10 ТЕМА. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 10. обыкновенные дифференциальные уравнения содержание 1
 Скачать 1.72 Mb.
|
|
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка Линейное неоднородное уравнение отличается от однородного функцией в правой части. Линейное неоднородное уравнение имеет вид  а соответствующее ему линейное однородное уравнение –  которое, как известно, решается с помощью характеристического уравнения (16)  Сформулируем теорему о структуре общего решения неоднородного уравнения (13). Теорема 2. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения равно сумме какого-либо частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения. Пусть y– общее решение уравнения (13)  какое-либо частное решение уравнения (13), общее решение соответствующего однородного уравнения (14) Тогда  Таким образом, основная задача при решении неоднородного линейного д.у. II состоит в нахождении какого-либо частного решения. Укажем один из методов нахождения частного решения неоднородного уравнения , когда правая часть уравнения  имеет специальный вид. К таким функциям относятся следующие функции: экспонента  многочлены n-й степени относительно переменной х  тригонометрические функции  а также их произведения.Метод неопределенных коэффициентов Этот метод иначе называется методом подбора частного решения  уравне-ния (13) по виду правой части  . Пусть правая часть уравнения имеет вид  т. е. представляет собой произведение экспоненты на многочлен, где  многочлен n-й относительно х. Тогда возможны следующие случаи.Число  не является корнем характеристического уравнения (16) В этом случае частное решение нужно искать в виде  где  многочлен той же степени, что и данный многочлен  , но с неопределенными коэффициентами.Число есть простой (однократный) корень характеристического уравнения (т. е. совпадает с одним корнем характеристического уравнения). В этом случае частное решение нужно искать в виде  .Число есть двукратный корень характеристического уравнения (т. е. совпадает с двумя равными корнями характеристического уравнения). В этом случае частное решение нужно искать в виде  Неизвестные (неопределенные) коэффициенты многочлена  находим из условия, что функция является решением уравнения (13), т. е. удовлетворяет этому уравнению.Рассмотрим примеры, на которых покажем не только принцип применения метода, но и порядок оформления решения. № 1. Найти общее решение уравнения  1) Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:    2) Запишем общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения:  3) Запишем формулу, по которой следует искать частное решение данного уравнения. Для этого сравним правую часть уравнения  с общим видом правой части:   – многочлен второй степени с коэффициентами 24; 16; –15. В данном случае показательная функция  , т. е.  Так как  не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения  , частное решение нужно искать в виде   многочлен второй степени  , неизвестные (неопределенные) коэффициенты А, В, С этого многочлена нужно найти, подставив выражения  в данное уравнение.4) Запишем столбиком:  Слева указаны коэффициенты 12, 7, 1, на которые следует умножить , чтобы получить левую часть уравнения В левой части получим многочлен второй степени с неопределенными коэффициентами, который должен быть равен данному многочлену второй степени в правой части. Два многочлена будут равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях х. Запишем столбиком полученные уравнения:  .Получили систему трех уравнений с тремя неизвестными коэффициентами А, В, С. Решив ее, найдем  .Частное решение:  5). Общее решение данного уравнения:  или  № 2. Найти общее решение уравнения  1)  2)  3) Сравним правую часть данного дифференциального уравнения  с Отметим, что  совпадает с одним корнем характеристического уравнения; многочлен – число 3 – нулевой степени, т. е.  . Поэтому частное решение следует искать в виде  4) Запишем  Подставив выражения  с указанными коэффициентами в данное дифференциальное уравнение, получим или  откуда  Частное решение:  5) Искомое общее решение данного уравнения:  № 3.    3) Сравним правую часть данного уравнения  с Отмечаем, что  совпадает с одним корнем характеристического уравнения и многочлен х степени  Поэтому частное решение следует искать в виде 4) Так как требуется найти  удобнее записать в виде Запишем  столбиком: Подставим выражения  с указанными коэффициентами в данное уравнение. Получим равенство Разделим уравнение на  и упростим:     Частное решение:  Общее решение дифференциального уравнения:  Пусть правая часть уравнения (13) имеет вид  где  – постоянные числа. Тогда вид частного решения определяется следующим образом.а) Если число  не есть корень характеристического уравнения (16), то частное решение имеет вид где А и В – постоянные неопределенные коэффициенты. б) Если число есть корень характеристического уравнения (16), то Сделаем важное замечание. Даже тогда, когда в правой части уравнения стоит выражение, содержащее только  или только  следует искать частное решение в том виде, в каком оно было указано, т. е. с синусом и косинусом. Иными словами, из того, что правая часть не содержит или не следует, что частное решение уравнения не содержит этих функций.Пример № 1. Решить уравнение  1)    2)  3) Сравним правую часть уравнения  с  . Здесь  Так как числа  не являются корнями характеристического уравнения, частное решение следует искать в виде  4) Найдем  и запишем столбиком Подставив эти выражения в данное дифференциальное уравнение, получим   или  Приравниваем коэффициенты при  в левой и правой частях уравнения, получим систему уравнений:  Частное решение:  Общее решение данного дифференциального уравнения:  |