1. Кинематика материальной точки. Система отсчета. Траектория, перемещение, скорость
 Скачать 0.82 Mb.
|
|
1. Кинематика материальной точки. Система отсчета. Траектория, перемещение, скорость, ускорение. Равномерное и равнопеременное прямолинейное движение. Кинематика точки́ — раздел кинематики, изучающий математическое описание движения материальных точек. Основной задачей кинематики является описание движения при помощи математического аппарата без выяснения причин, вызывающих это движение. Основная задача механики – определить положение тела в любой момент времени. Механическое движение – это изменение положения тела в пространстве с течением времени относительно других тел. Материальная точка – тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Система отсчета – тело отсчета, система координат, связанная с ним, и прибор для измерения времени. Перемещение – направленный отрезок (вектор) между начальным и конечным положением тела. Траектория (l) – линия, вдоль которой движется тело. Путь (S) – длина траектории. Скорость (V) – величина, показывающая какой путь проходит тело за единицу времени. ●Скорость движения ●Средняя путевая скорость ●Мгновенная скорость/ скорость движения За единицу скорости принимают скорость такого равномерного прямолинейного движения, при котором тело за одну секунду перемещается на один метр. Ускорение – это величина, показывающая, как изменяется скорость за одну секунду. Равномерное прямолинейное движение Равномерным прямолинейным движением называется такое прямолинейное движение, при котором материальная точка (тело) движется по прямой и в любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. Вектор скорости равномерного прямолинейного движения материальной точки направлен вдоль ее траектории в сторону движения. Вектор скорости при равномерном прямолинейном движении равен вектору перемещения за любой промежуток времени, поделенному на этот промежуток времени: Примем линию, по которой движется материальная точка, за ось координат ОХ, причем за положительное направление оси выберем направление движения точки. Тогда, спроецировав векторы r и v, на эту ось, для проекций ∆rx = |∆r| и ∆vx = |∆v| этих векторов мы можем записать:_(1)_______________ , отсюда получаем уравнение равномерного движения: Т.к. при равномерном прямолинейном движении S = |∆r|, можем записать: Sx = Vx · t. Тогда для координаты тела в любой момент времени имеем: где - координата тела в начальный момент t = 0. Равнопеременное прямолинейное движение Равнопеременным называется движение, при котором скорость тела (материальной точки) за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, т.е. на равные величины. Это движение может быть равноускоренным и равнозамедленным. Если направление ускорения а совпадает с направлением скорости V точки, движение называется равноускоренным. Если направление векторов а и V противоположны, движение называется равнозамедленным. При равнопеременном прямолинейном движении ускорение остается постоянным и по модулю и по направлению (а = const). При этом среднее ускорение а ср. равно мгновенному ускорению а вдоль траектории точки. Нормальное ускорение при этом отсутствует (аn=0). Изменение скорости ∆v = v - v0 в течении промежутка времени ∆t = t - t0 при равнопеременном прямолинейном движении равно: ∆v = a·∆t, или v - v0= a·(t - t0). Если в момент начала отсчета времени (t0) скорость точки равна v0 (начальная скорость) и ускорение а известно, то скорость v в произвольный момент времени t: v = v0+ a·t. Проекция вектора скорости на ось ОХ связана с соответствующими проекциями векторов начальной скорости и ускорения уравнением: vх = v0х ± aх·t. Аналогично записываются уравнения для проекций вектора скорости на другие координатные оси.Вектор перемещения ∆r точки за промежуток времени ∆t = t - t0 при равнопеременном прямолинейном движении с начальной скоростью v 0 и ускорением а равен: (2)____________, а его проекция на ось ОХ (или перемещение точки вдоль соответствующей оси координат) при t0= 0 равна: (3)___________ Путь Sx, пройденный точкой за промежуток времени ∆t = t - t0 в равнопеременном прямолинейном движении с начальной скоростью v0 и ускорением а, при t0 = 0 равен: (4)_________________ Так как координата тела равна х = х0 + S, то уравнение движения тела имеет вид: (5)_____________ Возможно так же при решении задач использовать формулу: _(6)_______________. 