А. Л. Шелепин Глава Векторные и аффинные пространства
 Скачать 0.65 Mb.
|
? 2 ; ? 2 ) , v ? (??; ?) Южный полюс u = ? ? 2 , северный полюс v = ? 2 [f 0 (p)] = ? ? ?R sin u cos v ?R cos u sin v ?R sin u sin v R cos u cos v R cos u 0 ? ? матрица Якоби. < f 0 u , f 0 v >= 0 , т.е меридианы ортогональны параллелям; параллели u = const окружности, меридианы v = const полуокружности. Наша сфера не содержит полюсов и линий перемены дат. При u = ± ? 2 f 0 v = 0 и условие максимального ранга rang[f 0 (p)] = 2 нарушается. 2) Поверхности вращения в R 3 Вращаем заданную плоскую кривую ?(u) = (x(u), 0, z(u)) T , u ? I, вокруг оси Oz: f (u, v) = A(v)?(u) = ? ? cos v ? sin v 0 sin v cos v 0 0 0 1 ? ? ? ? x(u) 0 z(u) ? ? = (x(u) cos v, x(u) sin v, z(u)) T f (u, v) = (x(u) cos v, x(u) sin v, z(u)) T , u ? I, ?? < v < ? Проверим условие максимальности ранга [f 0 p ] : [f 0 p ] = ? ? ?x(u) cos v ?x(u) sin v ?x(u) sin v x(u) cos v ?z(u) 0 ? ? f 0 u Ч f 0 v = (? ?z(u)x(u) cos v, ? ?z(u)x(u) sin v, ?x(u)x(u)) |f 0 u Ч f 0 v | = x(u) p ?z 2 (u) + ?x 2 (u) 6= 0 регулярные точки поверхности (в этих точках ранг максимален). Условие регулярности нарушается в точках x(u) = 0 (пересечение с осью Oz) или ?z 2 (u) + ?x 2 (u) = | ? ?(u)| 2 = 0 (это особые точки кривой ?(u)). 27 3) Тор. а) Бублик получается вращением окружности ?(u) = (a + b cos u, 0, b sin u) T , f (u, v) = ((a + b cos u) cos v, (a + b cos u) sin v, b sin u) T , где u, v углы поворотов или тороидальные координаты точки f(p). б) Прямое произведение двумерных окружностей двумерная поверхность, вложенная в четырехмерное пространство f (u, v) = (a cos u, a sin u, b cos v, b sin v) T f 0 u = (?a sin u, a cos u, 0, 0) , f 0 v = (0, 0, ?b sin v, b cos v) , rang[f 0 (p)] = 2 4) Зонтик Уитни y 2 ? x 2 z = 0 горизонтальные сечения: при z < 0: x = y = 0 (ручка зонтика); при z = 0: y = 0; при z > 0: пара пересекающихся прямых вертикальные сечения: при x = ±a y 2 = a 2 z параболы ветвями вверх Параметрическое задание. Пусть x = u, z = v 2 (теперь z > 0, обломали ручку), y = uv, тогда f (u, v) = (u, uv, v 2 ) T f 0 p = ? ? 1 0 v u 0 2v ? ? , производные f 0 u , f 0 v линейно зависимы только при u = v = 0. Координатная сеть вертикальные параболы и горизонтальные пересекающиеся прямые. < f 0 u , f 0 v >= uv , т.е. координатная сеть неортогональна. Упражнения. 1) параметрическое задание цилиндра 2) параметрическое задание конуса џ4. Первая фундаментальная форма. Внутренняя геометрия поверхности Как считать длины, углы, площади, объемы на поверхности? O. Первой фундаментальной формой I p (X, Y ) поверхности f(U) : U ? R n ? R m в точке p ? U называется скалярное произведение в касательном пространстве T p f , индуцированное из окружающего пространства R m , I p (X, Y ) = hX, Y i R m , где X, Y ? T p f. Первая фундаментальная форма поверхности это симметричная билинейная форма, но часто она по старой традиции называется первой квадратичной. Обозначения: I p (X, Y ) = I(p; X, Y ) . Последнее подчеркивает зависимость скалярного произведения от точки поверхности. Каждое касательное пространство превращается в Евклидово, но при этом в каждом касательном пространстве скалярное произведение, вообще говоря, свое! Вычисление. Разложим вектора X, Y ? T p