1. Кинематика материальной точки. Система отсчета. Траектория, перемещение, скорость
 Скачать 0.82 Mb.
|
|
7. Момент импульса и момент силы. Уравнение моментов. Закон сохранения момента импульса. Гироскопические явления. Моментом импульса (моментом количества движения) материальной точки относительно неподвижной точки О называется вектор L, равный векторному произведению радиус-вектора r, проведенного из точки О в место нахождения материальной точки, на вектор p ее импульса Момент импульса системы относительно неподвижной точки Если тело вращается вокруг одной из главных осей инерции, то направление вектора момента импульса тела совпадает с направлением вектора его угловой скорости, а значение момента импульса может быть выражено через момент инерции Моментом силы F относительно неподвижной точки О называется векторная величина М, равная векторному произведению радиус-вектора r, проведенного из точки О в точку А приложения силы, на вектор силы F (правило рычага) Модуль момента силы где l – длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы. Главным моментом силы (результирующим моментом) нескольких сил относительно неподвижной точки О (полюса) называется вектор М, равный геометрической сумме моментов относительно точки О всех действующих сил Моментом силы F относительно неподвижной а называется величина Ма, равная проекции на эту ось вектора М момента силы F относительно произвольной точки О на оси а Если линия действия силы пересекает ось или параллельна ей, то момент силы относительно этой оси равен нулю. Уравнение моментов: Первая производная по времени t от момента импульса L механической системы относительно любой неподвижной точки О равна главному моменту Мвнешн относительно той же точки О всех внешних сил приложенных к системе (основной закон динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки) Момент импульса замкнутой системы относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени (закон сохранения момента импульса) гироскопы — массивные од нородные тела, вращающиеся с большой угловой скоростью около своей оси сим метрии, являющейся свободной осью.Если момент внешних сил, приложенных к вращающемуся гироскопу относительно его центра масс, отличен от нуля, то наблюдается явле ние, получившее название гироскопичес кого эффекта. Оно состоит в том, что под действием пары сил F, приложенной к оси вращающегося гироскопа, ось ги роскопа поворачивается вокруг прямой О3О3, а не вокруг прямой О2О2, как это казалось бы естественным на первый взгляд (O1O1и О2О2 лежат в плоскости чертежа, а О3О3 и силы F перпендикуляр ны ей). 8. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Основной закон динамики вращательного движения абсолютно твердого тела. Момент инерции. Движение твердого тела, при котором все точки прямой АВ, жестко связанной с телом, остаются неподвижными, называется вращением тела вокруг неподвижной оси АВ. Такое твердое тело имеет одну степень свободы и его положение в пространстве полностью определяется значением угла поворота вокруг оси вращения из некоторого, условно выбранного, начального положения этого тела. Мерой перемещения тела за малый промежуток времени dt полагают вектор (31)_________ элементарного поворота тела. По модулю он равен углу поворота тела за время dt, а его направление совпадает с направлением поступательного движения правого буравчика, направление вращения рукоятки которого совпадает с направлением вращения тела (рис. 1). Вектор угловой скорости (32)____________. Izz – момент инерции относительно неподвижной оси. Основной закон динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси OZ или где – угловое ускорение тела. Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси а называется физическая величина Ja, равная сумме произведений масс m всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний r до оси. 9. Расчет момента инерции тел простой формы. Теорема Штейнера. Момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела Jc относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями (теорема Гюйгенса-Штейнера) Доказательство: с – центр масс,Ic, m, d I=? Моменты инерции тел простой формы