2. Криволинейное движение. Нормальное и тангенсальное ускорения. Криволинейные движения – движения, траектории которых представляют собой не прямые, а кривые линии. По криволинейным траекториям движутся планеты, воды рек. Криволинейное движение – это всегда движение с ускорением, даже если по модулю скорость постоянна. Криволинейное движение с постоянным ускорением всегда происходит в той плоскости, в которой находятся векторы ускорения и начальные скорости точки. В случае криволинейного движения с постоянным ускорением в плоскости XOY проекции vx и vy ее скорости на оси Ox и Oy и координаты x и y точки в любой момент времени t определяется по формулам: _(7)___________ Частным случаем криволинейного движения – является движение по окружности. Движение по окружности, даже равномерное, всегда есть движение ускоренное: модуль скорости все время направлен по касательной к траектории, постоянно меняет направление, поэтому движение по окружности всегда происходит с центростремительным ускорением. (8)_____________ где r – радиус окружности. Вектор ускорения при движении по окружности направлен к центру окружности и перпендикулярно вектору скорости. При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной (9)____ и тангенциальной составляющих: (10)_____________. - нормальное (центростремительное) ускорение, направлено к центру кривизны траектории и характеризует изменение скорости по направлению: (11)_____________, v – мгновенное значение скорости, r – радиус кривизны траектории в данной точке. - тангенциальное (касательное) ускорение, направлено по касательной к траектории и характеризует изменение скорости по модулю. Полное ускорение, с которым движется материальная точка, равно: (12)____________. 3. Движение точки по окружности. Угловые перемещение, ускорение, скорость. Связь между линейными и угловыми характеристиками. Частным случаем криволинейного движения – является движение по окружности. Движение по окружности, даже равномерное, всегда есть движение ускоренное: модуль скорости все время направлен по касательной к траектории, постоянно меняет направление, поэтому движение по окружности всегда происходит с центростремительным ускорением. Вектор ускорения при движении по окружности направлен к центру окружности и перпендикулярно вектору скорости. Кроме центростремительного ускорения, важнейшими характеристиками равномерного движения по окружности являются период и частота обращения. Вращательное движение тела или точки характеризуется углом поворота, угловой скоростью и угловым ускорением. Угол поворота (13)_____- это угол между двумя последовательными положениями радиуса вектора r, соединяющего тело или материальную точку с осью вращения. Угловое перемещение измеряется в радианах. Угловая скорость (w) – векторная физическая величина, показывающая, как изменяется угол поворота в единицу времени и численно равная первой производной от угла поворота по времени, т.е(14) ___________. Направление вектора угловой скорости совпадает с направлением вектора углового перемещения, т.е. вектора, численно равного углу φ и параллельного оси вращения; оно определяется по правилу буравчика: если совместить ось буравчика с осью вращения и поворачивать его в сторону движения вращающейся точки, то направление поступательного перемещения буравчика определит направление вектора угловой скорости. Точка приложения вектора произвольна, это может быть любая точка плоскости, в которой лежит траектория движения. Удобно совмещать этот вектор с осью вращения. При равномерном вращении численное значение угловой скорости не меняется, т.е. ω = const. Равномерное вращение характеризуется: - периодом вращения Т, т.е. временем, за которое тело делает один полный оборот, период обращения измеряется в с; - частотой, измеряемой в Гц и показывающей число оборотов в с;(15) ________ - круговой (циклической,угловой) частотой (это та же самая угловая скорость). (16)___________ Угловая скорость может меняться как по величине, так и по направлению. Векторная величина, характеризующая изменение угловой скорости в единицу времени и численно равная второй производной от углового перемещения по времени, называется угловым ускорением: (17)__________________ Если положение и радиус окружности, по которой происходит вращение не изменяется со временем, то направление векторов углового ускорения и угловой скорости совпадают, если вращение ускоренное, и противоположны, если вращение замедленное. При равномерном движении по окружности тангенциальная составляющая ускорения равна нулю, т.е. модуль линейной скорости постоянен и определяется соотношением (18)_____________ Но т.к. направление скорости постоянно изменяется, то существует нормальное ускорение (19)________ Т.о., линейная скорость направлена по касательной к окружности в каждой точке по движению; ускорение перпендикулярно скорости и направлено к центру кривизны. Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими движение Отдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости v, которые непрерывно изменяют свое направление и зависят от угловой скорости ω и расстояния r соответствующей точки до оси вращения. Точка, находящаяся на расстоянии r от оси вращения проходит путь ΔS = rΔφ. Поделим обе части равенства на (20)_______________.Переходя к пределам при (21)_________ , получим (22)________ или (23)____________. Таким образом, чем дальше отстоит точка от оси вращения, тем больше ее линейная скорость. По определению ускорения (24)____________, или (25)____________ что значения линейной скорости, тангенциального и нормального ускорений растут по мере удаления от оси вращения. Формула (26)___________ устанавливает связь между модулями векторов v, r, ω, которые перпендикулярны друг к другу. 