Матемаика. 1 Матрицы и определители

• Название: 1 Матрицы и определители
• Дата: 30.12.2018
• Размер: 0.86 Mb.
• Имя файла: Матемаика.pdf
• Тип: Документы; #62212
• страница: 3 из 6

Индивидуальные задания
1. Решить систему линейных уравнений тремя способами: а) методом Гаусса последовательных исключений неизвестных; б) по формуле
1
x
A b


с вычислением обратной матрицы
1
A

; в) по формулам
Крамера.
1 2
3 1
2 3
1 2
3
;
(
1)
;
(
1)
(
)
1.
x
mx
nx
m
mx
m
x
mx
m
n
n
x
m
n x
x
n











 



 

2. Решить методом Гаусса следующую вырожденную систему уравнений
1 2
3 4
1 2
3 4
1 2
3 4
(
)
;
(2
)
(
)
(2 1)
(2
)
4
;
(
3 )
(3 2 )
(
2)
(1- 2 )
3 3 .
n
m x
mx
nx
x
m
n
n
m x
m
n x
n
x
n x
m
n
n
m x
m
n x
n
x
n x
m
n




 







 



 





 


Значения параметров m и n, выбирается в соответствии с двумя последними цифрами зачетной книжки A и B. Каждая задача зависит от двух числовых параметров m и n, которые определяются по цифрам A и B из таблиц:
А
0 1
2 3
4 5
6 7
8 9 m
2 6
4 8
8 2
6 4
4 6
B
0 1
2 3
4 5
6 7
8 9 n
3 5
1 7
9 1
3 7
5 9
1.1.3. Векторная алгебра
Цель изучения – познакомиться с основными понятиями векторной алгебры и применением аппарата векторной алгебры для решения геометрических задач.

Данная тема включает в себя:

понятия свободный вектор, равенство, коллинеарность, компланарность векторов,

линейные операции с векторами (сумма векторов, произведение вектора на скаляр, разность векторов),

базис в пространстве, координаты вектора в базисе, ортонормированный базис, декартова прямоугольная система координат, координаты точки),

нелинейные операции с векторами (скалярное, векторное смешанное произведения).
Изучив тему 1, студент должен:
Знать: определения основных понятий, свойства всех операций с векторами, выражение всех операций с векторами в координатной форме, условия необходимые и доста- точные для: коллинеарности двух векторов перпендикулярности
(ортогональности) двух векторов компланарности трех векторов.
Уметь: решать задачи, связанные с линейными и нелинейными операциями с векторами, приобрести навыки применения аппарата векторной алгебры для решения геометрических задач.
При изучении темы 1 необходимо: читать п.п. 1.1.1.–1.1.3. учебника «Высшая математика» (Никишкин В.А.,
Максю- ков Н.И., Малахов А.Н.) решить задачи № 372–449 из «Сборника задач по Высшей математике»
Минорского.
Вопросы и задания для самооценки:
ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ: вектором, равными векторами, коллинеарными векторами, компланарными векторами, суммой векторов, произведением вектора на скаляр, разностью векторов, координатами вектора в базисе, скалярным произведением векторов, векторным произведением векторов, смешанным произведением векторов.

ПЕРЕЧИСЛИТЬ СВОЙСТВА: суммы векторов, произведения вектора на скаляр, скалярного произведения векторов, векторного произведения векторов, смешанного произведения векторов.
СФОРМУЛИРОВАТЬ НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ: коллинеарности векторов, ортогональности (перпендикулярности) векторов, компланарности векторов.
ЗАПИСАТЬ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ: линейную комбинацию векторов, скалярное произведение векторов, векторное произведение векторов, смешанное произведение векторов.
ЗАПИСАТЬ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ: косинуса угла между векторами, площади параллелограмма, построенного на векторах, как на сторонах, объема параллелепипеда, построенного на трех векторах
Пусть даны две точки А и В. Отрезок, соединяющий эти точки, будем называть направленным, если указаны начальная и конечная точка отрезка, т.е. на отрезке указано направление.
Вектором называется направленный отрезок. Векторы принято обозначать буквами а, b, c, … , или
, , ,
a b c
…, или
, , ,...
a b c
r r r
, или указывая начальные и конечные точки.
Вектор называется нулевым, если начальная и конечная точки совпадают. В этом случае будем писать а =
0
. Длиной вектора называется длина соответствующего ему направленного отрезка. Длина обозначается через | a | или

Векторы а и b называются коллинеарными (при этом пишут a || b), если существует прямая, которой они параллельны. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины. Иными словами, мы рассматриваем свободные векторы, начальные точки которых могут выбираться произвольным образом.
Сложение векторов. Пусть даны векторы а и b. Совместим начальную точку вектора b с конечной точкой вектора а. Тогда вектор, начальная точка которого совпадает с начальной точкой вектора а, а конечная – с конечной точкой b, называется суммой векторов а + b.
Совместим начальные точки векторов а и b и обозначим эту точку через О. Построим параллелограмм ОАСВ на сторонах этих векторов. Тогда вектор a + b. Тем самым получено эквивалентное определение суммы векторов, называемое правилом параллелограмма.

