10 ТЕМА. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 10. обыкновенные дифференциальные уравнения содержание 1
![]()
|
10. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Содержание 1. Основные понятия и определения……………………………………… 4 Дифференциальные уравнения первого порядка……………………… 6 Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и способы их решений………………………………………………….. 7 Уравнения с разделяющимися переменными…………………………. 7 Однородные дифференциальные уравнения первого порядка………. 10 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка…………. 14 Уравнения, приводящиеся к линейным (уравнения Бернулли)……… 17 Дифференциальные уравнения второго порядка……………………... 19 Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка…………………………………………………….. 20 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка…………. 26 Решение квадратных уравнений……………………………………….. 28 Решение однородных линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами……………………………………… 30 Примеры решения однородных линейных дифференциальных уравнений высших порядков…………………………………………... 32 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка………………………………………………………… 34 Метод неопределенных коэффициентов……………………………… 34 7. Контрольные задания…………………………………………………… 41 8. Примеры решения задач из контрольного задания…………………… 46 Библиографический список……………………………………………. 55 Решение многих задач естествознания, техники, экономики приводит к нахождению неизвестных функций, описывающих рассматриваемые явления или процессы, когда известны соотношения, связывающие между собой эти функции и их производные. Такие соотношения называются дифференциальными уравнениями. Рассмотрим конкретную задачу о потоке научной информации, приводящую к дифференциальному уравнению. Задача. При исследовании роста информационных потоков в науке (числа научных публикаций) исходят из допущения, что скорость роста ![]() ![]() ![]() Уравнение ![]() ![]() 1. Основные понятия и определения Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию ![]() 1) ![]() 2) ![]() 3) ![]() т. е. дифференциальное уравнение может содержать производные ![]() ![]() Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Так, в рассмотренных примерах первое и второе уравнения – уравнения первого порядка, третье – второго порядка. Определение. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция ![]() Пример. Показать, что функция ![]() ![]() Решение. Для функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, дифференциальному уравнению удовлетворяет бесконечная система функций – его решений. Для выделения одной из них должны быть заданы так называемые начальные условия. Для д. у.1 начальные условия будут такими: известно значение функции ![]() ![]() ![]() ![]() Для уравнений второго порядка начальных условий будет два: ![]() ![]() Определение. Решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям, называется частным решением дифференциального уравнения. Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши. Пример. Легко проверить, что функции вида ![]() ![]() Зададим начальные условия ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рассмотрим различные типы дифференциальных уравнений и методы их решения. 2. Дифференциальные уравнения первого порядка Так как дифференциальное уравнение первого порядка (условимся в дальнейшем писать д.у.1) содержит независимую переменную х, функцию y и ее производную ![]() ![]() Если уравнение (1) решить относительно производной ![]() ![]() Так как ![]() ![]() можно перейти к форме ![]() Например, дифференциальное уравнение ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Наконец, можно получить ![]() Таким образом, формы записи дифференциальных уравнений (1) – (3) равноправны, можно пользоваться любой из удобных для решения. Определение. Общим решением д .у.1 называется функция ![]() 1) удовлетворяет данному д .у.1 при любом значении с; 2) каково бы ни было начальное условие ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 3. Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и способы их решения Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными Простейшим д .у.1 является уравнение вида ![]() ![]() Определение. Уравнение вида ![]() ![]() Проинтегрируем обе части уравнения, получим так называемый общий интеграл (или общее решение). Пример. ![]() Решение. Запишем уравнение в виде ![]() ![]() ![]() Определение. Уравнение вида ![]() ![]() ![]() ![]() т. е. есть уравнение имеет вид ![]() Чтобы решить такое дифференциальное уравнение, нужно привести его к виду дифференциального уравнения с разделенными переменными, для чего разделим уравнение на произведение ![]() ![]() ![]() получим ![]() Для решения его достаточно почленно проинтегрировать ![]() При решении дифференциального уравнения с разделяющимися переменными можно руководствоваться следующим алгоритмом (правилом) разделения переменных. Первый шаг. Если дифференциальное уравнение содержит производную ![]() ![]() Второй шаг. Умножим уравнение на ![]() ![]() Третий шаг. Выражения, полученные при ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |