А. Л. Шелепин Глава Векторные и аффинные пространства

• Название: А. Л. Шелепин Глава Векторные и аффинные пространства
• Дата: 04.01.2022
• Размер: 0.65 Mb.
• Имя файла: diffgeоm-L-2020.pdf
• Тип: Документы; #324164
• страница: 4 из 6

? = Q ?
?
, Ё? = QЁ?, . . .
?
?
?, Ё

?, . . . , ?
(m?1)
 линейно независимы (т.к. Q  невырожденная матрица перехода).
4
В современных графических системах и форматах, таких как PostScript (а также основанные на нјм форматы Adobe Illustrator и Portable Document Format (PDF)), Scalable Vector Graphics (SVG), Metafont,
CorelDraw и GIMP для представления криволинейных форм используются сплайны Безье, составленные из кубических кривых. SVG также позволяет работать со сплайнами Безье 4-й степени.
20

O. Подвижный репер {?(t); E
1
(t), E
2
(t), . . . , E
m
(t)}, t ? I
вдоль кривой ? : I ? R
m на- зывается репером Френе кривой ?(t), если ?t ? I :
1) E
1
(t), E
2
(t), . . . , E
m
(t)
образуют ортонормированный базис пространства R
m
2) Системы векторов (E
1
(t), E
2
(t), . . . , E
i
(t))

и ( ??(t), Ё?(t), . . . , ?
(i)
(t))
порождают одни и те же подпространства V
i

, i = 1, . . . , m ? 1, положительная ориентация в которых задается базисом ( ??(t), Ё?(t), . . . , ?
(i)
(t))
3) Ориентация базиса E
1
(t), E
2
(t), . . . , E
m
(t)
положительна.
Отметим, что п. 2) можно сформулировать, используя понятие орфлага.
O. Пусть упорядоченная система векторов (a
1
, a
2
, . . . , a m
)
линейно независима. Орфлаг (ори- ентированный флаг)

V
1
?
V
2
? · · · ?
V
i
? · · · ?
V
m порожден векторами (a
1
, a
2
, . . . , a m
)
, если:
1) каждое подпространство V
i порождено векторами (a
1
, a
2
, . . . , a i
)
, т.е V
i
- линейная оболочка
(a
1
, a
2
, . . . , a i
)
;
2) ориентацию в каждом пространстве задает базис (a
1
, a
2
, . . . , a i
)
При различном упорядочивании одной и той же системы векторов мы получаем различные орфлаги. П.2 определения репера теперь можно записать так:
2) Системы векторов (E
1
(t), E
2
(t), . . . , E
m?1
(t))

и ( ??(t), Ё?(t), . . . , ?
(m?1)
(t))
порождают один и тот же орфлаг.
T. Для всякой кривой общего вида ? : I ? R
m существует единственный репер Френе.
Доказательство:
Применяя процесс ортогонализации Шмидта к линейно независимым векторам ??(t), Ё?(t),

. . . , ?
(m?1)
(t)
, получаем m ? 1 вектор репера Френе. Последний вектор задается как обоб- щенное векторное произведение E
m
= E
1
Ч E
2
Ч · · · Ч E
m?1
В случае R
3
(как и в R
2
) для построения репера не требуется ортогонализации.
E
1
=
?
?
| ?
?|
 касательный вектор ?.
E
3
=
?
? Ч Ё
?
| ?
? Ч Ё
?|
 бинормаль ?.
E
2
= E
3
Ч E
1
 нормаль ? (порядок умножения  чтобы тройка E
1
, E
2
, E
3
была правой).
E
1
, E
2
 определяют соприкасающуюся плоскость.
E
2
, E
3
 определяют нормальную плоскость.
Теорема. Пусть ? : I ? R
m
 кривая общего вида, E
1
, E
2
, . . . , E
m
 ее базис Френе.
Тогда существуют гладкие скалярные функции k
1
, k
2
, . . . , k m?1
такие, что ?t ? I:
1)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

? = | ?
?|E
1
?
E
1
= | ?
?|k
1
E
2
?
E
2
= | ?
?|(?k
1
E
1
+ k
2
E
3
)
?
E
i
= | ?
?|(?k i?1
E
i?1
+ k i
E
i+1
)
?
E
m
= | ?
?|(?k m?1
E
m?1
)
2) Кривизны k
1
, k
2
, . . . , k m?2
> 0
Матричная форма:

