А. Л. Шелепин Глава Векторные и аффинные пространства

• Название: А. Л. Шелепин Глава Векторные и аффинные пространства
• Дата: 04.01.2022
• Размер: 0.65 Mb.
• Имя файла: diffgeоm-L-2020.pdf
• Тип: Документы; #324164
• страница: 1 из 6

Дифференциальная геометрия
А.Л.Шелепин
Глава 1. Векторные и аффинные пространства
џ1. Векторное пространство (напоминание)
џ2. Евклидово пространство (напоминание)
џ3. Обобщенное векторное произведение
џ4. Аффинное пространство
Глава 2. Кривые
џ1. Определение кривой
џ2. Векторные функции скалярного аргумента
џ3. Регулярность. Длина кривой
џ4. Эквивалентность кривых
џ5. Кривые единичной скорости
џ6. Касание плоских кривых
џ7. Репер Френе плоской кривой
џ8. Локальное строение плоских кривых (особые точки)
џ9. Некоторые плоские кривые
џ10. Кривые Безье
џ11. Кривые общего вида
Глава 3. Поверхности
џ1. Вектор-функции векторного аргумента. Дифференциал отображения
џ2. Определение поверхности
џ3. Примеры поверхностей
џ4. Первая фундаментальная форма. Внутренняя геометрия поверхности
џ5. Замена параметров. Изометричность поверхностей
џ6. Внешняя геометрия поверхностей. Основной оператор гиперповерхности
џ7. Матрица основного оператора гиперповерхности. Кривизны и главные направления.
Линии кривизны.
џ8. Локальное строение гиперповерхностей
џ9. Нормальная кривизна. Асимптотические линии
1

Глава 1. Векторные и аффинные пространства
џ1. Векторное пространство (напоминание)
Напомним, что векторное (или линейное) пространство - это непустое множество
L
, на котором введены 2 операции:
сложение векторов,

x + y ? L;
умножение на число, ?x ? L;
удовлетворяющие ряду условий (аксиом).
Элементы пространства L называются векторами. Если ? ? R, то L  вещественное пространство, если ? ? C, то L  комплексное.
Для векторных пространств можно ввести ряд важных понятий:
Размерность  максимальное число линейно независимых элементов.
Базис  максимальная линейно независимая система (или полная линейно независимая система).
Линейная оболочка системы векторов: S = {x
1
, . . . ,
x k
}
 множество всех возможных линейных комбинаций векторов.
Разложение вектора x по базису: x =
m
P
i=1

e i
x i
= [
e
1
,
e
2
, . . . ,
e n
]
?
?
?
?
x
1
x
2
x n
?
?
?
?
= ?X.

Замена базиса: ?
0
= ?T
, T  матрица перехода.
Вектор можно разложить как по старому, так и по новому базису: x = ?X = ?
0
X
0
=
?T X
0
, откуда в силу единственности разложения по базису X = T X
0
, X
0
= T
?1
X
. Т.е.
координаты X преобразуется с помощью матрицы, обратной матрице перехода.
Арифметическое векторное пространство R
m
- это пространство размерности m над полем R действительных чисел, R
m
=
?
?
?
?
?
x
1
x n
?
?
x i
? R
?
?
?
Обозначение R
m без стрелочки мы оставим для аффинного пространства. Стандартный
(канонический) базис в R
m
:

e
1
=
?
?
?
?
1 0
0
?
?
?
?
,
e
2
=
?
?
?
?
0 1
0
?
?
?
?
, . . . ,
e m
=
?
?
?
?
0 0
1
?
?
?
?
Ориентация.
Вспомним про правые и левые тройки векторов в трехмерном пространстве и дадим следующее определение.

O. Два базиса называются одинаково ориентированными, если ?
0
= ?T
и det T > 0.
Стандартный базис считается положительно ориентированным.
Обозначения Эйнштейна.
Договоримся, что если в записи встречаются одинаковые индексы на разных уровнях (вни- зу и вверху), то по этим индексам производится суммирование, например x i
y i
=
P
i x
i y
i
,
g ij x
i y
j
=
P
i,j g
ij x
i y
j
. Обозначения эти весьма удобны, в особенности при записи громоздких выражений.
2

