А. Л. Шелепин Глава Векторные и аффинные пространства

• Название: А. Л. Шелепин Глава Векторные и аффинные пространства
• Дата: 04.01.2022
• Размер: 0.65 Mb.
• Имя файла: diffgeоm-L-2020.pdf
• Тип: Документы; #324164
• страница: 3 из 6

/p! + ?
1
(t ? t
0
)
p+1
/(p + 1)! + . . . )Ї
a + ((t ? t
0
)
q
/q! + . . . )Ї
b
Отбрасывая в каждой скобке бесконечно малые более высокого порядка, получим
?(t) ? ?(t
0
) ? Ї
a
(t ? t
0
)
p p!
+ Ї
b
(t ? t
0
)
q q!
Направляющий вектор секущей, проходящей через точки ?(t), ?(t
0
)
, с точностью до бес- конечно малых более высокого порядка равен Їa, а значит Їa - касательный вектор в точке
?(t
0
)
Знаки перед векторами Їa и Їb (определяющие, в какой четверти координатной плоскости
(?(t
0
), Ї
a, Ї
b)
находится точка ?(t), определяются в свою очередь знаками (t ? t
0
)
p и (t ? t
0
)
q
,
14

При положительном t ? t
0
оба знака положительны и точка ?(t) находится в первой четверти. Для отрицательных t ? t
0
составим таблицу.
p q
знак перед Їa знак перед Їb четв. тип точки неч неч
-
-
3
перегиба неч чет
-
+
2
изгиба чет неч
+
-
4
возврата 1-го рода чет чет
+
+
1
возврата 2-го рода (клюв)
-

a
















b r
?(t
0
)
-
a
















b r
?(t
0
)
Рис. 7.
-
a
















b r
?(t
0
)
-
a
















b r
?(t
0
)
Рис. 8.
Для точки возврата 1-го рода ветви кривой располагаются по разные стороны от ка- сательной, для точки возврата 2-го рода  по одну.
Особые точки кривой, заданной уравнением F (x, y) = 0.
Регулярная точка: F (x
0
, y
0
) = 0
(точка лежит на кривой) и по крайней мере одна из производных F
0
x
(x
0
, y
0
)
, F
0
x
(x
0
, y
0
)
отлична от нуля.
Дифференциал dF (x, y) = F
0
x dx + F
0
y dy
. Найдем в точке (x
0
, y
0
)
направление, где при- ращение dF обращается в 0: dF = F
0
x
(x
0
, y
0
)(x ? x
0
) + F
0
y
(x
0
, y
0
)(y ? y
0
) = 0
. Это уравнение прямой (с нормалью (F
0
x
, F
0
y
)
и направляющим вектором (?F
0
y
, F
0
x
)
), являющейся касатель- ной к нашей кривой в точке (x
0
, y
0
)
Особая точка: F (x
0
, y
0
) = F
0
x
(x
0
, y
0
) = F
0
y
(x
0
, y
0
) = 0
Второй дифференциал d
2
F (x, y) = F
00
xx
(x ? x
0
)
2
+ 2F
00
xy
(x ? x
0
)(y ? y
0
) + F
00
yy
(y ? y
0
)
2
(если не
15