?
E
1
?
E
2
?
E
m
 = | ??| E
1
E
2
E
m

?
?
?
?
?
0
?k
1 0
k
1 0
0
... ?k m?1 0
k m?1 0
?
?
?
?
?
(4)
21

Доказательство.
1) Т.к. E
1
, E
2
, . . . , E
m
 базис в R
m
, то вектора ?E
1
, ?
E
2

, . . . , ?
E
m можно по нему разложить,
?
E
j
= E
k
?
k j
. Домножим это равенство скалярно на E
i
:
h ?
E
j
, E

i i = ?
k j
hE
k
, E

i i = ?
k j
?
ki
= ?
i j
(t)
(5)
? ?
l j
(t)
 гладкие функции.
Пусть X = [E
1
. . . E
m
]
 матрица, состоящая из векторов-столбцов E
j базиса Френе,

тогда ?
X = X?
. Т.к. E
j образуют ортонормированный базис, то X  ортогональная мат- рица, X
T
X = 1
m
. Дифференцируя это равенство, получим:
0
m
= ?
X
T
X + X
T
?
X = (?
T
X
T
)X + X
T

(X?) = ?
T
(X
T
X) + (X
T

X)? = ?
T
+ ?,
т.е. ?
T
= ??

- антисимметричная матрица, ?
i j
= ??
j i
Далее, пусть V
j
=
V
j
(t)

 подпространство, порожденное ??, . . . , ?
(j)
; E
j
?
V
j и его можно разложить, E
j
= ?
1
?

? + · · · + ?
j
?
(j)
, дифференцируем, ?E
j
= ?
?
1
?
? + ?
1
Ё

? + · · · + ?
j
?
(j+1)
,
т.е. ?E
j
?
V
j+1
и в его разложении E
j+2
, . . . , E

m не участвуют, ?
i j
= 0

при i > j + 1. В силу антисимметричности ? все ее элементы нулевые, кроме ?
j+1
j и ?
j j+1
Обозначим k
j
(t) =
h ?
E
j
, E
j+1
i
| ?
?(t)|
=
?
j+1
j
| ?
?(t)|

где мы воспользовались формулой (5), откуда ?
X = | ?
?(t)|XK
, где K =
?
| ?
?(t)|
- трехдиаго- нальная антисимметричная матрица в (4), состоящая из кривизн.
2)  б/д.
В R
3
имеем 2 кривизны, обозначаемые обычно как k = k
1
 кривизна, ? = k
2
 круче- ние. E
1
=
?
 касательный вектор, E
2
=
?
 вектор нормали, E
3
=
?
 вектор бинормали,
h
?

?
?

?,
?

?
i
= | ?

?|
h

?

?,

?
i
?
?
0 ?k
0
k
0
??
0
?
0
?
?
(
?,
?)
 нормальная плоскость, ортогональная ?.
(
? ,
?)
 соприкасающаяся плоскость, ортогональная ?, причем ? = const ? ? = 0.
Действительно, если ? ? 0, то
?


? = ?| ?
?|?? = 0 ?
? = const
, т.е вся кривая лежит в одной плоскости. При ? 6= 0 кривая как бы выкручивается из плоскости.
T. Кривизна и кручение кривой в R
3
находятся по формулам:
k =
| ?
? Ч Ё
?|
| ?
?|
3
,
? =
( ?
?, Ё
?,
? )
| ?
? Ч Ё
?|
2
,
(6)
где ( ??, Ё?, ...

? ) = det[ ?
? Ё
?
? ]
 смешанное произведение.
Первую формулу мы докажем ниже, основываясь на общем результате для R
m
Кривая постоянной ненулевой кривизны и кручения k 6= 0, ? 6= 0  винтовая линия.
Построение базиса Френе:
В пространстве R
2
:
? =
?
?
| ?
?|
,
? ?
?
В пространстве R
3
:
? =
?
?
| ?
?|
,
? =
?
? Ч Ё
?
| ?
? Ч Ё
?|
,
? =
? Ч
?
22

B пространстве R
m

: ( ??, Ё?, ..., ?
(m?1)
)
 ортогонализация, E
m
? ?

