Главная страница

1 вопрос. Динамика точки. Основные понятия и определения


Скачать 1.54 Mb.
Название1 вопрос. Динамика точки. Основные понятия и определения
Дата19.06.2018
Размер1.54 Mb.
Формат файлаdocx
Имя файлаteor_mekh_ekz.docx
ТипДокументы
#47316
страница1 из 11
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

1 вопрос . Динамика точки. Основные понятия и определения…

В разделе кинематики исследовалось движение тел без учета причин, обеспечивающих это движение. Рассматривалось движение, заданное каким-либо способом и определялись траектории, скорости и ускорения точек этого тела.В разделе динамики решается более сложная и важная задача. Определяется движение тела под действием сил приложенных к нему, с учетом внешних и внутренних условий, влияющих на это движение, включая самих материальных тел.

Динамикой называется раздел механики, в котором изучаются законы движения материальных тел под действием сил.

Понятие о силе, как о величине, характеризующей меру механического взаимодействия материальных тел, было введено в статике. Но при этом в статике мы, по существу, считали все силы постоянными. Между тем, на движущееся тело наряду с постоянными силами (постоянной, например, можно считать силу тяжести) действуют обычно силы переменные, модули и направления которых при движении тела изменяются.

Сила – векторная физическая величина, характеризующая действие одного тела на другое, в результате чего у тела изменяется скорость, то есть появляется ускорение, или происходит деформация тела, либо имеет место и то, и другое. В том случае, когда тело при взаимодействии получает ускорение, говорят о динамическом проявлении сил. В том случае, когда тело при взаимодействии деформируется, говорят о статическом проявлении сил.  – векторная величина.

Как показывает опыт, переменные силы могут определенным образом зависеть от времени, от положения телаиот его скорости.В частности, от времени зависит сила тяги электровоза при постепенном выключении или включении реостата; от положения тела зависит сила упругости пружины; от скорости движения зависят силы сопротивления среды (воды, воздуха).

К понятию об инертности тел мы приходим, сравнивая результаты действия одной и той же силы на разные материальные тела. Опыт показывает, что если одну и ту же силу приложить к двум разным, свободным от других воздействий покоящимся телам, то в общем случае по истечении одного и того же промежутка времени эти тела пройдут разные расстояния и будут иметь разные скорости.

Инертностьи представляет собой свойство материальных тел быстрее или медленнее изменять скорость своего движения под действием приложенных сил. Если, например, при действии одинаковых сил изменение скорости первого тела происходит медленнее, чем второго, то говорят, что первое тело является более инертным, и наоборот.

Количественной мерой инертности данного тела является физическая величина, называемаямассой тела. В механике масса т рассматривается как величина скалярная, положительная и постоянная для каждого данного тела.

За единицу массы принят эталон – сплав платины и иридия, хранящийся в палате мер и весов в Париже: [m]=кг. Масса–величина аддитивная http://www.teoretmeh.ru/dinamika1.files/image090.gif и скалярная.

В общем случае движение тела зависит не только от его суммарной массы и приложенных сил; характер движения может еще зависеть от формы тела, точнее от взаимного расположения образующих его частиц (т.е. от распределения масс).

Чтобы при первоначальном изучении динамики иметь возможность отвлечься от учета влияния формы тел (распределения масс), вводится понятие о материальной точке.

Под материальной точкой понимают материальное тело столь малых размеров, что различием в движении отдельных его точек можно пренебречь и положение которого можно определить координатами одной из его точек.

Практически данное тело можно рассматривать как материальную точку в тех случаях, когда расстояния, проходимые точками тела при его движении, очень велики по сравнению с размерами самого тела. Кроме того, как будет показано в динамике системы поступательно движущееся тело можно всегда рассматривать как материальную точку с массой, равной массе всего тела.

При вращательном движении тела точки могут двигаться неодинаково, в этом случае некоторые положения динамики можно применять только к отдельным точкам, а материальный объект рассматривать как совокупность материальных точек.

Поэтому при изучении динамики выделяют два основных раздела: "Динамика материальной точки" и "Динамика материальной системы", из которых первый предваряет второй.

Время в классической механике не связано с пространством и движением материальных объектов. Во всех системах отсчета движущихся друг относительно друга оно протекает одинаково.

