Матемаика. 1 Матрицы и определители

• Название: 1 Матрицы и определители
• Дата: 30.12.2018
• Размер: 0.86 Mb.
• Имя файла: Матемаика.pdf
• Тип: Документы; #62212
• страница: 5 из 6

1.3. Индивидуальные задания
Задача. Пирамида ABCD задана координатами вершин. Пользуясь понятиями и формулами векторной алгебры, найти:
1) длину ребра AB;
2) угол между ребрами AB и AD ;
3) площадь грани ABC;
4) объем пирамиды.
Вариант 0.
)
3
;
5
;
7
(
A
,
)
4
;
4
;
9
(
B
,
)
7
;
5
;
4
(
C
,
)
6
;
9
;
7
(
D
Вариант 1.
)
1
;
1
;
6
(
A
,
)
6
;
6
;
4
(
B
,
)
0
;
2
;
4
(
C
,
)
6
;
2
;
1
(
D

Вариант 2.
)
4
;
5
;
5
(
A
,
)
4
;
8
;
3
(
B
,
)
10
;
5
;
3
(
C
,
)
2
;
8
;
5
(
D
Вариант 3.
)
1
;
7
;
0
(
A
,
)
5
;
1
;
4
(
B
,
)
3
;
6
;
4
(
C
,
)
8
;
9
;
3
(
D
Вариант 4.
)
5
;
5
;
9
(
A
,
)
1
;
7
;
3
(

B
,
)
8
;
7
;
5
(
C
,
)
2
;
9
;
6
(
D
Вариант 5.
)
3
;
4
;
2
(
A
,
)
3
;
6
;
7
(
B
,
)
3
;
9
;
4
(
C
,
)
7
;
6
;
3
(
D
Вариант 6.
)
4
;
5
;
3
(
A
,
)
3
;
8
;
5
(
B
,
)
9
;
9
;
1
(
C
,
)
8
;
4
;
6
(
D
Вариант 7.
)
9
;
3
;
3
(
A
,
)
1
;
9
;
6
(
B
,
)
3
;
7
;
1
(
C
,
)
8
;
5
;
8
(
D
Вариант 8.
)
4
;
1
;
3
(
A
,
)
1
;
6
;
1
(

B
,
)
6
;
1
;
1
(

C
,
)
1
;
4
;
0
(

D
Вариант 9.
)
7
;
6
;
6
(
A
,
)
8
;
7
;
5
(
B
,
)
2
;
2
;
2
(
C
,
)
4
;
5
;
2
(
D
7
. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
7.1. Теоретическая часть
7.1.1 Определение производной; механический и геометрический
смысл производной
Определение 4. Производной функции в точке
называется предел
отношения приращения функции
к приращению
аргумента
, когда приращение аргумента стремиться к нулю (если
этот предел существует), то есть или
.
Значение производной функция в точке обозначается или
, или
. Операция нахождения производной называется дифференцированием; функция
, имеющая производную в каждой точке интервале
, называется дифференцируемой в этом интервале.
Теорема 1. (О связи между непрерывностью и дифференцируемостью)
Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в
этой точке.
З а м е ч а н и е. Обратное утверждение неверно: непрерывная функция может не иметь производной.
Производная широко используется при изучении различных процессов.
Рассмотрим задачу о скорости.
0
x
0
(
)
( )
y
f x
x
f x
 
  
0
x
x
x
  
0
lim
x
y
y
x
 

 

0 0
0
(
)
( )
(
)
lim
x
f x
x
f x
f x
x
 
  



( )
y
f x

0
x
0
(
)
f x

0
(
)
y x

0
x x
y


( )
y
f x

( , )
a b

Пусть материальная точка движется неравномерно вдоль некоторой прямой. Закон движения (зависимость пройденного расстояния от времени) известен и имеет вид
. Ставится задача нахождения мгновенной скорости точки. Моменту времени соответствует значение расстояния
Моменту времени соответствует значение расстояния
. За промежуток времени точкой пройдено расстояние
Средняя скорость движения точки определяется формулой и зависит от значения
: чем меньше
, тем точнее средняя скорость выражает скорость движения точки в данный момент времени. При очень малом значении
(
) получается формула для нахождения мгновенной скорости точки
В этом и заключается механический смысл производной:
– скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени есть производная от пути по времени .
Рассмотрим задачу о касательной.
Рассматривается непрерывная кривая – график непрерывной функции
. Через точки и
(
этого графика проведена прямая
– секущая (она составляет угол с осью
).
Угловой коэффициент секущей определяется по формуле или
При уменьшении значения
, точка приближается вдоль кривой к точке
. При очень малом значении
(
) секущая приближается к своему предельному положению и переходит в касательную
, при этом
(
– угол, который составляет касательная с осью
).
При очень малом значении
(
) получается формула для нахождения угловой коэффициента касательной к графику функции в точке
( )
S
S t