все вторые частные производные равны нулю) представляет собой квадратичную форму с определителем ? =
F
00
xx
F
00
xy
F
00
xy
F
00
yy
. Будем искать в т. (x
0
, y
0
)
направления, по которым d
2
F
обращается в 0.
Если ? > 0 (квадратичная форма положительно или отрицательно определена), то d
2
F (x
0
, y
0
)
обращается в ноль только в точке (x
0
, y
0
)
 изолированной особой точке.
Если ? < 0, то форма не является знакоопределенной и в некотором базисе она может быть приведена к каноническому виду, d
2
F = a
2
(?
x ? ?
x
0
)
2
? b
2
(?
y ? ?
y
0
)
2
= 0
. Это уравнения пары пересекающихся прямых (касательных) в точке самопересечения кривой (узле).
Если ? = 0, и хотя бы одна из производных отлична от нуля, то канонический вид a
2
(?
x ? ?
x
0
)
2
= 0
, т. (x
0
, y
0
)
 точка возврата (1 или 2 рода) или точка самоприкосновения
(касательная ?x = ?x
0
), или узел.
џ9 Некоторые плоские кривые, или кривые вокруг нас
Алгебраические кривые второго порядка (они же конические сечения)  это хо- рошо знакомые нам эллипс, гипербола и парабола. Они задаются уравнением F (x, y) = 0,
где F (x, y)  многочлен второго порядка.
Алгебраические кривые третьего порядка (кубики) задаются уравнением F (x, y) =
0
, где F (x, y)  многочлен третьего порядка. Первую классификацию кубик дал Ньютон в 1704 году, полную классификацию дал немецкий математик и физик Юлиус Плюккер
(1801-1868).
Изучение кубик долгое время считалось примером чистой математики, не имеющей ни- какого применения. Однако, в последние 20 лет XX века были придуманы криптографиче- ские алгоритмы, использующие глубокие свойства кубик, которые сегодня используются
(в частности) при банковском шифровании, что дало толчок изучению свойств кубик (так называемая эллиптическая криптография). Некоторые кубические кривые представлены на рис. ???
Циклоида ?(t) = (rt ? r sin t, r ? r cos t)
T
Определяется кинематически как траектория фиксированной точки окружности (коле- са) радиуса r, катящейся без скольжения по прямой (дороге). Циклоида  периодическая функция по оси абсцисс, с периодом 2?r. За границы периода удобно принять особые точки (точки возврата) вида t = 2?k, где k  целое число. Среди трансцендентных кри- вых, то есть кривых, уравнение которых не может быть записано в виде многочлена от x, y
, циклоида  первая из исследованных. Название ѕциклоидаї предложил Галилей. На циклоиде активно оттачивались методы появившегося математического анализа. Эволю- той циклоиды также является циклоида.
ѕПеревјрнутаяї циклоида является кривой скорейшего спуска (брахистохроной). Бо- лее того, она имеет также свойство таутохронности: тяжјлое тело, помещјнное в любую точку арки циклоиды, достигает горизонтали за одно и то же время. Задача о брахисто- хроне была поставлена 1696 году Иоганном Бернулли. На его статью откликнулись Исаак
Ньютон, Яков Бернулли, Г.В.Лейбниц, Г.Ф.Лопиталь, Э.В.Чирнхаус. Все они, как и сам
Иоганн Бернулли, решили задачу разными способами. Метод решения, полученного в 1697
г. Исааком Ньютоном, лег в основу вариационного исчисления.
Период колебаний материальной точки, скользящей по перевјрнутой циклоиде, не за- висит от амплитуды. Этот факт был использован Гюйгенсом (1629-1695) для создания точных механических часов. В таких часах в то время очень нуждались мореплаватели для определения долготы.
Цепная линия y = a ch(
x a
)
. форму цепной линии принимает гибкая однородная нерас- тяжимая тяжелая нить или цепь (отсюда название) с закрепленными концами в однород- ном гравитационном поле.
16

Пока углы подъема малы, цепная линия очень близка к параболе, что отмечал еще
Галилей (1638г). Вскоре, однако, было показано, что линия провисания цепи параболой не является. Уравнение цепной линии было практически одновременно (в 1691г) получено
Лейбницем, Гюйгенсом и Иоганном Бернулли.
Перевјрнутая цепная линия  идеальная форма для арок. Однородная арка в форме перевјрнутой цепной линии испытывает только деформации сжатия, но не излома.
Трактриса ?(t) = (± a · ln tg t
2
+ cos t