Видно, что
Таким образом, операция сложения векторов коммутативна: a + b = b + a.
Имеет место также свойство ассоциативности:
(а + b) + c = a + (b + c).
Умножение вектора на число. Определение. Пусть даны вектор
a
и число

. Произведением вектора
a
на число

называется вектор
a

, коллинеарный вектору
a
, имеющий длину
a
a



и то же направление, что и вектор
a
, если
0


, и противоположное направление, если
0


. Если
0


, то
0

a

Следствие 1. Из определения умножения вектора на число следует, что если
a
b


, то векторы
b
и
a
коллинеарны. Очевидно, что если
a
и
b
коллинеарные векторы, то
a
b


. Таким образом, два вектора
a
и
b
коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство
a
b


Следствие 2. Противоположный вектор
a

можно рассматривать как произведение вектора
a
на
1



, то есть
a
a
)
1
(




Отметим основные свойства операции умножения вектора на число, которые непосредственно вытекают из определения этой операции:
1. (

+

)а =

а +

а.
2.

(

а) = (


)а.
3.

(a + b) =

a +

b.
3. Вычитание векторов. Разностью двух векторов а и b называется вектор a – b = a + (-1)·b.
Зафиксируем в пространстве некоторую точку О и три взаимно перпендикулярных вектора единичной длины i, j и k.
Совокупность точки О и векторов i, j, k называется декартовой прямоугольной системой координат. Прямые, проходящие через точку О параллельно векторам i, j и k, называются координатными осями и носят названия осей абсцисс (Ох), ординат (Оу) и аппликат (Oz) соответственно.

Пусть задан вектор а. Совместим его начальную точку с началом координат О, а через его конечную точку А проведем плоскости, перпендикулярные координатным осям. Пусть эти плоскости пересекают оси Ox, Oy, Oz в точках L, M, N соответственно.
Нетрудно убедиться, что
Поскольку вектора коллинеарны векторам i, j, k соответственно, то найдутся числа x
1
, y
1
, z
1
такие, что
Следовательно, любой вектор а может быть представлен в виде a = x
1
i + y
1
j + z
1
k.
Числа x
1
, y
1
, z
1
в представлении называются координатами вектора а. Вместе с равенством будет использоваться также запись вида a = (x
1
, y
1
, z
1
).

Радиусом-вектором точки А называется вектор, начало которого совпадает с началом координат О, а конец – с точкой А. Координатами точки
А называются координаты радиус-вектора точки А. При этом, если
= (x
1
, y
1
, z
1
), будем писать А = { x
1
, y
1
, z
1
}.
1.
Сложение векторов. Если а = (x
1
, y
1
, z
1
), а b = (x
2
, y
2
, z
2
), то
2.
a + b = (x
1
+ x
2
, y
1
+ y
2
, z
1
+ z
2
).
Имеем a = x
1
i + y
1 j + z
1 k, b = x
2
i + y
2 j + z
2 k. Поэтому a + b = x
1
i + y
1 j + z
1 k + x
2
i + y
2 j + z
2 k = (x
1
+ x
2
) i + (y
1
+ y
2
) j + (z
1
+ z
2
)
k.
3.
Умножение вектора на число. Если а = (x
1
, y
1
, z
1
), то

a = (

x
1
,

y
1
,

z
1
).
Имеем a = x
1
i + y
1 j + z
1 k. Следовательно,

a =

(x
1
i + y
1 j + z
1 k) =

x
1
i +

y
1 j +

z
1 k.
Из формул вытекает, что a – b = (x
1
– x
2
, y
1
– y
2
, z
1
– z
2
).
Пример. Найдем координаты вектора
, если А = { x
1
, y
1
, z
1
} и
В = { x
2
, y
2
, z
2
}. Имеем
Отсюда

Прямую с заданным на ней направлением будем называть осью.
Пусть дан вектор и ось l. Обозначим через С и D проекции точек А и В на ось l Тогда проекцией вектора на ось l пр l
называется величина
, если направление оси l совпадает с направлением вектора
, и – в противном случае.
Пусть заданы векторы
a
и
b
. Выберем в пространстве произвольную точку O и отложим от этой точки векторы
a
OA

и
b
OB


Углом между векторами a и b называется наименьший угол







0
, на который нужно повернуть один из заданных векторов до его совпадения со вторым (рис. 2.9).
Рис. 2.9.
Пусть в пространстве заданы вектор
AB
и ось

(рис. 2.10).
Рис. 2.10.
Обозначим через
1
A
и
1
B
проекции на ось

точек A и B соответственно.
Построим вектор
1 1
B
A
и назовем его компонентом вектора
AB
по оси

Проекцией вектора
AB
на ось

называется длина его компоненты
1 1
B
A
по этой оси, если компонента направлена в ту же сторону, что и ось

; противоположное число, если компонента и ось имеют разные направления; нуль, если компонента есть нулевой вектор. Проекция вектора на ось обозначается в виде
AB
Пр

