Шпоргалка математика. 2. Пусть имеем два ряда с положительными членами (2) и (3). Теорема 1
 Скачать 326.99 Kb.
|
| 18. Вычисление тройного интеграла Предположим, что пространственная область V, ограниченная замкнутой поверхностью S, обладает следующими свойствами: 1. Всякая прямая, параллельная оси OZ, проведенная через внутреннюю точку области V , пересекает поверхность S в двух точках. 2. Вся область V проектируется на плоскость ХОУ в правильную область D. 3. Всякая часть области V, отсеченная плоскостью, параллельной и любой из координатных плоскостей, также обладает свойствами 1, 2. Область V, обладающую указанными свойствами, будем называть правильной трехмерной областью. Пример – эллипсоид, тетраэдр. Пусть поверхность, ограничивающая область V снизу, имеет уравнение:  , а сверху –  . Пусть область D – проекция области V на плоскость ХОУ – ограниченна линиями:  . Введем понятие трехкратного интеграла от функции  по области V:  . В результате интегрирования по z в квадратных скобках, получится функция от х и у. Далее вычисляем двойной интеграл по области D . Теорема. Тройной интеграл от  по правильной области равен трехкратному интегралу по этой же области, т.е.  .Свойства тройного интеграла: 1. Если область V разбита на области  и  плоскостью, параллельной какой – либо из плоскостей координат, то тройной интеграл по области V равен сумме тройных интегралов по областям  . 2. Если m и М – наименьшее и наибольшее значение функции в области V, то  , где V – объем данной области. 3.  , где V – объем области. 4. Если в тройном интеграле положить  . | 12. Рассмотрим в плоскости XOY замкнутую область D, ограниченную линией L. Пусть в области D задана непрерывная функция  . Разобьем область D на n частей:  называемых площадками. Через  обозначим и площади площадок. В каждой из площадок возьмем точку  . Обозначим через  значения функции в выбранных точках и составим сумму произведении вида  . Эта сумма называется интегральной суммой для функции  – объем цилиндра, построенного на как на основании с высотой  .Теорема 1. Если  непрерывна в замкнутой области D, то существует предел последовательности (2) интегральных сумм (1), если max диаметр площадок  , который не зависит ни от способов разбиения области D, ни от выбора точек  . Этот предел называется двойным интегралом от функции  по области D и обозначается:   , D – область интегрирования. Если  – объему тела, ограниченного поверхностью  , плоскостью  и цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны  , а направляющей служит граница области D.Теорема 2. Двойной интеграл от суммы двух функций  по области D равен сумме двойных интегралов по области D от каждой из функций в отдельности. Теорема 3. Постоянный множитель можно вынести за знак двойного интеграла:  Теорема 4. Если область D разбита на две области  без общих внутренних точек и функция.Теорема 5. (теорема о среднем).  Теорема 6. Если во всех точках области D удовлетворяет неравенствам  , где S – площадь области D. | 17. Понятие тройного интеграла Пусть в пространстве задана область V, ограниченная замкнутой поверхностью S. Пусть в области V и на ее границе определена непрерывная функция (если – то можно рассматривать плотность распределения вещества в области V). Разобьем область V на n областей  произвольным образом, причем – это и объем этой области. В пределах каждой частичной области выберем произвольную точку и составим интегральную сумму  . Перейдем к пределу, т.е.  , чтобы и  , тогда для непрерывной функции существует предел интегральных сумм, который не зависит ни от способа разбиения области, ни от выбора точек Это предел обозначается символом  и называется тройным интегралом, т.е.  . Если считать – объемной плотностью распределения вещества в области V, то тройной интеграл даст массу вещества в области V.11. Имеется формула Тейлора для функции  , имеющий производные до  включительно, в окрестности точки  Если  имеет производные всех порядков в окрестности точки  , то в формуле Тейлора число n можно брать сколь угодно большим. Допустим, что  , тогда, переходя в формуле Тейлора к пределу при , получим справа бесконечный ряд, Тейлора:  . Если в формуле ряда Тейлора положить  , то получим ряд Маклорена:  . Для каждой элементарной функции существуют  , такие, что в интервале  она разлагается в ряд Тейлора (или Маклорена). | 16. Пусть в полярной системе координат  задана такая область D, что каждый луч, проходящий через внутреннюю точку области, пересекает границу области не более чем в двух точках. D ограничена кривыми  . Такую область называют правильной.Пусть в области D задана непрерывная функция  Разобьем D на площадки  и составим интегральную сумму  Из теоремы существования двойных интегралов следует, что при  существует предел V интегральной суммы:  Т.к. предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения D, то разобьем D с помощью лучей  и концентрических окружностей:   Обозначим через  площадку, ограниченную линиями  Если площадка пересекается границей или не лежит в D, то их не учитываем  . Интегральная сумма  где  – произвольная точка площадки . Найдем площадь . Она равна разности площадей двух секторов: ощадь  . Тогда интегральная сумма:    . Предположим, что  . Теперь пусть  – формула для вычисления двойного интеграла в полярных координатах. Если область D является правильной в полярных координатах, то  . | 13. Пусть область D такова, что всякая прямая, параллельна, одной из координатных осей, например, оси  и проходящая через внутреннюю точку области D пересекает границу области в двух точках. Предположим, что область ограничена линиями:  причем  и функции  и  непрерывны на отрезке  . Такая область называется правильной в направлении оси . Аналогично, определяется область, правильная в направлении оси  . Область, правильную как в направлении оси . так и оси , называют правильной.Пусть непрерывна в области D. Рассмотрим  , который будем называть двукратным интегралом от по области D. В этом выражении сначала вычисляется определенный интеграл, стоящий в скобках, при этом считаем, что  получаем функцию  далее вычисляем определенный интеграл  , который равен постоянному числу.Пусть область D такова, что одна из функций  не может быть задана одним аналитическим выражением на всем участке  Теорема. Двойной интеграл от непрерывной функции по правильной области D равен двукратному интегралу от этой функции по области D:  Замечание 1. Пусть правильная в направлении оси OX область D ограниченная линиями   . Для вычисления двойного интеграла его надо представить в виде двукратного. В каждом конкретном случаи надо выбрать формулу (1) или (2) в зависимости от вида области и подынтегральной функции . |
| 1. Пусть задана бесконечная последовательность чисел  . Выражение  (1) называется числовым рядом. Числа , называются членами ряда. Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда:  Рассмотрим частичные суммы:  . Если существует конечный предел  , то его называют суммой ряда (1) и говорят, что ряд сходится. Если  не существует, то ряд расходится и суммы не имеет. Теорема 1. Если сходится ряд, полученный из данного ряда (1) отбрасыванием нескольких его членов, то сходится и сам данный ряд. Обратно, если сходится данный ряд, то сходится и ряд, полученный из данного ряда отбрасыванием нескольких членов. Теорема 2. Если ряд  сходится и его сумма равна S, то ряд  тоже сходится и его сумма =Sc.Теорема 3. Если ряды и  сходятся и их суммы равны соответственно  и  , то ряды  и  тоже сходятся и их суммы равны  и  соответственно.Теорема. Если ряд сходится, то его n-й член стремится к нулю при неограниченном возрастании n. |