10 ТЕМА. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 10. обыкновенные дифференциальные уравнения содержание 1
 Скачать 1.72 Mb.
|
|
2-й тип.  т. е. уравнения, в которые явно не входит сама искомая функция у. Решаются такие уравнения подстановкой  где  вспомогательная функция. Тогда  Подставив  в данное уравнение, получим уравнение  – дифференциальное уравнение первого порядка.Пример 4. Решить уравнение  (9)Положим  и уравнение примет вид – (10)это линейное уравнение первого порядка относительно функции  Решаем его подстановкой  где   Получим        Функция  Исходное уравнение (9) решалось подстановкой  Поэтому Интегрируя, получим  –общее решение уравнения (9). Пример 5. Найти частное решение уравнения  удовлетворяющее начальным условиям  Применим подстановку   Получим уравнение  .Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными относительно функции р. Разделим переменные:  Интегрируя, получим   Откуда  Используем второе начальное условие  получим Следовательно,  а после интегрирования  Применим первое начальное условие  получим Искомым частным решением будет  Еще одним типом уравнений, допускающих понижение порядка, является уравнение вида  3-й тип  т. е. уравнение, не содержащее явно независимую переменную х. Здесь порядок уравнения понижается на единицу путем следующей замены:  где  Здесь р – новая вспомогательная функция, а у играет роль независимой переменной. Тогда  т. е.  Заметим, что вторая производная  получена по правилу дифференцирования сложной функции.Подставив выражения  в данное уравнение, получим –уравнение первого порядка относительно р как функции от у. Пример 6. Найти общее решение уравнения  (11)Полагаем  получим  – (12)это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Приведя его к виду  и интегрируя, получим    Так как исходное уравнение (11) решалось с помощью подстановки  получим  дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно искомой функции у от х .  Но так как  произвольные постоянные,   также произвольные постоянные. Поэтому полученный общий интеграл данного дифференциального уравнения можно записать в виде т.е.  или   Пример 7. Найти частное решение уравнения  при начальных условиях  Применим подстановку  Тогда Получим уравнение первого порядка: Разделив уравнение на  получим Это линейное уравнение первого порядка относительно функции  Решаем его подстановкой   Тогда           Интеграл справа берем по частям с помощью подстановки     Тогда   Таким образом,  Тогда функция  Таким образом,  , или  Найдем значение  из начальных условий   Таким образом         Заметим, что константа  может быть обозначена как с, т. к.  – произвольная константа  тоже произвольная постоянная. Таким образом, Найдем с из первого начального условия   Искомое частное решение имеет вид  Обратимся к весьма важным дифференциальным уравнениям, особенно часто встречаемым во всевозможных приложениях математики, именно к линейным уравнениям. Определение. Дифференциальное уравнение второго порядка называется линейным, если оно первой степени (линейно) относительно искомой функции у и ее производных  . Линейное уравнение второго порядка имеет вид (13) где  – либо функции от х, либо постоянные. Функция  , стоящая в правой части уравнения, называется правой частью уравнения. Будем рассматривать линейные д.у. II только с постоянными коэффициентами , т. е.   . При  уравнение  (14) называется линейным однородным д.у.II с постоянными коэффициентами. При  уравнение  называется неоднородным д.у. II с постоянными коэффициентами (или уравнением с правой частью). Сформулируем теорему о структуре общего решения однородного линейного д.у.II с постоянными коэффициентами (14).Теорема 1. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид  где  две произвольные постоянные;  два частных решения уравнения (14), линейно независимых. Заметим, что два решения:  – называются линейно независимыми, если их отношение не является постоянным,т. е.  Например, функции  линейно независимы, т. к.  Функции  линейно зависимы, т. к. Из теоремы 1 следует: чтобы найти общее решение уравнения (14), достаточно найти два частных решения этого уравнения. Вид уравнения (14) показывает, что частные решения этого уравнения следует искать прежде всего среди таких функций, которые в алгебраическом смысле подобны своим производным. Известно, что среди элементарных функций этим свойством обладает показательная функция, в частности экспонента. Поэтому, следуя русскому математику Эйлеру, будем искать частные решения уравнения (14) в виде  где  Так как  подстановка выражений  в уравнение (14) приводит его к виду (15)Так как  при любом r, должно иметь место тождество (16)Таким образом, функция  действительно удовлетворяет уравнению (14) (является его решением), если число r является корнем уравнения (16). Уравнение (16) называется характеристическим уравнением. Для составления его по данному дифференциальному уравнению (14) нужно заменить функцию y единицей, а производные  соответствующими степенями  при этом сохранить коэффициенты  Так, для дифференциального уравнения  характеристическим будет уравнение  Для уравнения  – уравнение  Для всякого линейного однородного д.у. II с постоянными коэффициентами  характеристическим является алгебраическое уравнение второй степени  (16) (квадратное уравнение). |