10. Кинетическая энергия материальной точки и абсолютно твердого тела. Кинетическая энергия, энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек. К. э. Екин материальной точки измеряется половиной произведения массы m этой точки на квадрат её скорости V, т. е. или Кинетическая энергия твердого тела, совершающая одновременно поступательное и вращательное движение Вращательное движение При вращении вокруг неподвижной оси 11. Работа переменной силы, мощность. Потенциальные и непотенциальные поля. Консервативные и диссипативные силы. Потенциальная энергия. 1. Элементарной работой силы F на малом перемещении dr называется скалярная величинагде r и соответственно радиус-вектор и скорость точки приложения силы, а dt – малый промежуток времени, за который сила F совершает работу А. Другой вид элементарной работы силы F где ds = |dr| - элементарная длина пути точки приложения силы F за рассматриваемый малый промежуток времени dt, - угол между векторами F и dr, а F= F cos - проекция силы на направление перемещения dr. сила, нормальная к траектории перемещения точки, работы не совершает. если на систему действуют несколько сил, то элементарная работа, совершаемая ими за малое время dt, равна алгебрайческой сумме работ, совершаемых за это же время dt каждой из сил порознь, Из второго закона Ньютона следует а из закона движения центра масс Работа А, совершаемая силой F на конечном участке траектории L точки ее приложения, равна алгебраической сумме элементарных работ на всех малых частях этого участка где s – длина дуги, отсчитываемая вдоль траектории от начала рассматриваемого участка, F- проекция силы на направление перемещения dr точки ее приложения. 2.потенциальными (консервативными) силами называются такие силы, работа которых зависит только от начальных и конечных положений точек их приложения и не зависит ни от вида траекторий этих точек, ни от законов их движения по траекториям. Консервативные силы – гравитационные, электростатические. Потенциальные силы создают стационарное поле, в котором работа силы зависит только от начального и конечного положений перемещаемой точки. Работа потенциальной силы при перемещении точки по замкнутой траектории L равна нулю Если внешние тела, создающие рассматриваемое поле, могут двигаться относительно инерциальной системы, то это поле не будет стационарным. Но нестационарное поле потенциально, если работа, совершаемая силой F при мгновенном переносе точки ее приложения вдоль любой траектории L, равна нулю К непотенциальным относятся диссипативные и гироскопические силы. Диссипативными силами называются силы, суммарная работа которых при любых перемещениях замкнутой системы всегда отрицательна (например, силы трения). Гироскопическими силами называются силы, зависящие от скорости материальной точки, на которую они действуют, и направленные перпендикулярно к этой скорости (например, сила Лоренца, действующая со стороны магнитного поля на движущуюся в нем заряженную частицу). Работа гироскопических сил всегда равна нулю. 3.Мощностью (мгновенной мощностью) называется скалярная величина N, равная отношению элементарной работы А к малому промежутку времени dt, в течение которого эта работа совершается. средней мощностью называется величина 4.потенциальной энергией называется часть энергии механической системы, зависящая только от ее конфигурации. Убыль потенциальной энергии при перемещении системы из одного произвольного положения в другое произвольное положение измеряется работой, которую совершают при этом все стационарные потенциальные силы (внешние и внутренние), действующие на систему где Wп(1) и Wп(2) – значения потенциальной энергии системы в начальном и конечном положениях. При малом изменении конфигурации системы Для нестационарных потенциальных сил Потенциальная энергия материальной точки Wп связана с силовой функцией соответствующего потенциального поля соотношением или где С – постоянная интегрирования. 12. Закон всемирного тяготения. Поле тяготения, его напряженность и потенциальная энергия гравитационного взаимодействия. Между всякими двумя материальными точками действуют силы взаимного притяжения, которые прямо пропорциональны массам точек и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними (закон всемирного тяготения). где F – сила взаимного притяжения материальных точек, m1 и m2их массы, r – расстояние между точками, G – гравитационная постоянная (G =6.67*10-11 м3/(кг*с2)) ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ (поле тяготения), один из видов поля физического, посредством которого осуществляется гравитационное взаимодействие (притяжение) тел, например Солнца и планет Солнечной системы, планет и их спутников, Земли и находящихся на ней или вблизи нее тел.