монотонна ? отображение ? биективно ? ?? = ?
?1
, производная
?
? =
1
?
?
6= 0
и конечна
•
транзитивность
K
?
? J
?
? I
,
?(?(?))
биективное отображение.
O. Кривые, связанные заменой параметра, называются эквивалентными кривыми
Соответственно, классы эквивалентных кривых иногда называют непараметризирован- ными кривыми, а конкретные вектор-функции (которые мы называем кривыми), па- раметризированными кривыми.
O. Две кривые ? : I ? R
m
, ? : J ? R
m называются положительно эквивалентными,
если они связаны заменой параметра ? : J ? I и ??(?) > 0 ?? ? J (другими словами
если замена сохраняет направление движения).
Пример. Три кривые ?(t), ?(?), ?(?) : (0, 1) ? R
2
, определенные на одном и том же интервале (0, 1):
1)?(t) = (t, t)
T
, ??(t) = (1, 1)
T
6=
0 ?t ? I
,
2)?(?) = (?
3
, ?
3
)
, ??(?) = (3?
2
, 3?
2
)
T
6=
0 ?? ? J
,
3)?(?) = (1 ? ?, 1 ? ?), ??(?) = (?1, ?1)
T
6=
0 ?? ? K
Кривые эквивалентны: t = ?(?) = ?
3
, ? : J ? I; t = ?(?) = 1 ? ?, ? : K ? I. Первые две кривые положительно эквивалентны: ??(?) = 3?
2
> 0
, ??(?) = ?1 < 0.
T. Свойство регулярности и длина кривой инвариантны относительно замены пара- метра.
Доказательство:
8
•
регулярность
Пусть ?(?(?)) = ?(?), ? регулярна (т.е. ?? 6= 0) ??
?(?) = ?0
?
(?(?)) · ??(?) 6= 0
?
?(?)
регулярна.
•
длина
? : [a, b] ? R
m
? : [a
0
, b
0
] ? R
m
?(a
0
) = a
?(b
0
) = b
`[?] =
b
0
R
a
0
| ?
?(?)|d? =
b
0
R
a
0
|
d d?
(?(?(?)))|d? =
b
0
R
a
0
|?
0
?
(?(?))| ??(?)d? =
b
R
a
|?
0
?
(t)|dt
=`[?]
џ5 Кривые единичной скорости
Итак, мы установили, что множество всех кривых разбивается на классы положительно эквивалентных кривых. Каждый представитель класса имеет один и тот же образ. Теперь мы выберем из каждого класса по одному представителю, а именно, кривую, у которой точка равномерно движется по образу кривой.
O. Кривая ? : I ? R
m называется кривой единичной скорости, если | ??| ? 1 на I.
Наглядный
образ отображения, отвечающего кривой единичной скорости: вкладываем гибкий (но нерастяжимый!) шнурок в R
m
Свойства кривых единичной скорости
1. регулярность | ??| ? 1 6= 0 2. Ё?? ?? т.к. | ??| = const (а производная вектора постоянной длины ему ?)
3. `[?] =
a+s
R
a
| ?
?|dt =
a+s
R
a
1dt = t|
a+s a
= s
, где s длина дуги.
T. Всякая регулярная кривая положительно эквивалентна некоторой кривой единич- ной скорости.
Доказательство: Пусть ?(t) : I ? R
m регулярна и t
0
? I
Длина дуги s(t) =
t
R
t
0
| ?
?(?)|d? некоторая функция от t, ?s = | ??(t)| > 0 ?
отображение s(t) взаимно однозначно ? ?s
?1
= ?(s) : J ? I,
?(s(t)) = t
,
d?
dt
=
d?
ds
?s = 1
Рассмотрим замену параметра t = ?(s) и новую кривую ?(s) = ?(?(s)), у которой пара- метр длина дуги s. ?s ? J
?
?(s) =
d?
ds
=
1
?
s
=
1
| ?
?(t)|
> 0
, т.е. ?(s) = ?(?(s)) положительно эквивалентные кривые. Далее, | ??(s)| = |?0
?
(?(s)) ??(s)| = | ?
?(t)
1
| ?