, a · sin t)
T
Трактрису (линию влечения  от лат. trahere  тащить) описывает предмет (изначаль- но лежащий на оси Oy на расстоянии a от начала координат), волочащийся на верјвке длины a за точкой, движущейся по оси абсцисс (трактором, выезжающим из начала коор- динат). Для трактрисы длина отрезка касательной от точки касания до точки пересечения с фиксированной прямой (осью Ox), по которой едет трактор, является постоянной вели- чиной  длиной веревки a. Эволюта трактрисы  цепная линия. Открытие и первое иссле- дование трактрисы (1670 год) принадлежит французскому инженеру, врачу и любителю математики Клоду Перро, брату знаменитого сказочника. Новая кривая заинтересовала математиков, еј свойства выясняли Ньютон (1676), Гюйгенс (1692) и Лейбниц (1693).
Клотоида (она же спираль Корню или спираль Эйлера).
Кривая, у которой кривизна k пропорциональна длине дуги s, натуральное уравнение k = as
Для вывода параметрического уравнения воспользуемся уравнениями (1). Полагая,
что ?(0) = 0, т.е. касательная в начале координат параллельна оси Ox, получим ?(s) =
R
s
0
k(s)ds = as
2
/2
. Далее,
x(s) =
Z
s
0
cos as
2 2
ds,
y(s) =
Z
s
0
sin as
2 2
ds.
Эти интегралы не выражаются через элементарные функции. Если положить a = 2, то получим так называемые интегралы Френеля x(s) = C(s), y(s) = S(s).
Клотоида используется как переходная дуга в дорожном строительстве. Когда участок дороги имеет форму клотоиды, руль поворачивается равномерно. Такая форма дороги позволяет преодолевать поворот без существенного снижения скорости. Так что, когда мы едем по автомобильным и железным дорогам, мы двигаемся, как правило, по прямой
 клотоиде  окружности  клотоиде  прямой. Таким образом, центробежная сила
(обратно пропорциональная радиусу кривизны) изменяется постепенно, и мы можем по- ворачивать руль постепенно вместо того, чтобы делать это резко.
По-видимому, первым изучать клотоиду начал швейцарский математик Якоб Бернул- ли в 1694 году, в контексте задачи теории упругости. Эта задача была решена в 1744 году математиком и физиком Леонардом Эйлером, который дал характеристику кривой. При- мерно в 1818 г. французский физик Огюстен Жан Френель переоткрыл клотоиду, изучая дифракцию света, и с помощью интегралов получил параметризацию этой кривой, эквива- лентную параметризации Эйлера. В 1874 году французский физик Мари Альфред Корню использовал данное выражение, чтобы точно построить кривую. А позже, в 1890 году,
американский инженер Артур Талбот еще раз переоткрыл клотоиду в поисках кривой перехода для железных дорог.
џ10 Кривые Безье
Кривая Безье
2
n
-го порядка  это параметрическая кривая, задаваемая выражением
B(t) =
n
X
i=0
P
i b
i,n
(t),
0 6 t 6 1,
(2)
2
Кривые Безье были разработаны в 60-х годах XX века независимо друг от друга Пьером Безье (Pierre
Bezier) из автомобилестроительной компании ѕРеної и Полем де Кастельжо (Paul de Faget de Casteljau)
17

