50 математичесих задач. 50 экономических задач

Название	50 экономических задач
Дата	23.03.2023
Размер	164.45 Kb.
Формат файла
Имя файла	50 математичесих задач.docx
Тип	Документы #1009659
страница	3 из 8

1 2 3 4 5 6 7 8

х-? (Аннуитетные платежи)

Задача №1.

31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9282000рублей в кредит по 10% годовых. Схема выплат кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами ( то есть за четыре года)?

Решение:

Сумма кредита (S)- 9282000рубля

Ставка (а)=10%, b=1,1

Количество лет (n) 4 года

Ежегодная выплата ( транш) Х -?

Год	Долг с %	Выплата	Долг после выплаты
0			S
1 год	Sb	x	Sb-x
2 год	(Sb-x)b=Sb²-xb	x	Sb²-xb-x
3 год	(Sb²-xb-x)b=Sb³-x b²-xb	x	Sb³-x b²-xb-x
4 год	(Sb³-x b²-xb-x)b= Sb⁴-xb³-xb²-xb	x	Полная выплата - остаток 0

Sb⁴-xb³-xb²-xb =x

Sb⁴-(b+b²+b³)x=x

Sb⁴-(1+b+b²+b³)x=0

X=

Ответ: 2928200 рублей.

Задача №2.

31 декабря 2014 года Иван взял в банке 4230000 рублей в кредит по 11,5% годовых. Схема выплат кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 11,5%), затем Иван переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Иван выплатил долг двумя равными платежами ( то есть за два года)?

Сумма кредита (S)- 4230000рубля

Ставка (а)=11,5%, b=1,115

Количество лет (n) 2 года

Ежегодная выплата ( транш) Х -?

Год	Долг с %	Платёж	Долг после выплаты
0			S
1 год	Sb	х	Sb-x
2 год	b(Sb-x)= Sb²-xb	х	-

Sb²-xb=x

Sb²-(1+b)x=0

X=

Ответ: 2486450рублей.

Задача №3.

31 декабря 2014 года Павел взял в банке 6327000 рублей в кредит по 12% годовых. Схема выплат кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12%), затем Павел переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Павел выплатил долг тремя равными платежами ( то есть за три года)?

Решение:

Сумма кредита (S)- 6327000 рубля

Ставка (а)=12%,b=1,12

Количество лет (n) 3 года

Ежегодная выплата ( транш) Х -?

Год	Долг с %	Платёж	Долг после выплаты
0			S
1 год	Sb	х	Sb-x
2 год	b(Sb-x)= Sb²-xb	х	Sb²-xb-x
3 год	b(Sb²-xb-x )=Sb^3_ хb²-xb	х	-

Sb^3_ хb²-xb =x

Sb³-(b²-b)x=x

Sb³-(1+b+b²)x=0

X=

Ответ: 2634240 рублей.

5 тип: Нахождение разницы. (Аннуитетные платежи)

Задача №1.

31 декабря 2014 года Федор взял в банке 6951000рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплат кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Федор переводит в банк платеж. Весь долг Федор выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

Решение: Сумма кредита (S) – 6951000 рублей

Ставка (r) -10%, b=1,1

3 равных платежа

Год	Долг с %	Платёж	Долг после выплаты
0			S
1 год	Sb	х	Sb-x
2 год	b(Sb-x)= Sb²-xb	х	Sb²-xb-x
3 год	b(Sb²-xb-x )=Sb^3_ хb²-xb	х	-

Sb³- хb²-xb=x

Sb³-(b²+b+1)x=0

X=

2 равных платежа

Год	Долг с %	Платёж	Долг после выплаты
0			S
1 год	Sb	х	Sb-x
2 год	b(Sb-x)= Sb²-xb	х	-

Sb²-xb=x

Sb²-(1+b)x=0

X=

За три года: 2795100

3=8385300

За два года:4005100

2=8010200

Разница: 8385300-8010200=375100

Ответ: на 375100 рублей.

Задача №2.

31 декабря 2014 года Степан взял в банке 4004000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплат кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Степан переводит в банк платеж. Весь долг Степан выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

Решение: Сумма кредита (S) – 4004000 рублей

Ставка (r) -20%, b=1,2

3 равных платежа

Год	Долг с %	Платёж	Долг после выплаты
0			S
1 год	Sb	х	Sb-x
2 год	b(Sb-x)= Sb²-xb	х	Sb²-xb-x
3 год	b(Sb²-xb-x )=Sb^3_ хb²-xb	х	-

Sb³-хb²-xb=x

Sb³-(b²+b+1)x=0

X=

2 равных платежа

Год	Долг с %	Платёж	Долг после выплаты
0			S
1 год	Sb	х	Sb-x
2 год	b(Sb-x)= Sb²-xb	х	-

Sb²-xb=x

Sb²-(1+b)x=0

X=

За 3 года выплатил: 3*1900800=5702400

За два года: 2*2620800=5241600

Разница: 5702400-5241600=460800

Ответ: 460800 рублей.

Задача №3.

31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 3689000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплат кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк платеж. Весь долг Алексей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

Решение: Сумма кредита (S) – 3689000 рублей

Ставка (r) -12,5%, b=1,125

3 равных платежа

Год	Долг с %	Платёж	Долг после выплаты
0			S
1 год	Sb	х	Sb-x
2 год	b(Sb-x)= Sb2-xb	х	Sb2-xb-x
3 год	b(Sb2-xb-x )=Sb3_ хb2-xb	х	-

Sb³-хb²-xb=x

Sb³-(b²+b+1)x=0

X=

2 равных платежа

Год	Долг с %	Платёж	Долг после выплаты
0			S
1 год	Sb	х	Sb-x
2 год	b(Sb-x)= Sb²-xb	х	-

Sb²-xb=x

Sb²-(1+b)x=0

X=

За три года: 1549125

3=4647375

За два года:2197125

2=4394250

Разница: 4647375-4394250=253125

Ответ: 253125 рублей.

6 тип: Задачи, связанные с известным остатком. (Фиксированные платежи)

Задача №1.

15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг (в процентах от кредита)	100%	90%	80%	70%	60%	50%	0%

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

Решение: S – сумма кредита

r% - годовые (ежемесячные) проценты (5%)

b=1+0,01r – коэффициент (1,05)

Месяц	Долг с %	Выплата	Долг после выплаты
15.01			S
15.02	Sb	Sb-0,9S	0,9S
15.03	0,9Sb	0,9Sb -0,8S	0,8S
15.04	0,8Sb	0,8Sb -0,7S	0,7S
15.05	0,7Sb	0,7Sb -0,6S	0,6S
15.06	0,6Sb	0,6Sb -0,5S	0,5S
15.07	0,5Sb	0,5Sb	Полная выплата - остаток 0

Общая сумма выплат:

(Sb+0,9Sb+0,8Sb+0,7Sb+0,6Sb+0,5Sb)-(0,9S+0,8S+0,7S+0,6S+0,5S)=

4,5Sb-3,5S=S(4,5b-3,5)=S(4,5*1,05-3,5)=1,225S

1 2 3 4 5 6 7 8