? Ч ... Ч ?
(m?1)
T. (инвариантность кривизны относительно движения).
Пусть Ap = p
0
+ Qp
 изометрия пространства R
m
, являющаяся движением (т.е. det Q = +1); Q
 ортогональный оператор; p
0

 точка, ??(t) = A?(t)  новая кривая, ?
E
1

, ..., ?
E
m
 ее базис Френе и ?k
1

, ..., ?
k m?1
- ее кривизны.
Тогда:
| ??

?| = | ?
?|
,
?
E
i
= QE
i
,
?
k i
= k i
Доказательство.
??
? = lim
?t?0 1
?t
(A?(t + ?t) ? A?(t)) = lim
?t?0 1
?t
(p
0
+ Q?(t + ?t) ? p
0

? Q?(t)) = Q ?
?(t)
. Далее, Ё??(t) =
Q Ё

?(t), . . . , ?
?
(m?1)

(t) = Q?
(m?1)
(t)
. Т.к. Q - ортогональный оператор, то длины не меняются. Кри- визна также не меняется:
?
k i
(t) =
hQ ?
E
i
, QE
i+1
i
| ?
?(t)|
=
h ?
E
i
, E
i+1
i
| ?
?(t)|
= k i
(t).
T. Основная теорема локальной теории кривых (б/д).
Пусть I ? R  интервал и 0 ? I. Пусть k
1
, ..., k m?1
: I ? R
m
 гладкие функции,
причем k
1
(s), . . . , k m?2
(s) > 0 ?s ? I
. Тогда ? единственная кривая общего вида единичной скорости ?(s) : I ? R
m
:
1) ?(0) = 0;
2) E
i
(0) =
e i
(где e i
 i-й вектор стандартного базиса R
m
);
3) k
1
, . . . , k m?1
 кривизны ?(s).
O. Уравнения k i
= k i
(s)
, i = 1, 2, . . . , m ? 1, называются натуральными уравнениями кривой ?(s) : I ? R
m
T. о последней кривизне (б/д).
Пусть ?(t) : I ? R
m
 кривая общего вида. Тогда следующие условия эквиваленты:
1) образ ?(t) лежит в некоторой гиперплоскости (т.е. в подпространстве, размерность ко- торого на 1 меньше размерности окружающего пространства);

2) det[ ??, Ё?, ..., ?
(m)
] = 0
;
3) k m?1
= 0
Пара векторов ??, Ё? (или получающаяся из нее ортогонализацией пара E
1
, E
2
векто- ров базиса Френе) задают соприкасающуюся плоскость. Кривизна k
1
определяется ??, Ё?.
Кривизны же k i
, i > 1, образно говоря, ответственны за выкручивание кривой из этой плоскости.
Рассмотрим для наглядности сначала кривую единичной скорости. Для нее касатель- ный вектор ? = E
1
= ?
?
, вектор главной нормали ? = E
2
= Ё
?/| Ё
?|
(т.к. | ??| = 1 = const, то
Ё
? ? ?
?
),
k
1
=
h ?
E
1
, E
2
i
| ?
?|
= h Ё
?,
Ё
?
| Ё
?|
i = | Ё
?|.
Сам вектор Ё? называется вектором кривизны кривой единичной скорости  его направле- ние совпадает с вектором главной нормали, а длина равна кривизне.
Пусть теперь ?(t)  кривая общего вида, ?(t) = ?(s(t)), где ?(s)  эквивалентная ?(t)
кривая единичной скорости,
?

?(t) = ? (s(t))| ?
?(t)|,
Ё
?(t) = ? (s(t))
d dt
| ?
?(t)| +
?
0
s

(s(t))| ?
?(t)|
2
,

?
0
s

(s) = ?
00
ss
(s).
Здесь мы учли, что мнгновенная скорость ?s(t) = | ??(t)|. Вторую формулу, дающую разло- жение Ё?(t) на касательную и нормальную компоненту (?
0
s
(s)?? (s)
как производная вектора
23

постоянной длины), мы уже использовали выше при нахождении кривизны кривых в R
2
Входящий в правую часть вектор ?
0
s

(s) = ?
00
ss
(s)
 это вектор кривизны эквивалентной кривой единичной скорости ?(s). Соответственно, вектор кривизны кривой ?(t)
w = ?
00
ss
(s(t)) =
Ё
?(t) ? ? (s(t))
d dt
| ?
?(t)|
| ?
?(t)|
2
=
Ё
?(t) ? h Ё

