_Новиков А.М., Методология научного исследования. А. М. Новиков Д. А. Новиков методология научного исследования
 Скачать 1.55 Mb.
|
|
Количественные методы моделирования (математи- ческое моделирование 21 ). Для исследования того или иного объекта математическими методами, включая и компьютер- ное моделирование, должна быть проведена формализация этого процесса, то есть построена математическая модель. 21 Методы математического моделирования можно в равной степени рассматривать и как методы научного исследования. Моделирование как метод научного исследования 205 Под математическим моделированием понимается про- цесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого матема- тической моделью, и исследование этой модели, позволяю- щее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и от задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этих задач. Любая математическая модель, как и всякая другая, описыва- ет реальный объект лишь с некоторой степенью приближения к действительности. Можно выделить следующие этапы построения мате- матической модели (см. также Рис. 13 и детализацию этапов ниже). 1. Определение предмета и цели моделирования, включая границы исследуемого объекта и те основные свойства, кото- рые должны быть отражены моделью (см. обсуждение соот- ношения объекта и предмета исследования, а также метода абстрагирования выше). 2. Выбор языка (аппарата) моделирования. На сегодняш- ний день не существует общепризнанной классификации методов математического моделирования. Существуют не- сколько десятков «аппаратов» моделирования, каждый из которых представляет собой разветвленный раздел математи- ки. Описывать всех их подробно в рамках настоящей книги не представляется возможным (да и целесообразным). 3. Выбор переменных, описывающих состояние системы и существенные параметры внешней среды, а также шкал их измерения и критериев оценки (см. также Рис. 13). 4. Выбор ограничений, то есть множеств возможных зна- чений переменных, и начальных условий (начальных значе- ний переменных). 5. Определение связей между переменными с учетом всей имеющейся о моделируемом объекте информации, а также известных законов, закономерностей и т.п., описывающих его. 206 Приложение 1 6. Исследование модели – или имитационное, или/и при- менение методов оптимизации. 7. Изучение устойчивости и адекватности модели. Последующие этапы, связанные с практической реализа- цией модели и/или внедрением результатов моделирования, мы здесь не рассматриваем. Приведенные этапы математического моделирования иногда приходится повторять, возвращаясь к более ранним этапам при уточнении цели моделирования, обеспечении точности, устойчивости, адекватности и т.д. Заершив описание ощих этапов математического модели- рования, отметим, что последнее можно разделить на анали- тическое и имитационное [59, 82]. Для аналитического моделирования характерно то, что процессы функционирования элементов объекта записывают- ся в виде некоторых функциональных соотношений (напри- мер, уравнений – алгебраических, дифференциальных, инте- гральных и т.п.) или логических условий. Аналитическая модель может быть исследована следующими методами: - аналитическим, когда стремятся получить в общем (аналитическом) виде явные зависимости для искомых харак- теристик в виде определенных формул; - численным, когда, не имея возможности решать уравне- ния в общем виде, стремятся получить числовые результаты при тех или иных конкретных начальных данных (например, с помощью компьютера); - качественным, когда, не имея решения в явном виде, можно найти некоторые его свойства. Примером могут слу- жить так называемые «мягкие» модели [3], в которых, напри- мер, анализ вида дифференциальных уравнений, описываю- щих самые разнообразные процессы (экономические, экологические, политические и др.) позволяет делать качест- венные выводы о свойствах их решений – существовании и типе равновесных точек, областях возможных значений пе- ременных и т.п. Моделирование как метод научного исследования 207 Для имитационного моделирования характерно исследо- вание отдельных траекторий динамики моделируемого объ- екта. При этом фиксируются некоторые начальные условия (начальное состояние объекта или параметры модели) и рас- считывается одна траектория. Затем выбираются другие начальные условия, и рассчитывается другая траектория и т.