t
( )
S t
(
)
t
t
 
(
)
S t
t
 
t

(
)
( )
S S t
t
S t
 
  
ср
V
ср
S
V
t



t

t

t

0
t
 
0 0
lim
( )
lim
ср
x
x
S
V
V
t
t
 
 




( )
V
S t


t
S
t
( )
y
f x

( , ( ))
A x f x
B (
, (
))
x
x f x
x
 
 
сек
l
сек

OX
(
)
( )
сек
f x
x
f x
tg
x

  


сек
y
tg
x




x

B
( )
y
f x

A
x

0
x
 
сек
l
l
сек




l
OX
x

0
x
 
l
( )
y
f x

x

В этом и заключается геометрический смысл производной:
– угловой коэффициента касательной к графику функции в точке есть производная этой функции в точке
З а м е ч а н и е 1. Если точка касания имеет координаты
, то, используя уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, можно записать уравнение касательной
З а м е ч а н и е 2. Уравнение нормали к кривойпринимает вид
, где
– угловой коэффициента нормали
(прямой, перпендикулярной касательной в точке касания ).
7.1.2. Производная суммы, разности, произведения и частного
функций. (Правила дифференцирования)
Пусть
и
– дифференцируемые в некотором интервале функции.
Теорема 1. Производная суммы (разности) двух функций
равна сумме (разности) производных этих функций:
.
Теорема 2. Производнаяпроизведения
двух функций равна
произведению производной первой функции на второй сомножитель плюс
произведение второго сомножителя на производной второй функции:
.
Теорема 3. Производнаячастного двух функций
, если
равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя
дроби на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а
знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя дроби:
.
Следствие 1. Если
, то
.
0 0
0
(
)
( )
lim lim lim
сек
сек
x
x
x
f x
x
f x
y
tg
tg
x
x


 
 
 
  






( )
f x
tg



( )
y
f x

x
x
0 0
(
,
)
x
y
0 0
0
(
)(
)
y
y
f x
x
x




0 0
0 1
(
)
(
)
y
y
x
x
f x




0 1
(
)
f x


x
( )
u u x

( )
v v x

( , )
a b
( )
( )
u x
v x

(
)
u v
u
v
 


 
( )
( )
u x v x

(
)
u v
u v u v
 

    
( )
( )
u x
v x
( ) 0
v x

2
u
u v
u v
v
v



  
  
 
 
C
const

(
)
C u
C u



 

Следствие 2. Если
, то
.
Следствие 3. Если
, то
.
Таким образом, при вычислении производных следует применять следующие
правила дифференцирования:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
,
;
5.
,
;
6.
,
7.1.3. Производная сложной и обратной функции
Пусть
– сложная функция с промежуточным аргументом и независимым аргументом , то есть и
Теорема 1. (Производная сложной функции)
Если функция
имеет производную
в точке
, а функция
имеет производную
в соответствующей точке
, то
сложная функция
имеет производную
в точке
, которая
находится по формуле:
.
З а м е ч а н и е 1. Для нахождения
– производной сложной функции надо
– производную данной функции по промежуточному аргументу
C
const

1
u
u
C
C

 



 
 
C
const

1 2
(
)
C
C v
C v
v
v




 

 
 
 
 
(
)
u v
u
v
 


 
(
)
u v
u v u v
 

    
2
u
u v
u v
v
v



  
  
 
 
(
)
C u
C u



 
C
const

1
u
u
C
C

 



 
 
C
const

1 2
(
)
C
C v
C v
v
v




 

 
 
 
 