?(t)|
| = 1
, т.е. ?(s) кривая единичной скорости.
Итак, чтобы из регулярной кривой ?(t) получить кривую единичной скорости, надо заменить ее параметр на длину дуги s(t) =
t
R
t
0
| ?
?(?)|d?O. Кривая ?(s) называется натурально параметризованной, если параметром является длина дуги кривой, отсчитанная от некоторой точки этой кривой.
џ6 Касание плоских кривых
Выпишем здесь уравнения касательных при различном задании линии.
9
1. Линия образ гладкой кривой ?(t) = (x(t), y(t))
T
Уравнение: p(u) = ?(t
0
) + u ??(t
0
)
или в развернутой записи x
y
=
x
0
y
0
+ u
?
x(t
0
)
?
y(t
0
)
,
где ??(t
0
)
направляющий вектор касательной.
2. Линия график гладкой функции y = f(x), т.е. образ кривой ?(t) = (t, f(t))
T
Уравнение:
x y
=
x
0
y
0
+ u
1
f
0
(x
0
)
или, после исключения параметра u,
y = f (x
0
)+(x?x
0
)f
0
(x
0
)
3. Линия прообраз нуля функции F (x, y), F (x, y) гладкая и grad F 6= Ї0 в точках
F
?1
(0)
Дифференцируем F (x(t), y(t)) ? 0, получаем F
0
x
· ?x + F
0
y
· ?y = 0
или, что тоже самое,
< grad F, ?
?(t) >= 0
, т.е. направляющий вектор касательной перпендикулярен гради- енту.
Уравнение: F
0
x
(x
0
, y
0
)(x ? x
0
) + F
0
y
(x
0
, y
0
)(y ? y
0
) = 0
Говорят, что две
кривые касаются в некоторой точке, если они имеют в этой точке общую касательную прямую. Очевидно, касание это может быть различным какие-то кривые долго идут рядом, а какие-то сразу разбегаются в разные стороны.
O. Кривая ?(t) в т. t
0
? I
имеет с линией F
?1
(0)
касание порядка k, если для функции f (t) = F (?(t))
выполнены условия:
f (t
0
) = 0, f
0
(t
0
) = 0, . . . , f
(k)
(t
0
) = 0, f
(k+1)
(t
0
) 6= 0.
Функцию f(t) можно трактовать как меру отличия указанных кривых (при f(t) =
F (?(t)) = 0
точка ?(t) лежит на кривой F (x, y) = 0). При касании порядка k эта мера отличия есть бесконечно малая величина k-го порядка, f(t) = o(t ? t
0
)
k
Теперь мы можем дать определения соприкасающейся окружности и кривизны кривой.
O. Окружность, имеющая в некоторой точке ?(t
0
)
кривой ?(t) порядок касания не ниже второго, называется соприкасающейся. Радиус окружности R называется радиусом кривизны в точке ?(t
0
)
, а центр окружности центром кривизны в точке ?(t
0
)
Кривизна = 1/R.
џ7 Репер Френе плоской кривой
Рассмотрим плоскую регулярную кривую ?(t). В каж- r
Q
Q
Q
k
?(t)
? (t)
?(t)
Рис. 5.: Репер Френе дой точке, определяемой значением параметра t, у нее есть единичный вектор касательной ?(t) и единичный вектор нормали ?(t) (обозначения - ? от латинского tangential
(касательный) и ? от normal). Можно представить себе,
как при изменении параметра t пара (Ї?, Ї?), образующая ортонормированный базис, ползет по кривой (отсюда часто употребляемый термин подвижный репер вдоль кривой).
O. Репер (?(t); ?(t), ?(t)) называется репером Френе плоской регулярной кривой ?(t) :
I ? R
2
, если ?t ? I:
1) ?(t) сонаправлен с вектором скорости ??(t),
2) пара (?(t), ?(t)) образует ортонормированный базис положительной ориентации.
Пара (?(t), ?(t)) без начальной точки базис Френе, причем, согласно данному опре- делению |?(t)| = |?(t)| = 1, < ?(t), ?(t) >= 0.
