Матемаика. 1 Матрицы и определители
 Скачать 0.86 Mb.
|
|
Задача нахождения условия коллинеарности двух векторов Установить условие коллинеарности векторов 1 a и 2 a , если 1 1 1 1 ; ; z y x a , 2 2 2 2 ; ; z y x a Так как векторы коллинеарны, то 2 1 a a , где − некоторое число. Согласно (2.14) − (2.17) имеем k z j y i x k z j y i x 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 , , z z y y x x z z y y x x . (2.18) Легко проверяется, что если координаты векторов удовлетворяют равенствам (2.18), то 2 1 a a Равенства (2.18) называются условием коллинеарности двух векторов. Задача определения расстояния между двумя точками Пусть в пространстве 3 R заданы своими координатами две точки 1 1 1 1 ; ; z y x M и 2 2 2 2 ; ; z y x M . Построим векторы 1 OM , 2 OM , 2 1 M M (рис. 2.16). Рис. 2.16. Тогда 1 1 1 1 ; ; z y x OM , 2 2 2 2 ; ; z y x OM , 1 2 2 1 OM OM M M Согласно правилу (2.16) k z z j y y i x x M M 1 2 1 2 1 2 2 1 Так как длина вектора 2 1 M M равна расстоянию между точками 1 M и 2 M , то 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 z z y y x x M M d . (2.19) Заметим, что в процессе решения этой задачи установлена формула определения координат вектора, если заданы координаты его начальной и конечной точек: k z z j y y i x x M M 1 2 1 2 1 2 2 1 . (2.20) 1.1.7 Скалярное произведение векторов Пусть даны два вектора a и b . В векторной алгебре рассматриваются два вида умножения векторов: скалярное, результатом которого является число, и векторное, результатом которого является вектор. Определение. Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное произведению модулей перемножаемых векторов на косинус угла между ними (рис. 2.17). Скалярное произведение обозначается символом b a . Итак, cos b a b a . (2.21) Рис. 2.17. Так как a Пр a b Пр b b a cos , cos , то a Пр b b Пр a b a b a . (2.22) Из (2.22) следует, что скалярное произведение векторов a и b равно модулю одного из векторов, умноженному на проекцию другого на направление первого вектора. Свойства скалярного произведения векторов 1) a b b a ; 2) 0 b a , если b a или хотя бы один из векторов есть нулевой вектор (справедливо и обратное утвержение); 3) 2 a a a ; 4) b a b a b a для R ; 5) c b c a c b a Пусть векторы a и b заданы своими координатами: k z j y i x a 1 1 1 , k z j y i x b 2 2 2 Найдем скалярное произведение b a . Вычислим предварительно скалярные произведения единичных векторов. Имеем 1 1 1 1 0 cos i i i i , 1 j j , 1 k k . Векторы i , j , k взаимно перпендикулярны. Тогда, согласно свойству 2, их произведения друг на друга равны нулю. Итак, если векторы a и b заданы своими координатами, то 2 1 2 1 2 1 z z y y x x b a . (2.23) Следствие 1. Если 2 , то 0 b a или 0 2 1 2 1 2 1 z z y y x x . (2.24) Условие (2.24) называется условием перпендикулярности двух векторов. Следствие 2. Так как cos b a b a , то 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 cos z y x z y x z z y y x x b a b a . (2.25) 1.1.8. Векторное произведение двух векторов Определение. Векторным произведением ненулевых и неколлинеарных векторов a и b называется вектор, обозначаемый символом b a , который определяется следующими тремя условиями: 1) модуль вектора b a равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b как на сторонах, то есть b a b a b a , sin ; 2) вектор b a перпендикулярен каждому из векторов a и b ; 3) направлен вектор b a так, что если смотреть из конца его, то кратчайший поворот от вектора a к вектору b производится против движения часовой стрелки. Рис. 2.18. Свойства векторного произведения 1. 