C
const

( ( ))
y
f
x


u
x
( )
y
f u

( )
u
x


( )
u
x


x
u

x
( )
y
f u

u
y

( )
u
x


( ( ))
y
f
x


x
y

x
x
u
x
y
y
u





x
y

u
y


умножить на
– производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.
Пусть и
– взаимно обратные функции.
Теорема 2. (Производная обратной функции)
Если функция
строго монотонна на интервале
и имеет
неравную нулю производную
в произвольной точке этого
интервала, то обратная ей функция
в соответствующей точке
также имеет производную
, определяемую равенством:
или
.
З а м е ч а н и е 2. Производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.
7.1.4. Производные основных элементарных функций (таблица
производных)
1.
;
2.
;
;
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
;
7.
;
8.
;
9.
;
10.
;
11.
;
x
u

( )
y
f x

( )
x
y


( )
y
f x

( , )
a b
( )
x
y
f x



( )
x
y


( )
y
x
y




1
( )
( )
y
f x




1
y
x
x
y
 

1
)
(




n
n
x
n
x
1
)
(


x
x
x
2 1
)
(


2 1
1
x
x









a
a
a
x
x
ln
)
(


x
x
e
e


)
(
a
x
x
a
ln
1
)
(log


x
x
1
)
(ln


x
x
cos
)
(sin


x
x
sin
)
(cos



x
x
cos
)
(sin


x
x
sin
)
(cos



2 1
1
)
(arcsin
x
x




12.
;
13.
;
14.
7.1.5. Производные высших порядков
Производная функции есть также функция от и называется производной первого порядка.
Если функция дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается или
Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка и обозначается или
Производной -го порядка (или -ой поизводной) называется производная от производной
-го порядка:
Производные порядка выше первого называются производными высших
порядков. Начиная с производной четвертого , производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках (
– производная седьмого порядка).
7.2.
Практическая часть
П р и м е р 1. Найти производную функции
Решение. При нахождении производной используем
– таблицу производных основных элементарных функций;
– основные свойства производных;
– правило нахождения производной сложной функции.
2 1
1
)
(arccos
x
x




2 1
1
)
(
x
x
arctg



2 1
1
)
(
x
x
arctg




( )
y
f x



( )
y
f x

x
( )
y
f x



( )
(
( ))
y
f x
 



y

( )
f
x

(
)
(
( ))
y
f
x
 



y

( )
f
x

n
n
(
1)
n

( )
(
1)
(
)
n
n
y
y


(7)
VII
y
y









2
ln cos
3
x
x
y














































2 2
1
)
(cos cos
3 2
ln
)
(cos
2
ln cos
2 3
3
x
x
x
x
x
x
x
x
y

П р и м е р 2. Найти производную функции
Решение. При нахождении производной используем
– таблицу производных основных элементарных функций;
– основные свойства производных;
– правило нахождения производной сложной функции.
;
П р и м е р 3. Найти производную функции
Решение. При нахождении производной используем
– таблицу производных основных элементарных функций;
– основные свойства производных;
– правило нахождения производной сложной функции.
;
П р и м е р 4. Найти производную функции
Решение. При нахождении производной используем
– таблицу производных основных элементарных функций;
– основные свойства производных;
x
x
x
x
x
x
1
sin cos
3 2
1 2
)
sin
(
cos
3 2
2











x
x
x
tg
y
4 1
2























































x
x
x
tg
x
x
x
tg
x
x
x
tg
y
4 1
4 1
4 1
2 2
2






























)
4
(
4 2
1 1
4 1
1
cos
1 2
2 2
2
x
x
x
x
x
tg
x
x
x
x




























)
4 2
(
4 2
1 1
4 1
1
cos
1 2
2 2
2
x
x
x
x
tg
x
x
x
x
x
x
x
x
tg
x
x
x
x
4 2
1 1
cos
4 2
2 2
2




















x
y
x
7
sin
5 2
4


 



















2 2
4 2
4 2
4
)
7
(sin
)
7
(sin
5 7
sin
5 7
sin
5
x
x
x
x
y
x
x
x





















x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
7
sin
7 7
cos
5
)
2
(
5
ln
5 7
sin
)
7
(
7
cos
5
)
2 4
(
5
ln
5 2
2 4
2 4
2 2
4 2
4
x
x
x
7
sin
)
7
cos
7 5
ln
2
(
5 2
2 4






5 3
)
(
log
x
e
y


– правило нахождения производной сложной функции.