f по стандартному базису касательного пространства: 28 X = x i f 0 u i (p) , Y = y j f 0 u j (p) I p (X, Y ) = hx i f 0 u i (p), y j f 0 u j (p)i = hf 0 u i , f 0 u j ix i y j = g ij x i y j g ij = hf 0 u i , f 0 u j i метрические коэффициенты поверхности, элементы матрицы Грама [I p ] = [g ij ] матрицы 1-й фундаментальной формы. Эта матрица: 1) симметрична; 2) положительно определена (удовлетворяет критерию Сильвестра); 3) V = pdet[g ij ] объем параллелотопа, построенного на базисных векторах. O. Все свойства поверхности f(U) : U ? R n ? R m , которые могут быть выражены только через коэффициенты g ij (p) первой фундаментальной формы, называются свой- ствами внутренней геометрии поверхности. Длина кривой вдоль поверхности. Пусть: f : U ? R n ? R m поверхность, u(t) : (a, b) ? U ? R n некоторая кривая в области U ? R n , ?(t) = f (u(t)) : (a, b) ? f (U ) ? R m кривая вдоль поверхности f. По определению, длина кривой l[?]| b a = b R a | ? ?(t)|dt ? ?(t) = d dt f (u(t)) = f 0 u i (u(t)) ?u i (t) = f 0 u 1 . . . f 0 u n [ ?u 1 . . . ?u n ] T . Мы получили разложение векто- ра ??(t) по стандартному базису касательного пространства T p f , | ? ?(t)| 2 = h ? ?(t), ? ?(t)i = hf 0 u i ?u i (t), f 0 u j ?u j (t)i = ?u i (t) ?u j (t)hf 0 u i , f 0 u j i = ?u i (t) ?u j (t)g ij В результате для длины дуги получаем: l[?]| b a = b Z a q g ij ?u i (t) ?u j (t)dt = b Z a p g ij du i du j Последнее выражение удобно, когда явная параметризация неизвестна, но известно соот- ношение между дифференциалами du i (т.е. когда кривая задана изначально уравнением в поверхностных координатах). Как обычно, обозначим как s = s(t) натуральный параметр (длину дуги) кривой ?(t), s(t) = t R 0 | ? ?(?)|d? , дифференциал дуги ds = | ? ?(t)|dt = p g ij du i du j Соответственно, ds 2 = g ij du i du j квадратичная форма с той же матрицей, что и первая фундаментальная форма, отсюда и не совсем корректное название первая квадратичная форма (вместо первой фундаментальной). Углы на поверхности. Рассмотрим пару кривых вдоль поверхности f: ? 1 (t) = f (u 1 (t)), ? 2 (?) = f (u 2 (?)) Пусть они пересекаются в точке p = u 1 (t 0 ) = u 2 (? 0 ) ? U ; это означает, что они пересекаются на поверхности в точке f(p): 29 ? 1 (t 0 ) = ? 2 (? 0 ) = f (p) ? ? 1 (t 0 ) = f 0 u i (p) ?u i 1 (t 0 ) ? ? 2 (? 0 ) = f 0 u i (p) ?u i 2 (? 0 ) cos ? = h ? ? 1 (t 0 ), ? ? 2 (? 0 )i | ? ? 1 (t 0 )|| ? ? 2 (? 0 )| = g ij ?u i 1 (t 0 ) ?u j 2 (? 0 ) q g ij ?u i 1 (t 0 ) ?u j 1 (t 0 ) q g ij ?u i 2 (? 0 ) ?u j 2 (? 0 ) Объем поверхности. Объем n-мерного параллелотопа, построенного на векторах a 1 , . . . , a n : V = ? det G , где G ij = ha i , a j i матрица Грама векторов a 1 , . . . , a n Терминология: при n = 1 длина при n = 2 площадь при n ? 3 объем Соответственно, объем параллелотопа, построенного на векторах стандартного базиса ка- сательного пространства T p f V (f 0 u 1 , . . . , f 0 u n ) = pdet[g ij (p)] (иногда используется обозна- чение g = det[g ij ] ) Считаем объемы чешуек в касательном пространстве V (?u 1 f 0 u 1 , . . . , ?u n f 0 u n ) = ?u 1 . . . ?u n V (f 0 u 1 , . . . , f 0 u n ) = p det g(p)?u 1 . . . ?u n Интегральная сумма V [f ] = X p k p det g(p k ) ?u 1 . . . ?u n O. Объемом n-мерной инъективной поверхности называется число: V [f ] = Z U p det g(p) du 1 . . . du n При n = 1 имеем det g = g 11 = hf 0 t , f 0 t i = h ? ?, ? ?i , и для длины дуги кривой получаем уже известную нам формулу V (?) = R U ph ??, ??idt = R U | ? ?