1. Матрицы. Линейные операции над ними и их свойства
 Скачать 0.98 Mb.
|
|
Определение. Функция называется убывающей на отрезке , если для любых двух точек  справедливо неравенство когда . Определение. Функция имеет в точке максимум, если значение является наибольшим в некоторой двустороней окрестности точки . Определение. Функция имеет в точке минимум, если значение является наименьшим в некоторой двусторонней окрестности точки . Определение. Функция имеет в точке экстремум, если точка является точкоймаксимума или минимума. Признаки (достаточные) возрастания и убывания функции : Если на интервале , то функция возрастает на этом интервале; Если на интервале , то функция убывает на этом интервале. Необходимое условие экстремума функции. Функция может иметь экстремум только в точках, где или производная не существует. Точка, где или производная не существует называется критической точкой. Заметим, что если в точке выполняется, что , то это означает, что касательная в данной точке параллельная оси . Если производная в точке не существует, то это значит либо касательная вертикальная, либо ее нет в данной точке. Достаточные условие экстремума функции. Если функция непрерывна в точке и имеет в некоторой окрестности точки , кроме, быть может самой точки , конечную производную и если при переходе через точку : меняет знак с '+' на '-', то точка -- точка максимума; меняет знак с '-' на '+', то точка -- точка минимума; не меняет знак, то точка не является точкой экстремума. Вопрос 27.Исследование функции на выпуклость. Точки перегиба. Если производная f ' ( x ) функции f ( x ) дифференцируема в точке ( x0 ), то её производная называется второй производной функции f ( x ) в точке ( x0 ), и обозначаетсяf '' ( x0 ). Функция f ( x ) называется выпуклой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит ниже касательной, проведенной к кривой y = f ( x ) в любой точке ( x0, f ( x0 ) ), x0 ( a, b ). Функция f ( x ) называется вогнутой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит выше касательной, проведенной к кривой y = f ( x ) в любой точке ( x0, f ( x0 ) ), x0 ( a, b ). Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции. Пусть функция f ( x ) дважды дифференцируема ( имеет вторую производную ) на интервале ( a, b ), тогда: если f '' ( x ) > 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является вогнутой на интервале ( a, b ); если f '' ( x ) < 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является выпуклой на интервале ( a, b ) .Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкойперегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба x0 существует вторая производная f '' ( x0 ), то f '' ( x0 ) = 0. Вопрос 28. Асимптоты. При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой. Асимптотой кривой называется прямая, расстояние от которой до точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой. Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными. Говорят, что прямая является вертикальной асимптотой графика функции y = f (x), если , или , или . То есть, для отыскания вертикальных асимптот следует найти те значения х, при которых функция обращается в бесконечность (терпит бесконечный разрыв). Для определения наклонной асимптотыy = kx + b числа k (угловой коэффициент прямой) и b находят из формул: , .Но если хотя бы один из этих пределов не существует или равен бесконечности, то кривая y = f (x) наклонных асимптот не имеет. Отметим, что следует отдельно рассмотреть случаи х + и х. Частным случаем наклонной асимптоты при k = 0 и будет горизонтальная асимптота. Поэтому y = b – уравнение горизонтальной асимптоты. Рассмотрим график функции на рис. 15. Точки х = х2, х = х4 – точки экстремумов функции, точка х = х1 – это точка перегиба. Точка х = х3 является особенной точкой для функции, в ней f(x) терпит разрыв, а прямая х = х3 является вертикальной асимптотой графика функции. Прямая y = kx + b тоже будет асимптотой графика, только наклонной, прямая у = 0 – горизонтальная асимптота графика. Если точка М(х, у) лежит на графике и неограниченно удаляется от начала координат, то она приближается к одной из этих прямых; расстояние от точки М(х, у) до асимптот стремится к нулю. Вопрос 30. Неопределенный интеграл и его свойства. Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом  .Как следует из изложенного выше, если F(x) - некоторая первообразная функции f(x), то  , где C - произвольная постоянная. Функциюf(x) принято называть подынтегральной функцией, произведение f(x) dx - подынтегральным выражением. Неопределенный интеграл  где F - первообразная функции f (на промежутке); C - произвольная постоянная.Основные свойства 1.   2.   3. Если  то Вопрос 31. Определенный интеграл и его свойства. Если f(x) и g(x) - две непрерывные функции, заданные на промежутке [a, b], то      т. е. интеграл суммы равен сумме интегралов слагаемых. 