шпоры тонкм. 1. Выражения и их тождественные преобразования

• Название: 1. Выражения и их тождественные преобразования
• Дата: 25.02.2023
• Размер: 72.82 Kb.
• Имя файла: шпоры тонкм.docx
• Тип: Решение; #954186
• страница: 1 из 4

1.Выражения и их тождественные преобразования.Записи 3+7 ; 24:8; 3x2-4 ­­ - называют числовыми выражениями. Они образуются из чисел, знаков действий и скобок. Если выполнить все действия , указанные в выражении, то получим число, которое называют значением числового выражения. В математике, описывая решение задачи, говорят, что выполнялись тождественные преобразования выражений. Замену выражения другим, тождественно равным ему на некотором множестве, называют тождественным преобразованием данного выражения. Так, заменив выражение 5(x+2) на тождественно равное ему выражение 5х+10, мы выполнили тождественное преобразование. В начальном курсе математики выполняют только тождественные преобразования числовых выражений. Теоретической основой таких преобразований являются свойства сложения и умножения , различные правила : прибавление суммы к числу, числу к сумме и др.

2. Числовые равенства и неравенства.Пусть а и b – два числовых выражения. Соединим их знаком равенства. Получим предложение а=b, которое называют числовым равенством. Числовое равенство- ето высказывание, истинное или ложное. Числовое равенство истинно, если значения числовых выражений стоящих в левой и правой частях равенства, совпадают. Некоторые свойства истинных числовых равенств: 1) если к обеим частям истинного числового равенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство. 2) если обе части истинного числового равенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство. Пусть а и b – два числовых выражения . Соединим их знаком < или >. Получим предложение a>b( a
3.Методика ознакомления с числовыми и буквенными выражениями.

В математике под выражением понимают построенную по определённым правилам последовательность математических символов, обозначающих числа и действия над ними.Выражения вида: 6; 3+2; 8:4+(7-3) - числовые выражения;вида: 8-а; 30:в; 5+(3+с) - *буквенные выражения *(выражения с переменной).В методике работы над числовыми выражениями предусматривается три этапа: на первом этапе - формирование понятий о простейших выражениях (сумма, разность, произведение, частное двух чисел); на втором этапе - о выражениях, содержащих два и более арифметических действия одной ступени; на третьем этапе - о выражениях, содержащих два и более арифметических действия разных ступеней.С простейшими выражениями - суммой и разностью - учащихся знакомят в первом классе (по программе 1-4) с произведением и частным - во втором классе.Впервые с переменной учащиеся знакомятся в 3 кл. при изучении темы «Выражение и его значение». Работа по раскрытию смысла переменной ведётся в тесной связи с изучением арифметических действий. В процессе обучения дети должны научиться читать и записывать выражения с одной и двумя переменными вида: а+27, а+в, с-12, с-d, 3•в, 15:с, в:с и т.д., научиться находить значения этих выражений при заданных значениях букв.

4)Уравнения с одной переменной.Пусть f(x) и g(x) - два выражения с переменной x и областью определения X. Тогда высказывательную форму вида f(x)=g(x) называют уравнением с одной переменной. Значение переменной х из множества Х, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство , называется корнем уравнения.

Решить уравнение-это значит найти множество его корней. При решении уравнений с одной переменной используются след. следствия:1)если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.2)если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.Чтобы решить какое-либо уравнение, его сначала путём преобразований заменяют другим , более простым; полученное уравнение вновь с помощью преобразований заменяют более простым и т.д. Этот процесс продолжают до тех пор ,пока не получат уравнение , корни которого можно найти известным способом. Но чтобы ети корни были корнями заданного уравнения, необходимо, чтобы в процессе преобразований получились уравнения, множества корней которых совпадают. Такие уравнения называют равносильными

5. Неравенство с одной переменной.Пусть f(х) и q(х) - два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда неравенство вида f(х) < q(х) или f(х) > q(х) называется неравенством с одной переменной. Мно­жество Х называется областью его определения.Значение переменной х из множества X, при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением.Решить неравенство - это значит найти множество его решений.В основе решения неравенств с одной переменной лежит понятие равносильности.Два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны.Например, неравенства 2х+7>10и 2х>3 равносильны, так как их множества решений равны и представляют собой промежуток Виды неравенств с одной переменной.Линейное неравенство – это неравенство вида ax+b , где а и b – некоторые числа.-Квадратное неравенство – это неравенство вида  , где  , b и c – некоторые числа.-Дробно-рациональное неравенство – это неравенство вида где

P(x) и Q(x) – многочлены/

6.Решение уравнений с одной переменной. Пусть f(x) и g(x) - два выражения с переменной x и областью определения X. Тогда высказывательную форму вида f(x)=g(x) называют уравнением с одной переменной. При решении уравнений с одной переменной используются след. следствия: 1)если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному. 2)если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной)перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному. Два уравнения f'(x)=g’(x) и f’’(x)=g’’(x) называют равносильными, если множества их корней совпадают.