д. То есть, аналитической зависимости между параметрами модели и будущими состояниями системы не ищется. Как правило, при имитационном моделировании используют численные методы, реализованные на компьютере. Плюс имитационного моделирования заключается в том, что оно позволяет проанализировать различные сценарии иногда даже для очень сложных моделей. Его недостаток 22 состоит в от- сутствии возможности получения, например, ответа на во- прос, в каких случаях (при каких значениях начальных усло- вий и параметров модели) динамика системы будет удовлетворять заданным требованиям. Кроме того, обычно затруднителен анализ устойчивости имитационных моделей. Итак, мы кратко рассмотрели вопрос о построении моде- лей, в том числе – математических (обсуждение устойчивости и адекватности моделей, а также связанных с моделями про- блем оптимизации и задач управления, производится ниже). Тех читателей, которые заинтересуются современными спо- собами формализованного представления моделей, мы отсы- лаем к достаточно полным их описаниям, выполненным для ряда предметных областей в [6, 8, 11, 13, 17, 19, 46, 59, 62, 64, 66, 69, 79]. Отметим, что, несмотря на то, что на сегодняшний день накоплен значительный опыт разработки и использования самых разных методов моделирования (в том числе – матема- тического), все равно в этом процессе решающую роль играет творчество, интуитивное искусство создания модели. Оптимизация. Оптимизация заключается в том, чтобы среди множества возможных вариантов найти наилучшие в 22 От этого недостатка свободны аналитические модели, но они редко могут быть построены и исследованы для достаточно сложных систем. 208 Приложение 1 заданных условиях, при заданных ограничениях, то есть оптимальные альтернативы. В этой фразе важное значение имеет каждое слово. Говоря «наилучшие», мы предполагаем, что у нас имеется критерий (или ряд критериев), способ (способы) сравнения вариантов. При этом важно учесть имеющиеся условия, ограничения, так как их изменение может привести к тому, что при одном и том же критерии (критериях) наилучшими окажутся другие варианты. Понятие оптимальности получило строгое и точное представление в различных математических теориях, прочно вошло в практику проектирования и эксплуатации техниче- ских систем, сыграло важную роль в формировании совре- менных системных представлений, широко используется в административной и общественной практике, стало извест- ным практически каждому человеку. Это и понятно: стремле- ние к повышению эффективности труда, любой целенаправ- ленной деятельности как бы нашло свое выражение, свою ясную и понятную форму в идее оптимизации. В математическом смысле суть оптимизации, вкратце, заключается в следующем. Пусть состояние моделируемой системы определяется совокупностью показателей: x = (x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n ), принимающих числовые значения. На множество возможных состояний системы наложено огра- ничение: x Î X, где множество X определяется существующи- ми физическими, технологическими, логическими, ресурс- ными и другими ограничениями. Далее вводится функция F(x), зависящая от x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , которая называется крите- рием эффективности и принимает числовое значение. Счи- тается, что чем бóльшие значения принимает функция F(x), тем выше эффективность, то есть, тем «лучше» состояние x системы. Задача оптимизации заключается в нахождении опти- мального значения x * , то есть допустимого состояния системы (x Î X), имеющего максимальную эффективность: для всех x из множества X выполняется F(x * ) ³ F(x). Моделирование как метод научного исследования 209 Читателей, заинтересованных в более подробном изуче- нии теории оптимизации, отсылаем к [6, 7, 8, 13, 17, 46, 59, 66, 79] и спискам литературы в этих источниках. Различие между строго научным, математизированным и «общепринятым», житейским пониманием оптимальности, в общем-то, невелико [66]. Правда, нередко встречающиеся выражения вроде «более оптимальный», строго говоря, не- корректны (нельзя достичь эффективности, больше макси- мальной). Но люди, использующие эти выражения, на самом деле просто нестрого и неудачно выражают правильную мысль: как только