50 математичесих задач. 50 экономических задач

• Название: 50 экономических задач
• Дата: 23.03.2023
• Размер: 164.45 Kb.
• Имя файла: 50 математичесих задач.docx
• Тип: Документы; #1009659
• страница: 5 из 8

Решение: Сумма кредита (S) , ставка (r) -5 %, b=1,05 n=?

Месяц	Долг с %	Выплата	Долг после выплаты
0			S
1	Sb	Sb
2
n-1
n			0

Sb( )-S )=1,25S

По формуле суммы арифметической прогрессии получаем

Sb* - S* =1,25S /S

b* - =1,25

1,05*(n+1)-(n-1)=2,5

1,05n+1,05-n+1=2,5

0,05n=0,45

n=9

Ответ: 9 месяцев.

8 тип: Нестандартные задачи, связанные с кредитом.

Задача 1.

В июле 2016 года планируется взять кредит в размере 6,6 млн. руб. Условия возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года.

— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга.

— в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 6,6 млн. руб.

— суммы выплат 2020 и 2021 годов равны.

Найдите r, если в 2021 году долг будет выплачен полностью и общие выплаты составят 12,6 млн. рублей.

Решение: S=6,6

r% =? b=1+0,01r

Год	Долг с %	Выплата	Долг после выплаты
2016			S
2017	Sb	Sb-S	S
2018	Sb	Sb-S	S
2019	Sb	Sb-S	S
2020	Sb	x	Sb-x
2021	(Sb-x)b= Sb2-xb	x	0

1)Sb²-xb=x

2)3Sb-3S+2x=12,6

19,8b-19,8+2x=12,6

x=16,2-9.9b

1)6,6 b² –(16,2-9,9b)b=16,2-9,9b

6,6 b² -16,2b+9,9 b² =16,2-9,9b

16,5 b² -6,3b-16,2=0

165 b² -63b-162=0

D=63²+4•162•165=110889

b₁=1,2

b₂= -0,81не подходит по условию задачи.

Ответ: r=20.

Задача №2.

1 марта 2010 года Аркадий взял в банке кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 1 марта каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Аркадий переводит в банк платеж. Весь долг Аркадий выплатил за 3 платежа, причем второй платеж оказался в два раза больше первого, а третий – в три раза больше первого. Сколько рублей взял в кредит Аркадий, если за три года он выплатил банку 2 395 800 рублей?

Решение:

Сумма кредита (S)-?

Ставка (а)=10%, b=1,1

Количество лет (n) 3 года

Год	Долг с %	Выплата	Долг после выплаты
2010			S
2011	Sb	x	Sb-x
2012	(Sb-x)b=Sb2-xb	2x	Sb2-xb-2x
2013	(Sb2-xb-2x)b=Sb3-xb2-2xb	3х	Полная выплата - остаток 0

x+2x+3x=2395800

6x=2395800

x=399300

Sb^3_ хb²-2xb =3x

Sb³-(3+2b+b²)x=0

S=

Ответ: 1923000рублей.

Задача №3.

Анатолий решил взять кредит в банке 331000 рублей на 3 месяца под 10% в месяц. Существуют две схемы выплаты кредита.

По первой схеме банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Анатолий переводит в банк фиксированную сумму и в результате выплачивает весь долг тремя равными платежами (аннуитетные платежи).

По второй схеме тоже сумма долга в конце каждого месяца увеличивается на 10%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину (дифференцированные платежи). Какую схему выгоднее выбрать Анатолию? Сколько рублей будет составлять эта выгода?

Решение: Сумма кредита (S) – 331000 рублей

Ставка (r) -10%, b=1,1

Аннуитетные платежи.

Месяц	Долг с %	Платёж	Долг после выплаты
0			S
1 месяц	Sb	х	Sb-x
2 месяц	b(Sb-x)= Sb2-xb	х	Sb2-xb-x
3 месяц	b(Sb2-xb-x )=Sb3_ хb2-xb	х	-

Sb^3_ хb²-xb=x

Sb³-(b²+b+1)x=0



3х=399300

Дифференцированные платежи.