7. Решение неравенств с одной переменнойПусть f(х) и q(х) - два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда неравенство вида f(х) < q(х) или f(х) > q(х) называется неравенством с одной переменной. Мно­жество Х называется областью его определения. Значение переменной х из множества X, при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением. Решить неравенство - это значит найти множество его решений. Неравенство с одной переменной можно решить алгебраическим методом, используя правила решения неравенств; графическим методом, используя графики простейших функций; методом интервалов. Алгебраический метод.Правила решения неравенств с одной переменной.-Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному. -Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получим неравенство, равносильное данному.-Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, поменяв при этом знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.Графический метод. Этот способ используется, когда неравенство имеет степень, отличной от 1. Это связано с тем, что для линейного неравенства этот способ является аналогом геометрического изображения решений на координатной прямой. Подробно рассмотрим этот способ при разборе методов решения квадратных, дробно-рациональных, кубических неравенств.Метод интервалов.Этот метод используется в случае, когда одна из частей неравенства представлена в виде произведения двучленов (или в виде дроби), а другая часть равна 0.

8.Методика ознакомления с равенствами и неравенствами​. Ознакомление с равенствами и неравенствами в начальных классах непосредственно связывается с изучением нумерации и арифметических действий. Сравнение чисел осуществляется сначала на основе сравнения множеств, которое выполняется, как известно, с по​мощью установления взаимно однозначного соответствии. Этому способу сравнения учат детей в подготовительный период и в начале изучения нумерации чисел первого десятка. Попутно выполняется счет эле​ментов множеств и cpавнение полученных чисел (кругов 7, треугольников 4), кругов больше, чем треугольников, 7 боль​ше, чем 4) В дальнейшем при сравнении чисел учащиеся определяют их место в натуральном ряду: 9 меньше, чем 10, по​тому что при счёте число 9 называют перед числом 10 и т.д. Установленные отношения записываются с помощью знаков «>», « <», «=», учащиеся упражняются в чтении равенств и неравенств. Впоследствии при изучении нумерации чисел в пределах 100, 1000, нумерации многозначных чисел сравнение чисел осуществляется на основе сопоставления их по месту в натуральном ряду, либо на основе разложения чисел по деся​тичному составу и сравнения соответствующих разрядных чисел, начиная с высшего разряда (75>48, так как 7 десятков больше, чем 4 десятка; 75>73, так как десятков поровну, а единиц в первом числе больше, чем во втором). Сравнение величин сначала выполняется с опорой на сравнение самих предметов по данному свойству, а потом осу​ществляется на основе сравнения числовых значений величин, для чего заданные величины выражаются в одинаковых еди​ницах измерения. Сравнение величин вызывает трудности у уча​щихся, поэтому, чтобы научить этой операции, надо системати​чески в 1-4 классах предлагать разнообразные задания.

9)Методика ознакомления с линейным уравнением.Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти.Линейным уравнением называется уравнение вида  ax+b=0, в котором a и b — действительные числа.Знакомство с уравнениями происходит при решении задачи с числами:к неизвестному числу прибавили 3 и получили 8.Найти неизвестное число.По данной задаче составляется пример с неизвестным числом: _ + 3 = 8. Затем учитель поясняет, что в математике принято обозначать неизвестное число латинскими буквами. Дается чтение и запись одной из букв. Предлагается обозначить неизвестное число буквой и прочитать пример. Ставится цель – научиться решать данные примеры: х + 3 = 8. Эти уравнения дети решают подбором. Вместо неизвестного подставляют одно за другим числа из множества чисел данных учителем, пока не найдут такое, которое подходит:х + 3 = 8х = 5 Учитель поясняет, что такие примеры называются уравнениями.Позднее, когда учащиеся усвоят знания связей между результатом и компонентами арифметических действий, уравнения начинают решать на основе знаний правил нахождения неизвестного компонента:х + 25 = 36Алгоритм:Читаю уравнение: первое слагаемое – неизвестно, второе – 25, сумма равна 36.Вспоминаю правило: чтобы найти 1 слагаемое надо из суммы вычесть 2 слагаемое.Вычисляю: 36 – 25 = 11.Проверяю: подставляю .., решаю…Уравнение решено.Затем включаются уравнения вида х + 10 = 30 – 7; х + (45-17) = 40.Для решения таких уравнений необходимо знание порядка действий в выражениях, а также умение выполнять простейшие преобразования выражений.Наиболее сложными являются уравнения, в которых один из компонентов – выражение, содержащее неизвестное число, например: (12-х)+10=18, т.к. при решении уравнений данной структуры приходится дважды применять правила нахождения неизвестных компонентов.

10. Изучение правил о порядке выполнения действий.Для удобства принятия решения о последовательности выполнения действий их разделили на две ступени: первая ступень — сложение и вычитание, вторая ступень — умножение и деление.При нахождении значения выражения действия выполняются в следующем порядке: 1. В выражении отсутствуют скобки, и оно включает в себя действия только одной ступени, то тогда все операции выполняются по порядку слева направо. 2. Если в выражении отсутствуют скобки, и присутствуют действия двух ступеней. Тогда в первую очередь выполняются действия второй ступени, а во вторую действия первой ступени.Правило слева направо при выполнении действий одинаковой ступени выполняется.3. Если выражение содержит скобки, то действия в скобках выполняются в первую очередь. Остальные действия выполняются в соответствии с правилами 1. и 2.

