|
10 ТЕМА. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 10. обыкновенные дифференциальные уравнения содержание 1
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
второго порядка Линейное неоднородное уравнение отличается от однородного функцией в правой части. Линейное неоднородное уравнение имеет вид
а соответствующее ему линейное однородное уравнение –
которое, как известно, решается с помощью характеристического уравнения (16)
Сформулируем теорему о структуре общего решения неоднородного уравнения (13).
Теорема 2. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения равно сумме какого-либо частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения.
Пусть y– общее решение уравнения (13)
какое-либо частное решение уравнения (13),
общее решение соответствующего однородного уравнения (14)
Тогда
Таким образом, основная задача при решении неоднородного линейного д.у. II состоит в нахождении какого-либо частного решения.
Укажем один из методов нахождения частного решения неоднородного уравнения , когда правая часть уравнения имеет специальный вид. К таким функциям относятся следующие функции: экспонента многочлены n-й степени относительно переменной х тригонометрические функции а также их произведения. Метод неопределенных коэффициентов
Этот метод иначе называется методом подбора частного решения уравне-ния (13) по виду правой части .
Пусть правая часть уравнения
имеет вид т. е. представляет собой произведение экспоненты на многочлен, где многочлен n-й относительно х. Тогда возможны следующие случаи.
Число не является корнем характеристического уравнения (16)
В этом случае частное решение нужно искать в виде
где многочлен той же степени, что и данный многочлен , но с неопределенными коэффициентами.
Число есть простой (однократный) корень характеристического уравнения (т. е. совпадает с одним корнем характеристического уравнения). В этом случае частное решение нужно искать в виде . Число есть двукратный корень характеристического уравнения (т. е. совпадает с двумя равными корнями характеристического уравнения). В этом случае частное решение нужно искать в виде Неизвестные (неопределенные) коэффициенты многочлена находим из условия, что функция является решением уравнения (13), т. е. удовлетворяет этому уравнению.
Рассмотрим примеры, на которых покажем не только принцип применения метода, но и порядок оформления решения.
№ 1. Найти общее решение уравнения
1) Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:
2) Запишем общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения:
3) Запишем формулу, по которой следует искать частное решение данного уравнения. Для этого сравним правую часть уравнения
с общим видом правой части:
– многочлен второй степени с коэффициентами 24; 16; –15.
В данном случае показательная функция , т. е. Так как не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения , частное решение нужно искать в виде
многочлен второй степени , неизвестные (неопределенные) коэффициенты А, В, С этого многочлена нужно найти, подставив выражения в данное уравнение.
4) Запишем столбиком:
Слева указаны коэффициенты 12, 7, 1, на которые следует умножить , чтобы получить левую часть уравнения В левой части получим многочлен второй степени с неопределенными коэффициентами, который должен быть равен данному многочлену второй степени в правой части. Два многочлена будут равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях х. Запишем столбиком полученные уравнения:
. Получили систему трех уравнений с тремя неизвестными коэффициентами
А, В, С. Решив ее, найдем .
Частное решение:
5). Общее решение данного уравнения:
или
№ 2. Найти общее решение уравнения
1)
2)
3) Сравним правую часть данного дифференциального уравнения с Отметим, что совпадает с одним корнем характеристического уравнения; многочлен – число 3 – нулевой степени, т. е. . Поэтому частное решение следует искать в виде
4) Запишем
Подставив выражения с указанными коэффициентами в данное дифференциальное уравнение, получим
или
откуда Частное решение:
5) Искомое общее решение данного уравнения:
№ 3.
3) Сравним правую часть данного уравнения с
Отмечаем, что совпадает с одним корнем характеристического уравнения и многочлен х степени Поэтому частное решение следует искать в виде
4) Так как требуется найти удобнее записать в виде
Запишем столбиком:
Подставим выражения с указанными коэффициентами в данное уравнение. Получим равенство
Разделим уравнение на и упростим:
Частное решение:
Общее решение дифференциального уравнения:
Пусть правая часть уравнения (13)
имеет вид
где – постоянные числа. Тогда вид частного решения определяется следующим образом.
а) Если число не есть корень характеристического уравнения (16), то частное решение имеет вид
где А и В – постоянные неопределенные коэффициенты.
б) Если число есть корень характеристического уравнения (16), то
Сделаем важное замечание. Даже тогда, когда в правой части уравнения стоит выражение, содержащее только или только следует искать частное решение в том виде, в каком оно было указано, т. е. с синусом и косинусом. Иными словами, из того, что правая часть не содержит или не следует, что частное решение уравнения не содержит этих функций.
Пример № 1. Решить уравнение
1)
2)
3) Сравним правую часть уравнения с . Здесь Так как числа не являются корнями характеристического уравнения, частное решение следует искать в виде
4) Найдем и запишем столбиком
Подставив эти выражения в данное дифференциальное уравнение, получим
или
Приравниваем коэффициенты при в левой и правой частях уравнения, получим систему уравнений:
Частное решение:
Общее решение данного дифференциального уравнения:
|
|
|