Шпоргалка математика. 2. Пусть имеем два ряда с положительными членами (2) и (3). Теорема 1

Название	2. Пусть имеем два ряда с положительными членами (2) и (3). Теорема 1
Анкор	Шпоргалка математика
Дата	16.03.2021
Размер	326.99 Kb.
Формат файла
Имя файла	shpory_matan.docx
Тип	Документы #185318
страница	4 из 5

1 2 3 4 5

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного (или бесконечного) промежутка. Пусть Х – дискретная случайная величина, возможными и единственными значениями которой являются х₁, х₂, х₃,…, х_n. Обозначим через

вероятность этих значений, т.е. р_i есть вероятность того, что Х принимает значения x_i. События Х = х_i образует полную группу, поэтому

Закон распределения дискретных случайных величин – соответствие между всеми значениями дискретных случайных величин и их вероятностями. Обычно его записывают в виде таблицы:

Значение (Х)	X1	X2	…	Xn
Вероятность значения (р)	P1	P2	…	Pn

Если множество xi – бесконечно, то ряд

- сходится.

32.33. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства

Закон распределения полностью описывает случайную величину, однако иногда выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно – это числовые характеристики величин. Рассмотрим математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Пусть дискретная случайная величина принимает значения

с вероятностями

, тогда

. Если дискретная случайная величина X принимает счетное множество возможных значений, то

, причем М(Х) существует, если ряд сходится абсолютно. М(Х) – неслучайная (постоянная) величина. Свойства М(Х)

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной, т.е

.

С имеет одно значение, равное С, с вероятностью

. Определим произведение постоянной С на Х как дискретную случайную величин

, возможные значения которой равны произведениям С на возможные значения Х. Вероятность

равна вероятностям Х. Например, если

имеет вероятность

, то

имеет также вероятность

.

2.

. М(Х) – константу можно выносить за знак математического ожидания. Пусть случайная дискретная величина X задана законом распределения:

X		…		Тогда имеет закон распределения:			…
P		…		Тогда имеет закон распределения:	P		…

Случайные величины X и Y называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения принимает другая. Произведение

– случайная величина XY, возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения Х на каждое возможное значение Y. Вероятности XY равны произведению соответствующих вероятностей X и Y.

3.

, где X, Y – независимые дискретные случайные величины. Пусть законы распределения вероятностей этих величин:

X				Y
P				P

Составим значения, которые могут принимать

Закон распределения:

XY
P

Возможные значения случайной величины X + Y равна сумме возможных значений X и Y , а вероятность X+Y равна произведению вероятностей слагаемых.

Теорема. М(Х) числа появлений событий А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании p. Иначе, М(Х) биноминального распределения равно .

34. Дисперсия случайной дискретной величины и ее свойства. Легко указать случайные величины, имеющие одинаковые значения математических ожиданий, но различные возможные значения, например:

	-0.1	0.1		Y	-10	10
	0.5	0.5		P	0.5	0.5

Х имеет возможные значения, близкие к математическому ожиданию, а Y – далекие от М(Y), таким образом, М(Х) полностью не характеризует Х. Надо охарактеризовать отклонение случайной величины от M(X): отклонение – это величина X – M(X).

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю. Действительно, ,поэтому для оценки отклонения берут квадрат отклонения.

Дисперсией (рассеянием) дискретных случайных величин называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: .

Получаем:

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равной нулю.

.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

. Если

, то величина СХ имеет большие (по модулю) значения, поэтому

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин

. Докажем:

Следствие:

.

4.

. Докажем:

.

Теорема. Дисперсия числа появлений событий А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А , равна ,где . Иначе. Дисперсия биноминального распределения равна

35. Дискретная случайная величина может быть задана перечислением всех ее возможных значений и их вероятностей – законом распределения. Но его нельзя использовать для задания непрерывных случайных величин. Необходим общий способ задания случайных величин - это функция распределения вероятностей случайных величин. Пусть x – действительное число. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше x, т.е.

обозначим через

. Если x изменяется, то изменяется и

, т.е.

– функция х. Функцией распределения называют функцию , определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньше x, т.е. . Геометрически есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается точкой левее точки х.

Добавим более четкое определение непрерывной случайной величины – случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной. Свойства F(x)

Значения функции распределения принадлежат отрезку , т.е. вероятность, .
F(x) неубывающая функция, т.е. . Пусть . Событие, состоящее в том, что Х примет значение меньше , можно разделить на 2 несовместных события: