𝑦 ) Данные напряжения вызывают деформационное движение и вращательное вокруг внутренних осей, оцениваемое ротором скорости 𝛻 × С̅. Плоскопараллельное движение при наличии вязкости определяется нормальными напряжениями. Для суммарных нормальных напряжений, действующих на выделенную частицу, доказано что: { 𝜎 𝑥 = −𝑝 + 𝜂𝛻 ∙ 𝐶̅ + 𝜎 𝑥 ′ = −𝑝 + 𝜂𝛻 ∙ 𝐶̅ + 2𝜇 ( 𝜕𝐶 𝑥 𝜕𝑥 − 1 3 𝛻 ∙ 𝐶̅) 𝜎 𝑦 = −𝑝 + 𝜂𝛻 ∙ 𝐶̅ + 𝜎 𝑦 ′ = −𝑝 + 𝜂𝛻 ∙ 𝐶̅ + 2𝜇 ( 𝜕𝐶 𝑦 𝜕𝑦 − 1 3 𝛻 ∙ 𝐶̅) 𝜎 𝑧 = −𝑝 + 𝜂𝛻 ∙ 𝐶̅ + 𝜎 𝑧 ′ = −𝑝 + 𝜂𝛻 ∙ 𝐶̅ + 2𝜇 ( 𝜕𝐶 𝑧 𝜕𝑧 − 1 3 𝛻 ∙ 𝐶̅) 𝜂 − коэффициент второй вязкости, отражающий явление времени релаксации – времени, которое требуется для установления нового давления и термодинамического равновесия при изменении плотности. Для одноатомных газов 𝜂 = 0, для большинства многоатомных − 𝜂 ≈ 0, p-статическое давление, ( ) / 3 p z x y = − + = − + + + C C . ', ', ' z x y - добавочные напряжения, вызванные взаимосвязью нормальных напряжений и объемной деформации • С. Именно эти последние из трех видов нормальных напряжений,обусловленные вязкостью, и будут интересовать нас Рассмотрим силу Rx, являющуюся равнодействующей напряжений, действующих в направлении оси д:). Для ее определения достаточно умножить соответствующие вязкостные напряжения на нормальнуюк ним площадку dydz и суммировать их. Возьмем в качестве примера силу нормальных напряжений: 𝑅 𝑥 (𝜎) = 𝑚𝑎 𝑥 = 𝜌𝑑𝑉 ∙ 𝑑𝐶 𝑥 𝑑𝑡 = [(𝜎 𝑥 ′ + 𝜕𝜎 𝑥 ′ 𝜕𝑥 𝑑𝑥) − 𝜎 𝑥 ′ ] 𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝜕𝜎 𝑥 ′ 𝜕𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Повторив тоже самое для касательных напряжений получим: 𝑅 𝑥 = 𝜌𝑑𝑉 ∙ 𝑑𝐶 𝑥 𝑑𝑡 = ( 𝜕𝜎 𝑥 ′ 𝜕𝑥 + 𝜕𝜏 𝑦𝑥 𝜕𝑦 + 𝜕𝜏 𝑧𝑥 𝜕𝑧 ) 𝑑𝑉 Аналогично выражаем для двух других осей. Их векторная сумма даст результирующую силу 𝑅̅ = 𝑅 𝑥 𝑖̅ + 𝑅 𝑦 𝑗̅ + 𝑅 𝑧 𝑘̅: 𝑅̅ = 𝜕𝜏 𝑖𝑗 𝜕𝑥 𝑖 𝑜 𝑗 ̅ 𝑑𝑉, где 𝑜 𝑗 ̅ - орт j-той оси. i=1,3, j=1,3. БИЛЕТ 11. Работа, тепло и ускорение, вызванные силами вязкости. Примеры проявления составляющих вязкости, вихревой эффект. Секундная работа сил вязкости, совершаемая массой газа внутри объема 𝑑𝑉 равна сумме произведений нормальных и касательных компонент вязкостных сил на скорость, в направлении которой действует та или иная компонента: Произведя указанные действия для нормальных напряжений и пренебрегая величинами второго порядка малости, определим работу для пары граней,перпендикулярных оси х: 𝜌 𝑑𝐿 𝑟𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑉 = [(𝜎 𝑥 ′ + 𝜕𝜎 𝑥 ′ 𝜕𝑥 𝑑𝑥) (𝐶 𝑥 + 𝜕𝐶 𝑥 𝜕𝑥 𝑑𝑥) − 𝜎 𝑥 ′ 𝐶 𝑥 ] 𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝜕 𝜕𝑥 (𝜎 𝑥 ′ 𝐶 𝑥 )𝑑𝑉 (1) Выполнив аналогичные преобразования для 𝜏 𝑥𝑦 𝐶 𝑦 и 𝜏 𝑥𝑧 𝐶 𝑧 , окончательно получим: 𝜌 𝑑𝐿 𝑟𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑉 = 𝜕 𝜕𝑥 (𝜎 𝑥 ′ 𝐶 𝑥 + 𝜏 𝑥𝑦 𝐶 𝑦 + 𝜏 𝑥𝑧 𝐶 𝑧 )𝑑𝑉 = 𝜕 𝜕𝑥 (𝜏 𝑖𝑗 𝐶 𝑗 )𝑑𝑉 (2) Суммировав для всех координатных осей получим: 𝜌 𝑑𝐿 𝑟 𝑑𝑡 𝑑𝑉 = 𝜕 𝜕𝑥 𝑖 (𝜏 𝑖𝑗 𝐶 𝑗 )𝑑𝑉 = 𝜏 𝑖𝑗 𝜕𝑥 𝑖 𝐶 𝑗 𝑑𝑉 + 𝜏 𝑖𝑗 𝜕𝐶 𝑗 𝜕𝑥 𝑖 𝑑𝑉 (3) Первое слагаемое можно представить скалярным произведением на вектор скорости R*C. Первое слагаемое является работой по поперечному переносу количества движения 𝑑𝐿 𝑐 , которое расходуется на изменение кинетической энергии. Второе слагаемое – это работа тепловыделения 𝑑𝐿 𝑞 , т.