Матемаика. 1 Матрицы и определители
 Скачать 0.86 Mb.
|
|
Определение. Матрицы m mn m m n n mn m m n n b b b a a a a a a a a a А a a a a a a a a a А = , = 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 1 2 1 2 22 21 1 12 11 называются соответственно матрицей и расширенной матрицей системы ( .1). Если ранг матрицы А равен рангуматрицы А 1 , то система совместна. Исследование на совместность и решение системы производят обычно одновременно с помощью метода Гаусса. Напомним, что элементы а ii в матрице А называются диагональными. Метод Гаусса заключается в преобразованиях строк матрицы А 1 так, чтобы элементы преобразованной матрицы, стоящее ниже диагональных элементов, были нулевыми. При этом необходимо следить за диагональными элементами: они не должны обращаться в нуль. Если же при преобразованиях строк какой-либо диагональный элемент обратится в нуль (например, а ii = 0), то поступать необходимо следующим образом: а) если в этом же столбце (где диагональный элемент оказался равен нулю) имеется ниже диагонального элемента ненулевой элемент, то соответствующую строку меняют местом с i-й строкой и продолжают преобразования; б) если же ниже нулевого диагонального элемента все элементы нулевые, то мы должны перейти к построению ступенчато- диагональной матрицы. Для этого сдвигаемся на один столбец вправо и считаем, что и диагональ матрицы тоже сдвинулась вправо, и далее поступаем как описано выше. После всех преобразований матрица системы должна принять так называемый диагонально ступенчатый вид: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 56 46 45 36 35 34 26 25 24 23 22 16 15 14 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a Рассмотрим систему линейных алгебраическихуравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных: n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 ( 2.2) Для нахождения решения совместной определенной системы уравнений,в которой число уравнений совпадает с числом неизвестных, можно применять метод обратной матрицы и метод Крамера. систему линейных алгебраическихуравнений ( 2.2) и введем следующие обозначения: nn n n n n a a a a a a a a a A 2 1 2 22 21 1 12 11 - матрица системы, n x x x X 2 1 - столбец неизвестных, n b b b B 2 1 - столбец свободных членов. Тогда систему ( 2.2) можно записать в виде матричного уравнения: АХ = В. ( 2.3) Пусть матрица А – невырожденная, тогда существует обратная к ней матрица 1 A Умножим обе части равенства () слева на 1 A Получим 1 1 B A AX A Но , 1 E A A тогда B A EX 1 , а поскольку , 1 B A X X EX Итак, решением матричного уравнения (.2) является произведение матрицы, обратной к А, на столбец свободных членов системы ( .2). Система решена методом обратной матрицы. Назовем главным определителем системы (2.2) определитель , элементами которого являются коэффициенты при неизвестных: nn n n n n a a a a a a a a a 2 1 2 22 21 1 12 11 , (2.4) а определителем j x - определитель, полученный из (2.4) заменой столбца коэффициентов при x j на столбец свободных членов. Тогда, если , 0 то система (2.2) имеет единственное решение, определяемое по формулам: n x n x x x x x ,..., , 2 1 2 1 (система является совместной, определенной). Приведенные формулы и называются формулами Крамера. Отметим, что если = j x =0, то система имеет бесконечно много решений (система является совместной, неопределенной).. Если = 0, а хотя бы один из j x , 0 то система не имеет решений (система является несовместной). Для примера решим систему трех уравнений с тремя неизвестными всеми из методов. Пусть cистема имеет вид: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 10 7 10; 10 9 10 