Месяц	Долг с %	Выплата	Долг после выплаты
0			S
1	Sb	Sb
2
3			0

Sb(1+ )-S )=2Sb-S

2*331000*1,1- 331000=331000*1,2=397200

399300 – 397200= 2100

Ответ: дифференцированные платежи, выгода 2100 рублей.

Задача №4.

Петр Иванович взял кредит на несколько лет и выплатил его равными ежегодными платежами по 200000 руб. При этом в начале каждого года сумма текущего долга увеличивалась на 10 %, а в конце года производился платёж. Если бы Петр Иванович не делал платежей, то за это время вследствие начисления процентов сумма кредита составила бы 928200 руб. На сколько лет был взят кредит? 

Решение:

Кредит (S)

Введём коэффициент b=1+0,01r

Год	Долг с %
0
1	Sb
2	Sb2
3	Sb3
n год	Sbn

Sbⁿ=928200, ставка (r) -10%, b=1,1

х= 200000рублей, аннуитетные платежи.

Год	Долг с %	Платёж	Долг после выплаты
0			S
1	Sb	х	Sb-x
2	b(Sb-x)= Sb2-xb	х	Sb2-xb-x
3	b(Sb2-xb-x )=Sb3_ хb2-xb	х	Sb3_ хb2-xb-x
n год	Sbn-xbn-1-xbn-2-…-xb2-xb	x	Полная выплата, долг равен 0

Sbⁿ-xb^n-1-xb^n-2-…-xb²-xb-x=0

Sbⁿ-x(b^n-1+b^n-2 +…+b²+b+1)=0

По формуле суммы геометрической прогрессии

b^n-1+b^n-2 +…+b²+b+1=

Sbⁿ- x =0

928200- 200000 =0

2000000 -1)=928200

=1+0,4641, =1,4641

n=4

Ответ:4 года.

3.2 Вклады.

Задача №1.

Владимир поместил в банк 3600 тысяч рублей под 10% годовых. В конце каждого из первых двух лет хранения после начисления процентов он дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу третьего года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 48,5%. Какую сумму Владимир ежегодно добавлял к вкладу?

Решение:

S=3600 тысяч – сумма вклада

r% - годовые (ежемесячные) проценты, r=10%

b=1+0,01r – коэффициент, b=1,1

n=3 года, х =? – действие

Год	Вклад с %	Действие	Вклад после действия.
0			S
1 год	Sb	+х	Sb+x
2 год	b(Sb+x)= Sb2+xb	+х	Sb2+xb+x
3 год	b(Sb2+xb+x)=Sb3_+хb2+xb	Снял вклад

Sb³+хb²+xb = 1,485S

х(b²+b) = 1,485S - Sb³

х(1,21+1,1) = 1,485S – 1,331S

2,31х = 0,154*3600

2,31х = 554,4

х = 240

Ответ: 240000.

Задача №2.

Василий кладет в банк 1 000 000 рублей под 10% годовых на 4 года (проценты начисляются один раз после истечения года) с правом докладывать три раза (в конце каждого года) на счет фиксированную сумму 133 000 рублей. Какая сумма будет на счете у Василия через 4 года? (Решение с помощью формулы суммы геометрической прогрессии)

Решение:

S=1000000 – сумма вклада

r% - годовые (ежемесячные) проценты, r=10%

b=1+0,01r – коэффициент, b=1,1

n=4 года, х =133000 – действие

Год	Вклад с %	Действие	Вклад после действия.
0			S
1 год	Sb	+х	Sb+x
2 год	b(Sb+x)= Sb2+xb	+х	Sb2+xb+x
3 год	b(Sb2+xb+x)=Sb3_+хb2+xb	+х	Sb3_+хb2+xb+х
4 год	b(Sb3_+хb2+xb+х)= Sb4_+хb3+xb2+хb	Снял вклад

Sb^4_+хb³+xb²+хb=Sb^4_+хb(b²+b+1)=