БИЛЕТЫ МЖГ. 1 билет введение. Предмет и прикладное значение дисциплины. Основные понятия, терминология, модели жидкости
 Скачать 1.1 Mb.
|
|
Связь сжимаемости со скоростью потока. Кроме того, на величину скорости потока влияет сжимаемость среды. Если принять среду несжимаемой, то: 𝐶 = √2 𝑝 ∗ −𝑝 𝜌 = √2 𝑝 ∗ 𝜌 ∗ (1 − 𝑝 𝑝 ∗ ) = √2𝑅𝑇 ∗ (1 − 𝑝 𝑝 ∗ ) Где 𝜌 = 𝜌 ∗ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Формула дает более высокое значение скорости, что обусловлено снижением статической плотности при ускорении сжимаемой среды. Максимальная скорость Достигается тогда, когда вся потенциальная энергия полностью и без потерь переходит в кинетическую. Максимальная скорость – скорость истечения в пустоту, где (𝑝, 𝜌, 𝑇) = 0. 𝐶 𝑚𝑎𝑥 = √2𝑖 ∗ = √2 𝑘 𝑘−1 𝑅𝑇 ∗ Является теоретическим пределом и реально никогда не достижима, даже при фактическом истечении в вакуум (ракета в космосе). Т.к. при ускорении газа происходит его расширение и охлаждение, то задолго до достижения предельной скорости либо произойдет потеря сплошности, либо газ сконденсируется (пример: углекислотный огнетушитель, резкий выброс влажного воздуха из емкости высокого давления – газ конденсируется и становится видимым, индуктивные вихри на концах крыла самолета). Критическая скорость Такая скорость, при которой скорость потока и местная скорость звука в данном сечении одинаковы. Следует из формул температуры торможения для крит. Состояния и местной скорости звука. 𝑎 кр = √2 𝑘 𝑘+1 𝑅𝑇 ∗ Критическая скорость звука зависит только от рода газа и полной температуры. В стационарных энергоизолированных течениях температура торможения во всем объеме канала остается постоянной. В соответствии с постоянством температуры торможения в энергоизолированных потоках неизменной сохраняется и критическая скорость. Безразмерные скорости По определению они равны отношению скорости потока к одной из трех характерных скоростей: 𝑀 = 𝐶 𝑎 ; 𝜆 = 𝐶 𝑎 кр ; 𝛬 = 𝐶 𝐶 𝑚𝑎𝑥 где М - число Маха-Маиевского (или просто число М); -приведенная скорость; - число Чаплыгина (или просто безразмерная скорость). Безразмерные скорости представляют собой критерии подобия потоков по сжимаемости и характеризуют степень преобразования энтальпии (теплосодержания) в кинетическую энергию. Так для числа М имеем: 𝐶 2 2 ⁄ 𝐶 𝑝 𝑇 = 𝐶 2 2∙ 𝑘 𝑘−1 𝑅𝑇 = 𝑘−1 2 ∙ 𝐶 2 𝑎 2 = 𝑘−1 2 𝑀 2 Аналогично получают соотношения для скоростей 𝜆 и 𝛬: 𝐶 2 2 ⁄ 𝐶 𝑝 𝑇 ∗ = 𝑘−1 𝑘+1 𝜆 2 ; 𝐶 2 2 ⁄ 𝐶 𝑝 𝑇 ∗ = 𝛬 2 В практических расчетах обычно используются число М и скорость .Число Чаплыгина употребляется реже.В задачах внешнего обтекания используют число М (в атмосфере), при расчете внутренних течений – приведенную скорость 𝜆. Выбор безразмерной скорости может определятся температурой. Если постоянная статическая температура, то изменения физической скорости и числа М прямо пропорциональны друг другу. Во внутренних энергоизолированных течениях постоянной является температура торможения, поэтому для простоты оценки удобно применять приведенную скорость. В общем случае, что удобнее и компактнее-то и используем. Выбор безразмерной скорости не принципиален, поскольку каждая из них однозначно связана с другими. Из равенства энергий в произвольном,критическом и заторможенном состояниях: 𝐶 𝑝 𝑇 + 𝐶 2 2 = 𝐶 𝑝 𝑇 кр + 𝑎 кр 2 2 = 𝐶 𝑝 𝑇 ∗ 𝑎 2 𝑘−1 + 𝐶 2 2 = 𝑘+1 𝑘−1 ∙ 𝑎 кр 2 2 = 𝐶 𝑚𝑎𝑥 2 2 Разделим