4. Динамика материальной точки. Инерциальные системы отсчета и первый закон Ньютона. Динамика изучает движение тела в связи с теми причинами (взаимодействиями между телами), которые обуславливают тот или иной характер движения.В основе классической (ньютоновской) механики лежат три закона динамики, сформулированные Ньютоном в 1687 г. Эти законы возникли как результат обобщения большого количества опытных фактов. Инерциальные системы отсчета и первый закон Ньютона: Формулировка первого закона Ньютона такова: всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние. Оба названных состояния отличаются тем, что ускорение тела равно нулю. Поэтому формулировке первого закона можно придать следующий вид: скорость любого тела остается постоянной, пока воздействие на это тело других тел не вызовет ее изменения. Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета. Рассмотрим две системы отсчета, движущиеся друг относительно друга с некоторым ускорением. Если относительно одной из них тело покоится, то относительно другой оно, очевидно, будет двигаться с ускорением. Следовательно, первый закон Ньютона не может выполняться одновременно в обеих системах.Система отсчета, в которой выполняется первый закон Ньютона, называется инерциальной, поэтому первый закон называют иногда законом инерции. Система отсчета, в которой первый закон Ньютона не выполняется, называется неинерциальной системой отсчета. Инерциальных систем существует бесконечное множество. Любая система отсчета, движущаяся относительно некоторой инерциальной системы прямолинейно и равномерно, будет также инерциальной. Опытным путем установлено, что система отсчета, центр которой совмещен с Солнцем, а оси направлены на соответствующим образом выбранные звезды, является инерциальной. Эта система называется гелиоцентрической (гелиос - по-гречески солнце). Любая система отсчета, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно гелиоцентрической системы, будет инерциальной.Земля движется относительно Солнца и звезд по криволинейной траектории, имеющей форму эллипса. Криволинейное движение всегда происходит с некоторым ускорением. Кроме того, Земля совершает вращение вокруг своей оси. По этим причинам система отсчета, связанная с земной поверхностью, движется с ускорением относительно гелиоцентрической системы отсчета и не является инерциальной. Однако ускорение такой системы настолько мало, что в большом числе случаев ее можно считать практически инерциальной. Но иногда неинерциальность системы отсчета, связанной с Землей, оказывает существенное влияние на характер рассматриваемых относительно нее механических явлений. 5. Фундаментальные взаимодействия. Силы различной природы(упругие, гравитационные, трения). Второй закон Ньютона. Масса. Третий закон Ньютона. Фундаментальные взаимодействия́ ́ — различные, не сводящиеся друг к другу типы взаимодействия элементарных частиц и составленных из них тел. На сегодня достоверно известно существование четырех фундаментальных взаимодействий: гравитационного, электромагнитного, сильного и слабого взаимодействий. Гравитация (всемирное тяготение, тяготение) (от лат. gravitas — «тяжесть»)́ ́ ́ ́ — дальнодействующее фундаментальное взаимодействие в природе, которому подвержены все материальные тела. Электромагнитное взаимодействие — одно из четырёх фундаментальных взаимодействий. Электромагнитное взаимодействие существует между частицами, обладающими электрическим зарядом. Сильное взаимодействие (цветовое взаимодействие, ядерное взаимодействие)́ ́ ́ ́ ́ ́ — одно из четырёх фундаментальных взаимодействий в физике. Сильное взаимодействие действует в масштабах атомных ядер и меньше, отвечая за притяжение между нуклонами в ядрах и между кварками в адронах. Слабое взаимодействие, или слабое ядерное взаимодействие — одно из четырех фундаментальных взаимодействий в природе. Оно ответственно, в частности, за бета-распад ядра. Это взаимодействие называется слабым, поскольку два других взаимодействия, значимые для ядерной физики (сильное и электромагнитное), характеризуются значительно большей интенсивностью. Второй закон Ньютона. Второй закон Ньютона описывает движение частицы, вызванное влиянием окружающих тел, и устанавливает связь между ускорением частицы, ее массой и силой, с которой на нее действуют эти тела: Если на частицу с массой т окружающие тела действуют с силой F , то эта частица приобретает такое ускорение , что произведение ее массы на ускорение будет равно действующей силе. Математически второй закон Ньютона записывается в виде: F=ma На основе этого закона устанавливается единица силы — 1 Н (ньютон). 