2. Если f(x) - непрерывная функция, а c - постоянное число, то    Пусть f(x) непрерывна на промежутке [a, b]. Если этот промежуток точкой c разложен на части [a, c] и [c, b], то интеграл по всему промежутку оказывается равным сумме интегралов по его частям, т. е.      В самом деле, будем при раздроблении промежутка [a, b] на части включать c в число точек деления. Если c = xm, то       Каждая из написанных здесь трех сумм является интегральной суммой соответственно для промежутков [a, b], [a, c] и [c, b]. Остается перейти к пределу при λ → 0. 4. Пусть функция f(x) непрерывна в промежутке [A, B]. Если a, b, c суть точки этого промежутка, то     (13) В самом деле, если из точек a, b и c две (а тем более три) совпадают, то равенство (13) очевидно. Пусть же все эти точки различны. Если a < c < b, то дело сводится к теореме 3. Прочие случаи взаимного расположения точек a,b, c тоже легко свести к той же теореме. Пусть, например, c < b < a. Тогда     откуда     и остается дважды применить формулу (12). Свойство интеграла, выражаемое теоремами 3 и 4, называется аддитивностью его, как функции промежутка интегрирования. 5. Если f(x) - неотрицательная непрерывная функция и нижний предел интеграла не больше верхнего*, то и сам интеграл будет числом неотрицательным   т. е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.Вопрос 32. Геометрический смысл определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. Если f(x) непрерывна и положительна на [a, b], то интеграл   представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x) (см. рис. 5.). Не следует думать, что условие непрерывности функции необходимо для того, чтобы у нее существовал определенный интеграл. Интеграл может существовать и у разрывной функции. Пусть, например, функция f(x), заданная на промежутке [a, b], равна нулю во всех точках этого промежутка, кроме конечного числа точек z1, z2, ...,zN. Составим для f(x) интегральную сумму σ.Пусть из точек ξ0, ξ1, ..., ξn-1, входящих в определение σ, p точек совпадают с точками zi, а остальные отличны от них. Тогда в сумме σ будет лишь p слагаемых, отличных от нуля. Если наибольшее из чисел | f(zi) | (i = 1, 2, ..., N) естьK, то, очевидно, | σ | ≤ Kpλ ≤ KNλ, откуда ясно, что при λ → 0 будет и σ → 0. Таким образом, интеграл существует и равен нулю. Приведем теперь пример функции, не имеющей интеграла. Пусть φ(x) задана на промежутке [0, 1] так:   Если мы, составляя сумму σ, за точки ξk выберем числа иррациональные, то окажется σ = 0. Если же все ξk взять рациональными, то получится σ = 1. Таким образом, за счет одного лишь уменьшения λ нельзя приблизить σ к какому-либо постоянному числу, и интеграл   не существует. В настоящее время известны точные признаки, позволяющие судить, имеет или нет заданная функция определенный интеграл, но мы ограничимся вышеприведенной теоремой об интегрируемости непрерывных функций.Вопрос 33. Несобственные интегралы и их сходимость. Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Пусть функция f(x) определена на полуоси  и интегрируема по любому отрезку [a,b], принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла  при  называется несобственным интегралом функции f(x) от a до  и обозначается  . Итак, по определению,  . Если этот предел существует и конечен, интеграл называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, интеграл называется расходящимся. Вопрос 34. Числовые ряды. Признаки сходимости. Пусть задана бесконечная последовательность чисел . Выражение называется числовым рядом. Числа называются членами этого ряда. Член ряда (97), стоящий на -м месте, считая от начала, называется общим членом этого ряда. Ряд (97) считается заданным, если известен общий член его, выраженный как функция номера . Выражение (97) удобно обозначать следующим образом:  .Сумма конечного числа n первых членов ряда называетсяn-ой частичной суммой ряда. Рассмотрим частичные суммы:  Если существует конечный предел , то его называют суммой ряда (97) и говорят, что ряд (97) сходится. Если не существует (например , при ), то говорят, что ряд (97) расходится и суммы не имеет,an>0 . ряд.Признак Даламбера: , , если d <1 — ряд сходится, если d >1 — ряд расходится, если d =1 — о сходимости или расходимости ряда судить нельзя. Признак Коши: , , если c <1 — ряд сходится, если c >1 — ряд расходится, если c =1 — о сходимости или расходимости ряда судить нельзя. Знакочередующийся ряд: , . Если сходится ряд , то ряд — сходится а б с о л ю т н о. Если ряд расходится, а ряд сходится, то знакочередующийся ряд — сходится у с л о в н о. Признак Лейбница: если an монотонно убывая стремится к нулю, то ряд сходится и  . Вопрос 35. Основные понятия о дифференциальных уравнениях.
Задачей Коши (или начальной задачей) называется задача отыскания решения y = y(x) уравнения F(x, y(x), y '(x), y ''(x), … , y(n )(x)) = 0, x>x0, удовлетворяющего условиям y(x0) = y0, y '(x0) = y1, y ''(x0) = y2, … , y(n − 1)(x0) = yn − 1.