17; 8 17 8. x x x x x x x x x Найдем решение: а) методом Гаусса последовательных исключений неизвестных; б) по формуле 1 x A b с вычислением обратной матрицы 1 A ; в) по формулам Крамера. Решение. а) Начнем с метода Гаусса последовательных исключений неизвестных. Сначала нужно преобразовать систему уравнений так, чтобы переменная 1 x осталась только в одном уравнении системы, например, в первом. Затем уравнение, в которое входит 1 x , отбрасывают, и рассматривают систему из оставшихся уравнений, в котором число уравнений и число неизвестных уменьшилось. Эту редуцированную систему преобразуют так, чтобы переменная 2 x осталась только в одном уравнении. Затем уравнение, в которое входит 2 x , отбрасывают, и вновь рассматривают систему из меньшего числа уравнений. Преобразования с последовательным исключением неизвестных 1 x , 2 x , 3 x и т.д. продолжают до тех пор, пока к каждой неизвестной не будет применена процедура исключения. После этого значения 1 x , 2 x , 3 x ,… определяют сначала из последнего уравнения, затем из предпоследнего и т.д., вплоть до первого уравнения. Итак, возьмем первое уравнение системы и с его помощью исключим переменную 1 x из второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение перепишем без изменений, а второе и третье уравнения сложим с подходящими коэффициентами с первым уравнений системы. Сначала умножим первое уравнение системы на 10, второе на 1 , а затем сложим полученные уравнения. Получим 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 10 7 10 10 100 70 100 10 10 9 10 17 10 9 10 17 1 91 80 83 x x x x x x x x x x x x x x E55555555555555555F Аналогично, умножим первое уравнение системы на 8, второе на 1 , а затем сложим. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 10 7 10 8 80 56 80 8 8 17 8 8 17 8 1 63 57 72 x x x x x x x x x x x x x x E55555555555555F 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 10 7 10 8 80 56 80 8 8 17 8 8 17 8 1 63 57 72 x x x x x x x x x x x x x x E55555555555555F 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 10 7 10 8 80 56 80 8 8 17 8 8 17 8 1 63 57 72 x x x x x x x x x x x x x x E55555555555555F Данное преобразование будем записывать в следующем виде: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 10 7 10 10 8 10 9 10 17 1 8 17 8 1 x x x x x x x x x 1 2 3 2 3 2 3 10 7 10 91 80 83 63 57 72 x x x x x x x Возьмем теперь второе уравнение и с его помощью исключим переменную 2 x из третьего уравнения системы. Для этого второе уравнение системы умножим на 63, третье уравнение умножим на 91 , и сложим полученные уравнения. 1 2 3 2 3 2 3 10 7 10 91 80 83 63 63 57 72 91 x x x x x x x 1 2 3 2 3 3 10 7 10 91 80 83 147 1323 x x x x x x Мы привели систему уравнений к так называемому верхне- треугольному виду. Теперь методом обратного хода можно определить сначала значение переменной 3 x из последнего уравнения системы, затем значение переменной 2 x из второго уравнения, и, наконец, значение переменной 1 x из первого уравнения. 3 9; x 2 2 2 91 80 ( 9) 83 91 637 7; x x x 1 1 10 ( 7) 7 ( 9) 10 17. x x Ответ: (17, 7, 9) б) Решим теперь ту же систему уравнений матричным способом, с вычислением обратной матрицы. Как вычислять определитель det A и как находить обратную матрицу 1 A , будет объяснено ниже. Используя правило умножения ( ) n n матрицы и вектор столбца размера 1 n , запишем исходную систему линейных уравнений в виде , AX B где 1 2 3 1 10 7 10 10 9 10 , , 17 . 