?) = ? ?? = k ?
?
, т.к., согласно уравнению Френе ? ?? = k ??. Собственное значение k оператора L
p
это кривизна гипер- поверхности.
2) Гиперплоскость a
1
x
1
+ . . . + a n+1
x n+1
= a
0
.
N =
(a
1
,...,a n+1
)
T
?
(a
1
)
2
+...+(a n+1
)
2
= const
, а значит L
p
нулевой оператор.
3) Цилиндр f(u, v) = (R cos v, R sin v, u)
T
. Вектора стандартного базиса касательного пространства f
0
u
(u, v) = (0, 0, 1)
T
, f
0
v
(u, v) = (?R sin v, R cos v, 0)
T
, вторые производные f
00
uu
(u, v) = f
00
uv
(u, v) = (0, 0, 0)
T
, f
00
vv
(u, v) = (?R cos v, ?R sin v, 0)
T
. По формулам находим матрицу основного оператора гиперповерхности L
p
:
[g] =
1 0
0 R
2
,
[h] =
0 0 0 R
,
[L
p
] = [g]
?1
[h] =
0 0
0 1/R
Собственные векторы оператора L
p в базисе f
0
u
, f
0
v
это (1 0)
T
и (0 1)
T
, то есть сами вектора стандартного базиса f
0
u
, f
0
v
. Откуда заключаем, что главные кривизны k
1
= 0
(в направлении касательного вектора f
0
u
(u, v) = (0, 0, 1)
) и k
2
= 1/R
(в направлении каса- тельного вектора f
0
v
(u, v) = (?R sin v, R cos v, 0)
). Действительно, двигаясь по поверхности цилиндра вдоль его оси, мы двигаемся по прямой (нулевая кривизна), а перпендикулярно оси по окружности радиуса R (кривизна 1/R).
4) Сфера. Для сферы радиуса R кривизны k
1
= k
2
= 1/R
, матрица [L
p
]
кратна еди- ничной и все вектора из T
p f
являются собственными векторами L
p
Для двумерной поверхности в R
3
в собственном базисе оператора L
p
: [L
p
] =
k
1 0
0
k
2
,
K = k
1
k
2
, 2H = k
1
+ k
2
? k
2
? 2Hk + K = 0
, т.е. k
1
, k
2
решения этого квадратного
34
уравнения. O. Кривая ? вдоль гиперповерхности f : U ? R n+1 называется линией кривизны, если в каждой ее точке касательный вектор является главным направлением. Касательные к линии кривизны это собственные вектора оператора L p . Линии кривизны всегда образуют на поверхности ортогональную сеть, т.к. главные направления ортого- нальны друг другу. Как выглядит матрица второй фундаментальной формы в ортогональном или орто- нормированном собственном базисе e 1 , . . . , e n оператора L p ? В собственном базисе L p h ij = hL p e i , e j i = hk i e i , e j i = k i he i , e j i = k i g ij Матрица первой фундаментальной формы в ортогональном базисе диагональна, g ij = g ii ? ij , ? ij = ( 1 если i = j 0 если i 6= j а в ортонормированном базисе g ij = ? ij , т.е. [g ij ] - единичная матрица. Соответственно, в ортогональном собственном базисе оператора L p h ij = k i g ii ? ij , в ортонормированном h ij = k i ? ij = (L p ) ij џ8. Локальное строение гиперповерхностей Здесь мы рассмотрим устройство гиперповерхности в окрестности некоторой своей точ- ки p. Для этого мы перейдем к собственному базису оператора L p в этой точке. T. Пусть f : U ? R n+1 гиперповерхность, k 1 , . . . , k n главные нормальные кривиз- ны в точке p ? U. Тогда существует окрестность U 0 точки p и декартова прямоугольная система координат такие, что p ? U 0 ? U и f(U 0 ) является графиком функции ?(x): ?(x) = 1 2 k 1 (x 1 ) 2 + · · · + k n (x n ) 2 + o(|x| 2 ), где x = (x 1 . . . x n ) T ? U 0 Доказательство. Рассмотрим собственный ортонормированный базис оператора L p каса- тельного пространства в т. p ? U. Это базис из векторов e i , задающих главные направ- ления в этой точке, L p e i = k i e i . Соответственно, e 1 , . . . , e n , N базис всего пространства R n+1 . Начало отсчета расположим в т. p. Пусть в указанном базисе e 1 , . . . , e n , N поверхность задана как f (u) = (f 1 (u), . . . , f n (u), f n+1 (u)) T Дифференцируем в т. p ? U: f 0 u i (p) = (f 10 u i (p), . . . , f n0 u i (p), f n+10 u i (p)) T Т.к. f 0 u i (p) ? T p f , то f 0 u i (p) ? N (p) = e n+1 = (0, . . . , 0, 1) , и f n+10 u i (p) = 0 . Это означает, что матрица Якоби [f 0 (p)] , rang[f 0 (p)] = n , имеет нулевую n + 1-ю строку, а следовательно минор из первых n строк не нулевой. Рассмотрим отображение u = (u 1 , ..., u n ) T ? (f 1 (u), . . . , f n (u)) T = (x 1 , . . . , x n ) T = x. (?) Так как ранг его матрицы Якоби равен n, то это замена параметров. Обозначим диф- феоморфизм, обратный (?), как ?, x ? ? u . В координатах x i поверхность задается как ? f (x) = (x 1 , . . . , x n , ?(x)) T , где ?(x) = f n+1 (?(x)) = f n+1 (u). (??) 35
Итак, мы представили (в собственном ортонормированном базисе L
p
) поверхность вокруг исследуемой точки как график функции ?(x). В частности, при n = 2 ?