на 𝐶 2 /2, итак, связь между безразмерыми скоростями: 2 𝑘−1 ∙ 1 𝑀 2 + 1 = 𝑘+1 𝑘−1 ∙ 1 𝜆 2 = 1 𝛬 2 Диапазоны изменения: M: от 0 до бесконечности; λ: от 0 до √ 𝑘+1 𝑘−1 ; Λ: от 0 до 1 БИЛЕТ 24. Газодинамические функции параметров торможения и их анализ. Критические и полные параметры. Формулы для расчета полных параметров по известным статическим параметрам и скорости потока или, наоборот, статических параметров по параметрам торможения часто оказываются неудобными и приводят к громоздким выводам других формул. Так как термодинамические параметры связаны между собой в соответствии с при известном роде газа только скоростью потока, то нетрудно выразить эту связь параметров через безразмерные скорости. Представим отношение статической температуры к температуре торможения как функцию числа М. Будем искать это отношение из равенства энергий в произвольном и заторможенном состояниях: с 𝑝 𝑇 + 𝐶 2 2 = с 𝑝 𝑇 ∗ или 𝑇 (1 + 𝐶 2 2с 𝑝 𝑇 ) = 𝑇 ∗ , откуда следует связь между статической и полной температурами, выраженная через число М: 𝑇 𝑇 ∗ = [1 + 𝐶 2 / (2 𝑘 𝑘−1 𝑅𝑇)] −1 = (1 + 𝑘−1 2 𝐶 2 𝑎 2 ) −1 = (1 + 𝑘−1 2 𝑀 2 ) −1 Полученное выражение носит название газодинамической функции (ГДФ) температуры торможения, обозначаемой τ с указанием безразмерной скорости как аргумента данной функции: 𝜏(𝑀) = 𝑇 𝑇 ∗ = (1 + 𝑘 − 1 2 𝑀 2 ) −1 ГДФ плотности и давления торможения получаем с учетом изоэнтропичности связи между полными и статическими параметрами: 𝜀(𝑀) = 𝜌 𝜌 ∗ = [𝜏(𝑀)] 1 𝑘−1 = (1 + 𝑘−1 2 𝑀 2 ) − 1 𝑘−1 ; 𝜋(𝑀) = 𝜌 𝜌 ∗ = [𝜏(𝑀)] 𝑘 𝑘−1 = (1 + 𝑘−1 2 𝑀 2 ) − 𝑘 𝑘−1 ; Функцию π можно выразить через функцию : ( ) ( ( )) к М М = Зависимость ГДФ параметров торможения от скоростей λ и Λ можно получить либо путем преобразований, подобных проведенным, либо заменой числа М по уравнению связи между безразмерными скоростями. В результате получим формулы для скорости λ: 𝜏(𝑀) = 1 − 𝑘−1 𝑘+1 𝜆 2 ; 𝜋(𝜆) = (1 − 𝑘−1 𝑘+1 𝜆 2 ) 𝑘 𝑘−1 ; 𝜀(𝜆) = (1 − 𝑘−1 𝑘+1 𝜆 2 ) 1 𝑘−1 и для числа Чаплыгина: 𝜏(𝛬) = 1 − 𝛬 2 ; 𝜋(𝛬) = (1 − 𝛬 2 ) 𝑘 𝑘−1 ; 𝜀(𝛬) = (1 − 𝛬 2 ) 1 𝑘−1 ГДФ параметров торможения с ростом скорости убывают от 1 до 0 (рис. 2.3).При скорости потока < 0,2—0,25 функция б снижается столь незначительно, что влиянием изменения плотности газа на параметры течения можно пренебречь и уподобить течение газов течению капельных жидкостей не только качественно, но и количественно, особенно при скорости < 0,1. Следует особо подчеркнуть, что подобие потоков по сжимаемости оценивается не физической скоростью, которая может быть очень высокой при большой температуре газа, а безразмерной, которая не зависит от полной температуры и, как указывалось выше, показывает степень преобразования потенциальной энергии в кинетическую. Если в формулы расчета ГДФ параметров торможения или подставить значения М = 1 или = 1, соответствующие критическому состоянию в газовых течениях, то будет получена связь параметров торможения с критическими параметрами газа: 2 (1) * 1 кр Т Т к = = + 1 2 (1) ( ) * 1 кр к к р р к − = = + 1 1 2 (1) ( ) * 1 кр к к − = = + К Из полученных соотношений видно, что критическое состояние в идеальных потоках газа зависит только от рода газа. Для сравнения вспомним, что в капельных жидкостях наступление критического состояния (кавитации) определяется многими факторами, влияние которых существенно. В реальных