 

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..2 вопрос

Законы динамики

В основе динамики лежат законы, установленные путем обобщения результатов целого ряда опытов и наблюдений над движением тел и проверенные обширной общественно-исторической практикой человечества. Систематически эти законы были впервые изложены И. Ньютоном. 

Первый закон (закон инерции), открытый Галилеем, гласит: существуют такие системы отсчета, относительно которых тело покоится или движется прямолинейно и равномерно, если на него не действуют другие тела или действие этих тел компенсировано.

или в другой формулировке

если сумма действующих на тело сил равна нулю, то тело движется равномерно и прямолинейно или находится в покое.

Движение, совершаемое точкой при отсутствии сил, называется движением по инерции.

Закон инерции отражает одно из основных свойств материи - пребывать неизменно в движении и устанавливает для материальных тел эквивалентность состояний покоя и движения по инерции. Из него следует, что если F=0, то точка покоится или движется с постоянной по модулю и направлению скоростью  ( =const); ускорение точки при этом равно нулю:  = 0); если же движение точки не является равномерным и прямолинейным, то на точку действует сила.

Система отсчета, по отношению к которой выполняется закон инерции, называется инерциальной системой отсчета (иногда ее условно называют неподвижной). По данным опыта для нашей Солнечной системы инерциальной является система отсчета, начало которой находится в центре Солнца, а оси направлены на так называемые неподвижные звезды. При решении большинства технических задач инерциальной, с достаточной для практики точностью, можно считать систему отсчета, жестко связанную с Землей.

Системы отсчета, в которых не выполняется первый закон Ньютона, называются неинерциальными.Неинерциальными будут системы, движущиеся с ускорением, или вращающиеся.

Второй закон (основной закон динамики)  гласит:произведение массы точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы (рис.1).

image015

Рис.1

 

Математически этот закон выражается векторным равенством.

При этом между модулями ускорения и силы имеет место зависимость  ma=F.       

Второй закон динамики, как и первый, имеет место только по отношению к инерциальной системе отсчета. Из этого закона непосредственно видно, что мерой инертности материальной точки является ее масса, так как две разные точки при действии одной и той же силы получают одинаковые ускорения только тогда, когда будут равны их массы; если же массы будут разные, то точка, масса которой больше (т. е. более инертная), получит меньшее ускорение, и наоборот.

Известно, что вес тела и ускорение его свободного падения пустоте существенно зависят от места земной поверхности. В данной точке земли ускорение свободного падения всех тел одинаково и обозначается буквой g. Экспериментально установлено, что отношение веса Р тела к ускорению его свободного падения g есть постоянная величина, не зависящая от места наблюдения. Это отношение m = P/g также определяет массу тела. Таким образом, различают тяжелую массу m1 = P/g и инертную массу m2 = F/a. В классической механике считается, что m1=m2=m.

Если на точку действует одновременно несколько сил, то они, как известно, будут эквивалентны одной силе, т.е. равнодействующей, равной геометрической сумме этих сил. Уравнение, выражающее основной закон динамики, принимает в этом случае вид

 или .

Существует и более формулировка второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равно действующей на нее силе: . Данное выражение называется уравнением движения материальной точки.

В общем случае сила, действующая на тело, изменяется со временем и по величине, и по направлению. Но в течение элементарного промежутка времениdt мы можем считать, что =const. Векторная величина , равная , называется элементарным импульсом (силы).

Второй закон Ньютона в дифференциальной форме:

http://www.teoretmeh.ru/dinamika1.files/image215.gif

в проекциях на оси:

http://www.teoretmeh.ru/dinamika1.files/image218.gif

Из второго закона также получим размерность силы: 1Н=1 кг∙1 м/с2.

Третий закон (закон равенства действия и противодействия) устанавливает характер механического взаимодействия между материальными телами. Для двух материальных точек он гласит: две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны (рис.2).

http://www.teoretmeh.ru/dinamika1.files/image220.jpg

Рис.2

 

Заметим, что силы взаимодействия между свободными материальными точками (или телами), как приложенные к разным объектам, не образуют уравновешенной системы.

Проведём небольшой эксперимент. Попробуем перемещать тяжёлое тело по некоторой криволинейной траектории. Сразу обнаружим, что тело сопротивляется изменению направления движения, изменению скорости. Возникает сила со стороны тела, противодействующая силе , той, которую мы прикладываем к нему.