?(t), ?
?(t)i| ?
?(t)|
?2
?
?(t)
| ?
?(t)|
2
,
(где мы учли, что d
dt
| ?
?(t)| =

d dt h ?
?(t), ?
?(t)i
1/2

= hЁ
?(t),
?
?(t)
| ?
?(t)|
i
), а кривизна k
1
= |w| =
p| ??|
2
| Ё
?|
2
? h ?
?, Ё
?i
2
| ?
?|
3
В R
3
числитель дроби равен | ??||Ё?|p(1 ? cos
2

?) = | ?
?|| Ё

?|| sin ?| = | ?
? Ч Ё
?|
, где ?  угол между векторами ?? и Ё?, и мы получаем формулу (6).
24

Глава 3. Поверхности
џ1. Вектор-функции векторного аргумента. Дифференциал отображения
Кривые мы определили как гладкие векторные функции одного аргумента t, ?(t) =
(?
1

(t), ..., ?
m
(t))
T
, ?(t) : I ? R
m
. Естественно попытаться определить поверхности как гладкие вектор-функции нескольких аргументов. Рассмотрим отображение f : U ? R
n
?
R
m
,
f (u) = (f
1
(u), ..., f m
(u))
T
= (f
1
(u
1
, ..., u n
), ..., f m
(u
1
, ..., u n
))
T
,
f i
 координатные функции этого отображения.
O. Предел lim h?0
f (u
1 0
, ..., u i
0
+ h, ..., u n
0
) ? f (u
0
)
h
=
?f
?u i
(u
0
)
, если он существует, называет- ся частной производной отображения f : U ? R
n
? R
m в точке u
0
? U
Обозначается:
?f
?u i
(u
0
) = f
0
u i
(u
0
) = f
0
u i
|
u
0
O. Отображение f : U ? R
n
? R
m называется гладким, если у каждой координатной функции f i
существуют и непрерывны все возможные производные (сколь угодно высо- кого порядка k)
(?f i
)
k
(?u
1
)
k
1
...(?u n
)
k n
, k
1
+ ... + k n
= k
Класс гладкости C
k
 если ? непрерывные производные до k-го порядка включительно.
Геометрический смысл частных производных.
Числитель дроби  разность точек пространства R
m
, т.е. вектор, а значит производная f
0
u i
 вектор из R
m
Рассмотрим функцию ?(t) = f(u
1 0
, ..., t, ..., u n
0
), t = u i
, при фиксированных u k
0
. Это функ- ция одной переменной t, она задает кривую ?(t) : I ? R
m
, образ этой кривой лежит в обра- зе f(U) отображения f. Очевидно, частная производная f
0
u i
(u
0
) = ?
?(u i
0
)
есть касательный вектор кривой ?(t).
Поэтому вектора частных производных (и их линейные комбинации) мы будем назы- вать касательными векторами к отображению f : U ? R
n
? R
m
Поверхность U ? R
n
? R
m
, параметры u
1
, . . . , u n
Кривая I ? R ? R
m
, параметр t.
Примеры:
1. Прямая.
f (u) = q
0
+ ua
, q
0
 начальная точка, f
0
u
= a
 направляющий (он же касательный) вектор.
2. Плоскость.
f (u, v) = q
0
+ ua + vb
, a ? b, f
0
u
= a
, f
0
v
= b
 касательные векторы.
O. Отображение f : U ? R
n
? R
m называется дифференцируемым в точке u
0
? U
,
если в некоторой окрестности O(u
0
)
точки u
0
приращение f(u
0
+ h) ? f (u
0
) = df u
0
(h) +
o(u
0
, h)
, где:
1) h ? R
n такой, что u
0
+ h ? O(u
0
)
2) df u
0
 линейный оператор, действующий из R
n в R
m
(главная или линейная часть отображения f).
3) |o(u
0
, h)| ? 0
при |h| ? 0.
Линейный оператор df u
0
называется дифференциалом отображения f : U ? R
n
? R
m
25

