1. Каноническое разложение натурального числа. 3
![]()
|
Следствия системы однородных неравенств (теорема Минковского). Критерий несовместности системы линейных неравенств.Для доказательства теоремы Минковского необходимы следующие две леммы. ЛЕММА 1. Если ![]() (3) то неравенство (2) не является следствием системы Доказательство. Ранг системы векторов обозначим через r. Предположим, что выполняется условие (3), тогда Ранг (4) ![]() Пусть ; ![]() ЛЕММА 2. Пусть неравенство ![]() (2) есть следствие системы и ![]() . (3) Тогда неравенство (2) является следствием системы ![]() Доказательство. Рассмотрим систему ![]() Вектор с в силу (3) есть неотрицательная линейная комбинация векторов , ![]() ![]() В силу предложения 1.1. отсюда следует, что (2) является следствием системы (II): (II) (5) ![]() ![]() ![]() ![]() ТЕОРЕМА. Пусть неравенство (2) Есть следствие системы ![]() Тогда . ![]() Доказательство.(проводится индукцией по m)ю Теорема верна при m=1. Действительно, пусть По условию, неравенство есть следствие неравенства . По следствию 1. , где л Так как то Поэтому вектор есть решение неравенства и, по условию, решение неравенства (2), т.е. Следовательно, л. Теорема, очевидно, верна также при . ![]() ![]() Предположим, что теорема верна, когда система содержит неравенств. Так как (1)(2), то по следствию 1 . Среди представлений вектора b существует представление с наибольшим числом неотрицательных коэффициентов. Пусть ![]() (3) - одно из таких представлений. Пусть s есть число неотрицательных коэффициентов в (3), Надо доказать, что . Допустим, что ![]() Мы будем считать, что коэффициенты неотрицательны. Рассмотрим вектор ![]() Тогда Пусть M - множество всех решений системы (1) и о - любой вектор из М, тогда , если ; следовательно, ![]() ![]() ![]() Кроме того, по условию, поэтому ![]() На основании (6) и (7) заключаем для любого о из М, т.е. неравенство есть следствие системы (1). По лемме 2, отсюда вытекает, что неравенство есть следствие системы ![]() ![]() Состоящей из неравенств. По индуктивному предположению, , т.е с можно представить в виде ![]() Ввиду (5) и (8) ![]() В этом представлении вектора b число неотрицательных коэффициентов больше, чем s. Это противоречит предположению, что представление (3) вектора b содержит наибольшее число неотрицательных коэффициентов. Мы пришли к противоречию, допустив, что Таким образом, этот случай невозможен. Следовательно , т.е (3) есть искомое представление вектора b в виде неотрицательных комбинации векторов . ![]() |