|dt. Криволинейные системы координат в R n Рассмотрим подробнее случай отображения U ? R n ? R n , которое, как мы уже отме- чали выше, задает не какую-либо поверхность, а криволинейные координаты в n-мерном пространстве. Обычно используются ортогональные криволинейные координаты, поскольку форму- лы для определения длин и углов выглядят в ортогональных координатах гораздо проще, чем в общем случае, т.к. матрица первой фундаментальной формы в системах с ортонор- мированным базисом является диагональной. На диагонали матрицы [g ij ] стоят положительные коэффициенты g ii . Коэффициенты H i = ? g ii , зависящие от точки пространства, называются коэффициентами Ламе или масштабными коэффициентами. Коэффициенты Ламе показывают, сколько единиц дли- ны содержится в единице координат в данной точке и используются для преобразования векторов при переходе от одной системы координат к другой. Длины, углы и объемы находятся по тем же формулам, что и для поверхностей. Для различных задач используются разные ортогональные криволинейные системы координат. В R 2 , кроме полярных, также используются эллиптические, параболические и биполярные координаты, в R 3 тороидальные, конические и др. 30 Примеры. В полярных координатах f(r, ?) = (r cos ?, r sin ?) T : H r = |f 0 r | = 1 , H ? = |f 0 ? | = r , ? det g = r , dxdy = rdrd?. В сферических координатах: H r = 1, H ? = r, H ? = r sin ? , ? det g = r 2 sin ? , dxdydz = r 2 sin ? drd?d? џ5. Замена параметров. Изометричность поверхностей O. Пусть ? : U ? V гладкое отображение области U ? R n на область V и существует обратное отображение ? ?1 : V ? U , которое также является гладким. Тогда ? называется диффеоморфизмом области U ? R n на область V . Коротко, диффеоморфизм это гладкое взаимнооднозначное отображение. Свойства: 1) Матрица Якоби [? 0 p ] является квадратной. 2) Обратимость, то есть det[? 0 p ] 6= 0 O. Две поверхности f : U ? R n ? R m и ? f : ? U ? R n ? R m связаны заменой пара- метров ?, если: 1) ? : U на ? ? U диффеоморфизм 2) ? точки u ? U f(u) = ? f (?(u)) Это соотношение эквивалентности. Образы эквивалентных поверхностей совпадают. Непараметризованная поверхность класс эквивалентных поверхностей. Параметризованная поверхность каждое конкретное отображение f из этого клас- са. Диффеоморфизм ? : U ? ? U производит замену поверхностных координат (u 1 , . . . , u n ) на (?u 1 , . . . , ? u n ) Как преобразуется g ik = hf 0 u i , f 0 u j i при замене координат ?u = ?(u)? Учитывая, что [g ij ] = [f 0 u ] T [f 0 u ], [? g ij ] = [ ? f 0 ? u ] T [ ? f 0 ? u ], [f 0 u ] = [ ? f 0 ? u ][? 0 u ] (дифференцируемf(u) = ? f (?(u))), получим [g ij (u)] = [f 0 u ] T [f 0 u ] = [? 0 u ] T [ ? f 0 ? u ] T [ ? f 0 ? u ][? 0 u ] = [? 0 u ] T [? g ij (? u)][? 0 u ]. Т.о., при замене координат имеем [g ik ] = [ Ф 0 u ] T [? g ik ][ Ф 0 u ] (?) правило преобразования матрицы билинейной формы при замене базиса. O. Изометричные поверхности f : U ? R n ? R m , ? f : ? U ? R n ? R m это инъек- тивные поверхности, связанные диффеоморфизмом ? : U ? ? U , матрицы [g ij (u)] и [?g ij (? u)] в соответствующих точках ?u = ?