Эту силу, с которой материальная точка сопротивляется изменению своего движения, будем называть силой инерции этой точки - . По третьему закону она равна и противоположна действующей на точку силе, . Но на основании второй аксиомы . Поэтому .

Итак, сила инерции материальной точки по величине равна произведению её массы на ускорение

Fин=ma.

И направлена эта сила инерции в сторону противоположную вектору ускорения.

Например, при движении точки по кривой линии ускорение . Поэтому сила инерции

http://www.teoretmeh.ru/dinamika1.files/image377.gif.

То есть её можно находить как сумму двух сил: нормальной силы инерции и касательной силы инерции.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

 3 вопрос. Меры инертности тел при вращательном и поступательном движении.

Кинематика рассматривает движение тел, не интересуясь причинами, обуславливающими это движение и его изменение.

В основе динамики, которая изучает причины изменения движения, лежат законы Ньютона. Эти законы относятся к фундаментальным законам природы и доказать их справедливость или опровергнуть можно только опытом.

Второй закон Ньютона – основной закон динамики.

Этот закон выполняется только в инерциальных системах отсчета.

В динамике вводятся две новые физические величины – масса тела m и сила , а также способы их измерения. Масса тела m является количественной характеристикой инертных свойств тела. Она показывает, как тело реагирует на внешнее воздействие. Вторая – силаявляется количественной мерой действия одного тела на другое.

Второй закон Ньютона – это фундаментальный закон природы; он является обобщением опытных фактов, которые можно разделить на две категории:

1. Если на тела разной массы подействовать одинаковой силой, то ускорения, приобретаемые телами, оказываются обратно пропорциональны массам

2.  Если силами разной величины подействовать на одно то же тело, то ускорения тела оказываются прямо пропорциональными приложенным силам.

Обобщая подобные наблюдения, Ньютон сформулировал основной закон динамики: Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение:

http://pandia.ru/text/78/157/images/image002_53.gif (1)

Это и есть второй закон Ньютона. Он позволяет вычислить ускорение тела, если известна его масса m и действующая на тело сила :

http://pandia.ru/text/78/157/images/image003_34.gif (2)

В международной системе единиц (СИ) за единицу силы принимается сила, которая сообщает телу массой 1 кг ускорение 1 м/с2. Эта единица называется ньютоном (Н).

Если на тело одновременно действуют несколько сил (например, и то под силой в формуле, выражающей второй закон Ньютона, нужно понимать равнодействующую всех сил:

http://pandia.ru/text/78/157/images/image005_17.gif

Если равнодействующая сила равна нулю, то тело будет оставаться в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

Второй закон Ньютона также можно записать в виде:

http://pandia.ru/text/78/157/images/image006_8.gif (3).

Импульсом (количеством движения) называется векторная физическая величина, численно равная произведению массы тела на его скорость.

http://pandia.ru/text/78/157/images/image007_8.gif (4).

Основной единицей импульса тела в СИ является кг · м/с.

Тогда второй закон Ньютона окончательно примет вид :

http://pandia.ru/text/78/157/images/image008_9.gif (5)

Таким образом, скорость изменения импульса тела равна действующей на него силе.

Силы в природе.

1) Сила всемирного тяготения. Сила тяжести. Вес тела.

Закон всемирного тяготения был сформулирован Ньютоном – сила всемирного тяготения прямо пропорциональна произведению масс тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами тел, т. е.http://pandia.ru/text/78/157/images/image009_7.gif

http://pandia.ru/text/78/157/images/image010_6.gif (6)

где http://pandia.ru/text/78/157/images/image011_6.gif - гравитационная постоянная, численно равная силе взаимодействия двух тел единичной массы, находящихся на единичном расстоянии друг от друга.

Сила всемирного тяготения является центральной силой, т. е. направленной вдоль прямой соединяющей центры тел.

Под действием силы притяжения к Земле все тела падают с одинаковым ускорением, равным ускорению свободного падения . Это означает, что на всякое тело массы m действует сила , называемая силой тяжести.

Когда тело покоится относительно Земли, сила тяжести уравновешивается силой реакции опоры (или подвеса), удерживающей тело от падения. По третьему закону Ньютона, тело будет действовать на опору (или подвес) с силой , равной по величине  и противоположной ей по направлению, т. е. .

Сила, с которой тело действует на опору или подвес, вследствие притяжения к Земле, называется весом тела.

