МЕХАНИКА(1-19). 1. Основные понятия кинематики материальной точки. Описание движения в декартовых координатах. Скорость, нормальное и тангенциальное ускорение при криволинейном движении. Движение материальной точки по окружности. Равномерное и равнопеременное вращение

• Название: 1. Основные понятия кинематики материальной точки. Описание движения в декартовых координатах. Скорость, нормальное и тангенциальное ускорение при криволинейном движении. Движение материальной точки по окружности. Равномерное и равнопеременное вращение
• Анкор: МЕХАНИКА(1-19).docx
• Дата: 07.02.2017
• Размер: 1 Mb.
• Имя файла: МЕХАНИКА(1-19).docx
• Тип: Документы; #2407
• страница: 3 из 4

Момент инерции

Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси: 

 

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу 

 

где интегрирование производится по всему объему тела. При этом величина r в есть функция положения точки с координатами х, у, z. В качестве примера будем искать момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси (рис. 1). 


Рис.1

Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним r+dr. Момент инерции отдельного полого цилиндра dJ=r²dm (так как dr<³dr. Тогда момент инерции сплошного цилиндра 

 

но так как πR2h - объем цилиндра, то его масса m=πR2hρ, а момент инерции 

 

Если мы знаем момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то мы можем найти и момент инерции относительно любой другой параллельной этой оси, который можно найти с помощью теоремы Гюйгенса-Штейнера: момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту его инерции J_cотносительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями: 

 

Приведем значения моментов инерции (табл. 1) для некоторых тел (тела считаются однородными, m - масса тела).

11.Основные уравнения динамики вращательного движения твердого тела.

Основной закон динамики вращательного движения можно получить из второго закона Ньютона для поступательного движения твердого тела

  ,                                                                                                       (1.6)

где F – сила, приложенная к телу массой m; а – линейное ускорение тела.

Если к твердому телу массой m в точке А (рис. 5) приложить силу F, то в результате жесткой связи между всеми материальными точками тела все они получат угловое ускорение и соответственные линейные ускорения, как если бы на каждую точку действовала сила . Для каждой материальной точки можно записать:

,

где ,  поэтому

,                                                                                                  (1.7)

где m_i – масса i-й точки; – угловое ускорение;r_i – ее расстояние до оси вращения.

Умножая левую и правую части уравнения (1.7) на r_i, получают

,                                                                                               (1.8)

где – момент силы – это произведение силы  на ее плечо .

Плечом силы называют кратчайшее расстояние от оси вращения “ОО” (рис. 5) до линии действия силы .



Рис. 5. Твердое тело, вращающееся под

действием силы F около оси “ОО”

– момент инерции i-й материальной точки.

Выражение (1.8) можно записать так:

.                                                                                                            (1.9)

Просуммируем левую и правую части (1.9) по всем точкам тела:

.

Обозначим через М, а через J, тогда

                                                                                                                (1.10)

Уравнение (1.10) – основной закон динамики вращательного движения твердого тела. Величина– геометрическая сумма всех моментов сил, то есть момент силы F, сообщающий всем точкам тела ускорение .– алгебраическая сумма моментов инерции всех точек тела. Закон формулируется так: «Момент силы, действующий на вращающееся тело, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение».

Мгновенное значение углового ускорения , есть первая производная угловой скорости по времени , то есть

,                                                                                                        (1.11)

где – элементарное изменение угловой скорости тела за элементарный промежуток времени .

Если в выражение основного закона (1.10) поставить значение мгновенного ускорения (1.11), то

           или        ,                                                                                (1.12)

где – импульс момента силы – это произведение момента силы  на промежуток времени .

– изменение момента импульса тела,  – момент импульса тела есть произведение момента инерции J на угловую скорость , а есть .

Поэтому основной закон динамики вращательного движения твердого тела формулируется так: “Импульс момента силы, действующий на вращательное тело, равен изменению его момента импульса”:

или           

12. кинетическая энергия вращающегося твердого тела. Работа сил при вращательном движении тела. Кинетическая энергия твердого тела при плоском движении.

Вращательное движение твёрдого тела.

• 
  При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на в плоскости, перпендикулярной оси вращения (ось вращения может находиться и вне тела).
  
• 
  Угловые скорости всех точек ω одинаковы.
  ω направлена вдоль оси вращения в соответствие с правилом буравчика.
  
• 
  Линейные скорости точек: v = ω х r, где r – радиус-вектор, проведённый из любой точки оси.
  

Плоское движение твёрдого тела

• 
  Любое движение твёрдого тела – это суперпозиция поступательного и вращательного движений.
  
• 
  При плоском движении все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях.
  
• 
  Пример плоского движения – качение цилиндра.
  Скорость каждой точки цилиндра:
  v = v₀ + ωxr (v₀ – скорость оси)
  

Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела. Работа момента сил

• 
  Кинетическая энергия вращающегося тела
  K = Σm_iv_i²/2 = ½Σm_i(ωr_i)² = I_zω²/2 = L_z²/2I =
  ½ L_z ω.
  
• 
  В общем случае K = ½ (Lω)
  
• 
  Работа внешней силы при повороте:
  dA = (Fds) = Frdφ = M_zdφ
  

Плоское движение твёрдого тела

• 
  Плоское движение есть суперпозиция движения центра масс и вращательного в системе центра масс
  
• 
  Движение центра масс определяется внешними силами по закону Ньютона.
  
• 
  Вращательное движение определяется моментом внешних сил
  

Вращение твёрдого тела. Кинетическая энергия вращающегося тела.

Поступательное движение Вращательное движение

v – линейная скорость ω – угловая скорость

a = dv/dt – линейное ускорение ε = dω/dt – угловое ускорение

m – масса I – момент инерции

p = mv – импульс L_z = Iω_z – момент импульса

F – сила M – момент силы

dp/dt = ma = mdv/dt = F dL/dt = Iε = Idω/dt = M

K = mv²/2 = p²/2m K = Iω²/2 = L_z²/2I

dA = Fds dA = Mdφ

Кинетическая энергия при плоском движении

Плоским (плоскопараллельным) называется такое движение, при котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях. Представим плоское движение тела как поступательное движение со скоростью , некоторой точки 0 в нем и вращения вокруг оси, проходящей через эту же точку и перпендикулярной  с угловой скоростью .

В этом случае скорость i-той материальной точки тела определяется формулой

.

Кинетическая энергия i- той материальной точки равна



или

.

Просуммировав по всем материальным точкам, получим



или , (12)

где М -полная масса тела, -радиус-вектор центра масс, -момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку О.

Если в качестве точки О взять центр масс тела С, то  и формула (12) упрощается:. (13)

Таким образом, если разбить плоское движение тела на поступательное со

скоростью центра масс V_c и вращательное с угловой скоростью w вокруг оси, проходящей через центр масс тела, то кинетическая энергия распадается на два независимых слагаемых, одно из которых определяется только скоростью центра масс V_c, а другое - угловой скоростью w.

Из (13) следует, что при вращении тела относительно оси z, проходящей через центр масс С, его кинетическая энергия . (14)