f (x, y) = (x, y, z =
?(x, y))
T
Разложим ?(x) в ряд Тейлора.
?(0) = f n+1
(?(0)) = f n+1
(p) = 0
, т.к. перенесли начало координат в т.p.
?
0
x i
(0) =
P
j
(f n+1
)
0
u j
(p)
?u j
?x i
= 0
, т.к. f n+10
u j
(p) = 0
, см. выше.
?(x) =
1 2
X
i,j
?
00
x i
x j
(0)x i
x j
+ Ї
Ї
o(x
2
)
Дважды дифференцируя (??), получим ?
f
00
x i
x j
(0) = (0, . . . , 0, ?
00
x i
x j
)
,
N = (0, . . . , 0, 1)
и h
ij
= h
N , ?
f
00
x i
x j
i = ?
00
x i
x j
(0) = k i
?
ij
(т.к. [h ij
]
в собственном базисе оператора L
p диагональна,
см конец предыдущего параграфа). Окончательно получим:
?(x) =
1 2
X
i k
i
(x i
)
2
+ Ї
Ї
o(|x|
2
).
Рассмотрим подробно двумерный случай f : U ? R
2
? R
3
,
z = ?(x, y) =
1 2
(k
1
x
2
+ k
2
y
2
) + o(x
2
+ y
2
).
(7)
В этом случае знания полной и средней кривизн достаточно для определения главных кривизн k
1
и k
2
. В зависимости от значений K и H имеется 4 типа точек.
1)Эллиптическая точка.
K > 0
(k
1
и k
2
одного знака) поверхность вблизи точки f(p) представляет собой эл- липтический параболоид (с точностью до o(x
2
+ y
2
)
). Поверхность загибается по главным направлениям в одну и ту же сторону (относительно касательной плоскости): точки, близ- кие к точке f(p), лежат по одну сторону от касательной плоскости.
2) Гиперболическая точка.
K < 0
(k
1
и k
2
разных знака) гиперболический параболоид (седло). Поверхность заги- бается по главным направлениям в разные стороны; точки, близкие к точке f(p), могут лежать по разные стороны от касательной плоскости.
3) Параболическая точка.
K = 0
, H 6= 0 параболический цилиндр (поверхность искривлена только в одном на- правлении); всегда есть сколь угодно близкие к f(p) точки, лежащие на касательной плос- костии.
4) K = 0, H = 0 точка уплощения.
Локальная структура этой точки не является квадратичной!
Пример. Обезьянье седло (Monkey Saddle): ?(x, y) = Re(x + iy)
3
= x
3
? 3xy
2
Каким условиям должны удовлетворять точки на гиперповерхности, чтобы она явля- лась плоскостью или сферой?
O. Точка f(p) на гиперповерхности f : U ? R
n+1
называется омбилической, когда в ней выполняется одно из трех эквивалентных требований:
1) k
1
= k
2
= · · · = k n
все нормальные кривизны равны;
2) L
p
скалярный оператор, L
p
= k(p) · I
;
3) все ненулевые вектора из касательного пространства T
p f
являются главными направ- лениями.
36
Теорема (б/д). Если n ? 2, область U ? R
n односвязна и у гиперповерхности f : U ?