0 b a , если 0 a , или 0 b , или a и b коллинеарны. 2. Если b a , то b a b a 3. a b b a 4. c b c a c b a 5. b a b a Выражение векторного произведения двух векторов через координаты векторов сомножителей Если z y x a a a a , , , z y x b b b b , , , то z y x z y x b b b a a a k j i b a . (2.26) Геометрический смысл модуля векторного произведения S b a параллелограмма (2.27) S b a 2 1 треугольника (2.28) Физический смысл векторного произведения двух векторов Понятие о моменте силы возникло в связи с определением вращательной способности силы, приложенной к телу, имеющему неподвижную точку или неподвижную ось вращения. Хотя меру вращательной способности силы определил еще Архимед (правило рычага), однако понятие момента силы было сформулировано только в работах Леонардо да Винчи, Вариньона. Определение. Моментом силы относительно точки О называют произведение модуля силы на плечо, взятое с определенным знаком, определяющим направление вращения. Это требование приводит к тому, что момент силы необходимо рассматривать как векторную величину. sin sin 0 0 r F M r h h F M Рис. 2.19. Произведение берут со знаком «+», если сила поворачивает тело против часовой стрелки и со знаком «–», если по часовой стрелке. Так как векторное произведение 0 M F r векторов r и F по модулю sin F r и направлению совпадает с вычисленным моментом, то это позволяет момент силы относительно точки О определить через векторное произведение. 1.1.9. Смешанное произведение векторов Пусть даны три вектора a , b , c . Так как для векторов введены два вида произведений – скалярное и векторное, то для трех векторов относительно операции умножения существуют разные виды произведений. Рассмотрим подробно произведение называемое смешанным. Это. произведение, в котором вначале находится векторное произведение двух из заданных векторов, а затем скалярное произведение полученного вектора на третий из данных векторов. Например, вначале находится векторное произведение d b a , затем – скалярное произведение c b a c d Смешанное или иначе векторно-скалярное произведение обозначается символом c b a или символом c b a . Результатом смешанного произведения является число. Пусть требуется определить смешанное произведение векторов, если известны координаты этих векторов 1 1 1 ; ; z y x a , 2 2 2 ; ; z y x b , 3 3 3 ; ; z y x c Вычислим предварительно d b a . Имеем k y x y x j z x z x i z y z y z y x z y x k j i b a d 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 Воспользовавшись формулой (2.23), найдем 3 2 2 1 1 3 2 2 1 1 3 2 2 1 1 z y x y x y z x z x x z y z y c b a c d Полученное равенство, согласно теореме о разложении определителя по элементам строки, можно переписать в форме 3 3 3 2 2 2 1 1 1 z y x z y x z y x с b a . (2.29) Формула дает выражение для смешанного произведения в координатной форме. Заметим, что в этой формуле координаты векторов a , b , c записаны соответственно в первой, второй и третьей строках определителя. Для смешанного произведения векторов справедливы равенства с a b a b c b c a b a c a c b с b a Проверим, например, справедливость равенства с a b с b a Согласно формуле) имеем 3 3 3 1 1 1 2 2 2 z y x z y x z y x с a b Как известно, при перестановке двух срок определителя знак определителя меняется на противоположный. Тогда, умножая обе части предыдущего равенства на (−1) , получим с b a z y x z y x z y x z y x z y x z y x с a b 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 3 3 1 1 1 2 2 2 Итак, с a b с b a Модуль смешанного произведения трех векторов с b a равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах (рис. 2.20). Рис. 2.20. Следствие (условие компланарности трех векторов). Для того, чтобы три вектора a , b , c были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю, т.