Обозначается D
u
0
= Df (u
0
) = df u
0
Как обычно, рассмотрение локальных свойств отображения основано на замене при- ращения f в точке u
0
на дифференциал df u
0
(т.е. на его главную, или линейную часть).
Найдем матрицу оператора df u
0
. Пусть h = (h
1
, . . . , h n
)
T
,
f (u
0
+ h) ? f (u
0
) =
?
?
f
1
(u
0
+ h) ? f
1
(u
0
)
f m
(u
0
+ h) ? f m
(u
0
)
?
?
=
?
?
?
?
?
?
n
P
i=1
?f
1
?u i
h i
+ o
1
(h)
n
P
i=1
?f m
?u i
h i
+ o m
(h)
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?f
1
?u
1
?f
1
?u n
?f m
?u
1
?f m
?u n
?
?
?
?
?
?
?
h
1
h n
?
?
+ o(h)
Матрица
[df (u
0
)] =
?
?
?
?
?
?f
1
?u
1
?f
1
?u n
?f m
?u
1
?f m
?u n
?
?
?
?
?
называется матрицей Якоби или производной отображения f : U ? R
n
? R
m
. Ее столбцы  векторы частных производных (касательные векторы) отображения f.
Обозначения: [df(u
0
)] = f
0
(u
0
)
Дифференциал вектора x: df p
(
x) = [df (u
0
)][x
1
. . . x n
]
T
= x i
f
0
u i
(p)
, т.е. вектор x = x i

e i
переводится в линейную комбинацию частных производных, коэффициентами которой являются координаты исходного вектора.
џ2. Определение поверхности
O. Пусть U ? R
n
 открытая связная область. Гладкое отображение f : U ? R
n
? R
m называется n-мерной поверхностью, вложенной в R
m
, если ?p ? U ранг матрицы Якоби отображения f:
rang[f
0
(p)] = n.
Образ поверхности  множество всех точек f(U).
Поскольку rang[f
0
(p)] = rang(f
0
u
1
, ..., f
0
u n
) = n
, то в каждой точке p ? U производные отображения линейно независимы.
Необходимость условия максимальности ранга видна на следующем примере.
Пример: отображение f(u
1
, u
2
) = (u
1
? u
2
, u
1
? u
2
, u
1
? u
2
)
T
[f
0
(p)] = [f
0
u
1
, f
0
u
2
] =
?
?
1 ?1 1 ?1 1 ?1
?
?
, rang[f
0
(p)] = 1
. Это отображение не 2-мерная поверхность,
а прямая  биссектриса 1 и 7 координатных октантов.
O. Образ дифференциала поверхности f : U ? R
n
? R
m
, [df p
(
x)] = [f
0
p
][x i
]
, x = x i

e i
,
называется касательным пространством к поверхности f в точке p ? U и обозначает- ся T
p f
. (Другими словами T
p f
 это все возможные линейные комбинации касательных векторов, буква T здесь означает tangential  касательный).
Заметим, что [df p
(
e i
)] = [f
0
u i
(p)]
(i-й столбец матрицы [f
0
(p)]
), т.е. вектора стандартного базиса e
1
, ...,
e n
пространства R
n переходят в линейно независимые вектора f
0
u
1
(p), ..., f
0
u n
(p)
 вектора стандартного базиса касательного пространства T
p f
26

Рассмотрим в области U ? R
n прямые k осям координат u i
(t) = p + t
e i
. При всех возможных p они образуют координатную сеть в области U. Образы этих прямых на поверхности называются координатной сетью поверхности f : U ? R
n
? R
m или поверх- ностной системой координат.
(u
1
, ..., u n
)
 поверхностные или криволинейные координаты.
(x
1
, ..., x m
) = (f
1
(u
1
, ..., u n
), ..., f m
(u
1
, ..., u n
))
 пространственные или абсолютные ко- ординаты.
Криволинейные системы координат в R
n
Рассмотрим случай U ? R
n
? R
m при n = m. Это отображение задает не какую-либо поверхность, а криволинейные координаты в n-мерном пространстве.
Пример. Отображение f(r, ?) = (r cos ?, r sin ?)
T
связывает полярные (криволинейные)
координаты r, ? и декартовы координаты x
1
, x
2
в R
2
џ3. Примеры поверхностей (зоопарк)
1) Двумерная сфера в R
3
f (u, v) = (R cos u cos v, R cos u sin v, R sin u)
T
,