R
n+1
все точки омбилические, то образ f(U):
плоскость или ее часть (k = 0)
сфера или ее часть (k 6= 0)
џ9. Нормальная кривизна. Асимптотические линии
Выше мы рассмотрели кривизны, отвечающие главным направлениям (собственным векторам оператора L
p
). Здесь мы рассмотрим задачу о нахождении кривизны в произ- вольном направлении вдоль гиперповерхности.
Утверждение. Пусть ?(t) кривая вдоль гиперповерхности f : U ? R
n+1
и ?(t
0
) =
f (p)
, тогда
II
p
( ?
?, ?
?) = h Ё
?(t
0
),
N (p)i.
Доказательство.
Рассмотрим кривую ?(t) = f(u(t)), где u(t) = (u
1
(t), . . . , u n
(t))
кривая в области U ? R
n
Т.к. ??(t
0
) ? T
p f
, то h ??(t
0
),
N (p)i = 0
. Продифференцируем это соотношение:
h Ё
?(t
0
),
N (p)i + h ?
?(t
0
),
?
N (p)i = 0.
Найдем производную
?
N (p)
, воспользовавшись определением оператора L
p
, L
p
(f
0
u i
) = ?
N
0
u i
:
?
N (p) =
?
N (u(t)) =
N
0
u i
?u i
= ?L
p
( ?u i
f
0
u i
) = ?L
p
( ?
?).
Окончательно получим h Ё
?(t
0
),
N (p)i = ?h ?
?(t
0
),
?
N (p)i = h ?
?(t
0
), L
p
( ?
?(t
0
))i = II
p
( ?
?, ?
?).
r f (p)
6
N (p)
?
A
A
A
A
A
A
A
K
?
?
9
?
r f (p)
6
N (p) =
?
?
+
X
a b
Рис. 11.
Теорема Менье. Пусть ?(t) кривая вдоль гиперповерхности f : U ? R
3
, ?(t
0
) =
f (p)
и ? угол между векторами
N (p)
и ?(t
0
)
(рис.11a). Тогда k cos ? =
II
p
( ?
?, ?
?)
I
p
( ?
?, ?
?)
,
(8)
где k кривизна кривой ?(t) при t = t
0 37
Доказательство. II p ( ? ?, ? ?) = h Ё ?, N i = h| ??| • ? + | ??| ? ?, N i = | ??| 2 kh ?, N i = I p ( ? ?, ? ?)k cos ?Здесь мы воспользовались уравнением Френе ?? = | ??|k? и соотношениями h?, N i = cos ?, h?, N i = 0 , I p ( ? ?, ? ?) = | ??| 2 Формула (8) содержит как характеристики поверхности, так и характеристики кри- вой, нас же здесь интересует поверхность, а именно, кривизна поверхности в некотором направлении. Нормальная плоскость к гиперповерхности это плоскость, натянутая на вектор N и некоторый касательный вектор X из T p f (рис.11b). Кривая ?(t), являющаяся пересечением f(U) и некоторой нормальной плоскости гипер- поверхности f : U ? R 3 , называется нормальным сечением. Для нормального сечения ? = ± N (т.к. кривая ?(t) является плоской), k = ± II p ( ? ?, ? ?) I p ( ? ?, ? ?) Нормальное сечение называется вогнутым, если ? ?? N , и выпуклым, если ? ?? N Нормальной кривизной гиперповерхности f : U ? R n+1 в точке p ? U в на- правлении вектора X ? T p f называется число k N (X) = II p (X, X) I p (X, X) Если X i главное направление, то k N (X i ) = k i . Действительно, k N (X i ) = < L p X i , X i > < X i , X i > = < k i X i , X i > < X i , X i > = k i T. Пусть X 1 . . . X n ? T p f ортонормирован- - X 1 6 X 2 X ? 2 = ? 2 ? ? ? 1 = ? Рис. 12. ный базис из главных направлений гиперповерхно- сти f : U ? R n+1 , k 1 . . . k n главные нормальные кривизны. Пусть X ? T p f ненулевой вектор, об- разующий углы ?1 , . . . , ?n с X 1 . . . X n соответствен- но. Тогда k N (X) = n X i=1 k i cos 2 ? i Доказательство. Рассмотрим единичный век- тор X ? T p f , X = P n i=1 X i cos ?i , где cos ?i направ- ляющие косинусы, |X| = I p (X, X) = 1 k N (X) = II p (X, X) I p (X, X) = II p (X, X) = II p n X i=1 X i cos ?i , n X i=1 X j cos ?j ! = X i,j cos ?i cos ? j II p (X i , X j ) = n X i=1 k i cos 2 ? i , где мы учли, что II p (X i , X j ) = hL p (X i ), X j i = k i hX i , X j i = k i ? ij Частный случай формула Эйлера для f : U ? R 3 двумерной поверхности в трехмерном пространстве. В этом случае cos ?2 = ± sin ?1 , см. рис.12. k N (X) = k 1 cos 2 ? 1 + k 2 sin 2 ? 1 = k 1 + (k 2 ? k 1 ) sin 2 ? 38 Отсюда видно, что k 1 и k 2 экстремальные значения кривизны, достигаемые на двух взаимноперпендикулярных направлениях. Понятие асимптотических векторов. Ненулевой вектор X ? T p f называется асимп- тотическим, если k N (X) = 0 , то есть если в его направлении кривизна равна 0. Очевидно, вектор X является асимптотическим ? II p (X, X) = 0 O. Кривая ?