10
Для кривой единичной скорости ?(s) (s - длина дуги) имеем: ?(s) = ??(s) = ( ?x(s), ?y(s))
T
,
?(s) = (? ?y(s), ?x(s))
T
, причем пара (?(t), ?(t)) положительно ориентирована:
?x ? ?
y
?
y
?x
=
?x
2
+ ?
y
2
= | ?
?|
2
= 1 > 0
T. Френе-Серре. Пусть ?(s) : I ? R
2
- кривая единичной скорости. Тогда существует гладкая скалярная функция k(s) : I ? R такая, что ?s ? I:
?
?
?
?
?
?
?(s) =
? (s)
?
? (s) = k(s)
?(s)
?
?(s) = ?k(s)
? (s)
Эти
уравнения называются уравнениями Френе1
. Функция k(s) называется кривизной кривой ?(s).
Доказательство:
1) |?| ? 1 ? ? ? ?? (как производная вектора постоянной длины) ? ?? k ? ? и ? скалярная функция k(s) такая, что ?? = k(s)?. Домножим последнее равенство на ?(s):
< ?
?,
? >= k(s) <
?,
? >= k(s) ? k(s)
гладкая функция как скалярное произведение гладких функций.
2) аналогично, |?| ? 1 ? ?? ? ?, ?? = m(s)?(s)
3)< ?, ? >= 0 ?< ??, ? > + < ?, ?? >= 0, подставляя из пункта 1) и 2) получаем:
< k(s)
?,
? > + <
? , m(s)
? >= 0
, k(s) + m(s) = 0 ? m(s) = ?k(s).
Матричная форма уравнений Френе:
?
?
?
?
= ? ?
0 ?k k
0
Уравнения Френе это разложение скоростей (производных векторов базиса Френе)
по базису Френе.
Т.к ??(s) = k(s)?(s), то | ??| = |k(s)|, т.е. k(s) величина скорости вращения касательного вектора. Чем больше кривизна, тем быстрее поворачиваются ее касательный и нормаль- ный векторы (они жестко связаны) при равномерном движении вдоль кривой.
Сам вектор ?? = Ё? называют вектором кривизны кривой единичной скорости его длина равна кривизне, а направление совпадает с направлением нормали ?.
Рассмотрим теперь линии постоянной кривизны.
T. Пусть ?(s) : I ? R
2
кривая единичной скорости, k(s) ее кривизна, M = ?(I)
образ кривой на плоскости. Тогда:
1) k = 0 ? M прямая или ее часть.
2) k = const 6= 0 ? M окружность радиуса
1
|k|
или ее часть.
Доказательство:
1)k = 0 ? Ё? = ?? = k? = 0. Интегрируем:
s
R
s
0
Ё
?ds = ??(s) ? ?
?(s
0
) = 0
?
?
? = const.
s
R
s
0
?
?ds = ??(s
0
)
s
R
s
0
ds = ?
?(s
0
)(s ? s
0
) = ?(s) ? ?(s
0
)
. Мы получили
1
Уравнения Френе независимо получили французские математики Жан Фредерик Френе (1816-1900) в
1847г (опубликованы в 1852г.) и Жозеф Альфред Серре (1819-1885) в 1851г. Ранее, в 1831г., эквивалентные им соотношения для скалярных произведений (вида < ??, ? >= ? < ??, ? >= k) были для трехмерных кривых получены Иоганном Бартельсом (1769-1836) во время его работы в Казанском университете.
11
?(s) = ?(s
0
) + ?
?(s
0
)(s ? s
0
)
уравнение прямой.
Обратное очевидно (два раза дифференцируем уравнение прямой, Ё? = 0 ? k = 0).
2) k = const 6= 0. Рассмотрим точку p(s) = ?(s) +
1
k
?(s).
?
p(s) =
d ds
(?(s) +
1
k
?(s)) = ??(s) +
1
k
?
?(s) =
? (s) +
1
k
(?k
? (s)) = 0
Т.е. точка p(s) = const = p
0
неподвижна ? ?(s) ? p
0
= ?