(u) связаны соотношением (?). (Диффеоморфизм ? изометрия поверхностей f и ? f ). Изометричные поверхности обладают одинаковой внутренней геометрией (площади, длины, объемы), но это, вообще говоря, разные поверхности. Примеры изометричных поверхностей: - цилиндр и плоскость - конус и плоскость - катеноид и геликоид Пример. Цилиндр f(u, v) = (R cos v, R sin v, u) и плоскость f(u, v) = (u, v, 0), соответственно [g ij ] = 1 0 0 R 2 , [g ij ] = 1 0 0 1 31 Матрица для цилиндра заменой параметра v = ?v/R приводится к единичной, и в такой параметризации матрицы первой фундаментальной формы цилиндра и плоскости совпа- дают. Цилиндр и плоскость это различные поверхности, но, используя только 1-ю фунда- ментальную форму, мы их различить не сможем. Их внутренняя геометрия одинакова. Надо взглянуть на поверхность снаружи. џ6. Внешняя геометрия поверхностей. Основной оператор гиперповерхности Гиперповерхность f : U ? R n ? R n+1 поверхность, размерность которой на 1 меньше размерности окружающего пространства. Пример гиперповерхности двумерная поверхность в R 3 : f 0 u 1 , f 0 u 2 базис T p f N единичный нормальный вектор, | Ї N | = 1 Тройка f 0 u 1 , f 0 u 2 , N положительно ориентирована. Нормальное гауссово поле - это единичное нормальное к гиперповерхности векторное поле: N (u) = f 0 u 1 Ч · · · Ч f 0 u n |f 0 u 1 Ч · · · Ч f 0 u n | = f 0 u 1 Ч · · · Ч f 0 u n ? det g Знаменатель объем параллелотопа, построенного на векторах базиса касательного век- торного пространства. Добавляя к базису касательного к гиперповерхности пространства вектор N (u) , мы получим базис f 0 u 1 , . . . , f 0 u n , N (u) всего пространства R n+1 Упражнения. Найти нормальное гауссово поле вдоль гиперповерхностей: 1)f(u, v) = (R cos v, R sin v, u) T ; 2)f(u, v) = (R cos u cos v, R cos u sin v, R sin u) T Внешнюю геометрию гиперповехности мы будем исследовать, изучая поведение нор- мального вектора N (u) ? T p f при движении вдоль этой гиперповерхности. Дифференци- руя h Ї N (u), Ї N (u)i = 1 , получаем: ? ?u i h Ї N (u), Ї N (u)i = 0 ? h N 0 u i , Ї N i = 0 ? Ї N 0 u i ? N , то есть N 0 u i ? T p f производная нормального вектора принадлежит касательному простран- ству. C этим и связано то, что мы рассматриваем именно гиперповерхности теорию произвольных поверхностей построить сложнее. Кривая: кривизна = скорость поворота единичного нормального вектора ? при движе- нии вдоль кривой (см. уравнение Френе ?? = ?k?). На поверхности возможны разные направления движения, и мы каждому направлению f 0 u i поставим в соответствие скорость поворота N 0 u i нормального вектора N при его движении в этом направлении. Это приводит нас к следующему определению: O. Линейный оператор L p : T p f ? T p f , действующий по правилу L p (f 0 u i ) = ? N 0 u i называется называется основным оператором гиперповерхности f : U ? R n+1 , или оператором Петерсона-Вейнгартена (минус из соображений удобства, чтобы собствен- ные значения L p являлись главными кривизнами, см. ниже). 