(t) : I ? f(U) вдоль гиперповерхности f : U ? R n+1 , называется асимп- тотической, если для любого t ? I ее касательный вектор ??(t) асимптотический. Любая прямая, лежащая на гиперповерхности, является асимптотической линией. Об- ратное неверно (контрпример асимптотические линии на торе, являющиеся окружно- стями). Не на всех поверхностях существуют асимптотические линии; например, их нет на сфе- ре. Для двумерных поверхностей в R 3 нормальные кривизны принимают промежуточные значения между главными кривизнами k 1 и k 2 . Соответственно, в эллиптических точках асимптотических направлений нет, в параболических точках асимптотическое направление одно, в гиперболических точках асимптотических направлений два. Большее количество асимптотических направлений может быть в точках уплощения (в случае обезьянего седла их три). Теорема Бонне (б/д). Всякая гиперповерхность однозначно (с точностью до изомет- рии объемлющего пространства) определяется своими I и II фундаментальными формами. Теорема (Леви-Чивита, 1906 г.) (б/д) Пусть f : U ? R n ? R n+1 - гиперповерхность четной размерности, т.е. n = 2s, s ? N. Тогда ее полная кривизна K является свойством внутренней геометрии. Иными словами, полная (Гауссова) кривизна (равная определителю основного опера- тора гиперповерхности) в этом случае может быть выражена только через метрику g ij Для случая двумерных поверхностей в трехмерном пространстве теорема была доказана К.Гауссом (1828 г.) Гаусс называл ее theorema egregium блистательная теорема. Она говорит нам о том, что даже не выходя из поверхности наружу, мы можем узнать ее полную кривизну. А коэффициенты первой и второй фундаментальных форм не являют- ся независимыми друг от друга. Согласно этой теореме, полные кривизны у изометричных четномерных поверхностей в соответствующих точках совпадает. Примером таких изометричных поверхностей нуле- вой полной кривизны являются плоскость, цилиндр, конус и все другие, которые можно получить изгибанием (без разрывов и растяжений) листа бумаги. Поверхности, у которых полные кривизны не совпадают, изометричными быть не могут в частности, даже малый участок сферы невозможно без разрывов и растяжений наложить на плоскость. Четномерным является и четырехмерное пространство-время пространство Минков- ского. Поэтому полная кривизна пространства-времени также является свойством внут- ренней геометрии свойством, которое можно экспериментально определить, не выходя за пределы пространства. 39 џ10. Поверхности Безье Поверхность Безье порядка (n, m) задајтся (n + 1) · (m + 1) управляющими (контроль- ными) точками P i,j . Точки поверхности p(u, v) находятся по управляющим точкам по фор- муле: p(u, v) = n X i=0 m X j=0 B n i (u) B m j (v) P i,j , (9) где u, v ? (0, 1), а B многочлены Бернштейна: B n i (u) = C n i u i (1 ? u) n?i = n! i!(n ? i)! u i (1 ? u) n?i Таким образом, поверхность Безье порядка (n, m) это параметрическая поверхность, представляющая собой полином степени n по параметру u и полином степени m по пара- метру v, записанная в базисе из полиномов Бернштейна. Перепишем формулу (9) в виде: p(u, v) = n X i=0 m X j=0 B m j (v) P i,j ! B n i (u) = n X i=0 P i (v)B n i (u). Из такой записи видно, что при фиксированном v мы имеем кривую Безье с управляю- щими точками P i (v) = P m j=0 B m j (v) P i,j , лежащими на другой кривой Безье с параметром v Рассмотрим некоторые свойства поверхности Безье. Сначала покажем, что четыре уг- ловые точки P i,j задающей полигональной сетки лежат на поверхности Безье. Для этого мы подставим граничные значения параметров