дело касается конкретной оптимизации, они достаточно легко исправляют формулировки. Если не вдаваться в подробности оптимизации в рамках математических моделей, то интуитивно оптимизация сво- дится, в основном, к сокращению числа альтернатив и про- верке модели на устойчивость. Если специально стремиться к тому, чтобы на начальной стадии моделирования было получено как можно больше альтернатив, то для некоторых научных проблем их количе- ство может достичь большого числа возможных решений. Очевидно, что подробное изучение каждой из них приведет к неприемлемым затратам времени и средств. На этапе нефор- мализованной оптимизации рекомендуется проводить «гру- бое отсеивание» альтернатив, проверяя их на присутствие некоторых качеств, желательных для любой приемлемой альтернативы. К признакам «хороших» альтернатив относят- ся надежность, пригодность, адаптивность, другие признаки «практичности» для научных целей. В отсеве могут помочь также обнаружение отрицательных побочных эффектов. Важным требованием, предъявляемым к моделям, явля- ется требование их устойчивости при возможных изменени- ях внешних и внутренних условий, а также устойчивости по отношению к тем или иным возможным изменениям пара- метров самой модели. Проблемам устойчивости математиче- ских моделей систем посвящена довольно обширная литера- тура (см., например, [46, 64, 66 и др.]). 210 Приложение 1 Для того чтобы понять роль устойчивости, вернемся (см. также выше) к рассмотрению процесса построения математи- ческой модели некоторого реального объекта и проанализи- руем возможные «ошибки моделирования» [57]. Первым шагом является выбор того «языка», на котором формулиру- ется модель, то есть того математического аппарата, который будет использоваться (горизонтальная пунктирная линия на Рис. 13 является условной границей между реальностью и моделями). Как правило, этот этап характеризуется высоким уровнем абстрагирования – выбираемый класс моделей на- много шире, чем моделируемый объект. Возможной ошиб- кой, которую можно совершить на этом шаге, является выбор неадекватного языка описания. Анализ устойчивости Решение задачи выбора Р Е А Л И З А Ц И Я ОБЪЕКТ Наблюдаемое поведение Множество частных моделей Конкретная модель Оптимальное решение ИДЕНТИФИКАЦИЯ И АНАЛИЗ АДЕКВАТНОСТИ Ожидаемое поведение Класс моделей Рис. 13. Этапы построения и исследования математической модели Моделирование как метод научного исследования 211 Следующим этапом по уровню детализации является построение множества частных моделей, при переходе к которым вводятся те или иные предположения относительно свойств параметров модели. Возникающие здесь ошибки описания структуры модели могут быть вызваны неправильными представлениями о свойствах элементов моделируемого объекта и их взаимодействии. После задания структуры модели посредством выбора определенных значений параметров (в том числе – числовых) происходит переход к некоторой конкретной модели, которая считается аналогом моделируемого объекта. Источник возни- кающих на этом этапе «ошибок измерения» очевиден, хотя он и имеет достаточно сложную природу и заслуживает отдель- ного обсуждения. Когда для конкретной модели решается задача выбора оптимальных решений, то, если существует аналитическое решение для множества частных моделей, тогда, как правило, частные значения параметров, соответствующие конкретной модели, подставляются в это решение. Если аналитического решения не существует, то оптимальное решение ищется посредством имитационных экспериментов с привлечением вычислительной техники. На этом этапе – при численных расчетах – возникают вычислительные ошибки. Изучение устойчивости решений в большинстве случаев сводится к исследованию зависимости оптимального решения от параметров модели. Если эта зависимость является непре- рывной, то малые ошибки в исходных данных приведут к небольшим изменениям оптимального решения. Тогда, решая задачу выбора по приближенным данным, можно обоснован- но говорить о нахождении приближенного решения. Обсудим теперь, что следует понимать под адекватно- стью модели. Для этого вернемся к Рис. 13. Оптимальное решение, полученное для конкретной модели, является опти- мальным в том смысле, что при его использовании поведение модели соответствует предъявляемым требованиям. Рассмот- 