10 ТЕМА. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 10. обыкновенные дифференциальные уравнения содержание 1
![]()
|
2-й тип. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 4. Решить уравнение ![]() Положим ![]() ![]() это линейное уравнение первого порядка относительно функции ![]() Решаем его подстановкой ![]() ![]() ![]() Получим ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Функция ![]() Исходное уравнение (9) решалось подстановкой ![]() ![]() Интегрируя, получим ![]() общее решение уравнения (9). Пример 5. Найти частное решение уравнения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными относительно функции р. Разделим переменные: ![]() Интегрируя, получим ![]() ![]() ![]() Используем второе начальное условие ![]() ![]() Следовательно, ![]() а после интегрирования ![]() Применим первое начальное условие ![]() ![]() Искомым частным решением будет ![]() Еще одним типом уравнений, допускающих понижение порядка, является уравнение вида ![]() 3-й тип ![]() т. е. уравнение, не содержащее явно независимую переменную х. Здесь порядок уравнения понижается на единицу путем следующей замены: ![]() где ![]() Здесь р – новая вспомогательная функция, а у играет роль независимой переменной. Тогда ![]() ![]() Заметим, что вторая производная ![]() Подставив выражения ![]() ![]() уравнение первого порядка относительно р как функции от у. Пример 6. Найти общее решение уравнения ![]() Полагаем ![]() ![]() это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Приведя его к виду ![]() ![]() ![]() ![]() Так как исходное уравнение (11) решалось с помощью подстановки ![]() ![]() ![]() ![]() Но так как ![]() ![]() ![]() ![]() т.е. ![]() или ![]() ![]() Пример 7. Найти частное решение уравнения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Разделив уравнение на ![]() ![]() Это линейное уравнение первого порядка относительно функции ![]() Решаем его подстановкой ![]() ![]() Тогда ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Интеграл справа берем по частям с помощью подстановки ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда ![]() ![]() Таким образом, ![]() Тогда функция ![]() Таким образом, ![]() ![]() Найдем значение ![]() ![]() ![]() Таким образом ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Заметим, что константа ![]() ![]() ![]() ![]() Найдем с из первого начального условия ![]() ![]() Искомое частное решение имеет вид ![]() Обратимся к весьма важным дифференциальным уравнениям, особенно часто встречаемым во всевозможных приложениях математики, именно к линейным уравнениям. Определение. Дифференциальное уравнение второго порядка называется линейным, если оно первой степени (линейно) относительно искомой функции у и ее производных ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() называется линейным однородным д.у.II с постоянными коэффициентами. При ![]() ![]() Сформулируем теорему о структуре общего решения однородного линейного д.у.II с постоянными коэффициентами ![]() Теорема 1. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения ![]() имеет вид ![]() где ![]() ![]() ![]() т. е. ![]() Например, функции ![]() ![]() Функции ![]() ![]() Из теоремы 1 следует: чтобы найти общее решение уравнения (14), достаточно найти два частных решения этого уравнения. Вид уравнения (14) показывает, что частные решения этого уравнения следует искать прежде всего среди таких функций, которые в алгебраическом смысле подобны своим производным. Известно, что среди элементарных функций этим свойством обладает показательная функция, в частности экспонента. Поэтому, следуя русскому математику Эйлеру, будем искать частные решения уравнения (14) в виде ![]() где ![]() Так как ![]() ![]() ![]() Так как ![]() ![]() Таким образом, функция ![]() ![]() ![]() ![]() Так, для дифференциального уравнения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |