50 математичесих задач. 50 экономических задач

Название	50 экономических задач
Дата	23.03.2023
Размер	164.45 Kb.
Формат файла
Имя файла	50 математичесих задач.docx
Тип	Документы #1009659
страница	2 из 8

1 2 3 4 5 6 7 8

3.Практическое решение экономических задач.

3.1 Кредиты.

1 тип: Нахождение количества лет ( месяцев) выплаты кредита.

n-? (Аннуитетные платежи)

Задача №1

Максим хочет взять кредит 1,5 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами ( кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Максим взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 350 тысяч рублей?

Решение:

Кредит (S) 1500000 руб.

Ставка (r) 10% годовых. Введём коэффициент b=1+0,01r

Ежегодная выплата (х) ≤350000 руб.

Сколько лет (n)-?

Год	Долг с %	Платёж	Долг после выплаты
0			1500000
1 год	1500000•1,1=1650000	350000	1300000
2 год	1300000•1,1=1430000	350000	1080000
3 год	1080000•1,1=1188000	350000	838000
4 год	838000•1,1=921800	350000	571800
5 год	571800•1,1=628980	350000	278980
6 год	278980•1,1=306878	306878	0

Ответ: 6 лет.

Задача №2

1 января 2015 года Андрей Владимирович взял в банке 1,1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 3% на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 3%), затем Андрей Владимирович переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев Андрей Владимирович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 220 тыс. рублей?

Решение.

Кредит (S) 1100000 руб.

Ставка (r) 3% годовых. Введём коэффициент b=1+0,01r

Ежемесячная выплата (х) ≤220000 руб.

Сколько месяцев (n)-?

Месяц	Долг с %	Платёж	Долг после выплаты
0			1100000
1	1100000•1,03=1133000	220000	913000
2	913000•1,03=940390	220000	720390
3	720390•1,03=74200,17	220000	522001,7
4	522001,7•1,03=537661,75	220000	317661,75
5	317661,75•1,03=327191,6	220000	107191,6
6	107191,6•1,03=110407,35	110407.35	0

Ответ: 6 месяцев.

Задача №3.

1 января 2015 года Павел Витальевич взял в банке 1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1% на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Павел Витальевич переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев Павел Витальевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 125 тыс. рублей?

Решение.

Кредит (S) 1000000 руб.

Ставка (r) 1% годовых. Введём коэффициент b=1+0,01r

Ежемесячная выплата (х) ≤125000 руб.

Сколько лет –(n)-?

Месяц	Долг с %	Платёж	Долг после выплаты
0			1000000
1 месяц	1000000•1,01=1010000	125000	885000
2 месяц	885000•1,01=893850	125000	768850
3 месяц	768850•1,01=776538,5	125000	651538,5
4 месяц	651538,5•1,01=658053,9	125000	533053,9
5 месяц	533053,9•1,01=538384,44	125000	413384,44
6 месяц	413384,44•1,01=417518,28	125000	292518,28
7 месяц	292518,28•1,01=295443,46	125000	170443,46
8 месяц	170443,46•1,01=172147,89	125000	47147,89
9 месяцев	47147,89•1,01=47619,37	47619,37	-

Ответ: 9 месяцев.

2 тип: Вычисление процентной ставки по кредиту.

r-? (Фиксированные платежи)

Задача №1

31 декабря 2014 года Борис взял в банке 1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на определенное количество процентов), затем Борис переводит очередной транш. Борис выплатил кредит за два транша, переводя в первый раз 560 тыс. рублей, во второй – 661,1 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Борису?

Решение Кредит (S) 1000000 руб.

Введём коэффициент b=1+0,01r

1 год выплата – x₁=560000руб.

2 год выплата – x₂₌644100 руб.

r-?

Год	Долг с %	Платёж	Долг после выплаты
0			S
1 год	Sb	x₁	Sb-x₁
2 год	b(Sb-x₁₎ =Sb²-bx₁	x₂	-

Sb²-x₁b=x₂

1000000b²-560000b-644100=0

10000b²-5600b-6441=0

D=5600²+4•10000•6441=31360000+257640000=289000000

b₁=

=1,13

b₂=

=-0,57 не подходит по условию задачи.

b=1+0,01r

r=13

Ответ: 13

Задача №2.

31 декабря 2014 года Антон взял в банке 1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на определенное количество процентов), затем Антон переводит очередной транш. Антон выплатил кредит за два транша, переводя в первый раз 510 тыс. рублей, во второй – 649 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Антону?