212 Приложение 1 рим, насколько обоснованным является использование этого решения в моделируемом объекте. Наблюдаемое поведение модели является с точки зрения субъекта, осуществляющего моделирование (например, пола- гающего, что модель адекватна), предполагаемым поведени- ем реальной системы, которое в отсутствии «ошибок модели- рования» будет оптимально в смысле выбранного критерия эффективности. Понятно, что в общем случае наблюдаемое поведение реального объекта и его предполагаемое поведение могут различаться достаточно сильно. Следовательно, необ- ходимо исследование адекватности модели, то есть – устой- чивости поведения не модели, а реального объекта относи- тельно ошибок моделирования (см. Рис. 13). Действительно, представим себе следующую ситуацию. Пусть построена модель и найдено оптимальное в ее рамках решение. А что будет, если параметры модели «немного» отличаются от параметров реального объекта? Получается, что задача выбора решалась не для «того» объекта. Отрицать такую возможность, естественно, нельзя. Поэтому необходи- мо получить ответы на следующие вопросы: - насколько оптимальное решение чувствительно к ошиб- кам описания модели, то есть, будут ли малые «возмущения» модели приводить к столь же малым изменениям оптималь- ного решения (задача анализа устойчивости); - будут ли решения, обладающие определенными свойст- вами в рамках модели (например, оптимальность, эффектив- ность не ниже заданной и т.д.), обладать этими же свойствами и в реальном объекте, и насколько широк класс реальных объектов, в которых данное решение еще обладает этими свойствами (задача анализа адекватности). Качественно, основная идея, используемая на сегодняш- ний день в математическом моделировании, заключается в следующем [47, 57]. Применение оптимальных решений приводит к тому, что они, как правило, оказываются неопти- мальными при малых вариациях параметров модели. Воз- можным путем преодоления этого недостатка является рас- Моделирование как метод научного исследования 213 ширение множества «оптимальных» решений за счет вклю- чения в него так называемых приближенных решений (то есть, «немного худших», чем оптимальные). Оказывается, что ослабление определения «оптимальность» позволяет, устано- вив взаимосвязь между возможной неточностью описания модели и величиной потерь в эффективности решения, гаран- тировать некоторый уровень эффективности множества ре- шений в заданном классе реальных объектов, то есть расши- рить область применимости решений за счет использования менее эффективных из них. Иными словами, вместо рассмот- рения фиксированной модели, необходимо исследовать се- мейство моделей. Приведенные качественные рассуждения свидетельству- ют, что существует определенный дуализм между эффектив- ностью решения и областью его применимости (областью его устойчивости и/или областью адекватности – см. также Рис. 7). Отобранные и проверенные на устойчивость и адекват- ность модели становятся основой для последнего, решающего этапа моделирования – выбора модели для дальнейшее го применения. Выбор (принятия решения). Выбор является последним и, пожалуй, наиболее ответственным этапом процесса моде- лирования, его завершением. В системном анализе выбор (принятие решения) [66 и др.] определяется как действие над множеством альтернатив, в результате которого получается подмножество выбранных альтернатив (обычно это один вариант, одна альтернатива, но не обязательно). При этом выбор тесно связан с оптимизаци- ей, так как последняя есть ни что иное, как выбор оптималь- ной альтернативы. Каждая ситуация выбора может развертываться в разных вариантах: – оценка альтернатив для выбора может осуществляться по одному или нескольким критериям, которые, в свою оче- 214 Приложение 1 редь, могут иметь как количественный, так и качественный характер; – режим выбора может быть однократным (разовым) или повторяющимся; – последствия выбора могут быть точно известны (выбор в условиях определенности), иметь вероятностный характер (выбор в условиях риска), или иметь неопределенный исход (выбор в условиях неопределенности); Получить первоначальное представление о математиче- ских моделях выбора (принятия решений) можно из [1, 17, 39, 66, 79]. Таким образом, принятием решения завершается процесс моделирования. |