u и v в уравнение (9): p(0, 0) = P 0,0 , p(0, 1) = P 0,m , p(1, 0) = P n,0 , p(1, 1) = P n,m Покажем теперь, что граничные кривые поверхности Безье также являются кривыми Безье (соответственно порядка n или m). Чтобы получить уравнение одной из гранич- ных кривых, подставим v = 0 в уравнение (9): p(u, 0) = n X i=0 m X j=0 B n i (u) B m j (0) P i,j = n X i=0 B n i (u) B m 0 (0) P i,0 = n X i=0 B n i (u) P i,0 Видно, что граничные кривые поверхности Безье полностью определяются соответствую- щими граничными точками задающего многоугольника. Наиболее часто используются бикубические поверхности Безье (n = m = 3), задаю- щиеся шестнадцатью контрольными точками, аналогично тому, как при моделировании кривых используются кубические кривые Безье. Использование поверхностей Безье более высоких степеней, как и кривых Безье более высокого порядка, связано с резким увели- чением необходимых для построения вычислений. Для моделировании сложной поверхности надо создавать несколько поверхностей Безье и соединять их друг с другом. Для обеспечения непрерывности поверхности необходимо, чтобы совпадали две гра- ничные кривые, а следовательно, и управляющие точки, лежащие на двух граничных ломаных полигональных сеток стыкуемых поверхностей Безье (кусков). Для обеспечения непрерывности векторов наклона или касательных векторов (глад- кости вдоль границы куска) касательные плоскости при стремлении точки к границе с разных сторон должны совпадать, а значит направление нормали к поверхности вдоль 40 граничной кривой должно быть одинаковым для обоих кусков. Это достигается наложени- ем ограничений на соседние к граничным управляющие точки. На практике используются два различных условия. Первое, очевидное, требует, чтобы отрезки полигональной сетки, встречающиеся у границы и пересекающие ее, были коллинеарными (условие, аналогич- ное условию гладкости стыковки кривых Безье). Второе, менее жесткое, для бикубических кривых требует, чтобы три ребра полигональной сетки, встречающиеся в концевых точках граничной кривой, были компланарными. Благодаря наглядности и удобству поверхности Безье широко используются в компью- терной графике, автоматизированном проектировании и моделировании. 41
џ11. Движение репера вдоль поверхности. Коэффициенты связности.
Стандартный подвижный репер вдоль поверхности f : U ? R
n
? R
m
это совокупо- ность реперов окружающего пространства R
m
:
{f (p); f
0
u
1
(p), f
0
u
2
(p), . . . , f
0
u n
(p);
N
n+1
(p), . . . ,
N
m
(p)},
p ? U.
Вектора f
0
u
1
(p), f
0
u
2
(p), . . . , f
0
u n
(p)
в каждой точке образуют стандартный базис касательно- го пространства T
p f
. Для гиперповерхностей ситуация несколько упрощается в каждой точке имеется только один нормальный вектор.
Нам уже хорошо известен один частный случай гиперповерхности кривая в R
2
, при- влекательный своей простой и наглядностью. Там у нас был репер Френе и уравнения
Френе
( ??(t) = | ??(t)|k(t)?(t)
?
?(t) = | ?
?(t)|(?k(t))
? (t),
представляющие собой разложение производных от базиса Френе по базису Френе.
Аналог второго уравнения Френе для гиперповерхностей мы уже рассмотрели это уравнение, записываемое с помощью основного оператора гиперповерхности
N
0
u i
= ?L
p
(f
0
u i
) = ?[L
p
]
k i
f
0
u k
= ?g kl h
li f
0
u k
Вместо одной кривизны k мы имеем здесь оператор, собственными значениями которого k
1
, . . . , k n
являются кривизны по главным направлениям.
Теорема. Пусть f : U ? R
n
? R
m
поверхность класса гладкости не ниже C
3
. Тогда в любой точке p ? U:
f
00
u i
u j
= ?
k ij f
0
u k
+
N
ij
,
где ?
k ij f
0
u k
=
1 2
g km
?g im
?u j
+
?g mj
?u i
?
?g ij
?u m
,
N
ij
? (T
p f )
?
Для случая гиперповерхности (m = n + 1)
N
ij
= h ij
N
42
|
Скачать 0.65 Mb.