где P
i
 набор из n + 1 точки, а b i,n
(t)
 базисные функции кривой Безье, называемые полиномами Бернштейна
3
,
b i,n
(t) = C
i n
t i
(1 ? t)
n?i
,
(3)
где C
i n
=
n!
i!(n?i)!
 биномиальный коэффициент (число сочетаний из n по i), n  степень полинома, i  порядковый номер опорной вершины.
Иными словами, кривая Безье n-го порядка  это параметрическая кривая n-го поряд- ка, записанная в специальном базисе. Степень кривой на единицу меньше числа опорных точек P
i
Форма кривой, очевидно, полностью определяется опорными точками. Опорные точ- ки P
0
и P
n задают начало и конец кривой. Действительно, при t = 0 и t = 1 сумма
(2) содержит только одно (соответственно, первое или последнее) слагаемое, B(0) = P
0
,
B(1) = P
n
При n = 1 кривая
B(t) = (1 ? t)P
0
+ tP
1
,
t ? [0, 1],
представляет собой отрезок прямой линии, соединяющий точки P
0
и P
1
Квадратичная кривая Безье (n = 2)
r r
r
P
0
P
1
P
2
Рис. 9.
B(t) = (1 ? t)
2
P
0
+ 2t(1 ? t)P
1
+ t
2
P
2
,
t ? [0, 1],
задается 3 опорными точками и представляет собой от- резок параболы.
Производные B
0
(0) = 2(P
1
? P
0
)
, B
0
(1) = 2(P
2
? P
1
)
,
соответственно направляющие вектора касательных в точках P
0
и P
2
 это вектора P
0
P
1
и P
1
P
2
. Следова- тельно, точка P
1
 это точка пересечения касательных к кривой в точках P
0
и P
2
, см. рис. 9.
Кубическая кривая Безье (n = 3) описывается следующим уравнением:
B(t) = (1 ? t)
3
P
0
+ 3t(1 ? t)
2
P
1
+ 3t
2
(1 ? t)P
2
+ t
3
P
3
,
t ? [0, 1].
На рис. 10 изображены две кубические кривые Безье, отличающиеся порядком промежу- точных опорных точек. Касательные в начальной и конечной точках кривой задаются векторами P
0
P
1
и P
2
P
3
. В отличие от квадратичной кривой, кубическая может иметь точку возврата 1-го рода или точку самопересечения.
Для того, чтобы записать уравнение кривой Безье в стандартном базисе 1, t, t
2
, . . . , t n
,
надо получить формулу разложения базиса [B
0,n
. . . B
n,n
]
из полиномов Бернштейна (3) по стандартному базису [1 t . . . t n
]
. Столбцами матрицы перехода M
n размера (n+1)Ч(n+1)
(нумерация элементов базиса начинается с нуля) являются коэффициенты разложения полиномов Бернштейна по степеням t:
b i,n
(t) = C
i n
t i
(1 ? t)
n?i
= C
i n
C
k n?i
(?1)
k t
i+k
= C
i n
C
j?i n?j+k
(?1)
j?i t
j
,
j = i + k.
Окончательно получим
[B
0,n
. . . B
n,n
] = [1 t . . . t n
]M
n
,
[M
n
]
ij
= C
i n
C
j?i n?i
(?1)
j?i t
j из компании ѕСитроенї, где применялись для проектирования кузовов автомобилей. Несмотря на то, что открытие де Кастельжо (1959) было сделано несколько ранее Безье, его исследования не публиковались и скрывались компанией как производственная тайна до конца 1960-х. Впервые кривые были представлены широкой публике в 1962 году французским инженером Пьером Безье, который, разработав их независимо от де Кастельжо, использовал их для компьютерного проектирования автомобильных кузовов. Кривые были названы именем Безье, а именем де Кастельжо назван разработанный им рекурсивный способ по- строения кривых (алгоритм де Кастельжо).
3
Описаны в 1912 г. С.Н.Бернштейном. С.Н.Бернштейн (1880-1968)  российский и советсткий матема- тик.
18