Условия y(x0) = y0, y '(x0) = y1, y ''(x0) = y2, … , y(n − 1)(x0) = yn − 1 называются начальными данными, начальными условиями или данными Коши. Любое конкретное решение y = φ(x) уравнения n –го порядка F(x, y(x), y '(x), y ''(x), … , y(n )(x)) = 0, называетсячастным решением. Вопрос 36. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Определение и способ решения Пусть y(x) — некоторая функция, y'(x) — ее производная. Для удобства будем записывать производную виде  , имеющем смысл отношения бесконечно малых приращений — дифференциалов. Дифференциал dx — приращение значения переменной в окрестности x, стремящееся к нулю. Дифференциал функции dy — малое приращение функции, dy = f(x + dx) − f(x) = y'(x)dx. Пусть f(x) и g(y) — некоторые функции от x и y. Рассмотрим уравнение  . Уравнение такого вида называется обыкновенным дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Умножим его на :  . Последнее равенство означает, что малые приращения левой и правой частей равны. Поэтому их суммы также равны. Предположим что при x = x0 y = y0 и возьмем интегралы от левой и правой частей. Пределы интегрирования — от y0 до y для левой части и от x0 для x для правой части уравнения:  Решая получившееся в результате интегрирования алгебраическое уравнение, мы можем выразить y(x). Значения x0 и y0 называются начальными условиями. В случае других начальных условий решение уравнения будет отличаться на постоянную. Поэтому, если начальные условия не даны, можно взять первообразные левой и правой частей и прибавить к ним константу. Используя неопределенный интеграл — обозначение множества первообразных —  , где F(x) — первообразная f(x), C — произвольная постоянная, запишем это в виде .Следует отметить, что у дифференциального уравнения с разделяющимися переменными могут существовать так называемые нулевые решения — постоянные y, удовлетворяющие уравнению g(y) = 0. При них равны нулю как правая, так и левая части дифференциального уравнения (поскольку производная константы равна нулю).Вопрос 37. Однородные дифференциальные уравнения. Существует два понятия однородности дифференциальных уравнений. 1 Обыкновенное уравнение первого порядка  называется однородным относительно x и y, если функция является однородной степени 0:  . Однородную функцию можно представить как функцию от :  . С помощью подстановки (так как  ) дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными: . 2 Дифференциальное уравнение является однородным, если оно не содержит свободного члена — слагаемого, не зависящего от неизвестной функции. Так, можно говорить, что уравнение  — однородно, если  . В случае, если  , говорят о неоднородном дифференциальном уравнении. Именно для решения линейных однородных диф. уравнений была построена целая теория, чему способствовало выполнение у них принципа суперпозиции.Вопрос 38. линейные дифференциальные уравнения первого ,второго порядка.
где x - независимая переменная, y(x) - неизвестная функция. В форме, разрешённой относительно производной, уравнение первого порядка записывается так:
Если пользоваться другим обозначением производной, то можно записать (6) как
Вопрос 41. Основные формулы для вычисления вероятностей. I. Случайные события. 1. Основные формулы комбинаторики а) перестановки .б) размещения в) сочетания  . 2. Классическое определение вероятности. , где - число благоприятствующих событию исходов, - число всех элементарных равновозможных исходов.3. Вероятность суммы событий Теорема сложения вероятностей несовместных событий:Теорема сложения вероятностей совместных событий: 4. Вероятность произведения событий. Теорема умножения вероятностей независимых событий:Теорема умножения вероятностей зависимых событий:, - условная вероятность события при условии, что произошло событие , - условная вероятность события при условии, что произошло событие . 5. Формула полной вероятности  , где - полная группа гипотез, то есть , - достоверное событие. 6. Формула Байеса (формула Бейеса). Вычисление апостериорных вероятностей гипотез  , где - полная группа гипотез. 7. Формула Бернулли - вероятность появления события ровно раз при независимых испытаниях, - вероятность появления события при одном испытании. 8. Наивероятнейшее число наступления события. Наивероятнейшее число появления события при независимых испытаниях:, - вероятность появления события при одном испытании.Вопрос 42. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Суммой двух событийА и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В. Теорема сложения вероятностей Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий: Р (А + В) = Р (А) + Р (В). В случае, когда события А и В совместны, вер-ть их суммы выражается формулой Р (А +В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ), где АВ – произведение событий А и В. Два события называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от наступления или не наступления другого. в случае зависимых событий вводится понятие условной вероятности события. Условной вероятностью Р(А/В) события А называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Аналогично через Р(В/А) обозначается условная вероятность события В при условии, что событие А наступило. Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В. |
;
;
;
или 
. 
переменных dxi называются частными дифференциалами функции у = f(X).
x1 + ... + Аn • 
стремится к определенному числу f (x)и, следовательно, отличается от производной f(x)на величину бесконечно малую: где a 0 при x 0. Умножение всех членов последнего равенства на x дает y = f(x) + ax.Так как, то приращение y функции состоит из двух слагаемых, из которых первое слагаемое есть (при f (x) 0) так называемая главная часть приращения, линейная относительноx. Произведение f (x)x называют дифференциалом функции и обозначают через dy или df(x):dy = f (x)x Можно найти дифференциал функции y = x. В этом случае y = (x) = 1и, следовательно,Dy = dx =x. Таким образом, дифференциал dx независимой переменной x совпадает с ее приращением