е. 0 с b a или в координатной 0 3 3 3 2 2 2 1 1 1 z y x z y x z y x . (2.31) 1.2. Практическая часть Пример 2.1. Найти векторное произведение b a , если k j i a 2 3 , k j i b 5 3 2 Решение. По формуле (2.1) получаем k j i k j i k j i k j i b a 7 11 2 9 4 15 6 5 3 2 1 3 5 2 2 3 5 3 2 1 5 3 2 2 1 3 Пример 2.2. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(7, 3, 4), В(1, 0, 6), С(4, 5, –2). Решение. По формуле (2.3) имеем AC AB S 2 1 1) Найдем координаты векторов AB и AC . Для этого вычтем из координат конца вектора координаты начала 2 , 3 , 6 4 6 , 3 0 , 7 1 , , A B A B A B z z y y x x AB 6 , 2 , 3 4 2 , 3 5 , 7 4 , , A C A C A C z z y y x x AC 2) Найдем векторное произведение k j i k j i k j i k j i AC AB 21 42 14 9 12 6 36 4 18 2 3 3 6 6 3 2 6 6 2 2 3 6 2 3 2 3 6 3) 49 9 36 4 7 21 42 14 2 2 2 AC AB 5 , 24 49 2 1 2 1 AC AB S ABC кв.ед. Пример 2.3. Сила k j i F 4 3 2 приложена к точке А(3, 4, –2). Найти ее момент М относительно точки О(4, 2, –1). Решение. Находим вектор k j i OA 2 Искомый момент M равен векторному произведению F OA k j i k j i F OA M 2 5 4 3 2 1 2 1 Пример. Пирамида ABCD задана координатами вершин. Пользуясь понятиями и формулами векторной алгебры, найти: 1) длину ребра AB; 2) угол между ребрами AB и AD ; 3) площадь грани ABC; 4) объем пирамиды. ) 2 ; 6 ; 6 ( A , ) 7 ; 4 ; 5 ( B , ) 7 ; 4 ; 2 ( C , ) 0 ; 3 ; 7 ( D Решение. Рис. 2.22. 1) Координаты вектора k a j a i a a z y x находятся по формулам: 0 1 x x a x , 0 1 y y a y , 0 1 z z a z , где ) ; ; ( 0 0 0 z y x – координаты начала, ) ; ; ( 1 1 1 z y x – координаты конца вектора a Тогда длина вектора a равна 2 2 2 z y x a a a a Рассмотрим вектор AB . Точка ) 2 ; 6 ; 6 ( A является началом, а точка ) 7 ; 4 ; 5 ( B – концом вектора AB . Следовательно, вектор AB имеет следующие координаты: } 5 ; 2 ; 1 { } 2 7 ; 6 4 ; 6 5 { AB , а значит 30 25 4 1 5 ) 2 ( ) 1 ( 2 2 2 AB 2) Косинус угла между векторами a и b может быть найден по формуле: , cos b a b a где z z y y x x b a b a b a b a – скалярное произведение векторов a и b Для того, чтобы найти угол между ребрами AB и AD , введем в рассмотрение векторы AB и AD Так как координаты вектора AB и его длина известны, определим координаты и длину вектора : AD } 2 ; 3 ; 1 { } 2 0 ; 6 3 ; 6 7 { AD , 14 4 9 1 ) 2 ( ) 3 ( 1 2 2 2 AD Тогда 14 30 5 14 30 ) 2 ( 5 ) 3 ( ) 2 ( 1 ) 1 ( cos AD AB AD AB или 24 , 0 105 2 5 cos . Отсюда 104 ) 24 , 0 arccos( 3) Площадь треугольника, построенного на векторах a и b , находится по формуле b a S 2 1 , через векторное произведение k b a b a j b a b a i b a b a b b b a a a k j i b a x y y x x z z x y z z y z y x z y x ) ( ) ( ) ( Площадь грани ABC есть площадь треугольника ABC, построенного на векторах AB и AC . Так как } 5 ; 2 ; 4 { AC , тогда k j i k j i k j i AC AB 6 15 0 ) 8 2 ( ) 20 5 ( ) 10 10 ( 5 2 4 5 2 1 , а значит 261 2 1 36 225 2 1 ) 6 ( ) 15 ( 0 2 1 2 1 2 2 2 AC AB S ABC 1 , 8 29 2 3 29 9 2 1 4) Объем V треугольной пирамиды, построенной на векторах a , b , c находится по формуле c b a V ) ( 6 1 В нашем случае AD AC AB V ) ( 6 1 . Так как } 6 ; 15 ; 0 { AC AB , } 2 ; 3 ; 1 { AD , получаем: 5 , 9 6 57 57 6 1 ) 2 ( ) 6 ( ) 3 ( ) 15 ( 1 0 6 1 V |