- x
6
y r
r r
r
P
0
P
1
P
2
P
3
- x
6
y r
r r
r
P
0
P
2
P
1
P
3
Рис. 10.
В частности, при n = 3 имеем
B(t) = [t
3
t
2
t 1]M
3
[P
0
P
1
P
2
P
3
]
T
,
M
3
=
?
?
?
?
1 ?3 3
?1 0
3
?6 3
0 0
3
?3 0
0 0
1
?
?
?
?
,
где столбцы матрицы Безье M
3
 это коэффициенты разложения многочленов Бернштейна
B
3,i
(t)
по стандартному базису.
Некоторые свойства кривых Безье:
•
кривая целиком лежит в выпуклой оболочке своих опорных точек;
•
изменение координат хотя бы одной из точек ведет к изменению формы всей кривой;
•
прямая линия образуется при коллинеарном (на одной прямой) размещении управ- ляющих точек;
•
любой частичный отрезок кривой Безье также является кривой Безье.
Интуитивно понятное управление параметрами кривой в графическом интерфейсе про- изводится передвижением еј опорных точек. На практике наибольшее значение имеют кривые Безье второй и третьей степеней. Кривые высших степеней при обработке требу- ют большего объјма вычислений и используются реже.
Для построения сложных по форме линий отдельные кривые Безье могут быть после- довательно соединены друг с другом в сплайн Безье. Обозначим управляющие точки двух соседних кривых Безье как P
i и R
i
. Т.к. начальная и конечная точка задают начало и ко- нец кривой, то для непрерывности составной кривой необходимо и достаточно выполнение условия совпадения конечной точки P
n и начальной R
0
, P
n
= R
0
Для нахождения условий гладкости сплайна в месте соединения двух кривых после- довательно рассмотрим первые две производные.
Посчитаем первую производную в начальной (t = 0) и конечной (t = 1) точках кривой
Безье n-го порядка:
B
0
(0) = n(P
1
? P
0
),
B
0
(1) = n(P
n
? P
n?1
),
Это показывает, что касательные к кривой Безье в первой и последней точках параллель- ны соответствующим сторонам многоугольника. Непрерывность первой производной (от- сутствие изломов на сплайне) обеспечивается тем, что три смежные опорные точки обеих
19

кривых P
n?1
, P
n
= R
0
, R
1
должны лежать на одной прямой. Для кривой второго порядка положение средней точки получается как пересечение касательных в конечных, а значит задание начальной и конечной точек и касательных векторов в этих точках полностью определяет такую кривую. Для кривых третьего порядка мы имеем две промежуточные точки, касательные определяют только прямые, на которых должны лежать промежу- точные точки P
1
и P
2
, и остаются свободными два параметра (расстояния |P
1
? P
0
|
и
|P
3
? P
2
|
).
При отсутствии изломов наличие или отсутствие в точках сочленения скачков радиуса кривизны определяется вторыми производными
B
00
(0) = n(n ? 1)(P
0
? 2P
1
+ P
2
),
B
00
(1) = n(n ? 1)(P
n
? 2P
n?1
+ P
n?2
).
Вторые производные на концах кривой зависят от двух ближайших сторон, т. е. от трех ближайших вершин.
Благодаря простоте задания и манипуляции, кривые Безье нашли широкое применение в системах автоматизированного проектирования и компьютерной графике для модели- рования гладких линий
4
џ11 Кривые общего вида
Рассмотрим теперь подробнее кривые в R
n
O. Кривая ? : I ? R
m называется кривой общего вида, если ?t ? I векторы
?
?(t), Ё

?(t), . . . , ?
(m?1)
(t)
линейно независимы.
При m = 2 : ??(t) 6= (0, 0)
T
 регулярные кривые.
При m = 3 : ??, Ё? линейно независимы  бирегулярные кривые.
Утверждение. Пусть ?  кривая общего вида, кривая ? получается из ? заменой параметра или изометрией. Тогда ?  кривая общего вида.
Доказательство*:
1) Замена параметра: ? = ?(?(t)), ??(t) 6= 0.
?
? = ?
?(?) ?
?
Ё
? = Ё
?(?) ?
?
2
+ ?
?(?) Ё
?
?
(k)
= ?
(k)
?
k
+ . . .

?
?
Ё
?
?
(m?1)
 =  ?? Ё
?
?
(m?1)

?
?
?
?
?
?
?
Ё
?
0
?
?
2 0
?
?
m?1
?
?
?
?
?

Определитель матрицы перехода ?? ??
2

. . . ?
?
m?1
= ( ?
?)

(m?1)m/2 6= 0 ? ?
?, Ё

?, · · · ?
?
m?1
 линейно неза- висимы.
2) Изометрия (сдвиги, отражения, повороты):
€
Ap = p
0
+ Qp
, Q  ортогональная матрица, det Q = ±1; ? = p
0
+ Q?
, откуда
?