Матемаика. 1 Матрицы и определители
 Скачать 0.86 Mb.
|
1. Линейная алгебра Цель: познакомить с основными понятиями и методами линейной алгебры, научить решать типовые задачи. 1.1. Теоретическая часть 1.1.1. Матрицы и определители Впервые матрица упоминалась ещё в древнем Китае, называясь тогда «магическим квадратом» (ок. 2200 лет до н.э.). Теория определителей развивалась в конце XVII-го века. Габриэль Крамер начал разрабатывать свою теорию в XVIII-ом столетии и опубликовал правило Крамера в 1751 году. Примерно в этом же промежутке времени появился метод Гаусса. Теория матриц начала своё существование в середине XIX века в работах У. Гамильтона и А. Кэли. К середине XIX в. матрицы стали самостоятельными объектами математических исследований. К этому времени были сформулированы правила сложения и умножения матриц. Современное обозначение матрицы предложил Кэли в 1841 году. Сейчас матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами. А ртур Кэ ли— английский математик Матрицей А размера m n называется таблица из m n чисел mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 2 22 21 1 12 11 Часто для краткости пишу ij A a . Числа, из которых состоит матрица, называются элементами матрицы. Индексы у элементов матрицы указывают расположение этого элемента в таблице: первый индекс – номер строки, в которой находится элемент, а второй – номер столбца. Например, элемент 21 a находится на пересечении второй строки и первого столбца: 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a Элементы 11 22 33 , , ,... a a a называются элементами главной диагонали матрицы или просто главной диагональю матрицы. Матрица A, состоящая из одной строки называется строкой (вектор-строкой), матрица, состоящая из одного столбца называется столбцом (вектор-столбец). Матрица, получающаяся из матрицы A заменой строк столбцами называется транспонированной матрицей по отношению к матрице A и обозначается T A , элементы транспонированной матрицы и исходной связаны соотношением ji T ij a a . Если матрица А имеет размер n n , то такую матрицу называют квадратной матрицей порядка n . Две матрицы одинакового размера ij A a и ij B b называют равными (при этом пишут А = В), если ij ij a b , 1,..., i m ; 1,... j n ( т.е., если у них соответственно равны элементы, стоящие на одинаковых местах в таблице). Суммой двух матриц одинакового размера m n ij A a и ij B b называют матрицу ij C c размера m n такую, что ij ij ij c a b , 1,..., i m ; 1,... j n Нулевой матрицей 0 называется матрица, все элементы которой равны нулю. Легко проверить, что выполнены следующие свойства для операции сложения матриц: 1. А+В=В+А (коммутативность), 2. (А+В)+С=А+(В+С) (ассоциативность), 3. А+ 0 =А. Произведением матрицы размера m n ij A a на число называют матрицу того же размера ij C c такую, что ij ij c a 1,..., i m ; 1,... j n Умножение матрицы ij A a размера m n на матрицу ij B b размера определено лишь для случая, когда число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В, т.е. когда n=l. В этом случае произведение матриц определяется следующим образом: Произведением матриц АВ называется матрица ij C c размера , у которой , Иначе говоря, элемент c ij равен сумме произведений элементов i- ой строки матрицы А на соответствующий элемент j-ого столбца матрицы В. С помощью знака суммирования можно записать это так: 1 1 2 2 1 k ij il lj i j i j ik kj l c a b a b a b a b L Отметим, что произведение матриц некоммутативно, т.е. в общем случае АВ не равно ВА. В приведённом выше примере матрицу В просто нельзя даже умножить на матрицу А. Но, даже если А и В – квадратные матрицы одного порядка (тогда существуют произведения АВ и ВА), то, как показывает следующий пример, произведения АВ и ВА могут не совпадать Пусть, Тогда , Единичной матрицей порядка n называется квадратная матрица вида 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 n E L L M M O M Каждой квадратной матрице можно сопоставить некоторое число, называемое определителем матрицы и обозначаемое через |A| или A Прежде чем дать общее определение этого понятия, определим его для матриц 2-го и 3-го порядков. Определителем матрицы 2-го порядка называется число Например, Найдем определители Определителем матрицы 3-го порядка называется число например, При раскрытии определителей 3-го порядка выражение может быть записано в общем случае в виде 11 12 13 21 22 23 31 32 33 A a a a a a a a a a 11 23 32 33 12 21 13 22 31 13 32 21 31 23 12 33 22 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a Для вычисления определителя по этой формуле существует следующая геометрическая схема, называемая «правилом треугольников». Первые три слагаемых находятся перемножением элементов, стоящих на главной диагонали, и элементов, стоящих в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали: Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «–», располагаются аналогичным образом относительно побочной диагонали: Пусть дана квадратная матрица А. Минором М ij называется определитель матрицы, получаемой из матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца. Если то Для вычисления минора М 31 вычеркиваем из матрицы А 3-ю строку и 1-ый столбец: Общее понятие определителя дадим с помощью рекуррентной схемы, а именно, считая, что понятие определителя известно для матриц п–1-го порядка, дадим его для матриц п-го порядка (фактически так и вводилось понятие определителя для матриц 3-го порядка). Определителем матрицы ij A a порядка п называется число Определитель матрицы A принято обозначать A , или A , или det A Основные свойства определителей. 