џ2. Евклидово пространство (напоминание)
Евклидово пространство  линейное пространство с заданным на нем скалярным произведением (симметричной положительно определенной билинейной формой) < x, y >.
С помощью скалярного произведения могут быть определены длины и углы:
|
x| =
p
<
x,
x >,
cos ? =
<
x,
y >
|
x||
y|
Матрица Грама системы векторов  матрица G с элементами g ij
=< a i
, a j
>
Если a
1
, . . . , a m
образуют базис, то скалярное произведение < x, y >= g ij x
i y
j
, где x i
и y
j
 координаты векторов в этом базисе.
Элементы матрицы Грама в этом случае удовлетворяют условиям:
1) g ii
> 0
,
2) g ij
= g ji
,
3) G положительно определена (удовлетворяет критерию Сильвестра).
Объем паралеллотопа, построенного на векторах a
1
, . . . , a m
: V =
?
det G
Эту формулу легко проверить в случае, если a
1
, . . . , a m
образуют ортогональный базис:
det G = det
?
?
?
?
?
< a
1
, a
1
>
0 0
0
< a
2
, a
2
> . . .
0 0
0
< a n
, a n
>
?
?
?
?
?
= |a
1
|
2
|a
2
|
2
. . . |a n
|
2
= V
2
џ3. Обобщенное векторное произведение
O. Обобщенным векторным произведением линейно независимых векторов x
1
,
x
2
, . . . ,
x m?1
?

R
m назовем вектор
N ?
R
m
, обладающий следующими свойствами:
1.
N
перпендикулярен векторам x
1
,
x
2
, . . . ,
x m?1
,
2. |
N | =
?
det G
, где G  матрица Грама системы векторов x
1
,
x
2
, . . . ,
x m?1
,
3. x
1
,
x
2
, . . . ,
x m?1
,
N
образуют базис положительной ориентации.
Обозначение:
N =
x
1
Ч
x
2
Ч · · · Ч
x m?1
Согласно данному определению, длина вектора |
N | =
?
det G
, то есть она численно равна объему параллелотопа, построенного на векторах x
1
,
x
2
, . . . ,
x m?1
. В частности, при m = 3
длина численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах x
1
,
x
2
,
а, следовательно, в этом случае
N
является обычным векторным произведением.
Т.о., вектор
N
является многомерным аналогом векторного произведения в трехмерном пространстве. В случае m = 2 указанная конструкция дает вектор, перпендикулярный данному a = (a
1
, a
2
)
T
,
N = (?a
2
, a
1
)
T
Нахождение координат вектора
N
, являющегося обобщенным векторным произведе- нием для m = 2, 3, 4, производится путем подсчета определителей:
a
1

e
1
a
2

e
2
a
1
b
1

e
1
a
2
b
2

e
2
a
3
b
3

e
3
a
1
b
1
c
1

e
1
a
2
b
2
c
2

e
2
a
3
b
3
c
3

e
3
a
4
b
4
c
4

e
4
Как и в трехмерном случае, в R
m мы часто будем использовать эту конструкцию для нахождения вектора, перпендикулярного m ? 1 данному.
3

џ4. Аффинное пространство
Мы уже привыкли работать с векторными пространствами. Однако для построения полноценной геометрии одних векторов недостаточно, и ниже мы определим понятие аф- финного пространства, включающего как точки, так и вектора.
O. Аффинным пространством называется тройка (V, V , +), где Vмножество точек,

V
 векторное пространство, +  операция откладывания вектора от точки, причем:
1)?p ? V, ?x ? V ?!q : q = p + x.
2)?p, q ? V ?!x : q ? p = x (существует единственный вектор, соединяющий две данные точки).
3)?p ? V, ?x, y ? V : p + (x + y) = (p + x) + y.
Отметим, что знак + здесь используется в двух разных смыслах  при сложении векто- ров и при откладывании вектора от точки. Приведенные выше аксиомы вполне естественны и привычны. Аксиомы 2),3) равносильны одной аксиоме треугольника (p ? q) + (q ? r) = p ? r
O. Размерностью аффинного пространства (V, V , +) называется dim V .
O. Репером в аффинном пространстве (V, V , +) называется упорядоченный набор
(p, a
1
, . . . , a m
)
, где p называется началом координат, а (a
1
, . . . , a m
)
 базис V .
В частности, в качестве точки p можно взять начало координат  точку O(0, . . . , 0), а в качестве базиса  стандартный базис (e
1
, . . . ,
e m
)
пространства R
m
. Договоримся называть репер (O,e
1
, . . . ,
e m
)
стандартным.
O. Координатами точки q в репере (p,a
1
, . . . , a m
)

называются координаты вектора ?
?
pq в базисе (a
1
, . . . , a m
)
O. Аффинное пространство (V, V , +), называется евклидовым, если V  евклидово про- странство.
Аффинное евклидово пространство является метрическим (т.е. в нем задано расстояние между точками). Расстояние между точками p и q определяется как длина вектора: | pq|.
4