Силовой характеристикой полей служит напряженность – векторная величина где F – сила тяготения, действующая на материальную точку массой m, помещенную в некоторую точку поля. Напряженность гравитационного поля, создаваемого планетой, массу M которой можно считать распределенной сферически-симметрично. где r –расстояние от центра планеты до интересующей нас точки поля, находящейся вне планеты. Потенциалом гравитационного поля называется скалярная величина,где П – потенциальная энергия материальной точки массой m, помещенной в данную точку поля. Потенциал гравитационного поля, создаваемого планетой, массу M которой можно считать распределенной сферически-симметрично. где r – расстояние от центра планеты до интересующей нас точки поля, находящейся вне планеты. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек массами m1 и m2 (шаров с массой, распределенной сферически-симмитрично), находящихся на расстоянии r друг от друга. Потенциальную энергию бесконечно удаленных друг от друга материальных точек принято считать равной. 13. Работа по перемещения тела в поле тяготения. Космические скорости. Гравитационные поля (поля тяготения) являются потенциальными, то есть работа поля по перемещению тела из точки 1 в точку 2 не зависит от формы траектории, а определяется лишь разностью потенциальных энергий тела в точках 1 и 2 соответственно: A12 = П1 – П2. Из этого равенства ясно, что определенный физический смысл имеет лишь разность потенциальных энергий в различных точках поля. Численное же значение потенциальной энергии в отдельной точке особого смысла не имеет, оно всегда определяется с точностью до некоторой постоянной величины. Вот почему при решении конкретных задач нулевой уровень потенциальной энергии можно выбирать произвольно, в наиболее удобной точке. Космические скорости. Первая космическая скорость — скорость, которую необходимо придать баллистическому снаряду, пренебрегая сопротивлением атмосферы и вращением планеты, чтобы поместить его на круговую орбиту с радиусом равном радиусу планеты. Иными словами, первая космическая скорость — это скорость, с которой надо бросить камень в горизонтальном направлении, чтобы он больше не упал на Землю. Для вычисления первой космической скорости необходимо рассмотреть равенство центробежной силы и силы тяготения действующих на снаряд на круговой орбите. (33)________________ где m — масса снаряда, M — масса планеты, G — гравитационная постоянная (6,67259·10−11 м³·кг−1·с−2), — первая космическая скорость, R — радиус планеты. Подставляя численные значения (для Земли, M = 5,97·1024 кг, R = 6 378 000 м), найдем v1=7,9 км/с Первую космическую скорость можно определить через ускорение свободного падения — так как g = GM/R², то (34)___________ . Первой космической скорости недоста точно для того, чтобы тело могло выйти из сферы земного притяжения. Необходимая для этого скорость называется второй кос мической. Второй космической (или пара болической) скоростью v 2 называют ту наименьшую скорость, которую надо со общить телу, чтобы оно могло преодолеть притяжение Земли и превратиться в спут ник Солнца, т. е. чтобы его орбита в поле тяготения Земли стала параболической. Для того чтобы тело (при отсутствии со противления среды) могло преодолеть земное притяжение и уйти в космическое пространство, необходимо, чтобы его кине тическая энергия была равна работе, совершаемой против сил тяготения: (35)__________________ Между первой и второй космическими скоростями существует простое соотношение: (36)___________. Для того чтобы покинуть пределы солнечной системы, тело должно преодолеть, кроме сил притяжения к земле, также и силы притяжения к Солнцу. Необходимая для этого скорость запуска тела с поверхности Земли называется третьей космической скоростью V3. Скорость V3 зависит от направления запуска. При запуске в направлении орбитального движения Земли эта скорость минимальна и составляет около 17 км/с. При запуске в направлении, противоположном направлению движения Земли, V3 равняется примерно 73 км/с. 14. Соударения тел. Упругое и неупругое взаимодействия. Абсолютно неупругим ударом, называется столкновение двух тел, в результате которого они соединяются вместе и движутся дальше как одно тело. Сталкивающиеся тела деформируются, возникают упругие силы и т.