1. Определитель матрицы и транспонированной матрицы не изменяется т.е. 33 23 13 32 22 12 31 21 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a 2. Общий множитель в строке или столбце можно вынести за знак определителя, т.е. 33 32 31 23 22 21 13 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a k a a a a a a ka ka ka 3. Определитель, имеющий нулевую строку или нулевой столбец, равен нулю: 0 0 0 0 33 32 31 13 12 11 a a a a a a 4. Определитель, имеющий две равные строки или два равных столбца, равен нулю: 0 33 32 31 13 12 11 13 12 11 a a a a a a a a a 5. Определитель, две строки или два столбца которого пропорциональны, равен нулю: 0 33 32 31 13 12 11 13 12 11 a a a ka ka ka a a a 6. При перестановке двух строк или двух столбцов определителя он умножается на –1: 33 32 31 13 12 11 23 22 21 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a 7. 33 32 31 23 22 21 3 2 1 33 32 31 23 22 21 3 2 1 33 32 31 23 22 21 3 3 2 2 1 1 a a a a a a c c c a a a a a a b b b a a a a a a c b c b c b 8. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число: 33 32 31 23 22 21 23 13 22 12 21 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля Пусть дана матрица Выберем k строк и k столбцов в этой матрице и составим новую матрицу из элементов, стоящих на пересечении этих строк и столбцов. Определитель полученной матрицы называется минором порядка k. Например, если выбрать вторую и третью строки, первый и третий столбец, то получим минор второго порядка Пусть Выберем строки с номерами 1,3,4 и столбцы с номерами 2,3,5. Вычисляя определитель матрицы, составленной из элементов, стоящих на пересечении этих строк и столбцов, получим минор 3-го порядка В матрице А много миноров 3-го порядка. Если выбрать строки с номерами 1,2,4 и столбцы с номерами 1,2,5: то получим еще один из них: Рангом матрицы называется максимальный порядок ее миноров, отличных от нуля. Алгебраическим дополнением ij A элемента определителя называется его минор, если сумма индексов данного элемента j i есть число четное, или число, противоположное минору, если j i нечетно, т.е. ij j i ij M A ) 1 ( Обозначим через A матрицу, составленную из алгебраических дополнений матрицы A. Квадратная матрица B называется обратной к квадратной матрице A того же порядка, если E BA AB . При этом B обозначается 1 A Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы исходная матрица была невырожденной. Тогда A nn A n A n A n A A A n A A nn n n n n A T A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A 1 1 2 1 2 22 12 1 21 11 2 1 2 22 12 1 21 11 1 , то есть ее элементами являются алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы A , деленные на ее определитель. Отметим, что обратная матрица 1 A определена однозначно т.е. существует только одна обратная матрица для заданной квадратной невырожденной матрицы. Индивидуальные задания Задача 1. Для матриц А и B вычислить a) 2 4 A B b) ( ) A B A c) 2 A B A A Вариант 0. 3 0 4 2 2 3 1 1 2 A , 1 1 2 0 1 2 5 3 1 B Вариант 1. 1 0 1 2 1 2 1 1 2 A , 7 1 3 5 1 2 0 1 4 B Вариант 2. 4 1 2 2 0 2 3 1 2 A , 1 0 3 1 2 4 1 2 4 B Вариант 3. 0 1 2 3 1 2 3 3 2 A , 1 3 0 2 2 4 3 1 1 B Вариант 4. 3 1 0 2 1 3 5 1 2 A , 1 0 2 3 1 2 5 4 1 B Вариант 5. 4 0 2 1 1 3 5 1 2 A , 1 1 2 0 1 2 5 5 0 B Вариант 6. 1 5 4 2 2 4 1 1 2 A , 5 1 2 0 3 1 2 3 1 B Вариант 7. 1 0 4 2 2 3 3 7 2 A , 1 1 2 3 5 2 5 3 1 B Вариант 8. 3 1 4 3 2 0 1 1 2 A , 1 1 2 4 0 2 2 4 3 B Вариант 9. 1 0 4 2 3 1 1 1 5 A , 3 1 2 0 6 2 2 3 0 B Задача 2. Вычислить определители а) второго порядка; б) третьего порядка Вариант 0. а) 7 4 3 1 , б) 1 3 2 2 4 3 3 2 1 Вариант 1. а) 4 1 3 2 , б) 3 3 2 5 1 3 2 4 1 Вариант 2. а) 3 3 2 5 , б) 2 2 1 2 4 3 3 3 2 Вариант 3. а) 2 7 3 5 , б) 3 4 1 2 3 4 2 2 3 Вариант 4. а) 1 6 3 2 , б) 1 1 2 3 2 1 3 2 3 Вариант 5. а) 3 4 6 2 , б) 4 2 1 3 1 2 3 2 2 Вариант 6. а) 3 2 8 5 , б) 2 2 3 2 1 1 1 2 2 Вариант 7. а) 2 4 3 8 , б) 2 3 1 2 2 3 2 3 2 Вариант 9. а) 2 3 4 6 , б) 1 2 1 2 1 3 2 3 2 Вариант 9. а) 3 2 6 5 , б) 1 1 2 2 3 1 3 2 3 1.1.2. Системы линейных уравнений Линейным алгебраическим уравнением называется уравнение вида , 2 2 1 1 b x a x a x a n n где i a и b – числа, i x - неизвестные. Таким образом, в левой части линейного уравнения стоит линейная комбинация неизвестных, а в правой – число. Линейное уравнение называется однородным, если b = 0. В противном случае уравнение называется неоднородным. Системой линейных алгебраических уравнений называется система вида 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ( 2 .1) где ij a , i b - числа, j x - неизвестные, n – число неизвестных, m – число уравнений. Решением системы линейных алгебраических уравнений называется набор чисел , ,..., , 0 02 01 n x x x которые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное равенство. Система линейных алгебраических уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений. Совместная систем линейных алгебраических уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. Имеется три основных способа решения систем линейных уравнений. Первым является метод Гаусса последовательного исключения переменных. Два других способа – метод обратной матрицы и правило Крамера. |