1
k
?(s)
|?(s) ? p
0
| =
1
|k|
, т.к |?(s)| = 1. Т.е. все точки кривой находятся на расстоянии 1/|k| от точки p
0
? ?(s)
окружность радиуса R =
1
k
Докажем обратное: Имеем ?(s) = p
0
? ?(s)R
уравнение окружности радиуса R.
?
?(s) = ?R ??(s) =
?
?
?
?(s) = ?1
R
? (s)
?
1
R
= k.
Радиус соприкасающейся окружности
R = |?(s
0
) ? p(s)| =
1
|k(s
0
)|
Центр соприкасающейся окружности точка p(s) = ?(s
0
) +
1
k(s
0
)
?(s
0
)
называется центром кривизны кривой ?(s) в момент s
0
Уравнения Френе произвольной плоской кривой.
Выше мы
рассматривали кривые единичной скорости, теперь перейдем к произвольным регулярным кривым.
Единичный касательный вектор кривой ?(t) : I ? R
2
? (t) =
?
?(t)
| ?
?(t)|
Пусть ?(t) = ?(s(t)), где ?(s) кривая единичной скорости.
Т.к. s(t) = R
s s
0
| ?
?(t)|dt
, то ?s(t) = | ??(t)|. Касательный вектор ?
?
(t) =
?
?
(s(t))
,
?
?
?
(t) =
?
?
?
(s(t)) ?s(t) = ??
?
(s)| ?
?(t)|
. Аналогично находим ??.
Используя уравнения Френе для кривой единичной скорости для ??
?
(s), ?
?
?
(s)
, получим:
?
?
?
?
?
?
?(t) = | ??(t)|
? (t)
?
? (t) = | ??(t)|k(t)
?(t)
?
?(t) = | ??(t)|(?k(t))
? (t)
Нахождение кривизны плоской кривой.
Кривизна плоской кривой дается формулой k =
det[ ?
? Ё
?]
| ?
?|
3
Для ее вывода найдем определитель det[ ?? Ё?]. Пусть ?(t) = ?(s(t)), где ?(s) кривая единичной скорости. Считаем, используя соотношение ?s(t) = | ??(t)| и уравнения Френе:
?
? = ?
0
s
(s(t)) ?s(t) =
? (s(t))| ??(t)|,
Ё
?(t) =
d dt
(
? (s(t))| ??(t)|) =
?
0
s
(s(t)) ?s| ??(t)| +
? (s(t))
d dt
| ?
?(t)| =
?(s(t))k| ??(t)|
2
+
? (s(t))
d dt
| ?
?(t)|,
12
Мы получили разложение вектора Ё? по базису Френе на касательную и нормальную составляющие. Далее,
det[ ?
? Ё
?] = det[| ?
?|
? , | ?
?|
2
k
? +
d dt
| ?
?(t)|
? ] = det[| ?
?|
? , | ?
?|
2
k
?] = | ?
?|
3
k det[
?
?] = | ?
?|
3
k,
откуда и следует приведенная выше формула. Отметим, что вторая формула представляет собой разложение Ё?(t) на касательную и нормальную составляющие.
Пример. Найти кривизну кривой ?(t) = (t, t
3
)
T
Эта кривая кубическая парабола, det[ ??, Ё?] = 6t, кривизна k =
6t
(1+9t
4
)
3/2
меняет знак в точке перегиба при переходе через t = 0. Если знаки кривизны в двух точках различают- ся, то в этих точках соприкасающиеся окружности (и соответственно центры кривизны)
лежат по разные стороны кривой.
Натуральные уравнения плоской кривой.
По функции кривизны k(s) и начальным условиям ?(s
0
) = (x
0
, y
0
)
и ?
0
(углу между осью
Ox и вектором ? = ?(s
0
)
кривая единичной скорости восстанавливается однозначно.
Имеем ? = ( ?x(s), ?y(s)) = (cos ?(s), sin ?(s)) вектор единичной длины. Продифферен- цируем ?? = (? sin ?(s), cos ?(s)) ??(s) = ?(s) ??(s) и сравним с уравнением Френе ?? = k(s)?,
откуда
?
?(s) = k(s).
Интегрируем:
?(s) = ?(s
0
) +
s
R
s
0
k(s)ds,
x(s) = x(s
0
) +
s
R
s
0
cos ?(s)ds,
(1)
y(s) = y(s
0
) +
s
R
s
0
sin ?(s)ds.