8 17 1 8 x A X x B x Поскольку по определению обратной матрицы 1 A имеем 1 1 ( ) A AX A B 1 EX A B , и так как EX X , решение системы можно записать в виде 1 X A B где ( 1) i j ij ij A M – алгебраические дополнения элементов ij a матрицы A (заметим, что алгебраические дополнения элементов строк записываются в соответствующие столбцы). Получаем: 11 9 10 161 17 1 A , 12 10 10 70 8 1 A , 13 10 9 98, 8 17 A 21 10 7 129 17 1 A , 22 1 7 57 8 1 A , 23 1 10 63 8 17 A , 31 10 7 163 9 10 A , 32 1 7 80 10 10 A , 33 1 10 91 10 9 A Обратная матрица, следовательно, имеет вид 1 161 129 163 1 70 57 80 . 147 98 63 91 A Остается умножить матрицу 1 A на столбец 10 17 8 B , 161 129 163 10 161 10 129 17 163 8 1 1 70 57 80 17 70 10 57 17 80 8 147 147 98 63 91 8 98 10 63 17 91 8 2499 17 1 1029 7 . 147 1323 9 Результаты совпали. в) Рассмотрим третий способ решения систем линейных уравнений, который является непосредственным следствием матричной формулы 1 , X A B правило Крамера. Обозначим через определитель матрицы A . Пусть 1 есть определитель матрицы A , в которой вместо первого столбца стоит столбец B . Пусть 2 есть определитель матрицы A , в которой вместо второго столбца стоит столбец B . Наконец, пусть 3 есть определитель матрицы A , в которой вместо третьего столбца стоит столбец B 1 10 7 10 9 10 8 17 1 , 1 10 10 7 17 9 10 8 17 1 , 2 1 10 7 10 17 10 8 8 1 , 3 1 10 10 10 9 17 8 17 8 Если 0 , то согласно правилу Крамера решение системы уравнений можно найти по формулам 1 1 x , 2 2 x , 3 3 x Имеем: 1 10 10 7 9 10 17 10 17 9 17 9 10 10 10 ( 7) 17 1 8 1 8 17 8 17 1 10 ( 161) 10 ( 63) 7 217 2499; 2 1 10 7 17 10 10 10 10 17 10 17 10 1 10 ( 7) 8 1 8 1 8 8 8 8 1 1 ( 63) 10 ( 70) 7 ( 56) 1029; 3 1 10 10 9 17 10 17 10 9 10 9 17 1 10 10 17 8 8 8 8 17 8 17 8 1 ( 217) 10 ( 56) 10 98 1323. Следовательно, по формулам Крамера, 1 2499 17 147 x , 2 1029 7 147 x , 3 1323 9 147 x Ответы вновь совпали. Решение вырожденных систем линейных уравнений. Если определитель матрицы A системы линейных уравнений равен нулю (или число уравнений системы меньше числа неизвестных), то либо имеется бесконечно много решений, либо система несовместна, решений нет вовсе. Разберем на примере, как можно описать все решения вырожденной системы уравнений, используя метод Гаусса последовательного исключения неизвестных. Задача. Решить систему уравнений 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 10 7 3; 4 17 15 9 33; 23 16 5 13 51. x x x x x x x x x x x x Решение. С помощью первого уравнения исключим переменную 1 x из второго и третьего уравнений системы. 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 10 7 3; 4 23 4 17 15 9 33; 3 23 16 5 13 51. 3 x x x x x x x x x x x x Получаем: 1 2 3 4 2 3 4 2 3 4 3 10 7 3; 91 73 31 111; 182 146 62 222. x x x x x x x x x x Исключим теперь с помощью второго уравнения системы переменную 2 x из третьего уравнения. 1 2 3 4 2 3 4 2 3 4 3 10 7 3; 91 73 31 111; 2 182 146 62 222. 1 x x x x x x x x x x В результате третье уравнение системы превращается в тождеств 0 = 0, и остается только два уравнения: 1 2 3 4 2 3 4 3 10 7 3; 91 73 31 111. x x x x x x x Мы привели систему к верхнетреугольному виду, однако для двух неизвестных (а именно, для 3 x и для 4 x ) не хватило “своего” уравнения для преобразования исключения. В этом случае переменные 3 x , 4 x объявляются свободными (то есть их значения могут выбираться произвольным образом), а значения остальных переменных (они называются базисными) могут быть выражены через значения свободных переменных. 3 4 , , x t x s 1 2 2 3 10 7 3; 91 73 31 111. x x t s x t s Отсюда: 2 111 73 31 , 91 91 91 x t s 1 2 10 7 1 10 111 73 31 7 1 1 ( ) 1 3 3 3 3 91 91 91 3 3 x x t s t s t s 279 31 73 91 91 91 t s Ответ: 279 31 73 111 73 31 ( , , , ) 91 91 91 91 91 91 t s t s t s , где , t s R произвольные параметры. |