газах на критическое состояние также может влиять несколько факторов: наличие пограничного слоя; для конкретного газа зависимость показателя адиабаты от температуры газа; характеризуемая коэффициентом z сжимаемость газа и др. Однако их влияние носит лишь уточняющий характер. Величину, обратную критическому значению ГДФ давления торможения, называют критическим перепадом давлений (первым критическим отношением): 1 1 1 ( ) (1) 2 к к кр к − + = = Отношение давления торможения р* в некотором сечении к статическому давлению рн в среде, куда происходит истечение, называют располагаемым перепадом * / н р р = давлений. Соотношение критического и располагаемого перепадов давлений позволяет судить о возможности достижения сверхзвуковых скоростей течения газов. Если перепад кр , то он называется сверхкритическим и определяет возможность (при соответствующей геометрии канала) получить при истечении во внешнюю среду сверхзвуковую скорость течения. При докритических располагаемых перепадах давления поток остается дозвуковым. Для воздуха (к = 1,4) критический перепад кр 1,89, для продуктов сгорания авиационного керосина в воздухе (к = 1,33) кр 1,85. Иначе говоря, при снижении давления примерно в два раза за счет вызванного этим процессом ускорения потока достигаетсязвуковая скорость течения. БИЛЕТ 25. Консервативность законов сохранения. Уравнение неразрывности в общем виде (консервативное и неконсервативное). Частные случаи уравнения неразрывности. Консервативность законов сохранения заключается в том, что при их рассмотрении для выделенного объема принимается, что внутри этого объема не происходит генерации или поглощения вещества, а возможное изменение массы вещества в объеме осуществляется только за счет его притока или оттока через поверхность, ограничивающей данный объем. СМОТРИ БУМАЖКУ 13 БИЛЕТ!!!!! БИЛЕТ 26.Нестационарное одномерное уравнение неразрывности в полных и в статических параметрах. Примеры проявления нестационарности (гидроудар, помпаж и пр.). Рис.СМОТРИ НА БУМАЖКЕ Выделим в канале фиксированный контрольный объем V= const между входным сечением 1-1 и выходным 2-2 (рис. 3.2). Запишем в соответствии с интегральным уравнением неразрывности величину изменения массы газа внутри данного объема(Течение одномерное и сосредоточенное-1 мат.модель), вследствие этого не частная производная, а полная взята): 1 2 dm G G dt = − Представляя массу газа произведением средней величины плотности ρ на объем V и переходя с помощью ГДФ (М) к плотности торможения ρ = ρ* (М), заменим последнюю, используя уравнение состояния . В результате указанных преобразований производная от массы по времени примет вид: ( * / *) ( ) ( ) dm d V d p T V M dt dt R dt = = После подстановки этого выражения в одномерное уравнение неразрывности получим консервативное нестационарное уравнение неразрывности в параметрах торможения для одномерного течения: 𝑑(𝑝 ∗ 𝑇 ∗ ⁄ ) 𝑑𝑡 = 𝑅 𝑉 (𝐺 1 − 𝐺 2 )𝑘(𝑀) 𝑘(𝑀) − скоростной коэффициент, учитывающий влияние сжимаемости; 𝑘(𝑀) = 1/𝜀(𝑀) Нестационарное одномерное уравнение можно записать и в статических параметрах: 𝑑(𝑝 Т ⁄ ) 𝑑𝑡 = 𝑅 𝑉 (𝐺 1 − 𝐺 2 ) Производную без разницы где брать (на входе или на выходе(1 или 2)). Анализ: Пусть расход газа 𝐺 2 на выходе из канала под влиянием некоторого внешнего возмущения уменьшится относительно расхода на входе 𝐺 1 . Тогда