1 вопрос. Динамика точки. Основные понятия и определения
 Скачать 1.54 Mb.
|
 . Спроектировав его на ось , получаем дифференциальное уравнение движения точки:  ,где ,  . Перенося все члены в левую часть и деля их на массу , получаем: .Здесь  частота свободных колебаний; и имеет размерность ускорения.Уравнение — дифференциальное уравнение вынужденных колебаний точки при отсутствии сопротивления. Решение этого уравнения зависит от соотношения между частотой возмущающей силы и частотой собственных колебаний. Тут возможны два случая: 1) и 2) . 1. Случай отсутствия резонанса. Найдем решение уравнения (2.23) для случая, когда частота возмущающей силы отлична от частоты свободных колебаний ( —нет резонанса.). Уравнение (2.23)—неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение складывается из общего решения однородного уравнения  и частного решения данного уравнения (2.23): Однородное уравнение совпадает с дифференциальным уравнением собственных колебаний (2.2) и его решение может быть записано в двух эквивалентных формах (2.3) и (2.6):  .Частное решение неоднородного уравнения (2.23) определяется правой частью этого уравнения. В случае будем искать это решение в виде:  .Постоянную следует определить из условия, что функция —частное решение уравнения (2.23) и, кроме того, подстановка в это уравнение должна превратить его в тождество. Вычисляем необходимые производные по времени от :  ,  .После подстановки в (2.23) получаем:  .Полученное равенство будет выполняться при любом значении , если  ,откуда  .Подставляя найденное значение в (2.25), находим искомое частное решение неоднородного уравнения:  .Общее решение уравнения (2.23) имеет окончательный вид  .В амплитудной форме  .Решение (2.29) показывает, что колебания в рассматриваемом случае слагаются из: 1) колебаний с амплитудой и частотой , называемых собственными колебаниями; 2) колебаний с амплитудой и частотой , которые называются вынужденными колебаниями. Постоянные интегрирования и , или и определяются по начальным условиям: , . Предварительно найдем  .Подставляя эти значения в выражения для и при , получаем  ,  .Отсюда  ,  .Амплитуда собственных колебаний и начальная фаза через и выражается формулами ,   .Следовательно, амплитуда и начальная фаза собственных колебаний при действии возмущающей силы зависят не только от начальных условий, но и от параметров этой силы, то есть собственные колебания в этом случае могут возникнуть не только из-за начальных условий, но и благодаря действию возмущающей силы даже при нулевых начальных условиях. Рассмотрим вынужденные колебания, определяемые формулой Частота этих колебаний, как видно, равна частоте возмущающей силы, амплитуда  .В зависимости от соотношения между частотами вынужденные колебания можно выразить в двух формах: при ,при  .Следовательно, при фаза вынужденных колебаний совпадает с фазой возмущающей силы. В этом случае сдвиг фаз между ними равен нулю, то есть вынужденные колебания и возмущающая сила достигают одновременно максимальных и минимальных значений. При сдвиг фаз . Действительно, сдвиг фаз как разность фаз между возмущающей силой и вынужденными колебаниями  .В этом случае вынужденные колебания находятся в противофазе по отношению к возмущающей силе, то есть, в частности, если возмущающая сила достигает максимума, то функция достигает минимума и наоборот. Итак, вынужденные колебания системы без сопротивления при , возбуждаемые гармонической возмущающей силой: 1) являются гармоническими колебаниями с постоянной амплитудой; 2) их частоты совпадают с частотой возмущающей силы; 3) они не зависят от начальных условий. 2. Случай резонанса. Резонансом называется случай совпадения частот собственных колебаний и возмущающей силы, т. е.когда . Как и в предыдущем случае, дифференциальное уравнение движения определяется уравнением и оно имеет общее решение . Здесь общее решение однородного уравнения ,по-прежнему имеет вид .А вот частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде  ,-рассматривается случай . Постоянная определяется из условия, что при подстановке в рассматриваемое неоднородное дифференциальное уравнение это уравнение обращается в тождество. Вычисляем производные:  ; и подставляем значения и в уравнение :   ,или  .Приравнивая коэффициенты при синусе в левой и правой частях этого уравнения:  . Получаем, что частное решение  ,а искомое общее решение уравнения  .Уравнение показывает, что движение точки при резонансе является результатом наложения свободных и вынужденных колебаний точки, так же, как и при . Рассмотрим вынужденные колебания при резонансе  .Основной особенностью этих колебаний является зависимость их амплитуды от времени  .Амплитуда вынужденных колебаний при резонансе увеличивается пропорционально времени. Частота и период вынужденных колебаний при резонансе равны частоте и периоду свободных колебаний точки. Фаза вынужденных колебаний отстает от фазы возмущающей силы величину |