или
a
Пр

Выберем на оси

единичный вектор
e
имеющий то же направление, что и ось

. Углом между векторами
AB
и
e
называется угол между вектором
AB
и осью

Проекция вектора
a
на ось

равна модулю вектора
a
, умноженному на косинус угла

между вектором и осью:

cos
a
a
Пр


. (2.2)
Если
2



, то компонента есть нулевой вектор. Тогда и
0

a
Пр


Итак, для любых углов







0

cos
a
a
Пр


. Опираясь на ранее рассмотренные линейные операции над векторами, можно убедиться, что для проекций векторов на ось справедливы следующие теоремы (без доказательств).
Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекции слагаемых векторов на ту же ось:


k
k
a
Пр
a
Пр
a
Пр
a
a
a
Пр











2 1
2 1
. (2.3)
Если вектор
a
умножить на число

, то его проекция на ось умножится на это число:
 
a
Пр
a
Пр





. (2.4)
Определение.'>2.1.5 Прямоугольная декартова система координат
Определение. Пусть в пространстве
3
R
векторы
1
a
,
2
a
,
3
a
образуют базис этого пространства. Выберем в
3
R
произвольную точку O и отложим с началом в этой точке базисные векторы. Совокупность точки O и трех базисных векторов называется системой координатв пространстве
3
R
Ввиду произвольности выбора точки и выбора базисных векторов в
3
R
можно построить бесконечное множество систем координат. Выберем в качестве базисных векторов три взаимно перпендикулярных единичных вектора
0 1
a
i

,
0 2
a
j

,
0 3
a
k

. Совокупность точки O и базисных векторов
i
,
j
,
k
называется прямоугольной декартовой системой координатв пространстве
3
R
Выберем в
3
R
произвольную точку M и построим вектор
OM
. Так как векторы
i
,
j
,
k
образуют базис, то согласно (2.6) вектор
OM
можно разложить на компоненты по этому базису:
k
j
i
OM
3 2
1






, (2.7) где
1

,
2

,
3

– координаты вектора OM в заданном базисе.
Проведем через точку O в направлении векторов
i
,
j
,
k
оси Ох, Оу, Оz соответственно

и спроектируем вектор
OM
на каждую из осей (рис. 2.15).
Пусть точки
1
M
,
2
M
,
3
M
есть проекции точки M на оси абсцисс, ординат и аппликат соответственно.
Тогда




3 2
1
OM
OM
OM
OM
k
OM
Пр
j
OM
Пр
i
OM
Пр
Oz
Oy
Ox


. (2.8)
Из сравнения (2.8) с (2.7) следует, что координаты вектора
OM
определяются по формулам
OM
Пр
Ox

1

,
OM
Пр
Oy

2

,
OM
Пр
Oz

3

В прямоугольной декартовой системе эти координаты принято обозначать через x, y, z соответственно и называть прямоугольными декартовыми координатами вектора
OM
или декартовыми координатами точки
3
R
M

. Итак,


z
y
x
k
z
j
y
i
x
k
j
i
OM
;
;
3 2
1










. (2.9)
Координаты точки
3
R
M

записываются в форме M(x; y; z). Пусть вектор
OM
a

задан в координатной форме


z
y
x
a
;
;

. Так как этот вектор совпадает с диагональю прямоугольного параллелепипеда (рис.2.15), то его длина равна длине этой диагонали. Следовательно,
2 2
2
z
y
x
OM
a




. (2.10)
Обозначим через

,

,

углы, между вектором
a
и осями координат
Oх, Oу, Oz. Тогда из прямоугольных треугольников
1
OMM ,
2
OMM ,
3
OMM получим
,
cos
,
cos
2 2
2 2
2 2
z
y
x
y
z
y
x
x








2 2
2
cos
z
y
x
z




. (2.11)
Определение. Косинусы углов

,

,

, определяемые по (2.11), называются направляющими косинусами вектора a .
Нетрудно проверить, что направляющие косинусы связаны между собой соотношением
1
cos cos cos
2 2
2






. (2.12)

1.1.6 Линейные операции над векторами, заданными в координатной
форме
Пусть векторы
1
a
и
2
a
заданы в координатной форме:




;
;
,
;
;
2 2
2 2
2 2
2 1
1 1
1 1
1 1
k
z
j
y
i
x
z
y
x
a
k
z
j
y
i
x
z
y
x
a








(2.13)
Непосредственно из теорем 2.2 и 2.3 о проекциях векторов на ось и определения координат вектора вытекают правила:
2 1
a
a

, если
2 1
x
x

,
2 1
y
y

,
2 1
z
z

; (2.14)

 
 

k
z
z
j
y
y
i
x
x
a
a
2 1
2 1
2 1
2 1







; (2.15)

 
 

k
z
z
j
y
y
i
x
x
a
a
2 1
2 1
2 1
2 1







; (2.16)
k
z
j
y
i
x
a
1 1
1 1







, где
R


. (2.17)