внутри объема 𝑉 отношение полных давления и температуры начнет возрастать во времени. Очевидно, что давление торможения будет увеличиваться быстрее, чем температура торможения. Аналогично влияет на параметры и увеличение расхода на входе в канал. При обратном соотношении параметров 𝐺 1 < 𝐺 2 параметры торможения начнинают уменьшаться, причем давление убывает в большей степени, чем температура. Итак пра накоплении или расходовании массы газа внутри фиксированного объема полное давление всегда меняется быстрее полной температуры. Если возмущение по расходу является ступенчатым (внезапное изменение на фиксированную величину 𝛥𝐺 = 𝐺 ′ (𝑡) − 𝐺(𝑡)), то в результате изменения плотности внутри выделенного участка канала расходы на входе и выходе будут выравниваться. Работа сужающегося регулируемого сопла ГТД: При уменьшении расхода газа через срез сопла путем уменьшения площади выходного сечения давление и температура внутри сопла возрастают. Т.к. в начальный момент времени давление перед турбиной неизменно, то рост давления за турбиной означает, что меньшее количество потенциальной энергии давления преобразуется в работу на валу турбины. Кроме того через ее последние ступени в соответствии с уравнением 𝑑(𝑝 ∗ 𝑇 ∗ ⁄ ) 𝑑𝑡 = 𝑅 𝑉 (𝐺 1 − 𝐺 2 )𝑘(𝑀) начинает протекать меньший расход газа. В результате мощность турбины уменьшается, оказываясь меньше потребной для вращения компрессора. Это приводит к уменьшению частоты вращения ротора и, соответственно, расхода газа через турбину в целом, а также к уменьшению давления вдоль всего тракта двигателя. В результате расход газа на входе в сопло начинает уменьшаться вслед за первоначальным уменьшением расхода на выходе, вызванным дросселированием выходного сечения. Следует помнить, что в начале переходного процесса расход газа в выходном сечении успевает в соответствии с несколько увеличиться за счет кратковременного нарастания полного давления внутри сопла. Переходный процесс асимптотически завершается выходом на стационарное течение при пониженном режиме работы ГТД. Открытие сопла вызывает обратное действие и приводит к увеличению частоты вращения ротора, давлений внутри двигателя, расхода газа и реактивной тяги. На скорость протекания переходных процессов оказывает влияние объем газа внутри машины или ее узла. С ростом объема время переходного процесса увеличивается. Если переходный процесс является автоколебательным (помпаж), то это приводит к уменьшению частоты колебаний, а значит и к росту их амплитуды Колебания скорости, расхода и давления сопровождаются колебаниями усилий, действующих на отдельные детали и ГТД в целом. При низкой частоте амплитуда колебаний этих усилий может стать настолько большой, что приведет к поломке наиболее нагруженных деталей и выходу ГТД из строя. Частота помпажных колебаний в воздухозаборнике может составлять 2-20 Гц. Меньшие значения относятся к более крупным ГТД. Более высокочастотный помпаж с малой амплитудой колебаний в малоразмерных двигателях представляет меньшую опасность, нежели низкочастотный в полноразмерных ГТД. Помпаж представляет собой периодические колебания скорости, расхода и давления воздуха при сниженном значении их осредненных во времени величин, вызванные отрывными явлениями как первопричиной потери устойчивости и возникновения нестационарности течения при установившемся