Глава 2. Кривые
џ1. Определение кривой

Как дать определение кривой?
1 попытка. Определим кривую как график функции, ? = {(x, y)| y = f(x), x ? (a, b)}.
Конечно, ?  это кривая. Но не всякая линия есть график однозначной функции.
2 попытка. Вспомним аналитическую геометрию и рассмотрим множество точек, удо- влетворяющих уравнению F (x, y) = 0. Если F (x, y)  многочлен, то соответствующие ли- нии  алгебраические кривые. Многочлены 1-й и 2-й степени  прямая и кривые второго порядка (эллипс, гипербола, парабола).
Однако, функции, имеющие счетное множество нулей, задают лишь набор отдельных точек:
x
2
+ y
2
+ 1 = 0
, решение ?;
x
2
+ y
2
= 0
, решение  т. (0, 0);
sin
2
x + sin
2
y = 0
, решение  точки (?k, ?n), k, n ? Z.
Попробуем теперь определить линию как множество точек, удовлетворяющих уравне- нию F (x, y) = 0, где F (x, y)  гладкая функция 2-х переменных с несчетным множеством нулей, т.е. как прообраз нуля при отображении F :
F
?1
(0) = {(x, y) ? R
2
|F (x, y) = 0}.

Но всегда ли мы получим объект, удовлетворяющий нашему интуитивному представлению о кривой?
Пример. F (x, y) =
(
exp
1 1?x
2
?y
2
, x
2
+ y
2
> 1 0, x
2
+ y
2 6 1
Прообраз нуля  круг x
2
+y
2
< 1
, см. рис.1.
6
z
- x
1 0
?1 1

-
Рис. 1.
Он, конечно, мало похож на кривую. Более того, произвольное замкнутое множество то- чек на плоскости можно задать уравнением вида F (x, y) = 0. Имеет место
T. Уитни (б/д). Пусть M ? R
2
 произ- вольное замкнутое множество точек на плос- кости. Тогда ? всюду гладкая функция F (x, y) :
R
2
? R
, такая, что M = F
?1
(0)
Мы видим, что отнюдь не каждое уравнение вида F (x, y) = 0 задает линию. Для задания линии необходимы дополнительные условия.
Прообраз нуля F
?1
(0) = {(x, y) ? R
2
|F (x, y) = 0}
является линией, если выполнены условия теоремы о неявной функции: F (x, y)  гладкая, множество M = F
?1

(0) 6= ?
и grad F =

?F
?x
,
?F
?y

6= Ї
0
?m
0
? M
. Тогда для точки (x
0
, y
0
) ? M
существует окрестность,
в которой M представляет собой график гладкой функции y = y(x) или x = x(y).
Если мы теперь попробуем дать определение на основе использования неявных функ- ций, оно, очевидно, получится достаточно громоздким.
Учитывая сказанное выше, будем рассматривать линию как как траекторию дви- жущейся точки (Жордан).
Параметрическое задание:
прямая x = x
0
+ lt
, y = y
0
+ mt
, или r = r
0
+
qt
;
эллипс x = a cos t, y = b sin t (окружность при b = a);
гипербола x = a ch t, y = b sh t.
5

Если представлять себе линию как траекторию движущейся точки, то параметр t 
это время.
O. Гладкой кривой в аффинном пространстве R
m называется гладкая вектор-функция
?(t) : I ? R ? R
m
Множество ?(I) = {?(t)|t ? I}  образ кривой ?(t) в пространстве R
m
Иными словами, кривая  это гладкое отображение интервала I ? R в множество то- чек аффинного пространства.
џ2. Векторные функции скалярного аргумента
Пусть x : I ? R
m
 непрерывная векторная функция скалярного аргумента (вектор- функция),

x(t) = (x
1
(t), x
2
(t), . . . , x m
(t))
T
,
где t  параметр, а I ? R  открытый интервал, т.е. множество одного из видов (a, b),
(??, b)
, (a, ?), (??, ?).
O. Пусть t ? I и t + ?t ? I. Предел lim
?t?0

x(t + ?t) ?
x(t)
?t
=
d
x dt
= ?

x,
если он существует, называется производной вектор-функции x в точке t, а вектор-функция

x дифференцируемой в т. t.
O. Вектор-функция x(t) : I ? R
m называется гладкой, если все ее координатные функ- ции x k
(t)
имеют на I непрерывные производные сколь угодно высокого порядка. (Класс
C
?
).
Вектор-функция x : I ? R
m принадлежит классу гладкости C
k
, если имеет непрерыв- ные производные до k-го порядка включительно.
Рассмотрим скалярное произведение < x, y >.
Утверждение 1.
d dt
<
x,
y >=<
d
x dt
,
y > + <
x,
d
y dt
>
Доказательство:
<
x,
y >= g ik x
i
(t)y k
(t)
,
d dt
<
x,
y >= g ik
 dx i
dt y
k
+ x i
dy k
dt

=<
d
x dt
,
y > + <
x,
d
y dt
>
Утверждение 2.
Если x(t) 6= 0 ?t ? I, то d
dt
|
x(t)| =
d dt
?
<
x,
x > =
2 <
x, ?