д. Однако если удар неупругий то, в конце концов все эти процессы прекращаются, и в дальнейшем оба тела, соединившись вместе, движутся как единое твёрдое тело. Рассмотрим абс. неупругий удар на примере столкновения двух шаров. Пусть они движутся вдоль прямой, соединяющей их центры, со скоростями v1и v2. В этом случае говорят что удар является центральным. Обозначим за V общую скорость шаров после соударения. Закон сохр. Импульса даёт: m1v1+m2v2=(m1+m2)V V=(m1v1+m2v2)/(m1+m2) Кин. энергии системы до удара и после: K1=1/2(m1v12+m2v22) K2=1/2(m1+m2)V пользуясь этими выраж. получаем: K1-K2=1/2v1v2v1-v2) ,где =m1m2/(m1+m2) приведенная масса шаров. Таким образом, при столкновении двух абсолютно неупругих шаров происходит потеря кин. энергии макроскопического движения, равная половине произведения приведённой массы на квадрат относительной скорости. Абсолютно упругим ударом называется столкновение тел, в результате которого их внутренние энергии не меняются. Пример: Столкновение бильярдных шаров из слоновой кости, при столкновениях атомных, ядерных частиц. Рассмотрим центральный удар двух шаров, движущ-ся навстречу друг другу: (m1v12)/2+(m2 v22)/2=(m1u12)/2+(m2 u22)/2 и:m1v1+m2v2=m1u1+m2u2u1=[(m1-m2)v1+2m2v2]/(m1+m2)u2=[(m2-m1)v2+2m1v1]/(m1+m2). при столкновении двух одинаковых абсолютно упругих шаров они просто обмениваются скоростями. 15.Закон Паскаля. Гидростатическое давление. Сила Архимеда. Уравнение Бернулли Закон Паскаля: внешнее давление, воздействующее на жидкость или газ, передаётся этими средами во все стороны равномерно. Поэтому сила давления жидкости или газа всегда направлена по нормали (т.е. перпендикулярно) к каждому элементарному участку поверхности тела, погружённого в них или ограничивающего их. Закон Архимеда: в гравитационном поле на тело, погружённое в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, которая противоположна силе тяжести и для однородного тела численно равна FA= (ρср– ρт) · Vт· g, где ρср— удельная плотность среды (жидкости или газа), ρт— удельная плотность однородного тела, Vт— объём тела, погружённый в жидкость или газ, g — ускорение свободного падения в этой точке гравитационного поля. ЗАКОН БЕРНУЛЛИ. для ламинарного режима течения справедлив закон Бернулли, согласно которому полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока. Полное давление состоит из весового, статического и динамического давления. Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, т.е. динамического давления, статическое давление падает. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа. Явление понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы различного рода расходомеров, водо- и пароструйных насосов. Отметим, что закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю, т.е. таких жидкостей, которые не прилипают к поверхности трубы. На самом деле экспериментально установлено, что скорость жидкости на поверхности твердого тела всегда в точности равна нулю. Именно поэтому на поверхностях, находящихся в потоке жидкости, всегда образуются какие-то наросты, осаждения; этим же объясняется и тот факт, что на лопастях крутящегося вентилятора всегда появляется слой пыли. Патент США N 3811323 : в измерителе потока жидкости турбинного типа отсутствие осевого давления на подшипники ротора достигнуто увеличением эффективной площади сечения потока на участке, что обеспечивает возникновение эффекта Бернулли, под влиянием чего на ротор воздействует усилие на участке, расположенном относительно ротора выше по течению потока. А. С. N 437846 : Способ определения производительности центробежного вентилятора с осевым направляющим аппаратом по перепаду статических давлений в двух сечениях, расположенных до и после направляющего аппарата, отличающийся тем, что с целью повышения точности измерения и обеспечения возможности определения производительности при произвольном угле поворота лопаток направляющего аппарата, последние устанавливают на угол, равный нулю, и замеряют статическое давление в вентиляционном канале перед направляющим аппаратом и позади него в самом узком сечении выходного патрубка, затем лопатки устанавливают на заданный угол поворота и определяют статическое давление в сечении перед направляющим аппаратом, после чего производительность подсчитывают по зависимости, полученной на основании уравнений Бернулли и неразрывности потока. Гидростатическое давление — Благодаря полной малоподвижности своих частиц капельные и газообразные жидкости, находясь в покое, передают давление одинаково во все стороны; давление это действует на всякую часть плоскости, ограничивающей жидкость, с силой Р, пропорциональной величине w этой поверхности, и направленной по нормали к ней. Отношение Pw, то есть давление р на поверхность равную единице, называется гидростатическим давлением. Это основное свойство жидкостей было открыто и проверено на опыте Паскалем, в 1653 г. |