или относительно медленно изменяющемся режиме работы двигателя или его узлов. Увеличение газовой постоянной однозначно определяет ускорение переходных процессов. БИЛЕТ 27. Газодинамическая форма уравнения неразрывности. Газодинамические функции расхода . Консервативное стационарное уравнение неразрывности для сжимаемых жидкостей (газов) описывает равенство массовых расходов в любых сечениях канала. Для равномерного распределения параметров по сечению канала (одномерное течение) интегрирование можно заменить простым умножением, используя вместо векторных величин скалярные величины. Для вывода стационарного одномерного уравнения неразрывности в виде газодинамической формулы массового расхода вводят понятие ГДФ расхода: 𝑞(𝜆) = 𝑞(𝛬) = 𝑞(𝑀) = 𝜌𝐶 𝜌 кр 𝐶 кр Она называется приведенным расходом и равной отношению массовых плотностей тока в произвольном и критическом сечениях (расход приводится к его характерной величине, достигаемой в критическом состоянии). Как и ГДФ параметров торможения, функция q может вычисляться через любую из безразмерных скоростей. Умножив формулу расхода на 1 = ) / ( ) ( С С кр кр кр кр , произведем перестановки: ( ) к р кр к р кр к р кр к р кр к р кр С С G CF С F q С F С С = = = Использовав ГДФ расхода и связь критической и полной плотностей е (1), уравнение состояния (1.21) для перехода от плотности к полным давлению и температуре, а также формулу критической скорости (2.16), после несложных преобразований получим: 𝐺 = 𝑚𝑞(𝜆)𝐹 𝑝 ∗ √𝑇 ∗ , где m – коэффициент, характеризующий род газа. m 0,5 1 1 2 ( ) ( * / ) 1 k k k кг К Дж k R + − = + Для вывода формулы ГДФ 𝑞(𝜆) умножим 1 формулу на * * : * * * ( ) * С С кр кр кр кр C C q = = . Заменяем в данном выражении отношения плотностей функцией , а отношение абсолютных скоростей С скоростью : 1 1 ( ) 1 ( ) ( ) (1) 2 к к q − + = = Заменив скорость по уравнению связи характерных скоростец числом М и использовав ГДФ (М) , преобразуем предыдущее выражение к функции от числа М: 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 ( ) 1 2 1 2 ( ) 1 ( ) ( ) (1) 2 к к к к к к М М к q М М М + + + − − − + + = = Или более компактно: 1 1 2 1 2 2 1 ( ) (1 ) 1 2 к к к q М М М к + − − = + + Характер изменения ГДФ q(λ) зависит от скорости потока. В дозвуковых потоках влияние сжимаемости невелико, поэтому увеличение скорости течения С приводит к росту функции q(λ). На сверхкритических скоростях плотность снижается быстрее, чем растет скорость потока. В результате функция q(λ) снижается до 0 при достижении теоретического предела скорости потока С=С max . В критическом состоянии выполняется равенство ρС = ρ кр С кр , в силу чего приведенный расход принимает максимальное значение q(λ) = 1. Значение функции q и, соответственно, скорости потока, определяются только геометрией канала(следует из равенства расзода в произвольном и критическом сечениях) 𝑞(𝜆) = 𝜌𝐶 𝜌 кр 𝐶 кр = 𝐹 кр 𝐹 = 1 𝑛 , где n – степень сужения (для дозвуковых потоков) или раскрытия (для сверхзвуковых потоков) канала. Если полное давление заменить статическим * / ( ) р р = , то получится вторая ГДФ расхода: 𝑦(𝜆) = 𝑞(𝜆) 𝜋(𝜆) Тогда массовый расход газа: 𝐺 = 𝑚𝑦(𝜆)𝐹 𝑝 √𝑇 ∗ , где 𝑦(𝜆) = ( 𝑘+1 2 ) 1 𝑘−1 𝜆 (1 − 𝑘+1 𝑘−1 𝜆 2 ) ⁄ Функция 𝑦(𝜆) является возрастающей до бесконечности. В теории авиационных двигателей и лопаточных машин часто используют |