Решение:

Кредит (S) 1000000 руб.

Введём коэффициент b=1+0,01r

1 год выплата – x₁=510000руб.

2 год выплата – x₂₌649000 руб.

r-?

Год	Долг с %	Платёж	Долг после выплаты
0			S
1 год	Sb	x₁	Sb-x₁
2 год	b(Sb-x₁₎ =Sb²-bx₁	x₂	-

Sb²-x₁b=x₂

1000000b²-510000b-649000=0

10000b²-5100b-649=0

D=5100²+4•10000•649=260100+2596000=2856100

b₁=

=1,1

b₂=

=-0,59 не подходит по условию задачи.

Ответ: r =10

Задача№3.

31 декабря 2014 года Арсений взял в банке 1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на определённое количество процентов), затем Арсений переводит очередной транш. Арсентий выплатил кредит за два транша, переводя в первый раз 550 тыс. рублей, во второй – 638,4 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Арсению?

Решение:

Кредит (S) 1000000 руб.

Введём коэффициент b=1+0,01r

1 год выплата – x₁=550000руб.

2 год выплата – x₂₌638400 руб.

r-?

Год	Долг с %	Платёж	Долг после выплаты
0			S
1 год	Sb	x₁	Sb-x₁
2 год	b(Sb-x₁₎ =Sb²-bx₁	x₂	-

Sb²-x₁b=x₂

1000000b²-550000b-638400=0

10000b²-5500b-6384=0

D=5500²+4•10000•6384=30250000+255360000=285610000

b₁=

=1,12

b₂=

=-0,57 не подходит по условию задачи.

Ответ: r=12.

3 тип: Нахождение суммы кредита.

S-? (Аннуитетные платежи)

Задача №1.

31 декабря 2014 года Сергей взял в банке некоторую сумму в кредит под 12% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на 12%), затем Сергей переводит в банк 3512320 рублей. Какую сумму взял Сергей в банке, если он выплатил долг тремя равными платежами ( то есть за три года)?

Решение:

Ставка (r) - 12% , b=1,12

Ежегодная выплата (х) - 3512320 рублей

Количество лет (n) 3 года

Сумма кредита (S) -?

Год	Долг с %	Платёж	Долг после выплаты
0			S
1 год	Sb	х	Sb-x
2 год	b(Sb-x)= Sb²-xb	х	Sb²-xb-x
3 год	b(Sb²-xb-x )=Sb^3_ хb²-xb	х	-

Sb^3_ хb²-xb =x

Sb³-(1+b+b²)x=0

S=

Ответ: 8436000рублей.

Задача №2.

31 декабря 2014 года Игорь взял в банке некоторую сумму в кредит под 13% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на 13%), затем Игорь переводит в банк 5107600 рублей. Какую сумму взял Игорь в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами ( то есть за два года)?

Решение:

Ставка (r) - 13%, b=1,13

Ежегодная выплата (х) - 5107600 рублей

Количество лет (n) 2 года

Сумма кредита (S) -?

Год	Долг с %	Платёж	Долг после выплаты
0			S
1 год	Sb	х	Sb-x
2 год	b(Sb-x)= Sb²-xb	х	-

Sb²-xb=x

Sb²-(1+b)x=0

S=

Ответ: 8520000 рублей.

Задача№3.

31 декабря 2014 года Михаил взял в банке некоторую сумму в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на 10%), затем Михаил переводит в банк 2928200 рублей. Какую сумму взял Михаил в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами ( то есть за четыре года)?

Решение:

Ставка (r) - 10%

b=1,1

Ежегодная выплата (х) - 2928200 рублей

Количество лет (n) 4 года

Сумма кредита (S) -?

Год	Долг с %	Выплата	Долг после выплаты
0			S
1 год	Sb	x	Sb-x
2 год	(Sb-x)b=Sb²-xb	x	Sb²-xb-x
3 год	(Sb²-xb-x)b=Sb³-x b²-xb	x	Sb³-x b²-xb-x
4 год	(Sb³-x b²-xb-x)b= Sb⁴-xb³-xb²-xb	x	Полная выплата - остаток 0

Sb⁴-xb³-xb²-xb =x

Sb⁴-(1+b+b²⁺ b³)x=0

S=

Ответ: 9282000 рублей.

4 тип: Нахождение ежегодного ( ежемесячного) транша.

1 2 3 4 5 6 7 8