е. часть работы вязкостных напряжений, которая полностью и необратимо преобразуется в тепло трения. Тепло трения 𝑑𝐿 𝑟 = 𝑑𝐿 𝑐 + 𝑑𝐿 𝑞 = 𝑑𝐿 𝑐 + 𝑑𝑄 𝑟 В потоках, поле скоростей которых не имеет слишком большой неравномерности, первым слагаемым обычно пренебрегают, полагая, что практически вся работа вязкостных сил состоит из работы трения, равной теплу трения: 𝑑𝐿 𝑟 = 𝑑𝐿 𝑞 = 𝑑𝑄 𝑟 Сумму во втором слагаемом (3) для напряжений, действующих на перпендикулярных оси x i =x 1 =x(в направлении осей у = 1,3) гранях, в развернутом виде можно записать как^ ( ' ) x dQr Cx Cy Cz dV dV x xy xz dt x x x = + + После определения аналогичных выражений для остальных осей и замены в них напряжений ,выделяющееся в единицу времени тепло трения для 1 кг вещества: 𝑑𝑄 𝑟 𝑑𝑡 = 𝜈𝛷 𝛷 − диссипативная функция, определяющая диссипацию кинетической энергии Ускорение Разделив силу трения 𝑅̅ = 𝜕𝜏 𝑖𝑗 𝜕𝑥 𝑖 𝑜 𝑗 ̅ 𝑑𝑉 на массу и использовав формулы для определения напряжений (см билет 10), получим величину изменения кинетической энергии частица 𝑑𝑉 в виде линейного ускорения: 𝑎 𝑟𝑥 = 𝜈𝛥𝐶 𝑥 + 1 3 𝜈 ∙ 𝜕 𝜕𝑥 (𝛻 ∙ 𝐶̅) После векторного суммирования всех проекций имеем: 𝑎 𝑟 ̅̅̅ = 𝜈𝛻𝐶̅ + 1 3 𝜈𝛻(𝛻 ∙ 𝐶̅) Анализировать полученное выражение сложно, а точное его решение невозможно, за исключением некоторых простейших случаев течения несжимаемых сред. С вязкостью связано возникновение пограничного слоя при обтекании жидкостями твердых тел. Примеры проявления составляющих вязкости: В жидкость погружены две параллельные друг другу пластины (рис. 3), линейные размеры которых значительно превосходят расстояние между ними d. Нижняя пластина удерживается на месте, верхняя приводится в движение относительно нижней с некоторой скоростью v0. - Послойное движение вязкой жидкости между пластинками,имеющими различные скорости движения. Слой жидкости, прилегающей непосредственно к верхней пластинке, благодаря силам молекулярного сцепления прилипает к ней и движется вместе с пластинкой. Слой жидкости, прилипший к нижней пластинке, остается вместе с ней в покое. Промежуточные слои движутся так, что каждый верхний из них обладает скоростью большей, чем под ним лежащий. Т.о. каждый слой скользит относительно соседних слоев. Поэтому со стороны нижнего слоя на верхний действует сила трения, замедляющая движение второго из них, и, обратно, со стороны верхнего на нижний – ускоряющее движение. Силы, возникающие между слоями жидкости, испытывающими относительное перемещение, называют внутренним трением. Свойства жидкости, связанные с наличием сил внутреннего трения, называют вязкостью. Вихревой эффект - эффект температурного разделения газа при закручивании в цилиндрической или конической камере при условии, что поток газа в трубке проходит не только прямо, но и обратно. На периферии образуется закрученный поток с большей температурой , а из центра — в противоположную сторону выходит охлажденный поток. БИЛЕТ 12.Законы переноса. Виды и основные понятия пограничного слоя, условной толщины . Понятие о режимах течения и турбулентной вязкости(см.задачу 1) В реальных газах в силу их теплопроводности поперечный перенос тепла появляется при неравномерном распределении термодинамических параметров. Перенос тепла вдоль вектора скорости обычно возникает не вследствие теплопроводности, а за счет излучения (при достаточно большой разнице температур). Поперечный перенос тепла описывается законом Фурье: 𝑞 = −𝜆 𝜕𝑇 𝜕𝑛 , где q – секундное количество тепла, переносимое через единицу ; λ – коэффициент теплопроводности. Теплопроводность определяется, как и вязкость, молекулярно-кинетическими процессами и тоже зависит от температуры. Секундный перенос вещества через единицу поверхности по нормали к ней описывается законом Фика: 𝑊 = −𝐷 𝜕с 𝜕𝑛 , где D – коэффициент диффузии; с – концентрация вещества в потоке. В соответствии с тремя процессами поперечного переноса в газах различают три вида пограничных слоев: 1.