O. Уравнение k = k(s) или равносильные ему параметрические уравнения k = k(t),
s = s(t)
называются натуральными уравнениями кривой ?(s).
Натуральные уравнения определяют кривую с точностью до положения на плоскости
(т.е. изометрии поворотов и сдвигов).
Эволюта и эвольвента.
Рассмотрим точку P = ?(t
0
) +
1
k
?(t
0
)
. Она является центром кривизны кривой ?(t) в т.
?(t
0
)
O. Эволюта ?(t) кривой ?(t) : I ? R
2
множество всех точек, которые являются центрами кривизны кривой ?(t) (то есть множество центров всех ее соприкасающихся окружностей).
Уравнение эволюты: ?(t) = ?(t) +
1
k(t)
?(t)
O. Кривая ?(t) называется эвольвентой для кривой ?(t), если ?(t) эволюта кривой
?(t)
Упражнения.
1. Найти выражения для вычисления кривизны при задании кривой:
a) в декартовых координатах, т.е. уравнением y = y(x) [k =
y
00
(1+y
0
)
3/2
]
b) в полярных координатах ? = ?(?) [k =
? Ё
??+2 ?
?
2
+?
2
( ?
?
2
+?
2
)
3/2
].
2. Показать, что в каждой точке лемнискаты ?
2
= a
2
cos 2?
кривизна пропорциональна радиус-вектору этой точки [k = 3?/a
2
].
3. Записать натуральное уравнение окружности радиуса 5.
13
џ8 Локальное строение плоских кривых (особые точки)
Наша задача здесь описать, как ведет себя кривая в малой окрестности некоторой своей точки, и, в особенности, в окрестности своих особых точек.
Точки кривой, заданной параметрически:
Регулярная точка: ?? 6= 0.
Бирегулярная точка: Ё? ? ??.
Точка распрямления: ?? 6= 0, но Ё? k ??.
Особая точка: ?? = 0.
Можно наглядно представить, как точка ?(t) со скоростью | ??(t)|
движется по кривой,
то медленнее, то быстрее, останавливаясь в особых точках. В особых точках направление движения может остаться прежним, а может и измениться на противоположное (так на- зываемая точка возврата). Там, где кривая регулярна, направляющий вектор касательной
это ??(t). А что будет в особой точке какая там касательная, когда меняется или не меняется направление?Запишем формулу Тейлора для вектор-функции ?(t):
?(t) ? ?(t
0
) = ?
?(t
0
)
t ? t
0 1!
+ Ё
?(t
0
)
(t ? t
0
)
2 2!
+ . . . + ?(n)
(t
0
)
(t ? t
0
)
n n!
+ R
n
Здесь мы перенесли ?(t
0
)
налево, чтобы слева стоял r
r
?(t
0
)
?(t)
Рис. 6.
направляющий вектор секущей, проходящей через точ- ки ?(t), ?(t
0
)
, см. рис. 6. Предельное положение секущей прямой, проходящей через точки ?(t), ?(t
0
)
при t ? t
0
касательная прямая.
O. Определим тип точки кривой ?(t) как пару чисел
(p, q)
, где p - порядок первой отличной от нуля произ- водной ?(p)
6= 0
, а q порядок производной, следующей за p-й, не коллинеарной ?(p)
Точка
Тип
Особая: ??(t
0
) = 0
(p, q)
, p > 1
Регулярная: ??(t
0
) 6= 0
(1, q)
, q > 1
Бирегулярная: ?? ? Ё? (кривизна k 6= 0)
(1, 2)
Распрямления: ??(t
0
) 6= 0, ?? k Ё
?
(кривизна k = 0) (1, q), q > 2
Для точки типа (p, q) обозначим
?
(p)
(t
0
) = Ї
a,
?
(q)
(t
0
) = Ї
b
Разложим все векторы-производные ?(i)
(t
0
)
в формуле Тейлора по базису Їa, Їb и приведем подобные, ?(t) ? ?(t
0
) = ((t ? t
0
)
p
Скачать 0.65 Mb.