2) Силы трения.

Силы трения появляются при перемещении двух соприкасающихся тел или частей тела относительно друг друга.http://pandia.ru/text/78/157/images/image017_6.gif

Силы трения направлены по касательной к трущимся поверхностям, причем так, что они противодействуют относительному смещению этих поверхностей.

В случае сухого трения, сила трения возникает не только при скольжении одной поверхности по другой, но также и при попытках вызвать такое смещение. В этом случае сила трения называется силой трения покоя.

Опыт показывает, что максимальная сила трения покоя  равна

 (7)

где N – сила нормального давления - безразмерный коэффициент, зависящий от рода соприкасающихся тел и чистоты обработки поверхности и называемый коэффициентом трения.

Следует иметь в виду, что, помимо сил трения, при движении в жидкости или газе возникают силы сопротивления среды, которые могут быть гораздо больше сил трения. Характерной особенностью этих сил является их зависимость от скорости движения тела и его формы.

2.

Если на вал с диском действуют две силы , то простой опыт показывает, что равновесие имеет место только при условии, что , т. е. когда моменты сил равны по величине и противоположны по направлению.

Псевдовектор

http://pandia.ru/text/78/157/images/image023_5.gif (8)

называется моментом силы  относительно точки О.

Модуль вектора  определяется по формуле

http://pandia.ru/text/78/157/images/image026_2.gif (9) ,

где http://pandia.ru/text/78/157/images/image027_2.gif - плечо силы, т. е. кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы.

Величину

http://pandia.ru/text/78/157/images/image028_2.gif (10)называют моментом импульса материальной точки относительно точки.

Величину

http://pandia.ru/text/78/157/images/image029_1.gif (11)

называют моментом импульса твердого тела относительно точки.

Физическую величину

http://pandia.ru/text/78/157/images/image030_1.gif (12)

называют моментом инерции материальной точки относительно оси вращения, а величину

http://pandia.ru/text/78/157/images/image031_0.gif (13)

моментом инерции твердого тела.

Любое твердое тело можно разбить на элементарные массы http://pandia.ru/text/78/157/images/image032_1.gif, расположенные на расстоянии  от оси вращения. Тогда момент инерции твердого тела может быть определен по формуле http://pandia.ru/text/78/157/images/image034_1.gif, где интегрирование должно быть распространено на весь объем тела.

Момент инерции тела зависит от положения оси вращения. Для определения момента инерции тела относительно оси, не проходящей через центр масс, можно пользоваться теоремой Гюйгенса – Штейнера

http://pandia.ru/text/78/157/images/image035_1.gif (14),

где  - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, - момент инерции относительно новой оси,  - расстояние между осями, - масса тела.

Момент инерции во вращательном движении играет ту же роль, что и масса в поступательном движении, т. е. является мерой инертности тела во вращательном движении.

Второй закон Ньютона для вращающегося тела можно записать в виде:

 (15).

Так как http://pandia.ru/text/78/157/images/image041_1.gif, то можно найти и другую форму записи данного закона:

http://pandia.ru/text/78/157/images/image042_1.gif (16).

Это выражение получило название основного уравнения динамики вращательного движения.

…………………………………………………………………………………………………………………………..

4 вопрос .Дифференциальные уравнения движении материальной точки

Пусть на материальную точку действуют одновременно несколько сил, среди которых есть как постоянные, так переменные силы.

Запишем второй закон динамики в виде

http://www.studfiles.ru/html/2706/252/html_wswaqwgjuj.rjk0/htmlconvd-dbkzcl_html_66e9d5c0.gif.

http://www.studfiles.ru/html/2706/252/html_wswaqwgjuj.rjk0/htmlconvd-dbkzcl_html_m6a6702ff.gif,

В проекциях на оси декартовых координат

http://www.studfiles.ru/html/2706/252/html_wswaqwgjuj.rjk0/htmlconvd-dbkzcl_html_m2409c8c8.gif

http://www.studfiles.ru/html/2706/252/html_wswaqwgjuj.rjk0/htmlconvd-dbkzcl_html_m7c7ae7b3.jpg

В проекциях на естественные оси

http://www.studfiles.ru/html/2706/252/html_wswaqwgjuj.rjk0/htmlconvd-dbkzcl_html_69ae3572.gif
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11


написать администратору сайта