Тепловой пограничный слой при достаточно большой скорости потока, когда температура торможения и, соответственно, температура обтекаемой поверхности начинают существенно отличаться от статической температуры в потоке. Возникает при нагреве или охлаждении поверхности извне потока. 2.Диффузионный пограничный слой может возникать при парении так называемых абляционных (уносимых или испаряемых) покрытий. Их применяют для защиты поверхностей от высоких температур В авиационных двигателях диффузионный пограничный слой появляется на деталях, защищаемых от высоких температур с помощью выдуваемого изнутри детали на ее наружную поверхность холодного воздуха (пленочное охлаждение). Одновременно возникает и тепловой пограничный слой. 3.Гидравлический пограничный слой зависит от числа Рейнольдса и может быть ламинарным и турбулентным. Толщина динамического пограничного слоя определяется как то расстояние от поверхности тела (или от границы раздела жидкостей), на котором скорость в пограничном слое можно практически считать равной скорости во внешнем потоке. Всегда существующего в потоках реальных газов и жидкостей. Толщина пограничного слоя ( ) x = количественно не оценивает исчерпывающим образом эффекты, вносимые пограничным слоем. Кроме того ее определение в экспериментах чрезвычайно затруднено из-за асимптотичности пограничного слоя. Поэтому для количественной оценки уменьшения удельного секундного количества движения жидкости, текущей в пограничном слое, удельной кинетической энергии и изменения энтальпии используют следующие интегральные величины: • Толщина вытеснения * - расстояние, на которое отодвигается от тела линия тока внешнего течения в результате вытесняющего действия пограничного слоя. • Толщина потери импульса **= **(х)- толщина слоя в каждом сечении которого газ с параметрами невозмущенного потока проносит секундное количество движения, равное потерянному жидкостью, текущей в пограничном слое за счет уменьшения скорости(из-за трения) ФОРМУЛЫ И Существует два режима течения жидкостей. Течение называется ламинарным (слоистым), если вдоль потока каждый выделенный тонкий слой скользит относительно соседних, не перемешиваясь с ними, и турбулентным (вихревым), если вдоль потока происходит интенсивное вихреобразование и перемешивание жидкости (газа). Ламинарное течение жидкости как правило наблюдается при небольших скоростях ее движения. Внешний слой жидкости, примыкающий к поверхности трубы, в которой она течет, из-за сил молекулярного сцепления прилипает к ней и остается неподвижным. Скорости последующих слоев тем больше, чем больше их расстояние до поверхности трубы, при этом наибольшей скоростью обладает слой, который движется вдоль оси трубы. При турбулентном течении частицы жидкости приобретают составляющие скоростей, которые перпендикулярны течению, и они могут двигаться из одного слоя в другой. Скорость частиц жидкости быстро возрастает по мере удаления от поверхности трубы, затем изменяется незначительно. Так как частицы жидкости могут перейти из