Глава. Глава 3. Аналитическая геометрия

• Название: Аналитическая геометрия
• Анкор: Глава
• Дата: 16.10.2021
• Размер: 1.38 Mb.
• Имя файла: Глава 3.doc
• Тип: Глава; #248873
• страница: 4 из 6

3.5.1. Угол между прямыми в пространстве.
Угол между двумя прямыми

и

определяется углом между направляющими векторами этих прямых:
. (3.34)
\

3.5.2. Некоторые типовые задачи.
1. Угол между прямой и плоскостью. Рассмотрим плоскость и прямую . Угол между нормальным вектором плоскости и направляющим вектором прямой определится как . Угол же между прямой и плоскостью . Тогда .

Условие параллельности прямой и плоскости: . Условие перпендикулярности прямой и плоскости : .

2. Условие принадлежности прямой плоскости . Одновременно должны быть выполнены два условия: и . Первое из них означает, что точка прямой и второе, что плоскость и прямая параллельны.

3. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости.

Две прямые и лежат в одной плоскости, если в одной плоскости лежат векторы , и , т.е. если равно нулю смешанное произведение этих векторов: . Если данный определитель не равен нулю, то прямые не пересекаются и не параллельны. Такие прямые называются скрещивающимися прямыми.
4. Условие пересечения трех плоскостей.

Точка пересечения плоскостей находится из решения системы уравнений Необходимым и достаточным условием ее существования является отличие от нуля определителя этой системы. В противном случае они либо пересекаются по прямой, если ранг матрицы системы равен двум, либо они параллельны, если ранг матрицы равен единице.

5. Пересечение прямой и плоскости.

Чтобы найти точку пересечения плоскости и прямой , нужно перейти к уравнению прямой в параметрическом виде , подставить полученные выражения для координат в уравнение плоскости и найти значение параметра t. Подставив это найденное значение параметра в выражения для координат, найдем искомые значения координаты точки пересечения.

6. Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости .

Здесь достаточно в качестве направляющего вектора прямой взять нормальный вектор данной плоскости и записать уравнение прямой в каноническом виде: .

7. Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .

В этом случае искомая плоскость имеет тот же нормальный вектор и ее уравнение записывается в виде .

8. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

В этом случае в качестве нормального вектора плоскости следует выбрать направляющий вектор прямой: .

9. Расстояние от точки допрямой .

Существует два способа. Первый способ. 1). Составляется уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой . 2). Определяется точка пересечения этой плоскости с прямой . 3). Искомое расстояние равно длине отрезка . Второй способ. Искомое расстояние равно высоте параллелограмма, построенного на векторах и и может быть вычислено по формуле .

10. Уравнение перпендикуляра, опущенного из заданной точки на заданную прямую .

Через точку проводится плоскость, перпендикулярная к прямой и находится точка пересечения ее с прямой . Тогда уравнение прямой, проходящей через точки и , и будет уравнением искомого перпендикуляра.

11. Определение расстояния между скрещивающимися прямыми.

Расстояние между скрещивающимися прямыми и определяется как расстояние между двумя параллельными плоскостями, одна из которых принадлежит прямой , другая – прямой .

Такие плоскости являются верхней и нижней гранями параллелепипеда, построенного на векторах и . Действительно, точки и лежат на этих гранях соответственно, а обе прямые параллельны плоскостям этих граней, поскольку их направляющие векторы параллельны им и, следовательно, прямые лежат в этих плоскостях. Расстояние между верхней и нижней гранями есть высота параллелепипеда, которая равная отношению его объема к площади основания (грани): .
3.6. ЗАДАЧИ
1. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку

параллельно:

а) вектору ; б) прямой ;

в) оси ; г) прямой .

2. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки , .

3. Составить параметрические уравнения прямой .

4. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку

параллельно прямой .

5. Определить взаимное расположение прямой и плоскости (пересекаются, параллельны, прямая лежит в плоскости). Если прямая и плоскость пересекаются, то найти точку пересечения и угол между ними; если параллельны, то найти расстояние между ними:

а) , ;

б) , ;

в) , .

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и:

а) перпендикулярно к прямой ;

б) проходящей через прямую .

7. Найти расстояние от точки М(-25;7;10) до прямой .

8. Найти точку N, симметричную точке М(1;3;-4) относительно плоскости .
Домашнее задание.
9. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки , .

10. Составить параметрические уравнения прямой .

11. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и перпендикулярной плоскости .

12. Даны вершины треугольника А(3;6;-7), В(-5;2;3), С(4;-7;-2). Составить параметрические уравнения его медианы, проведенной из вершины С.

13. Определить взаимное расположение прямой и плоскости (пересекаются, параллельны, прямая лежит в плоскости). Если прямая и плоскость пересекаются, то найти точку пересечения и угол между ними; если параллельны, то найти расстояние между ними:

а) , ;

б) , ;

в) , .

14. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельно прямым , .
Ответы. 1. а) ; б) ; в) ;

г) . 2. , .

3. . 4. . 5. а) Параллельны, ;

б) Пересекаются, (2;-3;6), ; в) Прямая лежит в плоскости.

6. а) ; б) . 7. . 8. (-5;1;0).

9. , . 10. . 11. .

12. . 13. а) Пересекаются, (-1;-2;1), ; б) Прямая лежит в плоскости; в) Параллельны, . 14. .