x >
2
?
<
x,
x >
=
<
x, ?

x >
|
x|
Утверждение 3.
|
x(t)| = c = const ? ?t ? I :

x(t) ? ?

x(t)
Доказательство: |x(t)| = c ?< x, x >= c
2
?
d dt
<
x,
x >= 0 ?<
x, ?

x > + < ?

x,

x >= 0 ?
< ?

x,
x >= 0 ?

x(t) ? ?

x(t)
Упражнения.
1) Доказать, что значения трех вектор-функций

x
1
(t) = (cos t, sin t, e
2
t)
T
, x
2
(t) = (? sin t, cos t, 2e
2
t)
T
, x
3
(t) = (? cos t, ? sin t, 4e
2
t)
T
,
?t ? R образуют базис в R
3 6

џ3. Регулярность. Длина кривой.
Поскольку разница между точками является векто- r
r
?(t)
?(t + ?t)










?
?(t)
Рис. 2.
ром, то
?
?(t) = lim
?t?0
?(t + ?t) ? ?(t)
?t
 вектор. Предельное положение секущей прямой, про- ходящей через точки ?(t + ?t), ?(t) при ?t ? 0  каса- тельная прямая, см. рис.3. Следовательно, ??(t) является направляющим вектором касательной в момент време- ни t и одновременно  вектором (мнгновенной) скорости в точке ?(t).
Если ??(t
0
) 6= 0
, то уравнение касательной в точке t
0
имеет вид p = ?(t
0

) + u ?

?(t
0
),
где p  произвольная точка касательной, u ? R  параметр.
Посмотрим теперь, что может произойти в точке,
- x
6
y
1
Рис. 3.: Полукубическая пара- бола.
где производная ??(t) = 0. Это точка остановки  в ней скорость перемещения по кривой | ??(t)| обращается в ноль.
Пример.
Кривая ? : R ? R
2
; ?(t) = (t
2
, t
3
)
T
Нетрудно заметить, что x
3
= y
2
или y = ±
?
x
3
 это так называемая полукубическая парабола.
?
?(t) = (2t, 3t
2
)
T
; ?
?(0) = (0, 0)
T
, а значит ?(0) = (0, 0)
T

точка остановки. В ней (см. рис.3) направление движе- ния меняется на противоположное, это точка возврата.
Мы видим, что поведение кривой в точках, где ??(0) = 0,
достаточно сложно и их лучше изучать отдельно.
O. Гладкая кривая ? : I ? R
m называется регулярной в момент t ? I, если ??(t) 6= 0.
Кривая ?(t) : I ? R
m называется регулярной на интервале I, если она регулярна ?t ? I.
Цитата из книги (С.В.Сизый. Лекции по дифференциальной геометрии): Регулярные кривые  это храбрые джигиты, которые на интервале I нигде не тормозят (точнее 
нигде не останавливаются).
Определим теперь длину кривой. Разобьем временной интервал I на промежутки
?t k
, v k
 скорость на k-м участке. Пройденный путь l =
lim max|?t k
|?0
P
k
|v k
|?t k
=
t
2
R
t
1
|v(t)|dt
O. Длиной l[?] кривой ?(t) : I ? R
m называется интеграл от модуля скорости этой кривой:
l[?]
b a
=
b
Z
a
| ?
?(t)|dt.
Упражнения.
1) Найти выражение для длины дуги кривой, заданной:
a) в декартовых координатах;
b) в полярных координатах.
2) Найти длину первого витка спирали Архимеда ? = a?.
7

3) Найти длину кардиоиды ? = a(1 + cos ?).
џ4 Эквивалентность кривых
Очевидно, что среди различных вектор-функций (кривых) есть много с одинаковыми образами. Их точки проходят этот образ с разными скоростями. Здесь мы попробуем разбить множество всех кривых на классы, имеющие одинаковые образы.
O. Пусть ? : I ? R
m
, ? : J ? R
m
 две гладкие кривые,
?(?)

?
I
?
I
J

?

? = ???
заданные на соответствующих интервалах. Кривая ? получа- ется из кривой ? заменой параметра ?, если ? гладкое отоб- ражение ? такое, что:
1. ? : J ? I, т.е. ? - сюръекция (образ J есть все I)
2. ??(?) 6= 0 ?? ? J
3. ?(?) = ?(?(?)) ?? ? J
T. Бинарное отношение между кривыми быть связанной заменой параметра является отношением эквивалентности (т.е. рефлексивно, симметрично, транзитивно).
Доказательство:
•
рефлексивность очевидна: ? : I
на
? I
, где ?(?) = ?  тождественное отображение, ?? = 1
•
симметричность
?
?(?) 6= 0 ? ?(?)