1 Н — это сила, с которой нужно действовать на тело массой 1 кг, чтобы сообщить ему ускорение 1 м/с2 Если сила F , с которой тела действуют на данную частицу, известна, то записанное для этой частицы уравнение второго закона Ньютона называют ее уравнением движения. Второй закон Ньютона утверждает, что скорость изменения импульса тела равна действующей на тело силе: (27)________. это уравнение называется уравнением движения тела. Второй закон Ньютона часто называют основным законом динамики, так как именно в нем находит наиболее полное математическое выражение принцип причинности и именно он, наконец, позволяет решить основную задачу механики. Для этого нужно выяснить, какие из окружающих частицу тел оказывают на нее существенное действие, и, выразив каждое из этих действий в виде соответствующей силы, следует составить уравнение движения данной частицы. Из уравнения движения (при известной массе) находится ускорение частицы. Зная же ускорение можно определить ее скорость, а после скорости — и положение данной частицы в любой момент времени. Практика показывает, что решение основной задачи механики с помощью второго закона Ньютона всегда приводит к правильным результатам. Это и является экспериментальным подтверждением справедливости второго закона Ньютона. Масса в механике – это мера инертности тела; мера гравитационных свойств. Третий закон Ньютона ( не вып-ся в электродинамике) Третий закон Ньютона утверждает, что силы, с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, равны по величине и противоположны по направлению, т.е. F12=-F21. Из третьего закона Ньютона вытекает, что силы возникают попарно: всякой силе, приложенной к какому-то телу, можно сопоставить равную ей по величине и противоположно направленную силу, приложенную к другому телу, взаимодействующему с данным. 6. Импульс системы материальных точек. Уравнение движения центра масс. Закон сохранения импульса. Импульсом, или количеством движения материальной точки называется векторная величина, равная произведению массы материальной точки m на скорость ее движения v. – для материальной точки; – для системы материальных точек (через импульсы этих точек); – для системы материальных точек (через движение центра масс). Центром масс системы называется точка С, радиус-вектор rc которой равен ,где Уравнение движения центра масс: (28)____________________. Смысл уравнения таков: произведение массы системы на ускорение центра масс равно геометрической сумме внешних сил, действующих на тела системы. Как видим, закон движения центра масс напоминает второй закон Ньютона. Если внешние силы на систему не действуют или сумма внешних сил равна нулю, то ускорение центра масс равно нулю, а скорость его неизменна во времени по модулю и наплавлению, т.е. в этом случае центр масс движется равномерно и прямолинейно.В частности, это означает, что если система замкнута и центр масс ее неподвижен, то внутренние силы системы не в состоянии привести центр масс в движение. На этом принципе основано движение ракет: чтобы ракету привести в движение, необходимо выбросить выхлопные газы и пыль, образующиеся при сгорании топлива, в обратном направлении. Закон Сохранения Импульса Для вывода закона сохранения импульса рассмотрим некоторые понятия. Совокуп ность материальных точек (тел), рассмат риваемых как единое целое, называется механической системой. Силы взаимодей ствия между материальными точками ме ханической системы называются внутрен ними. Силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела, называются внешними. Механическая система тел, на которую не действуютвнешние силы, называется замкнутой (или изолированной). Если мы имеем механиче скую систему, состоящую из многих тел, то, согласно третьему закону Ньютона, силы, действующие между этими телами, будут равны и противоположно направле ны, т. е. геометрическая сумма внутренних сил равна нулю.Рассмотрим механическую систему, состоящую из n тел, масса и скорость которых соответственно равны m1, m2, . .., mn и v1, v2..., vn. Пусть F'1, F'2, ..., F'n— равнодействующие внутренних сил, действующих на каждое из этих тел, a f1, f2, ..., Fn— равнодействующие внешних сил. Запишем второй закон Ньютона для каждого из n тел механической системы: d/dt(m1v1)=F'1+F1, d/dt(m2v2)=F'2+F2, d/dt(mnvn)= F'n+Fn. Складывая почленно эти уравнения, получим d/dt (m1v1+m2v2+... + mnvn) = F'1+F'2+...+ F'n+F1+F2+...+ Fn. Но так как геометрическая сумма внутрен них сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, то d/dt(m1v1+m2v2 + ... + mnvn)= F1 + F2+...+ Fn, или dp/dt=F1+ F2+...+ Fn, (9.1) (29) где ________ импульс системы. Таким образом, производная по времени от им пульса механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему. В случае отсутствия внешних сил (рассматриваем замкнутую систему) (30)___________. Это выражение и является законом сохранения импульса: импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени. Закон сохранения импульса справед лив не только в классической физике, хотя он и получен как следствие законов Ньютона. Эксперименты доказывают, что он выполняется и для замкнутых систем микрочастиц (они подчиняются законам квантовой механики). Этот закон носит универсальный характер, т. е. закон со хранения импульса — фундаментальный закон природы. |