10 ТЕМА. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 10. обыкновенные дифференциальные уравнения содержание 1
 Скачать 1.72 Mb.
|
|
10. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Содержание 1. Основные понятия и определения……………………………………… 4 Дифференциальные уравнения первого порядка……………………… 6 Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и способы их решений………………………………………………….. 7 Уравнения с разделяющимися переменными…………………………. 7 Однородные дифференциальные уравнения первого порядка………. 10 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка…………. 14 Уравнения, приводящиеся к линейным (уравнения Бернулли)……… 17 Дифференциальные уравнения второго порядка……………………... 19 Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка…………………………………………………….. 20 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка…………. 26 Решение квадратных уравнений……………………………………….. 28 Решение однородных линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами……………………………………… 30 Примеры решения однородных линейных дифференциальных уравнений высших порядков…………………………………………... 32 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка………………………………………………………… 34 Метод неопределенных коэффициентов……………………………… 34 7. Контрольные задания…………………………………………………… 41 8. Примеры решения задач из контрольного задания…………………… 46 Библиографический список……………………………………………. 55 Решение многих задач естествознания, техники, экономики приводит к нахождению неизвестных функций, описывающих рассматриваемые явления или процессы, когда известны соотношения, связывающие между собой эти функции и их производные. Такие соотношения называются дифференциальными уравнениями. Рассмотрим конкретную задачу о потоке научной информации, приводящую к дифференциальному уравнению. Задача. При исследовании роста информационных потоков в науке (числа научных публикаций) исходят из допущения, что скорость роста  пропорциональна достигнутому уровню y числа публикаций, т. е.  , где  константа, характеризующая отклики на публикации в той или иной области.Уравнение  является дифференциальным уравнением. Его решением является экспонента  , где с – некоторая постоянная.1. Основные понятия и определения Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию  и ее производные различных порядков. Например:1)  2)  3)  т. е. дифференциальное уравнение может содержать производные  или дифференциалы  независимой переменной и функции.Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Так, в рассмотренных примерах первое и второе уравнения – уравнения первого порядка, третье – второго порядка. Определение. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция  , удовлетворяющая этому уравнению (т. е. функция, которая обращает данное уравнение в тождество).Пример. Показать, что функция  является решением дифференциального уравнения  Решение. Для функции находим первую  и вторую  производные. Подставляя выражения  в исходное уравнение, получаем тождество  что и доказывает, что функция – решение дифференциального уравнения Нетрудно убедиться, что решениями этого уравнения являются и все функции вида  где с – произвольная постоянная. Действительно,   Подставляя в уравнение, получаем тождество Таким образом, дифференциальному уравнению удовлетворяет бесконечная система функций – его решений. Для выделения одной из них должны быть заданы так называемые начальные условия. Для д. у.1 начальные условия будут такими: известно значение функции  при заданном значении независимой переменной  Записываются в виде или  Для уравнений второго порядка начальных условий будет два: ;  Определение. Решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям, называется частным решением дифференциального уравнения. Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши. Пример. Легко проверить, что функции вида  являются решениями дифференциального уравнения (проверьте самостоятельно).Зададим начальные условия  Из формулы решений выделим соответствующее частное решение. Для этого в решение подставим  Получим уравнение  для вычисления постоянной с. В данном случае  Подставив найденное значение  в решение , получим  – искомое частное решение.Рассмотрим различные типы дифференциальных уравнений и методы их решения. 2. Дифференциальные уравнения первого порядка Так как дифференциальное уравнение первого порядка (условимся в дальнейшем писать д.у.1) содержит независимую переменную х, функцию y и ее производную  , общий вид д.у.1 будет выглядеть как  . (1)Если уравнение (1) решить относительно производной , то оно может быть записано в виде  . (2)Так как  , из выражения (2)  можно перейти к форме  . (3)Например, дифференциальное уравнение  можно записать в виде  затем, разделив уравнение на  получим или  . Наконец, можно получить  . Таким образом, формы записи дифференциальных уравнений (1) – (3) равноправны, можно пользоваться любой из удобных для решения. Определение. Общим решением д .у.1 называется функция  , которая зависит от одной произвольной постоянной с и1) удовлетворяет данному д .у.1 при любом значении с; 2) каково бы ни было начальное условие  , можно найти такое значение  при котором функция  удовлетворяет начальному условию. Например, для д .у.1  общим решением является функция  Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию  Для этого подставим в общее решение  значение  Получим  откуда  Подставим найденное значение  в общее решение; – это искомое частное решение. Таким образом, всякое частное решение получается из формулы общего решения при конкретном значении с.3. Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и способы их решения Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными Простейшим д .у.1 является уравнение вида  Как известно из курса интегрального исчисления, функция y находится интегрированием  Определение. Уравнение вида  называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными. Его можно записать в виде Проинтегрируем обе части уравнения, получим так называемый общий интеграл (или общее решение). Пример.  Решение. Запишем уравнение в виде  Проинтегрируем обе части уравнения:   (общий интеграл дифференциального уравнения).Определение. Уравнение вида  называется уравнением с разделяющимися переменными, если функции  можно представить в виде произведения функций , ,т. е. есть уравнение имеет вид  Чтобы решить такое дифференциальное уравнение, нужно привести его к виду дифференциального уравнения с разделенными переменными, для чего разделим уравнение на произведение  Действительно, разделив все члены уравнения  на произведение  ,получим  – дифференциальное уравнение с разделенными переменными. Для решения его достаточно почленно проинтегрировать  При решении дифференциального уравнения с разделяющимися переменными можно руководствоваться следующим алгоритмом (правилом) разделения переменных. Первый шаг. Если дифференциальное уравнение содержит производную , ее следует записать в виде отношения дифференциалов:  Второй шаг. Умножим уравнение на  , затем сгруппируем слагаемые, содержащие дифференциал функции и дифференциал независимой переменной  .Третий шаг. Выражения, полученные при  , представить в виде произведения двух множителей, каждый из которых содержит только одну переменную ( ). Если после этого уравнение примет вид   то, разделив его на произведение  , получим дифференциальное уравнение с разделенными переменными. |