32 Если X ? T p f , то X = x i f 0 u i , L p (X) = L p (x i f 0 u i ) = x i L p (f 0 u i ) [в силу линейности L p ]= ?x i N 0 u i O. Второй фундаментальной формой гиперповерхности f : U ? R n+1 в т. p ? U называется билинейная форма II p (X, Y ) , определенная в касательном пространстве T p f : ?X, Y ? T p f II p (X, Y ) = hL p (X), Y i. (Билинейность обеспечивается линейностью оператора L p .) Матрица второй фундаментальной формы: II p (X, Y ) = II p (x i f 0 u i , y j f 0 u j ) = x i y j II p (f 0 u i , f 0 u j ) = x i y j h ij , где мы ввели обозначение h ij = II p (f 0 u i , f 0 u j ) = hL p (f 0 u i ), f 0 u j i = ?hN 0 u i , f 0 u j i. Так как N ? T p f , то h N , f 0 u j i = 0 . Дифференцируя, имеем hN 0 u i , f 0 u j i + hN, f 00 u i u j i = 0 , и получаем второй способ нахождения h ij : h ij = ?hN 0 u i , f 0 u j i = hN, f 00 u i u j i. (?) T. Для гиперповерхности f : U ? R n+1 : 1) вторая фундаментальная форма II p (X, Y ) симметрична, 2) основной оператор гиперповерхности L p самосопряженный. Доказательство. 1) Т.к. f 00 u i u j = f 00 u j u i , то согласно (?) h ij = ?hN 0 u i , f 0 u j i = hN, f 00 u j u i i = hN, f 00 u i u j i = ?hN 0 u j , f 0 u i i = h ji , т.е. II p (X, Y ) = II p (Y, X) 2) Самосопряженный (симметричный) оператор: ?X, Y ? T p f : hL p (X), Y i = hX, L p (Y )i. hL p (X), Y i = II p (X, Y ) = II p (Y, X) = hL p (Y ), Xi = hX, L p (Y )i Следствия. 1) Все собственные значения L p вещественны. 2) В T p f существует ортонормированный базис из собственных векторов L p Вычислительная формула для h ij : h ij = ?h N 0 u i , f 0 u j i = h N , f 00 u i u j i = hf 0 u i Ч · · · Ч f 0 u n , f 00 u i u j i ? det g = det[f 0 u 1 , . . . , f 0 u n , f 00 u i u j ] ? det g Частный случай. f : U ? R 2 ? R 3 : h ij = det[f 0 u 1 , f 0 u 2 , f 00 u i u j ] ? det g џ7. Матрица основного оператора гиперповерхности. Кривизны и главные направления. Линии кривизны. T. В стандартном базисе f 0 u 1 , . . . , f 0 u n касательного пространства T p f матрица оператора L p имеет вид: [L p ] = [g ij ] ?1 [h ij ]. 33 Доказательство. Пусть [L p ] = [a i j ] , т.е. L p (f 0 u i ) = a k i f 0 u k (по определению, i-й столбец есть результат действия оператора на i-й базисный вектор). h ij = hL p (f 0 u i ), f 0 u j i = ha k i f 0 u k , f 0 u j i = a k i hf 0 u k , f 0 u j i = a k i g kj , откуда, в силу симметричности g ij и h ij , h ji = g jk a k i , или в матричной форме [h] = [g][L p ] , [L p ] = [g] ?1 [h] O. Пусть f : U ? R n+1 гиперповерхность, L p : T p f ? T p f ее основной оператор. Тогда: 1) K(p) = det [L p ] полная (Гауссова) кривизна гиперповерхности f в точке p 2) H(p) = 1 n Tr[L p ] средняя кривизна гиперповерхности f в точке p 3) Собственные значения k 1 . . . k n называются главными нормальными кривизнами. 4) Собственные вектора X 1 . . . X n оператора L p называются главными направлениями. Примечание. K = k 1 · . . . ·k n ; H = 1 n (k 1 + · · · + k n ) ; главные направления попарно орто- гональны, т.к. L p - самосопряженный оператор. Полная (гауссова) и средняя кривизны представляют собой инварианты линейного опе- ратора L p (тензора типа (1,1)) и могут быть найдены по формулам K = det[L p ] = det [g] ?1 [h] = det h det g , H = 1 n Tr[L p ] = 1 n g ik h ki Примеры. 1) ? : I ? R 2 плоская кривая единичной скорости. Это гиперповерхность, N = ? нормальный вектор из базиса Френе, ?? базис T p ? . L p ( ? |