одного слоя в другой, то их скорости в различных слоях мало отличаются. Из-за большого градиента скоростей у поверхности трубы обычно происходит образование вихрей. Профиль усредненной скорости при турбулентном течении в трубах (рис. 2) отличается от параболического профиля при ламинарном течении в трубах более быстрым возрастанием скорости у стенок трубы и меньшей кривизной в центральной части течения. Вязкость, обусловленная турбулентным характером движения жидкости или газа, т. е. обменом количествами движения между слоями жидкости или газа.Турбулентная вязкость характеризует не физические свойства жидкости, а статистические свойства пульсационного движения. Поэтому она не является постоянной величиной, а может изменяться как в пространстве, так и во времени. Важно также отметить, что даже на небольших удалениях от твердых границ турбулентная вязкость существенно превосходит физическую. Билет 13. Методы исследования течений сплошных сред (подходы Эйлера и Лагранжа, физическое моделирование, численное моделирование). Подход Лагранжа заключается в том, что в начальный момент времени 𝑡 0 фиксируется произвольная частица, начальное положение которой оценивается радиус-вектором 𝑟̅ 0 с координатами 𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝑧 0 , называемыми переменными Лагранжа: 𝑟̅ 0 = 𝑥 0 𝑖̅ + 𝑦 0 𝑗̅ + 𝑧 0 𝑘̅ В дальнейшем отслеживается изменение текущих координат х, у, z выбранной частицы.По изменению координат рассчитываются скорости течения: 𝐶 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ; 𝐶 𝑦 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ; 𝐶 𝑧 = 𝑑𝑧 𝑑𝑡 ; 𝐶̅ = 𝑑𝑟̅ 𝑑𝑡 Движение считается известным, если определены параметрические уравнения траекторий всей совокупности частиц, задающих в начальный момент состояние потока на входе в изучаемую область: 0 0 0 0 ( , ) ( , , ) r t x x x y z = = r r 0 0 0 ( , , ) y y x y z = 0 0 0 ( , , ) z z x y z = .Только когда все частицы доберутся до выхода, можно будет оценить все течение в полном объеме. Только тогда есть возможность знать все течение в данный момент времени. Однако на практике реализация метода Лагранжа часто оказывается чрезмерно сложной. В гидрогазодинамике обычно используют Подход Эйлера изучает изменение параметров течения для выбранной фиксированной точки пространства, через которую с течением времени последовательно проходит множество частиц. Для определения течения требуется знать поле скоростей в любой момент времени для всей исследуемой области: 𝐶̅ = 𝐶̅(𝑟̅, 𝑡) 𝐶 𝑥 = 𝐶 𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡); 𝐶 𝑦 = 𝐶 𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡); 𝐶 𝑧 = 𝐶 𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) Где r ,x,y,z,t-переменные Эйлера. Физическое моделирование: вообще метод заключается в создании лабораторной физической модели явления в уменьшенных масштабах и проведении экспериментов на этой модели. Выводы и данные, полученные в этих экспериментах, распространяются затем на явление в реальных масштабах. Примером является исследование течений газов и обтекания летательных аппаратов, автомобилей, и тому подобное в аэродинамических трубах. Численное моделирование: Прямое численное моделирование- один из методов численного моделирования течений жидкости или газа. Метод основан на численном решении системы уравнений Навье-Стокса и позволяет моделировать