11)Тождественные преобразования выражений.Как известно, записи 3+7, 24:8, 3х2-4,(25+3)x2-17 называют числовыми выражениями. Они образуются из чисел, знаков действий и скобок.Если выполнить все действия, указанные в выражении, то получим число, которое называют значением числового выражения. Так, значение числового выражения 3x2-4 равно 2.Существуют числовые выражения, значения которых нельзя найти. Про такие выражения говорят, что они не имеют смысла. Например, выражение 8:(4-4) смысла не имеет, поскольку его значение найти нельзя: 4-4=0, а деление на нуль невозможно. Не имеет смысла и выражение 7-9, если рассматривать его на множестве натуральных чисел, так как на этом множестве значение выражения 7-9 найти нельзя. Рассмотрим запись 2а+3. Она образована из чисел, знаков действий и буквы а.В записи 2а+3 такую букву а называют переменной, а саму запись 2а+3 -выражением с переменной. Если f и g -числовые выражения, то (f) + (g), (f) - (g), (f) х (g), (f) : (g) - числовые выражения. Считают, что каждое число является числовым выражением. Два выражения называют тождественно равными, если при любых значениях переменных из области определения выражений их соответственные значения равны. Если два тождественно равных на некотором множестве выражения соединить знаком равенства, то получим предложение, которое называют тождеством на этом множестве. Замену выражения другим, тождественно равным ему на некотором множестве, называют тождественным преобразованием данного выражения на этом множестве.

12)Равносильность уравнений и неравенств.Уравнения, имеющие одно и то же множество Корней, называются равносильными. Уравнения, не имеющие корней, также являются равносильными.Из определения равносильнлсти уравнений следует, что два уравнения равносильны, если каждый корень первого уравнения является корнем второго, и наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем первого уравнения.Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число не равное нулю. При этих преобразованиях исходное уравнение заменяется на равносильное ему уравнение. Если при переходе от одного уравнения к другому потери корней не происходит, то второе уравнение называют следствием первого уравнения. Иначе если все корни первого уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения. При решении уравнений главное не потерять корни, а наличие посторонних корней можно установить проверкой. Поэтому важно следить за тем чтобы при преобразовании уравнения каждое следующее уравнение было следствием предыдущего. Посторонние корни могут получиться при умножении обеих частей уравнения на выражение содержащее неизвестное. Потеря корней может произойти при делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное.Неравенство имеющее одно и то же множество решений называют равносильными. Неравенства не имеющие решений также называют равносильными.

13.Задачи изучения геометрического материала в начальном курсе обучения математике.Основные задачи изучения геометрического материала в 1-4 классах заключаются в том, чтобы создать у детей четкие и правильные геометрические образы, развить пространственные представления, вооружить их навыками черчения и измерения. Задача развития у младших школьников геометрических представлений, способности к обобщению состоит в том, чтобы научить их видеть геометрические образы в окружающей обстановке, выделять их свойства, конструировать, преобразовывать и комбинировать фигуры, изображать их на чертеже, выполнять в необходимых случаях измерения.В соответствии с программой начальных классов дети знакомятся с прямой линией, отрезком, измерением и вычерчиванием отрезков, с их разностным и кратким сравнением, с углами (прямой, тупой, острый), с прямоугольником, квадратом и их свойствами, с вычислениями их периметров и площадей, с геометрическими телами: кубом и прямоугольным параллелепипедом; с их некоторыми свойствами, с вычислением их объемов.Общее направление, в котором должно проходить изучение геометрического материала формулировано в объяснительной записке к программе: «процесс изучения геометрического материала» должен быть от начала до конца активным, конкретным, наглядным. Обучение следует сопровождать практическими упражнениями при этом учащиеся будут воспринимать не только готовые геометрические фигуры и тела, они сами будут воспроизводить и создавать изучаемые геометрические формы.

14 . Ознакомление с точкой, прямой и кривой линиями. Линия- это множество точек , у неё измеряют только длину, ширину а толшину не имеет .Точка- это геометрическая форма , размерами которой можно приобречь. Точка обозначается цифрой или заглавной (большой) латинской буквой. Несколько точек — разными цифрами или разными буквами, чтобы их можно было различать.Прямая — это самая простая геометрическая фигура, которая не имеет ни начала, ни конца.Слова «не имеет ни начала, ни конца» говорят о том, что прямая бесконечна.-Через две точки можно провести единственную прямую.-Две прямые могут пересекаться только в одной точке.-Через одну точку можно провести бесконечное множество прямых.-Способы обозначения прямых-Строчной латинской буквой:a-Двумя заглавными латинскими буквами в том случае, если этими буквами обозначены точки, расположенные на прямой: A B-Кривая линия - это множество точек пространства, координаты которых являются функциями одной переменной.Ломаные и кривые линии могут быть замкнутыми и незамкнутыми. Замкнутая линия – это линия, у которой начало совпадает с концом.