в общем случае движение вязких сжимаемых газов с учётом химических реакций, притом как для ламинарных, так и, несмотря на многочисленные споры, турбулентных случаев. Однако DNS сложно применим для решения реальных задач, и чаще используется в научных расчетах. Метод крупных вихрей- идея метода заключается в том, что большие масштабы турбулентности рассчитываются я вно,эффекты более мелких вихрей моделируются с использованием правил подсеточного замыкания. Уравнения сохранения для моделирования крупных вихрей получаются фильт рированием мгновенных уравнений сохранения. БИЛЕТ 14. Механизмы перехода кинетической энергии в потенциальную энергию. Параметры торможения. Распределение параметров состояния по обводам обтекаемого тела (с ЛР). Кинетическая энергия при торможении газовых потоков может преобразовываться в различные виды энергии. Для исключения влияния внешних факторов на энергетические преобразования примем течение энергоизолированным. 1. Диссипация Первый механизм торможения. Диссипация может быть полной или частичной. Пограничный слой на стенке прямолинейного канала с постоянной площадью поперечного сечения является двумерным, поскольку скорость потока меняется и по нормали к поверхности, и вдоль поверхности. Поток вне пограничного слоя, называемый основным (невозмущенным) или ядром потока, практически одномерен, так как скорость среды может изменяться только в узком слое вдоль потока под влиянием трения у поверхности. Приходящийся на единицу массы секундные составляющие работы вязкостных сил для двумерного потока будут равны: 𝑑𝐿 𝑐 = 𝜈 ( 4 3 𝜕 2 𝐶 𝑥 𝜕𝑥 2 + 𝜕 2 𝐶 𝑥 𝜕𝑦 2 ) 𝐶 𝑥 и 𝑑𝐿 𝑞 𝑑𝑡 = 𝜈 [ 4 3 ( 𝜕𝐶 𝑥 𝜕𝑥 ) 2 + ( 𝜕𝐶 𝑥 𝜕𝑦 ) 2 ] Составляющая скорости 𝐶 𝑦 , вызванная выделением тепла трения, в силу ее малости, а также производные от нее, опущены. Непосредственно на поверхности скорость равна нулю Сх = Cw= 0 . Следовательно работа по переносу количества движения на стенке равна нулю и вся работа сил вязкости полностью является работой тепловыделения 𝑑𝐿 𝑟 𝑑𝑡 = 𝑑𝐿 𝑞 𝑑𝑡 = 𝑑𝑄 𝑟 𝑑𝑡 = 𝜈 ( 𝜕𝐶 𝑥 𝜕𝑦 ) 2 Итак, на обтекаемой стенке в сплошных течениях всегда имеет место полная диссипация кинетической энергии. Она приводит к повышению по мере приближения к стенке только внутренней энергии газа 𝑐 𝑣 𝑇, потенциальная энергия давления 𝑝/𝜌 остается неизменной. Диссипативный процесс необратим, поэтому израсходованная на тепло кинтеическая энергия не может восстановиться в виде механической, какой является энергия давления. В продольном по отношению к обтекаемой поверхности направлении диссипация в силу своей необратимости приводит к уменьшению потенциальной энергии давления, т.к. эта энергия расходуется на восполнение потерь кинетической энергии вдоль пограничного слоя. Статическое давление и плотность вдоль пограничного слоя уменьшаются. Это справедливо только для прямолинейных каналов постоянного поперечного сечения с дозвуковым потоком. В толще пограничного слоя по мере удаления от поверхности обтекаемой стенки диссипация убывает до нуля (в ядре потока dCJdy = 0), поэтому диссипация внутри пограничного слоя является частичной В соответствии со вторым законом термодинамики диссипация кинетической энергии сопровождается ростом энтропии.В силу необратимости процесса потерь кинетической энергии суммарная механическая энергия убывает вдоль канала. Это приводит к снижению полных давления и плотности. |